Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Thế Debye - Hückel trong tương tác iôn nguyên tử của Plasma loãng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN THỊ THANH THẢO

THẾ DEBYE - HÜCKEL TRONG TƯƠNG TÁC IÔN
NGUYÊN TỬ CỦA PLASMA LOÃNG

Chuyên ngành: Vật lý nguyên tử hạt nhân

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐỖ XUÂN HỘI

Thành phố Hồ Chí Minh-2010


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lí và Phòng Sau Đại Học của trường
Đại học Sư phạm TP.HCM đã cho em cơ hội tiếp nhận đề tài này và đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
để em hoàn thành luận văn này đúng thời hạn.
Bên cạnh đó, em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS. Đỗ Xuân Hội đã hướng
dẫn chu đáo và tận tình giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận văn. Với sự giúp đỡ của thầy, luận
văn này đã được gợi ý, hướng dẫn thực hiện và đạt những kết quả mong muốn.

Xin chân thành cảm ơn

NGUYỄN THỊ THANH THẢO


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ...............................................................................................................................................- 2 4T

T
4

MỤC LỤC .....................................................................................................................................................- 3 4T

T
4

TÓM TẮT .....................................................................................................................................................- 5 4T

T
4

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ..........................................................................- 6 4T

T
4

MỞ ĐẦU.......................................................................................................................................................- 7 4T

T
4

1. Lí do chọn đề tài ....................................................................................................................................- 7 4T

4T

2. Mục đích đề tài ......................................................................................................................................- 7 4T

4T

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ..........................................................................................................- 7 4T

4T

4. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................................................- 7 4T

4T

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ................................................................................................- 8 4T

4T

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN ........................................................................................................................ - 10 4T

4T

1.1. Những hiểu biết sơ lược về plasma .................................................................................................... - 10 4T

4T

1.1.1. Định nghĩa về plasma ................................................................................................................. - 10 4T

4T

1.1.2. Khái quát về sự tương tác của các hạt trong plasma .................................................................... - 10 4T

T

4

1.2. Các đại lượng nhiệt động học. Hàm phân bố xuyên tâm .................................................................... - 12 4T

T
4

1.2.1. Các đại lượng nhiệt động học ..................................................................................................... - 12 4T

4T

1.2.2. Hàm phân bố xuyên tâm ............................................................................................................. - 14 4T

4T

CHƯƠNG 2 : MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LÍ THUYẾT ....................................... - 17 4T

T
4

2.1. Mô hình plasma cổ điển một thành phần (OCP) ................................................................................ - 17 4T

T
4

2.1.1. Mô hình được sử dụng và các thông số liên quan ........................................................................ - 17 4T

T
4

2.1.2. Thế màn chắn ............................................................................................................................. - 19 4T

4T

2.1.3. Định lí Widom ........................................................................................................................... - 21 4T

4T

2.1.4. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo và phương pháp Hypernetted Chain cho plasma một thành
phần ..................................................................................................................................................... - 21 4T

T
4

2.1.4.a. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo ................................................................................... - 21 T
4

T
4

2.1.4.b. Phương pháp Hypernetted Chain ......................................................................................... - 22 T
4

T
4

2.2. Lí thuyết Debye – Hückel sử dụng cho plasma loãng ....................................................................... - 23 4T

T
4

2.2.1. Phương trình Poisson – Boltzmann ............................................................................................. - 23 4T

T
4

2.2.2. Thế Debye – Hückel ................................................................................................................... - 24 4T

4T

2.3. Những hạn chế của Thế Debye – Hückel .......................................................................................... - 27 4T

T
4

CHƯƠNG 3: CẢI TIẾN THẾ DEBYE-HÜCKEL SỬ DỤNG CHO PLASMA LOÃNG MỘT THÀNH PHẦN 30 4T

T
4

3.1. Các hệ số của đa thức thế màn chắn H(r) ........................................................................................... - 31 4T

T
4

3.1. 1. Biểu thức h 0 của đa thức thế màn chắn H(r) .................................................................................. - 32 4T

R

R

T
4

3.1.1.1. Khảo sát Γ ........................................................................................................................... - 34 T
4

4T

3.1.1.2. Theo nghiên cứu của L. R. Gasque et al [21]........................................................................ - 43 T
4

T
4

3.1.1.4. Theo nghiên cứu của H. E. DeWitt [20] ............................................................................... - 50 T
4

T
4


3.1.1.5. Theo h0 được đề nghị của các tác giả Đỗ Xuân Hội - Lý Thị Kim Thoa [6] ......................... - 52 T
4

R

R

T

4

3.1.1.6. Để thuận tiện trong việc thực hiện tính toán trên máy tính, ta đề nghị hệ thức h 0 dưới đây: .. - 55 T
4

R

R

T
4

3.1.2. Các biểu thức h 2 , h 3 , h4 của đa thức thế màn chắn H(r) .............................................................. - 57 4T

R

R

R

R

R

R

T
4

3.1.2.1. Khảo sát Γ ........................................................................................................................... - 58 T

4

4T

3.1.2.2. Các biểu thức h2 , h3 , h 4 của đa thức thế màn chắn H(r) ....................................................... - 63 T
4

R

R

R

R

R

R

T
4

3.2. Xác định khoảng cách giới hạn r DH (Γ) ............................................................................................. - 66 4T

R

R

T
4

CHƯƠNG 4: XÁC ĐỊNH NGƯỠNG CỦA HIỆU ỨNG TRẬT TỰ ĐỊA PHƯƠNG Γ C ............................. - 76 4T

R

R4
T

4.1. Xác định biểu thức r max(Γ) ................................................................................................................ - 76 4T

R

R

4T

4.2. Biểu thức các hệ số h2C , h3C , h 4C của đa thức thế màn chắn H C (r) ..................................................... - 78 4T

R

R

R

R

R

R

R

R

T
4

4.3. Giá trị ngưỡng Γ C ............................................................................................................................. - 82 4T

R

R4T

KẾT LUẬN ................................................................................................................................................. - 86 4T

T
4

TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................................................ - 88 4T

4T

PHỤ LỤC .................................................................................................................................................... - 91 4T

