Luận án Tiến sĩ Giáo dục học: Phát triển một số năng lực tìm tòi trí tuệ cho học sinh qua dạy học Hình học không gian ở trường Trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
---  ---

ĐÀO XUÂN THANH

PHÁT TRIỂN MỘT SỐ NĂNG LỰC TÌM TÒI TRÍ TUỆ
CHO HỌC SINH QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. ĐÀO TAM

Huế, Năm 2015
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận
văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công
trình nào khác.

Tác giả luận văn

Đào Xuân Thanh

ii


Lời Cảm Ơn
Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu
sắc nhất đến GS.TS. Đào Tam, người đã nhiệt tình hướng dẫn tận
tình chu đáo và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Phòng đào tạo sau đại học,
các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy và truyền thụ cho tôi rất
nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm học vừa
qua.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường
Trung học phổ thông Lê Quý Đôn – Lâm Hà – Lâm Đồng đã tạo
điều kiện cho tôi đi học.
Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè của
tôi luôn ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để
tôi hoàn thành luận văn này.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong
nhận được sự hướng dẫn và góp ý.
Chân thành cám ơn !
Huế, tháng 5 năm 2015.

iii


MỤC LỤC
Trang

TRANG PHỤ BÌA ..................................................................................................... i
LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................... ii
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................... iii
MỤC LỤC ..................................................................................................................1
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN .................................3
DANH MỤC CÁC BẢNG, SƠ ĐỒ ..........................................................................4
DANH MỤC CÁC HÌNH .........................................................................................5
Chương 1. MỞ ĐẦU .................................................................................................6
1.1. Lí do chọn đề tài ...............................................................................................6
1.2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................8
1.3. Câu hỏi nghiên cứu ...........................................................................................8
1.4. Ý nghĩa của nghiên cứu ....................................................................................8
1.5. Một số thuật ngữ dùng trong luận văn .............................................................9
1.6. Bố cục của luận văn ..........................................................................................9
Chương 2. TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN ..............................10
2.1. Khái niệm tìm tòi trí tuệ .................................................................................10
2.2. Cấu trúc của sự tìm tòi trí tuệ .........................................................................10
2.3. Một số loại hình tri thức định hướng và điều chỉnh hoạt động tìm tòi trí tuệ .....13
2.3.1. Tri thức phương pháp ..............................................................................13
2.3.2. Tri thức triết học duy vật biện chứng ......................................................15
2.3.3. Tri thức tâm lí học liên tưởng ..................................................................26
2.4. Một số quan niệm về năng lực .......................................................................28
2.5. Một số thành tố cơ bản của năng lực tìm tòi trí tuệ ........................................32
2.5.1. Năng lực xác định mâu thuẫn ..................................................................32
2.5.2. Năng lực dự đoán và suy luận có lí để tìm tòi tri thức mới .....................32
2.5.3. Năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề .................................37
Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU .................................................................47
3.1. Ngữ cảnh và mục tiêu .....................................................................................47
3.1.1. Ngữ cảnh ..................................................................................................47
1

3.1.2. Mục tiêu ...................................................................................................47
3.2. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................47
3.3. Công cụ nghiên cứu ........................................................................................49
3.4. Thu thập và phân tích dữ liệu .........................................................................54
3.4.1. Thu thập dữ liệu .......................................................................................54
3.4.2. Phân tích dữ liệu ......................................................................................55
Chương 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ..................................................................57
4.1. Kết quả trả lời bảng hỏi của giáo viên ............................................................57
4.2. Kết quả bài làm của học sinh qua các buổi thực nghiệm ...............................58
4.2.1. Buổi thực nghiệm thứ nhất ......................................................................58
4.2.1.1 Nhiệm vụ 1 .........................................................................................58
4.2.1.2. Nhiệm vụ 2.1 .....................................................................................63
4.2.1.3. Nhiệm vụ 2.2 .....................................................................................64
4.2.2. Buổi thực nghiệm thứ hai ........................................................................65
4.2.2.1. Nhiệm vụ 3 ........................................................................................65
4.2.2.2. Nhiệm vụ 4.1 .....................................................................................66
4.2.2.3. Nhiệm vụ 4.2 .....................................................................................67
4.2.3. Buổi thực nghiệm thứ ba .........................................................................71
4.2.3.1. Nhiệm vụ 5 ........................................................................................71
4.2.3.2. Nhiệm vụ 6 ........................................................................................73
Chương 5. KẾT LUẬN ...........................................................................................76
5.1. Trả lời câu hỏi nghiên cứu ..............................................................................76
5.2. Hạn chế của nghiên cứu .................................................................................80
5.3. Thảo luận ........................................................................................................81
5.4. Kết luận ..........................................................................................................82
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................83
PHỤ LỤC

