CONG THUC DAO DONG

Trang 1/4 CON LẮC LỊ XO
I. CON LẮC LỊ XO
1. Phương trình dao động:
cos( )x A t
ω ϕ
= +
2. Phương trình vận tốc:
'; sin( ) cos( )
2
dx
v x v A t A t
dt
π
ω ω ϕ ω ω ϕ
= = = − + = + +
3. Phương trình gia tốc:
2
2 2
2
'; ''; cos( );
dv d x
a v a x a A t a x
dt dt
ω ω ϕ ω
= = = = = − + = −
Hay
2
cos( )a A t
ω ω ϕ π
= + ±
4. Tần số góc, chu kì, tần số và pha dao động, pha ban đầu:

a. Tần số góc:
2
2 ( / );
k g
f rad s
T m l
π
ω π ω
= = = =
∆
;
( )
mg
l m
k
∆ =
b. Tần số:
1 1
( );
2 2
N k
f Hz f
T t m
ω
π π
= = = =
c. Chu kì:
1 2
( ); 2
t m

T s T
f N k
π
π
ω
= = = =
d. Pha dao động:
( )t
ω ϕ
+
e. Pha ban đầu:
ϕ
Chú ý: Tìm
ϕ
, ta dựa vào hệ phương trình
0
0
cos
sin
x A
v A
ϕ
ω ϕ
=


= −

lúc
0

0t =
MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí cân bằng
0
0x =
theo chiều dương
0
0v >
: Pha ban đầu
2
π
ϕ
= −
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí cân bằng
0
0x =
theo chiều âm
0
0v <
: Pha ban đầu
2
π
ϕ
=

♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua biên dương
0
x A=
: Pha ban đầu
0
ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua biên âm
0
x A= −
: Pha ban đầu
ϕ π
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
A
x =
theo chiều dương
0
0v >

: Pha ban đầu
3
π
ϕ
= −
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
A
x = −
theo chiều dương
0
0v >
: Pha ban đầu
π
ϕ
= −
2
3
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
A
x =

theo chiều âm
0
0v <
: Pha ban đầu
3
π
ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
A
x = −

theo chiều âm
0
0v <
: Pha ban đầu
2
3
π
ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =

là lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x =
theo chiều dương
0
0v >
: Pha ban đầu
4
π
ϕ
= −
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x = −
theo chiều dương
0
0v >
: Pha ban đầu
π
ϕ
= −

3
4
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x =
theo chiều âm
0
0v <
: Pha ban đầu
4
π
ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
2
2
A
x = −
theo chiều âm
0

0v <
: Pha ban đầu
3
4
π
ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
3
2
A
x =
theo chiều dương
0
0v >
: Pha ban đầu
6
π
ϕ
= −
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
3

2
A
x = −
theo chiều dương
0
0v >
: Pha ban đầu
π
ϕ
= −
5
6
♦ Chọn gốc thời gian
0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
3
2
A
x =
theo chiều âm
0
0v <
: Pha ban đầu
6
π
ϕ
=
♦ Chọn gốc thời gian

0
0t =
là lúc vật qua vị trí
0
3
2
A
x = −
theo chiều âm
0
0v <
: Pha ban đầu
5
6
π
ϕ
=
♦
cos sin( )
2
π
α α
= +
;
sin cos( )
2
π
α α
= −
Giá trò các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt

(ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trò
đặc biệt)
Trang 2/4 CON LẮC LỊ XO
- 3
-1
- 3 /3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
- 3
-1
- 3 /3
1
1
-1
-1
-
π
/2
π
5
π
/6
3

π
/4
2
π
/3
-
π
/6
-
π
/4
-
π
/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2
3 /2
2 /2
1/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π
/3
π
/4
π

/6
3 /3
3
B
π
/2
3 /3
1
3
O
5. Phương trình độc lập với thời gian:
ω
= +
2
2 2
2

v
A x
;
ω ω
= +
2 2
2
4 2

a v
A
Chú ý:
2

: Vật qua vò trí cân bằng

: Vật ở biên
M
M
M
M
v A
a
v
a A
ω
ω
ω
=

⇒ =

=

6. Lực đàn hồi, lực hồi phục:
a. Lực đàn hồi:
( )
( ) ( ) nếu
0 nếu l A
đhM
đh đhm
đhm
F k l A
F k l x F k l A l A

F
= ∆ +


= ∆ + ⇒ = ∆ − ∆ >


= ∆ ≤

b. Lực hồi phục:

0
hpM
hp
hpm
F kA
F kx
F
=

= ⇒

=

hay
2

0
hpM
hp

hpm
F m A
F ma
F
ω

=

= ⇒

=


lực hồi phục ln hướng vào vị trí
cân bằng.
Chú ý: Khi hệ dao động theo phương nằm ngang thì lực đàn hồi và lực
hồi phục là như nhau
đh hp
F F=
.
7. Thời gian, qng đường, tốc độ trung bình
a. Thời gian: Giải phương trình
cos( )
i i
x A t
ω ϕ
= +
tìm
i
t