T
4


TÓM TẮT
Một trong những lĩnh vực nghiên cứu khoa học có liên quan đến vật lí nguyên tử hạt nhân là

vấn đề tương tác giữa các ion nguyên tử trong môi trường plasma. Trong môi trường plasma loãng,
tức là khi năng lượng chuyển động nhiệt có thể so sánh với tương tác tĩnh điện Coulomb của các
ion, lí thuyết Debye – Hückel được sử dụng để mô tả ảnh hưởng của môi trường xung quanh lên
tương tác giữa hai ion. Tuy nhiên, thế màn chắn được tính toán từ lí thuyết Debye - Hückel (DH)
chỉ thể hiện sự chính xác trong những điều kiện nhất định.
Luận văn này nghiên cứu tổng quát “Thế Debye - Hückel trong tương tác iôn nguyên tử của
plasma loãng”, từ đó đưa ra giới hạn áp dụng của lí thuyết Debye - Hückel và xác định giới hạn này
cho lí thuyết thông qua việc sử dụng dạng đa thức của thế màn chắn theo định lí tổng quát Widom.
Sau đó sẽ so sánh kết quả thu được với các số liệu cung cấp bởi phương pháp mô phỏng Monte
Carlo.


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

STT

Viết tắt

Viết đầy đủ

1

DH

Debye – Hückel

2

MC

Monte Carlo

3

HNC

Hypernetted Chain

4

OCP

One Component Plasma


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lí nguyên tử hạt nhân là một trong những ngành phát triển mạnh mẽ nhất của vật
lí. Việc nghiên cứu môi trường plasma liên quan mật thiết đến chuyên ngành vật lí nguyên tử
hạt nhân. Bởi vì plasma là trạng thái thứ tư của vật chất, chiếm tới 99% trạng thái vật chất
tồn tại trong vũ trụ. Việc tìm hiểu sâu sắc về trạng thái này sẽ rất cần thiết cho việc tạo ra
nguồn năng lượng khổng lồ phục vụ cho nhân loại từ việc điều khiển các phản ứng nhiệt
hạch.
Bên cạnh việc nâng cao sự hiểu biết về plasma, thông qua đề tài này tôi có thể nắm
vững vàng hơn các kiến thức đã học về điện học, về vật lí nguyên tử (iôn, liên kết iôn trong
nguyên tử…) và phần “ Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê” sẽ giúp ích rất nhiều cho
chuyên ngành mà tôi đang học.
Hơn nữa, thực hiện đề tài này là cơ hội để tôi thực tập sử dụng các phần mềm tin học
như Maple, Matlab, … và đồng thời có cơ hội để nghiên cứu phương pháp xử lí số liệu thực
nghiệm, vận dụng những gì đã học nhằm giải quyết các vấn đề mà đề tài đặt ra như vẽ đồ thị,

giải các phương trình toán phức tạp chỉ có thể thực hiện qua máy tính, …
2. Mục đích đề tài
Đề tài này nghiên cứu về thế Debye - Hückel (DH) trong tương tác iôn nguyên tử của
plasma loãng (là plasma trong đó năng lượng tương tác Coulomb là nhỏ so với năng lượng
chuyển động nhiệt). Đề tài này cũng chỉ ra giới hạn ứng dụng của thế Debye - Hückel trong
plasma loãng và đưa ra cách hiệu chỉnh phù hợp từ những mô hình đơn giản nhất để giải
quyết các vấn đề đặt ra. Bên cạnh đó, đề tài cũng khảo sát ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa
phương, là sự bắt đầu thiết lập những dao động tắt dần của hàm phân bố xuyên tâm.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài này chủ yếu nghiên cứu tới plasma loãng một thành phần (One Component
Plasma – OCP) cổ điển là plasma chỉ bao gồm một loại ion duy nhất tích điện dương nằm
trong một biển electron đồng nhất tạo thành một hệ trung hòa về điện.
4. Phương pháp nghiên cứu


Nghiên cứu kết quả lí thuyết về thế màn chắn, định lí Widom, hàm phân bố xuyên tâm,
lí thuyết Debye – Hückel trong plasma mà tương tác ion yếu, …
Sử dụng phần mềm tin học Matlab để xử lí kết quả mô phỏng Monte Carlo (MC) và
Hypernetted Chain (HNC) kết hợp với lí thuyết để cải tiến lí thuyết Debye – Hückel cho
plasma loãng một thành phần và xác định ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
a. Ý nghĩa khoa học
Thế Debye - Hückel (DH) đa phần được đề cập trong các tài liệu chỉ dừng lại ở cách
giải gần đúng phương trình Poisson – Boltzmann, kết quả này sẽ dẫn đến ngộ nhận thế
Debye - Hückel (DH) được áp dụng vô điều kiện với độ chính xác cao. Thực tế không hoàn
toàn như vậy. Đề tài này cho thấy khi nghiên cứu plasma loãng, thế Debye - Hückel (DH)
chỉ áp dụng được trong những điều kiện nhất định. Từ các dữ liệu mô phỏng và định lí
Widom, đề tài còn đề cập đến dạng thế màn chắn đảm bảo sự chính xác tốt nhất. Từ những
kết quả này, ta có thể xác định được sự thiết lập những dao động của hàm phân bố xuyên
tâm.

b. Ý nghĩa thực tiễn
Đề tài này có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên năm thứ tư chuyên ngành
vật lí (học môn vật lí thống kê) có cơ hội đào sâu những kiến thức liên quan đến tương tác hệ
nhiều hạt, ứng dụng của hàm phân bố thống kê chính tắc, phương pháp sử dụng một phần
mềm tin học để giải quyết một vấn đề cụ thể…
Từ những vấn đề mà đề tài đưa ra có thể mở ra nhiều hướng cho những ai muốn
nghiên cứu sâu về plasma: xác định dạng vạch phổ qua các kết quả thu được cho thế màn
chắn, dùng phương pháp số giải phương trình Poisson – Boltzmann để kiểm nghiệm biểu
thức thế màn chắn,…


NỘI DUNG LUẬN VĂN
Luận văn được trình bày theo cấu trúc sau:
Chương 1: Tổng quan. Chương này giới thiệu những khái niệm cơ sở về plasma và một số
đại lượng đặc trưng cho một hệ plasma như các đại lượng nhiệt động học, hàm phân bố
xuyên tâm, ....
Chương 2: Mô hình nghiên cứu và các kết quả lí thuyết liên quan. Chương này trình bày
mô hình plasma một thành phần cũng như các kết quả lí thuyết: đa thức Widom, thế Debye –
Hückel, các mô phỏng Monte Carlo và Hypernetted Chain, giới hạn áp dụng lí thuyết Debye
– Hückel (DH).
Chương 3: Cải tiến thế DH sử dụng cho plasma loãng một thành phần. Phần này bao
gồm những tính toán để có được các kết quả mới cho việc giới hạn khoảng cách áp dụng lí
thuyết DH.
Chương 4: Xác định ngưỡng của hiệu ứng trật tự địa phương. Chương này giới thiệu
phương pháp tính toán cũng như kết quả cho việc thiết lập các dao động của hàm phân bố
xuyên tâm.
Phần cuối cùng của luận văn là kết luận chung, trình bày những kết quả thu được.


CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN

1.1. Những hiểu biết sơ lược về plasma
1.1.1. Định nghĩa về plasma
Vào năm 1923, hai nhà vật lí người Mĩ là Laengomeare và Tolk đã dùng thuật ngữ
“plasma” để chỉ những chất khí bị ion hóa, trung hòa về điện tích và tồn tại trong các ống
phóng điện. Ở điều kiện bình thường, mọi chất khí không dẫn điện. Nhưng ở nhiệt độ khá
cao hay ở trong điện trường rất mạnh, thì tính chất của chất khí thay đổi: Nó bị ion hóa và trở
thành dẫn điện. Khi bị ion hóa các nguyên tử và các phân tử khí trung hòa về điện sẽ mất đi
một phần electron của mình và trở thành những hạt mang điện tích dương gọi là các ion.
Chất khí bị ion hóa là plasma. Như vậy, Plasma là một hỗn hợp các hạt mang điện, trong hỗn
hợp đó có giá trị tuyệt đối của điện tích dương bằng giá trị tuyệt đối của điện tích âm. Như
vậy plasma là một hệ trung hòa về điện và là một vật dẫn điện tốt. Plasma là trạng thái thứ tư
của vật chất. Nhìn chung khi ở nhiệt độ cao hơn 100000C, mọi chất đều ở trạng thái plasma.
P

P

Nếu mật độ các hạt trong plasma ít thì ta gọi là plasma loãng. Trong plasma loãng,
năng lượng tương tác coulomb là nhỏ so với năng lượng chuyển động nhiệt. Khi đó những
tính chất của plasma loãng gần giống với những tính chất của khí lý tưởng.
1.1.2. Khái quát về sự tương tác của các hạt trong plasma
a. Sự kích thích và iôn hóa
Cơ chế của sự kích thích và ion hóa do va chạm với điện tử như sau: khi điện tử
chuyển động gần đến nguyên tử hay hạt khác, điện tử thứ nhất tương tác trực tiếp bằng điện
trường của mình với một trong những điện tử liên kết trong nguyên tử gần nó nhất. Điện tử
liên kết đó sẽ dịch chuyển đối với hạt nhân. Như vậy, điện tử thứ nhất bị tán xạ, tức là bị lệch
khỏi hướng ban đầu. Nếu lực tương tác đủ lớn và đủ lâu thì điện tử liên kết có thể bị đưa lên
mức năng lượng cao hơn hay hoàn toàn bị tách khỏi nguyên tử. Quá trình ion hóa là tách
electron ra khỏi nguyên tử hoặc phân tử khí, đây là quá trình quan trọng không thể thiếu
trong plasma. Có hai kiểu ion hóa: với plasma đậm đặc, sự ion hóa chất khí sinh ra do tác
dụng va chạm giữa các nguyên tử hoặc phân tử trung hòa với electron; với plasma quá loãng

tác dụng bức xạ sóng cực ngắn là nguyên nhân gây ra sự ion hóa. Nhưng muốn ion hóa hoàn
toàn các hạt thì bản thân chúng cần phải có năng lượng cao hơn đáng kể so với trường hợp


trên. Nhờ sự va chạm, electron có thể ion hóa nguyên tử, phân tử trung hòa hoặc nguyên tử
bị ion hóa chưa hoàn toàn. Tiết diện hiêu dụng ion hóa bằng sự va chạm của electron vào
khoảng vài trăm electron – volt.
Mặt khác, kích thích và ion hóa nguyên tử, phân tử, và ion có thể xảy ra do điện tử, ion,
nguyên tử, và phân tử. Tiết diện ion hóa và kích thích đối với chúng không giống nhau. Đối
với điện tử có thể chuyển hết phần động năng của mình cho nguyên tử, đối với ion hay
nguyên tử thì phần động năng chuyển vào thế năng do va chạm càng nhỏ khi khối lượng của
chúng càng gần nhau. Trong plasma phóng điện khí, như trong phóng điện ẩn, kích thích và
ion hóa do ion và nguyên tử không đáng kể vì ở đây áp suất tương đối thấp và không đẳng
nhiệt lớn. Năng lượng của ion và nguyên tử trong phóng điện không cao, do đó ion hóa trong
thể tích do va chạm với chúng có thể bỏ qua. Trong hồ quang áp suất lớn (áp suất vào
khoảng vài trăm torr hay lớn hơn), nhiệt độ của hạt nặng lớn đến mức có thể xảy ra ion hóa
và kích thích do nhiệt.
b. Sự kích thích và iôn hóa phân tử
Trong phân tử có hai dạng chuyển động: chuyển động của điện tử trong nguyên tử và
chuyển động của hạt nhân. Chuyển động của hạt nhân có thể là chuyển động dao động và
chuyển động quay. Tuy nhiên năng lượng phụ thuộc vào sự chuyển động của điện tử là thành
phần lớn nhất. Nếu phân tử được kích thích, điện tử được chuyển lên mức năng lượng cao
hơn, thì do sự phân bố điện tích của điện tử trong phân tử thay đổi mà đường cong thế năng
cũng biến đổi. Chuyển động dao động trong phân tử cũng tuân theo quy luật lượng tử. Khi
dao động khoảng cách của hai hạt nhân biến đổi, dẫn đến thế năng sẽ biến đổi gián đoạn.
Những phân tử có hai hạt nhân giống nhau như O 2 , H 2 , N 2 … có cấu trúc đơn giản nên chúng
R

