Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán giải tích: Phương pháp Quasi-Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------------------------------

NGUYỄN PHI PHÚC

PHƯƠNG PHÁP QUASI-BOUNDARY VALUE
VÀ PHẦN TỬ HỮU HẠN ÁP DỤNG VÀO
BÀI TOÁN NHIỆT NGƯC THỜI GIAN

Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số : 60 46 01

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS.TS.Đặng Đức Trọng

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2006


Hiện nay công cụ tính toán phát triển một cách mạnh mẽ đã làm thay đổi
nhiều quan điểm về khả năng giải được trong thực tế của những bài toán khác
nhau. Nhiều thuật toán trước đây không thể chấp nhận vì khối lượng tính toán
quá lớn thì ngày nay hoàn toàn thực hiện được một cách hiệu quả . Nhiều bài
toán thuộc lónh vực ứng dụng, đặc biệt là các bài toán không chỉnh xuất hiện
trong các lónh vực vật lý, kinh tế, y khoa, thăm dò, hồi phục, nhận dạng v.v… đã
được giải bằng những thuật toán hữu hiệu. Đây là lónh vực toán học hết sức sâu
rộng, thực tiễn, hứng thú, rất nhiều người quan tâm và đạt nhiều thành tựu.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày việc chỉnh hoá bài toán nhiệt
ngược thời gian, một bài toán không chỉnh trong lónh vực vật lý ứng dụng bằng

phương pháp Quasi-Boundary value và phần tử hữu hạn, đồng thời cũng trình
bày một số phương pháp tính số có thuật toán hữu hiệu để giải.
Luận văn này ngoài lời nói đầu, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo
và phần mục lục sẽ được trình bày trong 4 chương:
Chương 1 là phần tổng quan về bài toán, trình bày sơ lược về lòch sử vấn
đề.
Chương 2 là phần trình bày các ký hiệu và nhắc lại một số kiến thức cần
thiết để thuận tiện cho việc theo dõi các phần tiếp theo.
Chương 3 là phần trình bày việc chỉnh hoá bài toán nhiệt ngược thời gian.
Chương 4 là phần trình bày một số phương pháp tính số .


Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Đặng Đức Trọng người đã
tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc
dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian để hướng dẫn
tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin cảm ơn đến quý thầy côâ tham gia
giảng dạy cao học khoá 14, những người đã truyền đạt những kiến thức quý báu
cho tôi. Sau cùng, không thể không nhắc đến bạn bè, người thân những người đã
luôn khuyến khích, động viên tôi trong quá trình học tập, tôi xin cảm ơn vì điều
đó.

TP. HCM, ngày 15 tháng 6 năm 2006
Tác giả luận văn
Nguyễn Phi Phúc


MỤC LỤC
Trang

Lời nói đầu

Mục lục
Chương 1. PHẦN TỔNG QUAN

1

Chương 2. CÁC KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

6

2.1. Không gian Hilbert ………………………………………………..…………………………………………….…6
2.2. Nửa nhóm liên tục………………………………………...................................……….…...11
2.3. Không gian phần tử hữu hạn ...……………………………………………………………...……14
2.3.1 xây dựng không gian phần tử hữu hạn ……………..……………………..…………14
2.3.2 Đánh giá sự hội tụ phần tử hữu hạn .……………………………………..…..…...….18
2.4. Ký hiệu

…………………………..………………………………………………………………………..……….…19

2.4.1 Ký hiệu hình học …………………………………………………..…………………………………...19
2.4.2 Ký hiệu các không gian hàm …………………………………….……………….………...19
2.4.3 Ký hiệu các ước lượng………………………………………………………………………………..…21
Chương 3. CÁC KẾT QUẢ CHỈNH HOÁ

21

3.1. Các kết quả chỉnh hoá bài toán QBVP ………………………………………………..22
3.2. Phát biểu lại bài toán và đánh giá sai số chỉnh hoá
Chương 4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH SỐ

……………………..32

44

4.1. Phương pháp sử dụng giá trò riêng và véc tơ riêng xấp xỉ số…….....44
4.2. Xấp xỉ số qua lặp Conjugate gradient

………………………………………………..47

4.3. Đánh giá sai số ………………………………………………………………………………….…………………..52
Kết luận
Tài liệu tham khảo


1

Chương 1
PHẦN TỔNG QUAN
Trước tiên chúng ta nhắc lại khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh.
Đònh nghóa (Hadamard 1923). Một bài toán được gọi là chỉnh nếu nghiệm
i)

Tồn tại,

ii)

Là duy nhất,

iii)

Phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu. (Tính chất ổn đònh)

Và một bài toán được gọi là không chỉnh nếu nó vi phạm một trong 3 tính chất
trên.
Ở đây tính chất iii) là quan trọng đối với những bài toán thực tế, vì vậy để
chỉnh hoá bài toán điều mong muốn là nghiệm sẽ ít thay đổi nếu các dữ liệu của
bài toán cũng thay đổi ít.
Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán nhiệt ngược thời gian cho bởi
(FVP)

⎧u , (t ) + Au (t ) = 0, 0 < t < T ,
⎨
⎩u (T ) = f .

với A là một toán tử tự liên hợp dương, không bò chặn trong không gian Hilbert
H sao cho –A sinh ra một nửa nhóm co compắc trên H, và 0 thuộc tập giải của –
A (0∈ρ(-A)), t là thời gian, T là thời gian cuối cho trước, hàm dữ liệu f cho trước
trong H, u : [0, T] → H là lời giải cần tìm.
Bài toán trên là bài toán không chỉnh, bởi vì, ngay cả khi tồn tại lời giải duy
nhất trên [0, T] thì lời giải này cũng không chắc phụ thuộc liên tục theo f. Thật
vậy, xét bài toán nhiệt cho bởi
⎧ut − u xx = 0, 0 < x < 1, 0 ≤ t ≤ T ,
⎪
⎪u (0, t ) = 0,
⎨
⎪u (1, t ) = 0,
⎪⎩u ( x, T ) = f ( x) = e −1sinπ x,

(*)


2

nghiệm chính xác của (*) là
u ( x , t ) = eπ

Lấy

2

(T − t ) −1

sinπ x .