Chú ý:
Gọi O là trung điểm của quỹ đạo CD và M là trung điểm của
OD; thời gian đi từ O đến M là
12
OM
T
t =
, thời gian đi từ M
đến D là
6
MD
T
t = .
Từ vị trí cân bằng
0x =
ra vị trí
2
2
x A= ±
mất khoảng
thời gian
8
T
t =
.
Từ vị trí cân bằng
0x =
ra vị trí
3
2

x A= ±
mất khoảng
thời gian
6
T
t =
.
Góc 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
0
6
π

4
π
3
π
2
π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
π
π
2
sin
α
0
2
1
2
2
2
3
1
2
3

2
2
2
1
0 0
cos
α
1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
−
2
2
−
2
3
−
-1 1
tg
α
0
3
3

1
3
kx
đ
3
−
-1
3
3
−
0 0
cotg
α
kx
đ
3
1
3
3
0
3
3
−
-1
3
−
kxđ kxđ
Trang 3/4 CON LẮC LỊ XO
Chuyển động từ O đến D là chuyển động chậm dần (
0; av a v< ↑↓

r r
), chuyển động từ D đến O là chuyển động
nhanh dần (
0; av a v> ↑↑
r r
)
Vận tốc cực đại khi qua vị trí cân bằng (li độ bằng khơng), bằng
khơng khi ở biên (li độ cực đại).
b. Qng đường:
Nếu thì
4
Nếu thì 2
2
Nếu thì 4
T
t s A
T
t s A
t T s A

= =



= =


= =




suy ra
Nếu thì 4
Nếu thì 4
4
Nếu thì 4 2
2
t nT s n A
T
t nT s n A A
T
t nT s n A A


= =


= + = +



= + = +


Chú ý:
2 2
2 nếu vật đi từ
2 2

nếu vật đi từ

4
M
s A x A x A
T
t
s A x O x A
= = = ±
= →
= = ↔ = ±
m €
( )


2 2
2 2 nếu vật đi từ
2 2
2 2
nếu vật đi từ 0
2 2

8
2 2
1 nếu vật đi từ
2 2
m
M
m
s A x A x A x A
s A x x A
T

t
s A x A x A







= − = ± = ± = ±


= = ↔ = ±
= →
 
= − = ± ↔ = ±
 ÷
 ÷
 
€ €
( )

3 3
nếu vật đi từ 0
2 2

nếu vật đi từ
6
2 2
3 3

2 3 nếu vật đi từ
2 2
M
m
s A x x A
T
A A
t
s x x A
s A x A x A x A







= = ↔ = ±
= →
= = ± ↔ = ±
= − = ± = ± = ±€ €


nếu vật đi từ 0
2 2

3 3
12
1 nếu vật đi từ
2 2

M
m
A A
s x x
T
t
s A x A x A




































= = ↔ = ±




= →


 

= − = ± ↔ = ±

 ÷
 ÷


 



c. Tốc độ trung bình:
tb
s
v
t
=
8. Năng lượng trong dao động điều hòa:
đ t
E E E= +
a. Động năng:
2 2 2 2 2
1 1
sin ( ) sin ( )
2 2
đ
E mv m A t E t
ω ω ϕ ω ϕ
= = + = +
b. Thế năng:
2 2 2 2 2
1 1
cos ( ) cos ( );
2 2
t
E kx kA t E t k m
ω ϕ ω ϕ ω
= = + = + =
Chú ý:
2 2 2

2 2 2
2
1 1
2 2
1 1
: Vật qua vò trí cân bằng
2 2
1
: Vật ở biên
2
đM M
tM
E m A kA
E mv m A
E kA
ω
ω

= =



= =



=


Thế năng và động năng của vật biến thiên tuấn hồn với

' 2
'
2
' 2
f f
T
T
ω ω
=



=


=



của dao động.
Trong một chu kì, chất điểm qua vị trí
=
0
x x
là 4 lần, nên
( )
π
ω ϕ α
+ = +
2

t k
9. Chu kì của hệ lò xo ghép:
a. Ghép nối tiếp:
2 2
1 2
1 2
1 1 1
T T T
k k k
= + ⇒ = +
b. Ghép song song:
1 2
2 2 2
1 2
1 1 1

T T T
k k k= + ⇒ = +
c. Ghép khối lượng:
2 2
1 2 1 2
m m m T T T= + ⇒ = +
Chú ý: Lò xo có độ cứng
0
k
cắt làm hai phần bằng nhau thì
= = =
1 2 0
2k k k k
II. CON LẮC ĐƠN

1. Phương trình li độ góc:
0
cos( )t
α α ω ϕ
= +
(rad)
2. Phương trình li độ dài:
0
cos( )s s t
ω ϕ
= +
3. Phương trình vận tốc dài:
0
'; sin( )
ds
v s v s t
dt
ω ω ϕ
= = = − +
4. Phương trình gia tốc tiếp tuyến:
2
2 2
0
2
'; ''; cos( );
t t t t
dv d s
a v a s a s t a s
dt dt
ω ω ϕ ω