R

R

R

R

R

chỉ có chuyển động dao động đối xứng của nguyên tử dọc theo trục phân tử. Hơn nữa chúng
không có momen đipôn. Dịch chuyển đipôn giữa các mức dao động kích thích trong trạng
thái cơ bản điện tử với mức dao động là cấm, và chỉ mất đi do va chạm. Tuy nhiên tiết diện
va chạm giữa các phân tử với nhau để biến năng lượng dao động lượng tử thành động năng
thường rất nhỏ (nhỏ hơn 10-23 cm2). Vì vậy những trạng thái này có thời gian sống rất lớn.
P

P

P

P

c. Ứng dụng của plasma trong thực tế


Những vấn đề trong thiên văn và địa vật lý học như việc truyền sóng điện từ qua bầu
khí quyển, động lực học của địa từ trường, sự rối loạn của vật chất bị ion hóa và từ trường
gần bề mặt Mặt trời và các vì sao, sự tán sắc và mở rộng tín hiệu khi đi qua không gian giữa
các vì sao, sự tiến hóa và cấu trúc bên trong của các thiên thể… đều có mối quan hệ gần gũi
với các vấn đề cơ bản của plasma.
Hiện nay người ta đã ứng dụng plasma để chế tạo “động cơ plasma”. Lần đầu tiên trên

thế giới các nhà bác học và kỹ sư người Nga đã sử dụng động cơ plasma vào hệ thống định
hướng các con tàu vũ trụ. Ngoài ra plasma còn là yếu tố cơ bản của “máy phát điện plasma”.
Những quá trình xảy ra trong máy phát điện plasma được mô tả bằng lý thuyết từ thủy động
lực học nên người ta gọi chúng là các máy phát điện từ thủy động lực chuyển hóa trực tiếp
nhiệt năng thành điện năng. Hơn nữa, plasma còn được nghiên cứu để khống chế nguồn năng
lượng khổng lồ từ các phản ứng tổng hợp hạt nhân. Trong tương lai các nhà khoa học hy
vọng con người có thể sẽ nhận được một nguồn năng lượng vô tận từ các phản ứng nhiệt
hạch tổng hợp có điều khiển, năng lượng này đủ dùng cho nhiều triệu năm.
1.2. Các đại lượng nhiệt động học. Hàm phân bố xuyên tâm
1.2.1. Các đại lượng nhiệt động học
Hệ plasma loãng được xem như một hệ chính tắc có hàm tổng thống kê như sau :
Z=


 

1
− β ( K +V )
...
...
e
d
p
d
p
d
R
d
RN
1

1
N
h3 N N ! ∫

 2
p
Trong đó, K = ∑ i là động năng toàn phần của hệ, V là thế năng tương tác
1 2m
N

 ,
 
 N
N
1
1 2 d rd r
d r  
1
Coulomb
=
V ( Ze)  ∑   + n ∫   , − n∑    , R i là vectơ vị trí của ion
2
2
1 Ri − r
r−r
 1 R i − R j


thứ i. r là vectơ vị trí của các electron chứa trong một thể tích nguyên tố. Như vậy thế năng
2

tương tác trên là thế năng toàn phần bao gồm thế năng tương tác Coulomb giữa ion – ion,
electron – electron, và giữa ion – electron.


Như vậy, ta có thể viết : Z = Z0Q trong đó Z0 là hàm tổng thống kê của khí lý tưởng,
P

P

P

P

khi đó ta xem các hạt không tương tác lẫn nhau, năng lượng của hệ chính là động năng
chuyển động nhiệt của các hạt :



VN
VN
−β K
Z
e d p1...d p N
=
=
(2π mkT )3 N /2
3N
3N
∫

h N!
h N!
0

Q là tích phân cấu hình đặc trưng cho sự tương tác Coulomb trong plasma
Q=



1
− βV
...
e
d
R
d
RN
1
VN ∫

Theo công thức năng lượng tự do của hệ F = - kTlnZ và tính cộng tính của đại lượng
này ta phân tích năng lượng F làm hai thành phần : F = F 0 + F ex
R

R

R

Trong đó, F 0 là năng lượng tự do của khí lý tưởng
R

R

F ex là năng lượng phát sinh từ tương tác Coulomb
R

R

Mặt khác ta thấy Q phụ thuộc vào β, tức là phụ thuộc vào nhiệt độ T (với T =

1
) và
kβ

mật độ ρ thông qua tham số tương liên Γ ở giới hạn nhiệt động lực học (Γ được trình bày rõ
ở chương II), V → ∞, N → ∞ (trong khi =
ρ

N
= const ), ta có thể viết :
V

Q = e − Nf ( Γ )

F
Như vậy, f (Γ) = ex , phần dư của năng lượng tự do đối với ion tính theo đơn vị
NkT

năng lượng kT, chỉ phụ thuộc vào Γ. Từ đây ta có các công thức đơn giản để tính các đại
lượng nhiệt động học của hệ :

a/ Áp suất p:
p =−

∂F
 1 d

=p0 1 + Γ
f (Γ ) 
∂V
 3 dΓ


b/ Năng lượng toàn phần :

với p0 =

ρ
β


E =−T 2

∂
∂T

F 
 2 d

 T  =E0 1 + 3 Γ d Γ f (Γ) 

với E0 =

3N
2β

c/ Nhiệt dung đẳng tích :
∂E
= C0V
CV = −
∂T

2


2 d
1 − Γ d Γ 2 f (Γ) 



với C0V =

3 Nk
2

Mặt khác ta cũng có một biểu thức để tính phần dư của năng lượng đối với ion tính
theo đơn vị năng lượng kT khi mô phỏng trên máy tính :
Γ

u (Γ ' ) '
f (Γ) = f (Γ1 ) + ∫

dΓ
Γ'
Γ1

với u =

E − E0
, Γ 1 được chọn bằng đơn vị.
NkT
R

R

1.2.2. Hàm phân bố xuyên tâm
Sự tương tác giữa một iôn và các iôn kế cận được phản ánh qua giá trị của hàm phân
bố xuyên tâm g(r). Nếu gọi u(r ij) là thế năng tương tác giữa hai ion i và j trong hệ plasma có
R