1
fn (x) = e−1sinπ x+ sinnπ x làm dữ liệu tại thời gian cuối T. Khi đó ta có
n

nghiệm tương ứng của (*) với giá trò cuối fn (x) là

un (x, t)=eπ

2

(T −t ) −1

1
sinπ x+ e n π
n

2 2

(T −t )

sinnπ x .

Sai số tại thời gian cuối
fn − f

L2 ( 0 ,1)

=

1

1

∫n

2

sin 2 nπ xdx =

0

1 1
n →∞
⎯⎯⎯
→0 .
n 2π

Và sai số tại thời gian đầu

un (., 0) − u (., 0) L ( 0 , 1)
2

1 2n π T 2
e 2 n π T n→∞
= ∫ 2e
sin nπ xdx =
⎯⎯⎯
→∞ .
2n 2
0 n
2 2

1

2 2

Vậy (*) là bài toán không chỉnh do vi phạm tính chất iii).
Việc xây dựng hàm xấp xỉ ổn đònh nghiệm của bài toán nhiệt ngược là một
trường hợp riêng của vấn đề chỉnh hoá các bài toán không chỉnh.
Ta sẽ nêu khái niệm chính xác của việc chỉnh hoá của bài toán không
chỉnh. Xét phương trình
Au = f , u ∈ D(A) ⊂ X, f ∈ Y .

Trong đó X, Y là các không gian mê tríc và A : D(A) → Y là một toán tử.
Ta nói u0 ∈ D(A) là nghiệm chính xác của bài toán tương ứng với giá trò dữ
liệu chính xác f0 nếu Au0 = f 0 .
Toán tử Rα : Y → X phụ thuộc vào tham số α ∈ \ (được gọi là tham số
chỉnh hoá) là một toán tử chỉnh hoá nếu
a) Rα f0 → u0 khi α → 0 ,

3

b) Với mọi δ > 0 , tồn tại ω (δ ), α (δ ) → 0 sao cho
d X ( Rα (δ ) f , u0 ) ≤ ω (δ )

nếu
dY ( f , f0 ) ≤ δ , f ∈ Y.

Phần tử uδ = Rα (δ ) f gọi là nghiệm chỉnh hoá của bài toán.
Bài toán (FVP) đã được nhiều tác giả chỉnh hoá bằng nhiều bài toán chỉnh
khác. Lattes và Lions [9], Miller [11], Payne [13], Huang và Zheng [6], và
Lavrentiev [10] đã xấp xỉ (FVP) bằng cách làm nhiễu toán tử A. Nghiên cứu
này gọi là phương pháp Quasi-Reversibility. Ý tưởng chính của phương pháp này
là nhiễu phương trình trong bài toán không chỉnh để thu được bài toán chỉnh, rồi
dùng nghiệm của bài toán chỉnh như là một nghiệm xấp xỉ của bài toán không
chỉnh. Trong [9] Lattes và Lions chỉnh hoá bài toán trên bởi bài toán
⎧ut + Au − ε A* Au = 0, 0 < t < T ,
⎨
⎩u (T ) = f .

Alekseeva và Yurchuk [18] xét bài toán

⎧ut + Au + ε At = 0, 0 < t < T ,
⎨
⎩u(T ) = f .
Gajewski và Zaccharias [5] xét bài toán tương tự Alekseeva và Yurchuk đã
làm và họ đánh giá sai số của nghiệm xấp xỉ là

uε (t ) − u (t ) ≤
2

2
(T − t ) u(0) .
t2

Showalter [14, 15] đã đưa ra phương pháp khác để chỉnh hoá bài toán (FVP),
phương pháp này việc đánh giá sai số ổn đònh hơn các tác giả trước đó. Sử dụng
ý tưởng của Showalter, Clark và Oppenheimer [3] đã dùng phương pháp QuasiBoundary để chỉnh hoá bài toán ngược thời gian với nghiệm chỉnh hoá thoả


4

⎧ut + Au (t ) = 0, 0 < t < T ,
⎨
⎩u(T ) + ε u(0) = f .

Cũng ý tưởng trên, Denche và Bessila [4] đã xấp xỉ (FVP) bằng cách nhiễu
điều kiện cuối bởi
⎧ut + Au (t ) = 0, 0 < t < T ,
⎨
⎩u(T ) − ε u '(0) = f .

Huang và Zheng [7] xét bài toán
⎧ut + Au + ε At = 0, 0 < t < T ,
⎨
⎩u(T ) = f .