= = = = = − + = −
Chú ý:
0
0
;
s
s
l l
α α
= =
5. Tần số góc, chu kì, tần số và pha dao động, pha ban đầu:
a. Tần số góc:
2
2 ( / );
g mgd
f rad s
T l I
π
ω π ω
= = = =
b. Tần số:
1 1
( );
2 2
N g
f Hz f
T t l
ω
π π
= = = =

c. Chu kì:
1 2
( ); 2
t l
T s T
f N g
π
π
ω
= = = =
d. Pha dao động:
( )t
ω ϕ
+
e. Pha ban đầu:
ϕ
Trang 4/4 CON LẮC LỊ XO
Chú ý: Tìm
ϕ
, ta dựa vào hệ phương trình
0
0
cos
sin
s s
v s
ϕ
ω ϕ
=



= −

lúc
0
0t =
6. Phương trình độc lập với thời gian:
ω
= +
2
2 2
0
2
v
s s
;
ω ω
= +
2 2
2
0
4 2

a v
s
Chú ý:
0
2
0
: Vật qua vò trí cân bằng

: Vật ở biên
M
M
M
M
v s
a
v
a s
ω
ω
ω
=


⇒ =

=


7. Lực hồi phục:
Lực hồi phục:
0
s
s
0
hpM
hp
hpm

g
F m
g
F m
l
l
F

=

= ⇒


=

lực hồi phục ln
hướng vào vị trí cân bằng
8. Năng lượng trong dao động điều hòa:
đ t
E E E= +
a. Động năng:
2 2 2 2 2
0
1 1
sin ( ) sin ( )
2 2
đ
E mv m s t E t
ω ω ϕ ω ϕ
= = + = +

b. Thế năng:
2 2 2 2 2
0
1 1
(1 cos ) cos ( ) cos ( );
2 2
t
g g g
E mgl m s m s t E t
l l l
α ω ϕ ω ϕ ω
= − = = + = + =
Chú ý:
2 2 2
0 0 0
2 2 2
0
2
0 0
1 1
(1 cos )
2 2
1 1
: Vật qua vò trí cân bằng
2 2
1
(1 cos ): Vật ở biên
2
đM M
tM

g
E m s m s mgl
l
E mv m s
g
E m s mgl
l
ω α
ω
α

= = = −



= =



= = −


Thế năng và động năng của vật dao động điều hòa với
' 2
'
2
' 2
f f
T
T

ω ω
=



=


=


Vận tốc:
2
0 0
2 (1 cos ) 2 (cos cos )v v gl gl
α α α
= ± − − = ± −
Lực căng dây:
0
(3cos 2cos )mg
τ α α
= −
9. Sự thay đổi chu kì dao động của con lắc đơn:
a. Theo độ cao (vị trí địa lí):
2
0h
R
g g
R h
 

=
 ÷
+
 
nên
2
h
h
l R h
T T
g R
π
+
= =
b. Theo chiều dài dây treo (nhiệt độ):
0
0
(1 )l l t
α
= + ∆
nên
α
π
∆
= = +
0
0
2 ( 1)
2
t

l t
T T
g
Thời gian con lắc chạy nhanh (chậm trong 1s):
2 1
1 1
T TT
T T
−∆
=
Độ lệch trong một ngày đêm:
1
86400
T
T
θ
∆
=
c. Nếu
1 2
l l l= +
thì
2 2
1 2
T T T= +
; nếu
1 2
l l l= −
thì
2 2

1 2
T T T= −
d. Theo lực lạ
l
F
ur
:
2 2
hay
hay 2
hay
cos
l hd
l hd hd
hd
l hd
F P a g g g a
l
F P a g g g a T
g
g
F P a g g g a
π
α

↑↑ ↑↑ ⇒ = +


↑↓ ↑↓ ⇒ = − ⇒ =




⊥ ⊥ ⇒ = + =

ur ur r r
ur ur r r
ur ur r r
Chú ý: Lực lạ có thể là lực điện, lực từ, lực đẩy Acsimet, lực qn tính
(
qt
a a= −
uur r
)
Gia tốc pháp tuyến:
2
; : bán kính quỹ đạo
n
v
a l
l
=
• Lực qn tính:
F ma= −
ur r
, độ lớn F = ma (
F a↑↓
ur r
)
• Chuyển động nhanh dần đều
a v↑↑

r r
(
v
r
có hướng
chuyển động)
• Chuyển động chậm dần đều
a v↑↓
r r
• Lực điện trường:
F qE=
ur ur
, độ lớn F = |q|E; Nếu q > 0
⇒
F E↑↑
ur ur
; còn nếu q < 0 ⇒
F E↑↓
ur ur
• Lực đẩy Ácsimét: F = DgV (
F
ur
ln thẳng đứng
hướng lên)
Trong đó: D là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất
khí.
g là gia tốc rơi tự do.
V là thể tích của phần vật chìm trong chất lỏng hay
chất khí đó.
Khi đó:

hd
P P F= +
uuur ur ur
gọi là trọng lực hiệu dụng hay trong lực
biểu kiến (có vai trò như trọng lực
P
ur
và
hd
F
g g
m
= +
ur
uuur ur
gọi là
gia tốc trọng trường hiệu dụng hay gia tốc trọng trường biểu
kiến).