R

N ion, thì thế năng toàn phần của hệ là :
N
 

U ≡ U (r1 , r 2 ,..., r N ) =
∑ u (rij )
i< j






Xác suất để ion 1 ở trong d r1 tại vị trí r1 ,..., ion N ở trong d r N , tại vị trí r N không
phụ thuộc vào vận tốc của mỗi hạt nên được tính :


1 − βU 
e d r1...d r N
Q



trong đó Q = ∫ e − βU d R1...d R N
V





Vậy xác suất để ion 1 ở trong d r1 tại vị trí r1 ,..., ion n ở trong d r n , tại vị trí r n là :

 


  

1
P ( n ) (r1 ,..., r n )d r1...d r n =  ∫ e − βU d r n +1...d r N  d r1...d r N
Q V





1 − βU 
e
d
r
⇒ P ( n ) (r1 ,..., r n ) =
n +1...d r N
Q V∫

(1.2a)



 

Đồng thời nếu ta gọi P ( n ) (r1 ,..., r n )d r1...d r n là xác suất để có một ion nào đó (không




nhất thiết là ion 1) ở trong d r1 tại vị trí r1 ,..., để một ion khác ở trong d r n , tại vị trí r n thì


có N khả năng để có ion trong d r1 , N – 1 khả năng để có ion trong d r 2 , ..., và N - n + 1 khả

năng để có ion trong d r N , tức là tất cả có :
N!
khả năng.

N ( N − 1)( N − 2)...( N − n + 1) =
( N − n)!
Khi đó






N ! 1 − βU 
e
d
r
n +1...d r N
( N − n)! Q V∫


N!
P ( n ) (r1 ,..., r n )
=
( N − n)!

ρ ( n ) (r1 ,..., r n ) =

(1.2b)



Nếu xác suất để có một ion của ở trong d r1 tại vị trí r1 độc lập với xác suất để có



một ion thứ hai ở trong d r 2 tại vị trí r 2 ,...độc lập với xác suất để có một ion thứ n ở trong


d r n , tại vị trí r n thì :
















ρ ( n ) (r1 ,..., r n )d r1...d r n =  ρ (1) (r1 )d r1  ....  ρ (1) (r n )d r n 
Khi có sự tương quan giữa một ion này và một ion khác thì ta có :








ρ ( n ) (r1 ,..., r n ) = ρ (1) (r1 )...ρ (1) (r n ) g ( n ) (r1 ,..., r n )


Trong đó g ( n ) (r1 ,..., r n ) , cho biết mức độ mà ρ ( n ) lệch khỏi giá trị của nó khi các xác
suất trên độc lập nhau.


Vì mọi điểm r i trong thể tích V đều tương đương nhau nên






ρ (1) (r1 )= ρ (1) (r 2 )= ...= ρ (1) (r n )= ρ=

N
: mật độ hạt trong plasma
V





Khi đó ta có : ρ ( n ) (r1 ,..., r n ) = ρ n g ( n ) (r1 ,..., r n ) . Thế (1.2a) và (1.2b) vào ta suy ra :








N!
P ( n ) (r1 ,..., r n )
( N − n)!

N ! 1 − βU 
e
d
r
=
n +1...d r N
( N − n)! Q V∫

ρ n g ( n ) (r1 ,..., r n ) =

(1.2c)

Qua đó ta thấy các bài toán của vật lý nguyên tử cho plasma, đặc biệt là những vấn đề
liên quan tới việc mở rộng của các vạch quang phổ nhất thiết phải biết sự tương tác giữa hai
ion kế cận nhau, cách nhau một khoảng r 12 nào đó. Lúc này theo hệ thức tổng quát (1.2c) sẽ
 
xuất hiện hàm g(2)( r1 , r 2 ), kí hiệu là g(r) gọi là hàm phân bố xuyên tâm. Ta được :
R

P

R

P

 

N ( N − 1) − βU 
e
d
r
ρ 2 g (2) (r1 , r 2 ) =
3 ...d r N
∫
Q
V
Như vậy :

g (r ) =


N ( N − 1) − βU 
e
d
r
...
d
r
3
N
ρ 2Q V∫

CHƯƠNG 2 : MÔ HÌNH NGHIÊN CỨU VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LÍ THUYẾT
2.1. Mô hình plasma cổ điển một thành phần (OCP)
2.1.1. Mô hình được sử dụng và các thông số liên quan
Plasma được xem như một hỗn hợp gồm nhiều ion, electron và những hạt trung hòa
về điện. Theo quan điển nhiệt động học, có thể phân biệt plasma làm hai loại plasma cân
bằng và plasma không cân bằng. Trong hệ cô lập, khi plasma ở trang thái cân bằng với môi
trường xung quanh (như trên các vì sao) thì động năng trung bình của tất cả các hạt là bằng
nhau. Chúng đều có hàm phân bố theo vận tốc Maxwell; tức là có một nhiệt độ T giống nhau
cho tất cả các loại hạt, ta gọi đây là plasma đẳng nhiệt. Trong một đơn vị thể tích của plasma
đẳng nhiệt, số điện tích dương luôn bằng số điện tích âm, tức là

∑Z n − n
i i

e

0 . Đây là điều
=

kiện trung hòa điện trong plasma. Khi đó điện tích khối hoàn toàn bằng 0 nên điện trường
cũng bằng 0. Lúc này phương trình Poisson chuyển thành phương trình Laplace: ∇ 2ϕ =
0.
Như vậy trong plasma đẳng nhiệt các hạt mang điện mất đi do quá trình tái hợp trong thể tích
luôn luôn được bù lại do quá trình ion hóa.
Plasma một thành phần (OCP – One Component Plasma) là một hệ thống kê gồm
một loại những ion tích điện dương chuyển động trong một biển các hạt electron. Các hạt sẽ
tương tác nhau bởi lực tĩnh điện nhưng toàn bộ hệ vẫn ổn định do điều kiện trung hòa điện.
Vì vậy, chúng ta sẽ khảo sát mô hình plasma một thành phần (OCP – One Component
Plasma) là một hệ vật lí ở nhiệt độ T gồm N ion mang điện tích + Ze nằm trong môi trường
đồng nhất gồm ZN electron, là hệ quy chiếu thích hợp để khảo sát một số thiên thể như bên

trong sao lùn trắng, các hành tinh nặng dạng Jupiter,…
Để đơn giản người ta đưa ra mô hình “hình cầu ion” để mô tả plasma. Mô hình này
gồm một iôn riêng biệt mang điện tích Ze và một đám mây điện tử bao quanh nó. Ta có thể
hình dung plasma dưới dạng N hình cầu iôn và mỗi hình cầu chứa Z electron để trung hòa
điện tích dương của ion. Từ đó ta tính được bán kính hình cầu iôn qua biểu thức:
 4πρ 
a=