ở đây, –A là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích trong không gian Banach. Tuy

nhiên, họ chưa đưa ra công thức đánh giá sai số và hiệu quả của các phương
pháp để tính toán.
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng phương pháp Quasi-Boundary value
tương tự như Showalter đã làm nhưng trong điều kiện tổng quát hơn. Ở đây
chúng ta làm nhiễu điều kiện cuối. Điều này đưa ra bài toán Quasi-Boundary
value (QBVP) sau
⎧⎪uα, (t ) + Auα (t ) = 0, 0 < t < T ,
⎨
⎪⎩α uα (0) + uα (T ) = f .

với α là một số dương nhỏ, toán tử A có một tập trực giao gồm các hàm véc tơ
riêng qi với các giá trò riêng λ i > 0, sao cho {qi } là một cơ sở của H. Khi đó ta có
thể biểu diễn f trong (FVP) dưới dạng f =

∞

∑ b q , và sau đó chỉ ra rằng bài toán
i =0

i i

xấp xỉ là chỉnh và nghiệm của nó hội tụ khi và chỉ khi bài toán gốc có nghiệm cổ
điển. Phần còn lại của luận văn bao gồm ba chương. Chương 2 trình bày các kiến
thức chuẩn bò cho luận văn. Chương 3 trình bày về phương pháp QuasiBoundary value. Mục đích của luận văn là bổ sung vào lý thuyết xấp xỉ của


5

Clark và Oppenheimer [3] phần đánh giá sai số. Hiển nhiên trước khi chúng ta
tìm hiểu về sự bổ sung này và tính đúng đắn của một cách lấy xấp xỉ, thì đầu

tiên chúng ta phải trả lời câu hỏi “ Có tồn tại một xấp xỉ không?”. Câu trả lời
là có khi và chỉ khi

∞

∑b
i =1

i

2 2T λi

e

hội tụ. Điều này là nội dung chương 3 của luận văn.

Chương 4 của luận văn trình bày hai phương pháp tính số bài toán (QBVP) là
phương pháp xấp xỉ hữu hạn giá trò riêng, vectơ riêng và phương pháp lặp
Conjugate-gradient, phần cuối của chương 4 trình bày về sai số của các xấp xỉ
hữu hạn.


6

Chương 2
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ CÁC KÝ HIỆU
Trong chương này, chúng tôi qui ước một số ký hiệu và nêu lại một số
kiến thức chuẩn bò cần thiết được sử dụng đến trong các chương sau.
2.1. Không gian Hilbert
Cho X là một không gian tuyến tính thực.

Đònh nghóa 2.1.1. Ánh xạ
i)

: X → [ 0, ∞ ) gọi là chuẩn nếu thoả

u + v ≤ u + v ,∀u,v ∈ X ,

ii) λu = λ u ,∀u ∈ X ,λ ∈ ,
iii) u ≥ 0 ,∀u ∈ X; u = 0 ⇔ u = 0.
Không gian tuyến tính trang bò chuẩn gọi là không gian tuyến tính đònh chuẩn.
Từ đây về sau ta giả sử X là không gian tuyến tính đònh chuẩn.
Đònh nghóa 2.1.2. Ta nói dãy {un }n=1 ⊂ X hội tụ về u ∈ X nếu lim un − u = 0
∞

n →∞

Ta ký hiệu: un → u .
Đònh nghóa 2.1.3. Ta nói dãy {un }n=1 ⊂ X là một dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0,
∞

∃N > 0 sao cho un − um < ε , ∀n, m ≥ N .

Đònh nghóa 2.1.4. X được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Đònh nghóa 2.1.5. X được gọi là không gian Banach nếu X đầy đủ .
Đònh nghóa 2.1.6. Ta nói X là tách được nếu X chứa một tập con đếm được trù
mật trong X.
Cho H là một không gian tuyến tính thực.
Đònh nghóa 2.1.7. Ánh xạ ( . , .) : H × H →
i) ( u,v ) = ( v,u ) , ∀u,v ∈ H ,

gọi là tích vô hướng nếu thoả


7

ii) ( u + v,w ) = ( u,w ) + ( v,w ) , ∀u,v,w ∈ H ,
iii) ( λu,v ) = λ ( u,v ) , ∀u,v ∈ H ,λ ∈ ,
iv) ( u, u ) ≥ 0, ∀u ∈ H ; ( u, u ) = 0 ⇔ u = 0.
1

Nếu ( . , .) là tích vô hướng thì chuẩn tương ứng với nó là u = ( u, u ) 2 .
Đònh nghóa 2.1.8. Không gian Hilbert là một không gian Banach với chuẩn được
sinh ra bởi một tích vô hướng.
Từ đây về sau ta giả sử H là không gian Hilbert.
Đònh nghóa 2.1.9. Hai phần tử u, v của H gọi là trực giao với nhau nếu ( u, v ) = 0 .
Khi đó, ta viết u ⊥ v .
Đònh nghóa 2.1.10. Hai tập hợp con M, N của H gọi là trực giao với nhau nếu mỗi
phần tử của M trực giao với mỗi phần tử của N. Khi đó, ta viết M ⊥ N .
Đònh nghóa 2.1.11. Phần tử u của H gọi là trực giao với tập hợp con M của H nếu
u trực giao với mọi phần tử của M. Khi đó, ta viết u ⊥ M .
Đònh nghóa 2.1.12. Dãy {un }n =1 gọi là hệ trực giao trong không gian H nếu các
∞

phần tử của dãy đôi một trực giao với nhau.
Tính chất 2.1.13. Cho H là không gian Hilbert, u, un , v, vi , vn ∈ H .
Ta có
a) u ⊥ u ⇔ u = 0,
b) 0 ⊥ u, ∀u,
n

c) u ⊥ vi , i = 1, n ⇒ u ⊥ ∑ α i vi ,
i =1

⎧ u ⊥ vn
d) ⎨
⇒ u ⊥ v,
n →∞
→v
⎩vn ⎯⎯⎯

e) Tập hợp tất cả các phần tử của H trực giao với tập hợp M con của H
gọi là phần bù trực giao của M (ký hiệu M ⊥ ) là một không gian con
đóng của H,


8

2

2

2

f) u ⊥ v ⇒ u + v = u + v ,
g) Nếu {un }n =1 là hệ trực giao trong không gian H
∞

thì

∞

∞

n =1

n =1

2

∑ un hội tụ ⇔ ∑ un < ∞ .