 3 

−1/3


Trong đó ρ =
electron là: ρ e =

N
là mật độ ion của khối plasma đang xét. Như vậy mật độ của
V

−3Ze
4π a 3

•
ρe =

a

−3Ze

4π a 3

Hình 1: Mô hình hình cầu ion

Các plasma thường được phân loại làm plasma liên kết yếu và plasma liên kết mạnh

( Ze) 2
với năng lượng chuyển động nhiệt
dựa vào tỷ số giữa thế năng tương tác Coulomb
a
trung bình kT. Tỷ số này kí hiệu là Γ, gọi là tham số tương liên của plasma:

( Ze) 2
Γ=
akT
( Ze) 2
 kT : năng lượng Coulomb rất lớn so
+ Plasma liên kết mạnh khi Γ  1 , tức là
a
với năng lượng chuyển động nhiệt, vị trí của các ion bắt đầu có trật tự hơn, và bắt đầu xuất
hiện các cực trị của hàm phân bố xuyên tâm g(r). Khi đó trang thái plasma gần với trạng thái
rắn. Plasma liên kết mạnh thường tồn tại trong các thiên thể, các sao lùn trắng (Γ = 10 –
200), sao neutron (Γ = 10 – 10-3), bên trong sao mộc,… Có thể tạo plasma này trong phòng
P

P

thí nghiệm bằng các chum tia laser hay ion (Γ vào khoảng 0.5 – 10).
+ Plasma liên kết yếu khi Γ  1 , tức là

( Ze) 2
 kT : năng lượng Coulomb rất bé so
a

với năng lượng chuyển động nhiệt, khi đó plasma xem như gần đúng với trạng thái khí lí
tưởng, được coi là plasma mà hiệu ứng trật tự địa phương chưa xuất hiện. Hàm phân bố
xuyên tâm g(r) có dáng điệu biến thiên là tăng đơn điệu theo khoảng cách liên ion. Vì thế nó
sẽ tuân theo những định luật vật lí thống kê, đặc biệt là hàm phân bố Boltzmann trong trường
lực đối xứng của hạt riêng biệt. Điều này phù hợp với lí thuyết cổ điển nên plasma liên kết


yếu thường sử dụng lí thuyết Debye – Hückel. Một số hệ vật lí mà tham số Γ có giá trị tương
đối thấp, như trong sao Lùn nâu, ta có Γ =0.76 , bên trong Mặt Trời,
=
Γ 0.072 ÷ 0.076 , và
đặc biệt, trong những thí nghiệm tổng hợp hạt nhân bằng phương pháp hãm quán tính (ICF –
Inertial Confinement Fusion), tham số Γ có giá trị khá thấp, chỉ khoảng 0.002 ÷ 0.010 , hay
plasma xuất hiện trong hiện tượng phóng điện (Γ ≈ 10-3), trong những máy Tokamark (Γ ≈
P

P

10-5)…[24]. Với các hệ plasma loãng kể trên, lí thuyết Debye-Hückel được sử dụng. Tuy
P

P

nhiên khi xét ở những khoảng cách r nhỏ thì lí thuyết này bị mắc sai số lớn so với thực
nghiệm (được trình bày rõ ở phần 2.3).
Trường hợp Γ có giá trị trung gian thì tính chất của plasma là tính chất của lưu chất.

2.1.2. Thế màn chắn
Thế màn chắn (screening potential), được định nghĩa là hiệu số giữa thế năng tương
tác của hai hạt và thế của lực trung bình (potential of mean force), là một dữ liệu quan trọng
để nghiên cứu hiệu suất phản ứng hạt nhân (nuclear reaction rates), sự hình thành những
chuẩn phân tử (quasi molecules) và bề rộng vạch phổ trong những môi trường đậm đặc, đặc
biệt là trong môi trường plasma.
Để tính đến tương tác của các ion khác và cả các electron trong plasma ta dùng thế
màn chắn hiệu dụng:

( Ze) 2
V=
( R)
− H ( R)
R

(2.1.2)

( Ze) 2
là thế năng tương tác Coulomb giữa hai ion cách nhau một khoảng
Trong đó
R
R. H(R) biểu thị độ giảm của thế năng trên do môi trường bên ngoài của hai ion đang xét.
+ Khi V ( R ) →

( Ze) 2
thì H ( R ) → 0 : lúc này có sự che chắn không hoàn toàn.
R

( Ze) 2
: lúc này có sự che chắn hoàn toàn.

+ Khi V ( R ) → 0 thì H ( R ) →
R
Thế màn chắn đóng vai trò rất quan trọng trong mọi ngành vật lí khi cần tính đến tác
dụng của mật độ lên các hiện tượng vật lí. Trong môi trường plasma, thế màn chắn tăng rất


nhanh theo mật độ môi trường và có khuynh hướng làm thay đổi tính chất nhiệt động học
của hệ vật lí. Đối với plasma liên kết mạnh, hàng rào thế coulomb giữa hai ion bị giảm rất
nhanh do hiệu ứng màn chắn của môi trường chứa hạt mang điện trong plasma. Khi đó thế
màn chắn đặc trưng cho độ hạ của rào thế Coulomb giữa hai ion dẫn đến thừa số khuếch đại
trong hiệu suất phản ứng hạt nhân A = e −Γh0 ,

trong đó h0 =

H (0)
, H(0) là thế màn
( Ze) 2 / a

chắn ở khoảng cách tính theo khoảng cách hạt nhân.
Bên cạnh đó trong vật lí thống kê, thế màn chắn cho phép ta tính các đại lượng nhiệt
động lực học phân tử như phần dư ra của nội năng, phần dư ra của năng lượng tự do so với
khí lí tưởng. Hơn nữa, thế màn chắn cũng cho phép ta thiết lập phương trình trạng thái của
plasma.
Từ chương 1, ta có biểu thức hàm phân bố xuyên tâm:
g ( R ) = e − βV ( R ) ,

trong đó β =

1
kT

Nếu ta biểu diễn chiều dài và năng lượng theo đơn vị của a là bán kính khối cầu ion

( Ze) 2
R
, đồng thời kí hiệu r = , ta suy ra
và
a
a
g=
(r ) exp[− βV (r )]
⇔ V (r ) =
−kT ln g (r )
Từ (2.1.2) ta suy ra
( Ze) 2
+ kT ln g (r )
ra
( Ze) 2 ( Ze) 2
⇔ H (r ) =
+
ln g (r )
ra
Γa
2
1 1
 ( Ze)
⇔ H (r ) =
 r + Γ ln g (r )  . a
H
=

(r )

( Ze) 2
, ta có:
Như vậy theo quy ước thế năng được tính theo đơn vị của
a


H (r )=

1 1
+ ln g (r )
r Γ

 1

g=
(r ) exp  −Γ  − H (r )  

 r

Ta thấy khi H (r ) →

1
thì V (r ) → 0 và g (r ) → 1 ta nói rằng hiệu ứng màn chắn là
r

hoàn toàn.
2.1.3. Định lí Widom
Widom phát biểu rằng: “Trong lưu chất hay trong mạng tinh thể, thế màn chắn là

hàm chẵn theo khoảng cách giữa hai ion hay hai nguyên tử và trong vùng bán kính hội tụ,
được biểu thị bởi một đa thức luân phiên dấu”. Định lí này được Widom chứng minh đầu
tiên với plasma lưu chất năm 1963.[31]
Ta có dạng khai triển của biểu thức thế màn chắn như sau:

H (r ) =h0 − h1r 2 + h2 r 4 − h3r 6 + ...... =∑ (−1)i hi r 2i

(2.1.3)

i ≥0

Từ biểu thức (2.1.3), ta thấy h0 = lim H (r ) là hệ số khuếch đại khi có sự tổng hợp
r →0

hai hạt nhân nguyên tử, có liên quan đến hiệu suất phản ứng hạt nhân. Hệ số h 1 bằng 0.25, đã
R

R

được Jancovici chứng minh chính xác năm 1977. Các hệ số còn lại sẽ được tìm dựa vào tính
chất của plasma là plasma liên kết mạnh hay plasma liên kết yếu, hay plasma lưu chất.
Trong luận văn này thì định lí Widom được áp dụng cho plasma loãng, nhằm đưa ra
một biểu thức giải tích góp phần mở rộng giới hạn áp dụng của lí thuyết Debye - Hückel.
Điều này sẽ được thể hiện rõ ở chương 3 và 4 dưới đây.
2.1.4. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo và phương pháp Hypernetted Chain cho plasma
một thành phần
2.1.4.a. Phương pháp mô phỏng Monte Carlo
Phương pháp mô phỏng Monte Carlo đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu,
cho phép ta nhận các giá trị của hàm phân bố xuyên tâm theo bán kính g(r) và phần dư ra của
nội năng U(r) của mỗi iôn trong plasma. Mô phỏng Monte Carlo có nhiều thuận lợi hơn so

với phương pháp động học phân tử vì được thực hiện trên máy tính một cách dễ dàng hơn,
độ chính xác cao, có thể áp dụng cho tập hợp thống kê chính tắc, chính tắc lớn…còn phương
pháp động học phân tử chỉ sử dụng cho tập hợp vi chính tắc.
Yếu tố quan trọng của mô phỏng Monte Carlo là xét trong hệ vài trăm hạt là đủ. Đối
với plasma một thành phần thì phương pháp này đã mang lại nhiều tiện ích. Tuy nhiên ta
cũng cần lưu ý phương pháp Monte Carlo cho số liệu không được chính xác trong những
khoảng cách r nhỏ. Có rất nhiều tính toán mô phỏng theo phương pháp Monte Carlo do
nhiều nhà khoa học nghiên cứu từ nhiều năm qua. Nghiên cứu gần đây nhất là của DeWitt et
al đã thực hiện các mô phỏng Monte Carlo với độ chính xác rất cao khoảng phần ngàn cho
hàm phân bố xuyên tâm g(r). Trong luận văn này ta cũng sử dụng số liệu mô phỏng Monte
Carlo (MC) chủ yếu của DeWitt et al, Hansen…
2.1.4.b. Phương pháp Hypernetted Chain
Phương pháp Hypernetted Chain cho ta kết quả chính xác với các giá trị Г nhỏ đối
với hệ plasma loãng. Còn với plasma đậm đặc thì phương pháp này cho ta kết quả khá sai
lệch so với mô phỏng Monte Carlo gần đây nhất. Ta có hệ thức:
 Γ

g (r=
) exp  − + h(r ) − c(r ) 
 r


(2.1.4.1)

Với h(r) = g(r) -1: hàm phân bố xuyên tâm toàn phần, c(r) là hàm tương liên trực
tiếp. Mối liên hệ giữa h(r) và c(r) qua hệ thức Orstein – Zernike:

   

h(r ) =+
c ( r ) ρ ∫ d r 'c r − r ' h ( r ' )

(2.1.4.2)

Hai hệ thức (2.1.4.1) và (2.1.4.2) tạo thành hệ kín, khi đó ta sẽ thực hiện các bước
lặp.
Trong luận văn này ta cũng sử dụng số liệu mô phỏng Hypernetted Chain (HNC) chủ
yếu của Carley, Springer, ….
GHI CHÚ: Mô hình plasma hai thành phần


Ngoài plasma một thành phần ta còn có plasma hỗn hợp. Tùy theo plasma đang xét
được cấu tạo bởi một, hai hay ba loại ion mà được gọi là plasma một thành phần (One
Component Plasma – OCP) mà ta đã khảo sát ở trên, plasma hỗn hợp hai thành phần (Binary
Ionic Mixture – BIM), hay plasma hỗn hợp ba thành phần (Ternary Ionic Mixture – TIM).
Tổng quát ta sẽ có plasma hỗn hợp nhiều thành phần (Multi Ionic Mixture – MIM). Các
plasma BIM và TIM là các mô hình thực tế rất gần với cấu tạo của các sao Lùn Trắng. Phần
lớn các sao này được tạo bởi hỗn hợp carbon và oxy còn lại sau khi khí heli cháy hết, và một
số tạp chất như neon, chì. Các mô hình BIM và TIM đều được mô phỏng dựa trên các mô
phỏng Monte Carlo được thực hiện cho mô hình plasma một thành phần OCP. Trong luận
văn này ta chỉ nghiên cứu chủ yếu đến plasma loãng một thành phần.
2.2. Lí thuyết Debye – Hückel sử dụng cho plasma loãng
Lí thuyết Debye - Hückel là phát minh của hai nhà khoa học Peter Debye và Erich
T
4