Đònh lý 2.1.14. M là một không gian con đóng của H thì mỗi phần tử x của H

được

biểu

diễn

duy

nhất

dưới

dạng

x=y+z

với

z∈ M ⊥

y∈M,

và

x − y = inf x − u .
u∈M

° y gọi là hình chiếu trực giao của x lên không gian con M.
° Toán tử P : H → M xác đònh bởi Px = y gọi là toán tử chiếu lên M và là
toán tử tuyến tính liên tục, P = 1 .
Đònh nghóa 2.1.15. Dãy {en } gọi là hệ trực chuẩn trong không gian H nếu

(e , e ) = δ
i

j

ij

⎧0 nếu i = j,
=⎨
⎩ 1 nếu i ≠ j.

Tính chất 2.1.16. {en } là hệ trực chuẩn trong không gian H. Khi đó với u ∈ H .
n

a) Phần tử v = ∑ ( u, ei ) ei là hình chiếu trực giao của u lên không gian sinh

i =1

bởi {e1 , e2 , ..., en } và

n

∑ ( u, e )
i =1

2

i

2

≤ u ,

∞
⎛
⎞
b) Chuỗi ∑ ( u, ei ) ei hội tụ và ⎜ u - ∑ ( u, ei ) ei ⎟ ⊥ en , ∀n ,
i =1
⎝ i =1
⎠
∞

c)

∞

∑ ( u, e )
i =1

i

2

2

≤ u .

Đònh nghóa 2.1.17. Hệ trực chuẩn {en }n =1 gọi là cơ sở trực chuẩn trong không gian
∞

H

nếu

mọi

véc

tơ

trực

u ⊥ en , ∀n = 1, 2, ... ⇒ u = 0 ).

giao

với

hệ

đều

bằng

0

(tức

là


9

∞

Nếu u ∈ H và {en }n=1 ⊂ H cơ sở trực chuẩn ta có thể viết u=∑ ( u, en )en .
∞

n=1

Đònh lý 2.1.18. Giả sử

{en }n=1
∞

là hệ trực chuẩn trong không gian H . Các mệnh

đề sau là tương đương.
a) Hệ {en }n=1 là cơ sở trực chuẩn trong không gian H,
∞

∞

2

b) ∀u ∈ H , u = ∑ ( u, ei ) ,
2

i =1

∞

c) ∀u, v ∈ H , ( u, v ) = ∑ ( u, ei )( v, ei ) ,
i =1

{en }n=1 tuyến tính trù mật trong H (tức là bao tuyến tính của {en }n=1 ) là
∞

d)

∞

trù mật trong H.
Đònh nghóa 2.1.19. Toán tử A : H → H tuyến tính liên tục , toán tử liên hợp của

nó là A∗ : H → H thỏa mãn ( Au, v ) = ( u, A∗ v ) , ∀u, v ∈ H.

Đònh nghóa 2.1.20. Toán tử A : H → H tuyến tính liên tục , A gọi là tự liên hợp

nếu A = A∗ , nói cách khác A tự liên hợp khi và chỉ khi

( Au, v ) = ( u, Av ) , ∀u, v ∈ H .
°Toán tử chiếu lên không gian con M là toán tử P biến mỗi u thành hình chiếu
Pu của nó lên M là tự liên hợp. Thật vậy,
∀u, v ∈ H ta có
u = u'+u'' , v = v'+v''
với
u', v' ∈ M, Pu = u', Pv = v' và u'', v'' ∈ M ⊥

cho nên

( Pu, v ) = ( u', v ) = ( u', v' ) = ( u, v' ) = ( u, Pv ) .
°A, B tự liên hợp thì A-1, A+ B, I, αA (α ∈

) là các toán tử tự liên hợp.


10

Đònh nghóa 2.1.21. Toán tử A : H → H tuyến tính liên tục , A gọi là toán tử đối

xứng nếu ∀u, v ∈ H ta có ( Au, v ) = ( u, Av ) .
°Toán tử tự liên hợp là toán tử đối xứng.
°Nếu A là toán tử đối xứng thì mọi giá trò riêng đều là số thực và các véc tơ

riêng của A ứng với 2 giá trò riêng khác nhau bao giờ cũng trực giao .
°H là không gian n chiều, {ei }i =1,n hệ n véc tơ riêng của toán tử đối xứng A ứng

với cacù giá trò riêng λi làm thành cơ sở trực chuẩn và với mọi u thuộc H ta có
⎛

n

⎞

i =1

⎠

( Au, u ) = ⎜ A ⎛⎜ ∑ ( u, ei ) ei ⎞⎟ , ∑ ( u, ei ) ei ⎟
n

⎝ ⎝ i =1

⎠

⎛ n
= ⎜ ∑ ( u, ei ) Aei ,
⎝ i =1
⎛
= ⎜ ∑ λi ( u, ei ) ei ,
⎝ i =1
n

n

n

⎞

∑ ( u, e ) e ⎟⎠
i =1

i

i

n

⎞

∑ ( u, e ) e ⎟⎠
i =1

i

i

2

=∑ λi ( u, ei ) .
i =1

Đònh lý 2.1.22. Nếu A là toán tử đối xứng thì A = sup ( Au, u ) = sup ( Au, u ) .
u ≤1

u =1

Đònh lý 2.1.23. Toán tử A : H → H tự liên hợp

Khi đó
Phổ của A ký hiệu σ (A) là tập các giá trò riêng của A thoả
σ(A) ∈ [ m, M ] với m, M ∈ σ(A)

và
m = inf ( Ax, x ) , M =sup ( Ax, x ) .
x =1

x =1

Hệ quả 2.1.24. Nếu A tự liên hợp, khác 0

Thì σ(A) ≠ ∅ và A = m hoặc A = M .


11

Đònh nghóa 2.1.25. Toán tử A : H → H gọi là xác đònh dương nếu

( Au, u ) > 0, ∀u ∈ H , u ≠ 0
°Nếu λi , i = 1, 2, ... là các giá trò riêng của toán tử A xác đònh dương
thì λi > 0, i = 1, 2, ...
Đònh nghóa 2.1.26. Toán tử tuyến tính liên tục gọi là toán tử compắc nếu nó biến

một tập giới nội thành một tập hoàn toàn giới nội.
Với mọi A, B : H → H là toán tử tuyến tính liên tục.
°A compắc, B liên tục thì AB, BA compắc.
°A compắc thì A∗ , AA∗ , A∗ A compắc.

°Tập hợp các giá trò riêng của toán tử compắc, đối xứng là hữu hạn, hoặc đếm
được và nếu đếm được thì lập thành một dãy hội tụ về không.
°Nếu H tách được thì mọi toán tử compắc, đối xứng đều có một cơ sở trực chuẩn
véc tơ riêng.
°Toán tử Fredhom là toán tử compắc trong L2[a , b] .
2.2.

Nửa nhóm liên tục [12]

Đònh nghóa 2.2.1. Một họ {S(t )}t ≥0 các toán tử xác đònh với mỗi giá trò tham số

t ≥ 0 và thỏa các điều kiện sau :
a) S (t ) : X → X là một toán tử tuyến tính bò chặn , X là không gian Banach,
b) S (t1 + t2 ) = S (t1 )S (t2 ), ∀t1 , t2 ≥ 0 ,
c) S(0) = I (I là toán tử đồng nhất),
d) lim S(t ) x = x , ∀x ∈ X .
t →0+

gọi là nửa nhóm liên tục mạnh hay còn gọi C0- nửa nhóm. Nếu họ {S(t )}t ≥0 chỉ
thoả a), b), c) ta nói {S(t )}t ≥0 là nửa nhóm.


12

Đònh nghóa 2.2.2. Nửa nhóm liên tục mạnh {S(t )}t ≥0 gọi là nửa nhóm liên tục đều

nếu lim S(t ) − I
t →0+

= 0 , . là chuẩn trên L(X) .

Mệnh đề 2.2.3. Điều kiện cần và đủ để nửa nhóm {S(t )}t ≥0 là C0- nửa nhóm là

tồn tại δ > 0, M ≥ 1 và một tập con trù mật D ⊂ X sao cho thỏa 2 điều kiện sau :
i) S(t) ≤ M, ∀t ∈ [ 0, δ] ,
ii) Lim S(t ) x = x , ∀x ∈ D .
t → 0+

Mệnh đề 2.2.4. Đối với mỗi họ {S(t )}t ≥0 C0- nửa nhóm luôn tồn tại hằng số

ω∈

và M≥ 1 sao cho S(t) ≤ Meωt , ∀t ≥ 0 .

Đònh nghóa 2.2.5. Toán tử sinh A : D( A) ⊆ X → X của C0- nửa nhóm {S(t )}t ≥0

trên không gian Banach X là toán tử đònh bởi Ax := lim
t →0+

S (t ) x − x
xác đònh với mọi
t

S (t ) x − x
⎧
tồn tại
x thuộc miền xác đònh D( A) = ⎨ x ∈ X : lim
t →0
t
⎩

+

⎫
⎬.
⎭

Đònh lý 2.2.6. Nếu A là toán tử tuyến tính bò chặn từ X vào X thì
n
∞
⎧⎪
tA ) ⎫⎪
(
tA
⎨S (t ) = e := ∑
⎬ là nửa nhóm liên tục đều .
n
!
=
0
n
⎩⎪
⎭⎪t ≥ 0

Tính chất 2.2.7. A là toán tử sinh của C0- nửa nhóm {S(t )}t ≥ 0 .

i) A : D( A) ⊆ X → X là toán tử tuyến tính,
ii) Nếu x∈ D(A) thì S(t)x ∈ D(A) và
iii) ∀t ≥ 0, x ∈ X ta có :

t

∫ S(s)xds ∈ D(A) ,
0

iv) ∀t ≥ 0 ta có

d
S(t)x=S(t)Ax=AS(t)x, ∀t ≥ 0 ,
dt


13

⎧ t
⎪ A ∫ S(s)xds nếu x ∈ X,
⎪ 0
S(t)x-x= ⎨ t
⎪ S(s)Axds nếu x ∈ D(A).
⎪⎩ ∫0

Đònh lý 2.2.8. Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử đóng và miền

xác đònh là trù mật. Toán tử này xác đònh duy nhất nửa nhóm liên tục mạnh.
Hệ quả 2.2.9. {S(t )}t ≥ 0 nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X với

toán tử sinh A. Các khẳng đònh sau là tương đương.
(a) Toán tử sinh A bò chặn, nghóa là, ∃ M>0 sao cho
Ax ≤ M x , ∀x ∈ D( A) .

(b) Miền xác đònh D(A) là đóng trong X .