T
4

T
4

Hückel. Phương pháp này được phát triển từ năm 1923 để tính toán các giá trị nhiệt động lực
T
4

học của dung dịch điện phân mạnh như bazơ mạnh, axít mạnh… Đây là một môi trường
dung dịch ion, nếu xét về phương diện hạt tích điện thì các hệ vật lí này tương tự với môi
trường plasma. Tuy nhiên thuyết Debye – Hückel chỉ được áp dụng trong trường hợp nồng
độ dung dịch thấp (mức độ tập trung của các điện tích của hệ thấp), và không được áp dụng
khi nồng độ dung dịch điện phân lớn hơn khoảng 100mM. Vì vậy đối với môi trường
plasma, lí thuyết Debye – Hückel chỉ áp dụng cho plasma liên kết yếu (hay plasma loãng).
2.2.1. Phương trình Poisson – Boltzmann
Ta xét một iôn mang điện tích q của một hệ plasma nào đó. Chọn gốc tọa độ tại vị trí
iôn đang xét. Iôn này sẽ tương tác với các iôn khác và với các electron xung quanh bằng lực
tĩnh đện. Do đó, xung quanh iôn này sẽ hình thành một đám mây tich điện dưới dạng đối
xứng cầu. Để đơn giản ta xem như điện tích tập trung ở đám mây là phân bố liên tục, mật độ
điện tích khối là ρ(R). Gọi V(R) là thế hiệu dụng (hay thế năng trung bình) do iôn đang xét
và đám mây điện tích của nó gây ra. Như vậy để xác định được ρ(R) và V(R) ta cần thiết lập
được hai phương trình:
a. Phương trình Poisson


Phương trình này thể hiện tính chất tĩnh điện, cho ta biết mối liên hệ giữa thế năng
và mật độ điện tích tại mỗi điểm:

∆V ( R ) =
−4π eZ .δ (0) + 4π eZ [ n − ρ ( R )]

(2.2.1a)

Trong đó δ (0) là hàm delta Dirac, biểu thị mật độ điện tích ngay tại iôn đang xét. N
là mật độ điện tích trung bình của các ion và ∆ là toán tử Laplace.
Ta thấy:


Ze
khi R → 0
V ( R) →
R


V ( R) → 0

khi R → ∞

b. Phương trình Boltzmann
Giả sử rằng nhiệt độ của plasma đủ lớn, khi đó mật độ điện tích trong plasma tuân
theo thông kê Boltzmann:
. ( R) 
 − ZeV

kT


ρ ( R) = n.exp 

(2.2.1b)

k: hằng số Boltzmann.
kT: nhiệt năng trung bình.
Thay (III.1.1a) vào (III.1.1b) ta được phương trình Poisson – Boltzmann như sau:


. ( R)  
 ZeV
∆V ( R ) =
−4π eZ .δ (0) + 4π eZn 1 − exp  −

kT  



(2.2.1)

2.2.2. Thế Debye – Hückel
Thế Yukawa đầu tiên được đưa vào vật lí hạt cơ bản để mô tả tương tác giữa hai
nucleon và dẫn đến việc tiên đoán sự tồn tại của các meson [33]. Tuy nhiên, cho đến nay,
khái niệm về thế tương tác dạng Yukawa đã được sử dụng rộng rãi để mô tả từ các quá trình
hóa học đến các quá trình liên quan đến vật lí thiên văn, và đặc biệt, được xem như là dạng
tổng quát hóa của thế Debye-Hückel khi ta khảo sát thế tương tác hiệu dụng giữa hai ion
cách nhau một khoảng R của một hệ plasma loãng:


e −α R
Vα ∝
,
R

(*)

Trong đó, α là một tham số dương, đặc trưng cho tác dụng màn chắn của môi
trường lên hai ion đang xét. Dạng tương tác (*) ở trên thường được áp dụng mà không xác
định rõ các điều kiện cụ thể cho khoảng cách R cũng như giới hạn của mức độ loãng của môi
trường như đã được chỉ ra trong các công trình [3, 33]. Trong luận văn sẽ đề nghị những giới
hạn cho việc vận dụng thế Yukawa (*) cho plasma một thành phần liên quan đến khoảng
cách liên ion cũng như đến tham số tương liên. Đồng thời, với công cụ tính toán mới, tôi sẽ
đề cập đến việc xuất hiện hiệu ứng trật tự địa phương trong plasma tương tác mạnh.
Cơ sở của lí thuyết Debye-Hückel bắt đầu từ phương trình Poisson-Boltzmann
(2.2.1). Để có được thế Debye - Hückel ta dùng thủ thuật đổi biến r =
đơn vị của

R
và tính V(R) theo
a

Ze
.
a

Đặt
=
y

V ( R)
= rV (r )
Ze / R

(2.2.2)

Do tính đối xứng cầu trong plasma xung quanh iôn đang xét và V(r) chỉ phụ thuộc

∆V (r )
vào khoảng cách r nên=

1 d2
1 d 2 y (r )
=
r
.
V
(
r
)
[
]
r dr 2
r dr 2

Phương trình Poisson - Boltzmann (2.2.1) cho hệ plasma OCP được diễn tả dưới

d 2 y (r )
 Γ

dạng cô đọng như sau:
= 3r 1 − exp  − y (r )  
2
dr
 r




(2.2.2a)

Với các điều kiện biên:

lim y ( r ) = 1
r →0

lim y ( r ) = 0
r →∞

Biểu thị cho thế tương tác giữa hai iôn sẽ là thế Coulomb khi hai iôn này ở khoảng
cách rất nhỏ (không còn hiệu ứng màn chắn) và khi ở đủ xa nhau thì thế này triệt tiêu.