(c) {S(t )}t ≥ 0 là nửa nhóm liên tục đều.
∞

Trong mỗi trường hợp, nửa nhóm được cho bởi S (t ) = e := ∑
tA

( tA )

n=0

n!

n

, t≥0

Đònh nghóa 2.2.10. {S(t )}t ≥ 0 nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X

được gọi là nửa nhóm liên tục co nếu S(t) ≤ 1, ∀t ≥ 0 .
Đònh lý 2.2.11. (Hill, yosida, 1948) . Cho A : D( A) ⊆ X → X là toán tử tuyến tính

trong không gian Banach. Các khẳng đònh sau là tương đương.
(a) A là toán tử sinh nửa nhóm liên tục co.
(b) A là toán tử đóng, miền xác đònh D(A) trù mật trong X và với mỗi λ>0
ta có λ ∈ ρ ( A) và R ( λ , A ) ≤

1

λ

.

(c) A là toán tử đóng, miền xác đònh D(A) trù mật trong X và với mỗi

λ∈
đây

với Reλ >0 ta có λ ∈ ρ ( A) và R ( λ , A ) ≤

1
.
Reλ


14

\ σ ( A) và R ( λ , A ) := ( λ − A ) là toán tử tuyến tính từ X vào X.
−1

ρ ( A) :=

Mệnh đề 2.2.12. A : D( A) ⊆ H → H

Hilbert
∃ω∈

H

sinh

nửa

nhóm

là toán tử tự liên hợp trong không gian
liên

tục

mạnh

nếu

và

chỉ

nếu

: ( Ax, x ) ≤ ω x , ∀x ∈ D(A) .
2

Đònh nghóa 2.2.13. {S(t )}t ≥ 0 nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X

được gọi là nửa nhóm compắc nếu S (t ) là compắc, ∀t ≥ 0 .
Đònh nghóa 2.2.14. Toán tử tuyến tính A với ρ (A) ≠ ∅ được gọi có tập giải

compắc nếu R ( λ , A ) là compắc với mọi λ ∈ ρ ( A) .
Đònh lý 2.2.15. {S(t )}t ≥ 0 nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach X. Các

khẳng đònh sau là tương đương.
(a) {S(t )}t ≥ 0 nửa nhóm compắc.
(b) Hàm t

{S(t )}

t≥0

S(t ) liên tục từ ( 0 , + ∞ ) vào L(X), và toán tử sinh của
có tập giải compắc.

2.3. Không gian phần tử hữu hạn [2]
2.3.1. Xây dựng không gian phần tử hữu hạn.
Đònh nghóa 2.3.1.1 (Ciarlet 1978). Cho

(i) K ⊆

n

là tập đóng, bò chặn với phần trong không rỗng và biên trơn từng

mẫu ( miền phần tử),
(ii) P là không gian hữu hạn chiều của các hàm trên K (không gian của các
dạng hàm),
(iii) N = { N 1 ,N 2 ,...,N k } là cơ sở của P ’ không gian đối ngẫu của P (tập các
biến nút).
Khi đó (K, P, N) được gọi là phần tử hữu hạn.


15

Đònh nghóa 2.3.1.2. Cho (K, P, N) là phần tử hữu hạn. Cơ cở

{φ ,φ
1

2

,...,φk }

của P đối ngẫu với N (nghóa là, Ni (φ j ) = δ ij ) được gọi là cơ sở nút của P.
Ví dụ 2.3.1.3. (phần tử Lagrange 1 chiều) Cho K = [0, 1], P là tập hợp tất cả

các đa thức tuyến tính, N = { N 1 , N 2 } , với N 1 (v)=v(0), N 2 (v)=v(1) ∀v ∈P.
Khi đó (K, P, N) là phần tử hữu hạn và cơ sở nút là φ1 (x) = 1-x, φ2 (x) = x .
Tổng quát, cho K=[a, b], Pk là tập tất cả các đa thức có bậc bé hơn hoặc
i⎤
⎡
bằng k, Nk = { N 0 ,N 1 ,N 2 ,...,N k } , với N i (v)=v ⎢ a+(b-a) ⎥ ∀v ∈Pk , i = 0, 1,…,
k⎦
⎣

k.
Khi đó (K, Pk , Nk) là phần tử hữu hạn.
Bổ đề 2.3.1.4. Cho P là không gian véc tơ d chiều, {N 1 ,N 2 ,...,N d } là tập con

của không gian đối ngẫu P’. Khi đó 2 khẳng đònh sau là tương đương.
(a) {N 1 ,N 2 ,...,N d } là cơ sở của P’.
(b) Cho v ∈ P với N i (v)=0 , I = 1, 2,…, d, khi đó v ≡ 0 .
Đònh nghóa 2.3.1.5. Cho (K, P, N) là phần tử hữu hạn, tập {φ1 ,φ2 ,...,φk } ⊆ P

là cơ sở đối ngẫu với N và v ∈P, N i ∈ N, N i (v) xác đònh với mọi i = 1, 2, …, k.
Khi đó, phép nội suy đòa phương được xác đònh bởi
k

I K v := ∑ N i (v)φi
i=1

Mệnh đề 2.3.1.6. I K tuyến tính.
Mệnh đề 2.3.1.7. N i (I K v) = N i (v), ∀1 ≤ i ≤ d.
Mệnh đề 2.3.1.8. I K v=v với v ∈P và I 2 = I K .
K


16

Đònh nghóa 2.3.1.9. Một phép phân hoạch của miền Ω là tập hợp hữu hạn

các miền phần tử {Ki } sao cho
(1) intKi ∩ intK j = ∅ nếu i ≠ j,
(2)

∪K

i

=Ω.

Đònh nghóa 2.3.1.10. Giả sử Ω là một miền với phép phân hoạch T. Giả sử

mỗi K của miền phần tử được trang bò loại dạng hàm P và các biến nút N sao
cho (K, P, N) tạo thành một phần tử hữu hạn. Cho m là bậc cao nhất của đạo

( )

hàm riêng nằm trong mỗi biến nút. Với f ∈ C m Ω , phép nội suy toàn cục được
xác đònh bởi I T f⎪K = I K f với mọi Ki ∈ T .
i

i

Đònh nghóa 2.3.1.11.

Một phép nội suy được gọi là liên tục bậc r nếu

( )

I T f ∈ C r với mọi f ∈ C m Ω . Không gian, VT = {I T f: f ∈ C m } , được gọi là một
không gian phần tử hữu hạn “ C r ”.
Đònh nghóa 2.3.1.12. Cho (K, P, N ) là phần tử hữu hạn, F(x)=Ax+b (A không

suy biến) là một ánh xạ afin. (K , P , N ) là tương đương afin với (K, P, N)
nếu
(i)

F(K) = K ,

(ii)

F * P = P,

(iii)

F* N = N .

đây
F* ( f ) := f F ,

( F* N)f : = N( F* ( f ) ).
Mệnh đề 2.3.1.13. Tương đương afin là một quan hệ tương đương.


17

Đònh nghóa 2.3.1.14. Ω được gọi là dạng hình sao đối với quả cầu B nếu với

mọi x∈ Ω , bao của { x} ∪ B là tập con của Ω .

B

B'

H ìn h 1 . Mi ền dạn g hì nh sao đo iá v ơ iù q uả
cầu B nh ư ng kh o ân g đo iá v ơ ùi q uả cầu B'

H ìn h 2 . Mi ền kh o n
â g là d ạn g h ìn h sao
đ ối vơ ùi mo ïi q uả cầu

Đònh nghóa 2.3.1.15. Cho {T h } , 0

của miền Ω sao cho max {diam T: T ∈ T h } ≤ h diam Ω .
Họ {T h } được gọi là không suy biến nếu tồn tại ρ > 0 sao cho mọi T ∈ T h
và mọi h ∈ ( 0 , 1] , diam BT ≥ ρ diamT.

(2.3.1.16)

đây, diam BT là đường kính của quả cầu lớn nhất chứa trong T sao cho T
là dạng hình sao đối với BT .
Đònh nghóa 2.3.1.17. Phần tử hữu hạn (K, P, N) được gọi là phần tử C r nếu r

là số nguyên không âm lớn nhất để

( )

V h = I hC l Ω ⊆ C l ( Ω ) ∩ W∞r+1 ( Ω ) .

( )

ở đây I h :C l Ω → L1 ( Ω ) là một toán tử nội suy toàn cục được đònh bởi

I h u⎟T := I Th u với T ∈ T h , h ∈ ( 0,1] , I Th là toán tử nội suy của phần tử tương
đương afin

(T , P , N ) .
T

Đònh lý 2.3.1.18. Cho

T

{T } , 0 < h ≤ 1 , là một họ không suy biến của các phép
h

phân hoạch miền đa diện Ω và (K, P, N) là phần tử hữu hạn thoả 3 điều kiện


18

(i) K là dạng sao đối với một số quả cầu,
(ii) Pm −1 ⊆ P ⊆ W∞m ( K ) ( Pm −1 là tập hợp các đa thức n biến có bậc bé hơn
hoặc bằng m-1),

( ( )) ( (C ( K )) là không gian đối ngẫu của C ( K ) );

(iii) N ⊆ C l K

'

l

'

l

Đồng thời đối với mọi T ∈ T h , 0 < h ≤ 1 , ( T , PT , N T ) là phần tử tương đương
afin.
Khi đó, tồn tại một hằng số dương C phụ thuộc vào (K, P, N), n, m, p và
số ρ trong (2.3.1.16) sao cho đối với 0 ≤ s ≤ m ta có
1/ p

p
⎛
⎞
h
⎜ ∑ v − I v W (T ) ⎟
⎝ T∈T
⎠
h

s
p

≤ C hm−s v W

m
p

(Ω )

, ∀v ∈ Wpm ( Ω ) .

2.3.2. Đánh giá sự hội tụ phần tử hữu hạn.

Giả sử (H, (.,.)) là không gian Hilbert, V là không gian con (đóng) của H,
a(.,.) song tuyến tính trên V (không nhất thiết đối xứng), a(.,.) liên tục (bò chặn),
cưỡng bức trên V.

(2.3.2.1)

Bài toán biến phân : Cho F ∈ V' (V’ là không gian đối ngẫu của V), tìm

u ∈ V sao cho a(u, v) = F(v), ∀v ∈ V .

(2.3.2.2)

Bài toán biến phân xấp xỉ : Cho không gian hữu chiều
Vh ⊂ V, F ∈ V' . Tìm uh ∈ Vh sao cho a( uh , v) = F(v), ∀v ∈ Vh .

(2.3.2.3)

2.3.2.4. Đònh lý (Lax-Milgram). Cho (V, (.,.)) không gian Hilbert, a(.,.) song

tuyến tính cưỡng bức, liên tục và một hàm tuyến tính liên tục F ∈ V' . Khi đó tồn
tại duy nhất u ∈ V sao cho a(u, v) = F(v), ∀v ∈ V .
2.3.2.5. Hệ quả. Với điều kiện (2.3.2.1) bài toán biến phân (2.3.2.2) có nghiệm

duy nhất .
2.3.2.6. Hệ quả. Với điều kiện (2.3.2.1) bài toán biến phân xấp xỉ (2.3.2.3) có

nghiệm duy nhất .


19

2.3.2.7. Đònh lý (Céa). Giả sử điều kiện (2.3.2.1) là thoả mãn và u là lời giải

bài toán biến phân (2.3.2.2), uh là lời giải bài toán biến phân xấp xỉ (2.3.2.3).
Khi đó,
u-uh

V

≤

c
min u-v V .
α v∈V
h

ở đây c là hằng số liên tục, α là hằng số cưỡng bức của a(.,.) trên V.
Xét u ∈ H m (Ω ) và uh ∈ Vh lần lït nghiệm bài toán biến phân, bài toán
biến phân xấp xỉ thoả (đònh lí Céa)

u-uh

H m (Ω )

≤ Co inf u-v

(2.3.2.8)

H m (Ω )

Giả sử có một phép nội suy I h u ∈ Vh ( đònh lí 2.3.1.18 ) sao cho
u-I h u

H m (Ω)

≤ C.h k-m u

Hk ( Ω )

với u đủ trơn.

Từ đó suy ra

u-uh

H m (Ω )

≤ C1h k-m u

(2.3.2.9).

H m (Ω)

2.3.2.10. Đònh lý. Giả sử (2.3.2.8) và (2.3.2.9) là thoả mãn; với m
đó, đối với bất kì u ∈ H s (Ω ) ta có u-uh
2.4.

H m (Ω)

≤ Ch s-m u

H s (Ω )

.

Ký hiệu

2.4.1. Ký hiệu hình học
i)

n

là không gian Euclide thực n chiều,

1

=

.

ii) ei = ( 0 , ..., 1, 0 , ..., 0 ) là véc tơ tọa độ đơn vò thứ i.
iii) một điểm thuộc
iv) Ω là tập mở của

n

n

là x = ( x1 , x2 , ..., xn ) .
, ∂Ω là biên của Ω , Ω = Ω ∪ ∂Ω là bao đóng của Ω .

2.4.2. Ký hiệu các không gian hàm
i) Ký hiệu đa chỉ số

20

°Một véc tơ có dạng α = (α1 , α 2 , ..., α n ) trong đó mỗi thành phần αi là một

số nguyên không âm được gọi là đa chỉ số;
° x α là đơn thức x α = x1α x2α ...x αn , bậc α = α1 + α 2 + ... + α n ;
1

2

n

∂
∂xi

°Cho trước đa chỉ số α , ký hiệu Di =

(1 ≤ i ≤ n) và

α

∂
D = D1 D2 ...Dn = α α
ký hiệu toán tử vi phân cấp α
∂x1 ∂x2 ...∂xnα
α

α1

αn

α2

1

n

2

D ( 0 ,...,0 ) u = u ;

ii) D (Ω) là không gian các hàm số u : Ω →

khả vi vô hạn có giá compắc

trong Ω ;
1

2
⎛
2⎞
iii) L2 (Ω) = {u : u là đo được Lebesgue, u < ∞} trong đó u = ⎜ ∫ u ⎟ là không
⎝Ω ⎠

gian Hilbert tách được với tích vô hướng ;
p
iv) Lloc
(Ω ) = {u : Ω →

\ u ∈ Lp (V ) , ∀V ⊂⊂ Ω} ;

{

v) Wpk ( Ω ) := u ∈ L1loc ( Ω ) :

}

u W < ∞ với k là số nguyên không âm, là không
k
p

gian Sobolev trên Ω với chuẩn tương ứng ký hiệu

uW

k
p

1/p
⎧⎛
p
⎞
α
⎪⎪⎜ ∑ D u
, 1 ≤ p<∞ ,
⎟
L ( Ω)
= ⎨⎝ α ≤ k
⎠
⎪

max D α u L Ω , p=∞.
( )
α ≤k
⎪⎩
p

(Ω)

∞

và với u ∈ Wpk ( Ω ) ta ký hiệu

uW

k
p

1/p
⎧⎛
p
⎞
α
⎪⎪⎜ ∑ D u
, 1 ≤ p<∞ ,
⎟
L (Ω)
= ⎨⎝ α =k
⎠
⎪
max D α u L Ω , p=∞.

( )
α =k
⎪⎩
p

(Ω)

∞


21

vi) W2r ( Ω ) = H r (Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : D α v ∈ L2 (Ω), α ≤ r} với m là số nguyên,

r≥1 là không gian Sobolev cấp r trên Ω , trang bò trên H r (Ω) một tích vô hướng
ký hiệu

( u, v )H (Ω ) ≡ ( u, v )r = ∑ ∫ Dα uDα vdx;
r

α ≤r Ω

và chuẩn tương ứng ký hiệu

u

H r (Ω )

≡ ur=

( u, u )r ,

lúc đó H r (Ω) là không gian Hilbert tách được với tích vô hướng trên.
vii) H 1 (Ω) là không gian Hilbert tách được với tích vô hướng

⎛

∂u ∂v ⎞
⎟dx;
i =1 ∂xi ∂xi ⎠
n

( u, v )H (Ω ) = ∫ ⎜ uv + ∑
1

Ω

⎝

viii) H 01 (Ω) là bao đóng của không gian D (Ω) trong H 1 (Ω) và là không gian

Hilbert tách được, đồng hời Ω là tập mở, bò chặn. Khi đó H 01 (Ω) là không gian
con thật sự của H 1 (Ω) .
2.4.3. Ký hiệu các ước lượng
i) Hằng số C ta dùng để ký hiệu các hằng số trong các biểu thức của các đại

lượng đã biết. Giá trò chính xác được ký hiệu bởi C vẫn có thể thay đổi từ dòng
này sang dòng khác trong một phép tính xác đònh.
ii) f, g Biến thiên đồng bậc ta viết f = O(g) khi x → x0 nếu tồn tại hằng C sao

cho f ( x ) ≤ C g( x ) , với mọi x đủ gần x0.