2


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
GQVĐ

Giải quyết vấn đề

GV

Giáo viên

HĐ

Hoạt động

HS

Học sinh

LTKT

Lý thuyết kiến tạo

NL

Năng lực

PP

Phương pháp

PPDH KP

Phương pháp dạy học khám phá

SGK

Sách giáo khoa

THPT

Trung học phổ thông

3


DANH MỤC CÁC BẢNG, SƠ ĐỒ

Bảng
Bảng 3.1. Thời gian thực nghiệm ........................................................................................ 48
Bảng 3.2. Các tiêu chí phân tích tương ứng với mỗi bước. ................................................. 56
Bảng 4.1. Những cách giải mà các nhóm đã sử dụng trong nhiệm vụ 1 ............................. 59
Bảng 4.2. Kết quả thực hiện nhiệm vụ 3 của các nhóm học sinh ........................................ 65
Bảng 4.3. Kết quả thực hiện nhiệm vụ 4.1 của các nhóm học sinh ..................................... 66
Bảng 4.4. Số cách giải của các nhóm .................................................................................. 67
Bảng 4.5. Phân tích năng lực dự đoán của học sinh ............................................................ 70
Bảng 4.6. Các kiểu xét bài toán tương tự của các nhóm học sinh ....................................... 71
Bảng 4.7. Kết quả giải quyết nhiệm vụ 6 của các nhóm học sinh ....................................... 74

Sơ đồ
Sơ đồ 2.1. Sơ đồ các giai đoạn của quá trình tư duy theo Platônốp .................................... 27
Sơ đồ 2.2. Mô hình dự đoán và bác bỏ (Lin, 2006) ............................................................. 35
Sơ đồ 2.3. Mô tả lý thuyết kiến tạo (Đào Tam và Lê Hiễn Dương, 2009) .......................... 41

4


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 2.1. ................................................................................................................... 12
Hình 2.2. ................................................................................................................... 17
Hình 2.3. ................................................................................................................... 17
Hình 2.4. ................................................................................................................... 21
Hình 2.5. ................................................................................................................... 22
Hình 2.6. ................................................................................................................... 22
Hình 2.7. ................................................................................................................... 22
Hình 2.8. ................................................................................................................... 23
Hình 2.9. ................................................................................................................... 24
Hình 2.10. ................................................................................................................. 25
Hình 2.11. ................................................................................................................. 28
Hình 2.12. ................................................................................................................. 37
Hình 2.13. ................................................................................................................. 39
Hình 4.1. Bài làm của học sinh nhóm 4 ....................................................................60
Hình 4.2. Bài làm của học sinh nhóm 12 ..................................................................60
Hình 4.3. Bài làm của học sinh nhóm 1 ....................................................................61
Hình 4.4. Bài làm của học sinh nhóm 5 ....................................................................62
Hình 4.5. Bài làm của học sinh nhóm 9 ....................................................................62
Hình 4.6. Bài làm của học sinh nhóm 2 ....................................................................63
Hình 4.7. Bài làm của học sinh nhóm 10 ..................................................................63
Hình 4.8. Bài làm của học sinh nhóm 10 ..................................................................64

Hình 4.9. Bài làm của học sinh nhóm 1 ....................................................................65
Hình 4.10. Bài làm của học sinh nhóm 8 ..................................................................66
Hình 4.11. Bài làm của học sinh nhóm 2 ..................................................................67
Hình 4.12. Bài làm của học sinh nhóm 2 ..................................................................68
Hình 4.13. Bài làm của học sinh nhóm 3 ..................................................................68
Hình 4.14. Bài làm của học sinh nhóm 6 ..................................................................69
Hình 4.15. Bài làm của học sinh nhóm 9 ..................................................................72
Hình 4.16. Bài làm của học sinh nhóm 3 ..................................................................72
Hình 4.17. Bài làm của học sinh nhóm 6 ..................................................................73
Hình 4.18. Bài làm của học sinh nhóm 6 ..................................................................75

5


Chương 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Toán học không chỉ đơn thuần là việc chứng minh các định lý hay chỉ là việc
áp dụng các quy trình thuật giải để giải một bài toán. Trên thực tế không phải bất cứ
bài toán nào cũng có quy tắc thuật giải mà còn có rất nhiều bài toán buộc học sinh
(HS) phải dùng suy luận của riêng mình để tìm cách thực hiện nó. Thậm chí nhiều
khi phải biến đổi bài toán về dạng quen thuộc, sử dụng các tri thức trung gian được
phát triển từ tri thức sách giáo khoa (SGK) mới có thể huy động được kiến thức để
giải bài toán đặt ra. Việc dạy học theo kiểu áp dụng một cách thức giải quyết nhiệm
vụ chung cho toàn bộ học sinh đã không còn phù hợp. Trong những thập niên gần
đây, người ta đã đề cao việc đề xuất những cách thức giải quyết vấn đề (GQVĐ)
riêng của từng học sinh trong nỗ lực tìm cách thực hiện một nhiệm vụ cụ thể nào
đó. Điều này đã được làm rõ trong lý thuyết kiến tạo (LTKT) “Tri thức được kiến
tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức, chứ không phải được tiếp thu một cách
thụ động từ môi trường bên ngoài” (dẫn theo Cao Thị Hà, 2006).
Tri thức toán học được trình bày trong các giáo trình toán thường là một hệ

thống hoàn chỉnh, chỉ bao gồm các chứng minh thuần túy. Nhưng làm thế nào người
ta đưa ra được chứng minh đó? Trước khi tìm cách chứng minh một định lý nào đó
thì các nhà toán học đã phải dự đoán về nó. Trước khi đưa ra chứng minh chi tiết thì
họ đã phải dự đoán các ý tưởng của chứng minh. “Kết quả công tác sáng tạo của
nhà toán học là suy luận chúng minh, là chứng minh, nhưng người ta tìm ra cách
chứng minh bằng suy luận có lí, bằng dự đoán” (Polya, 1995). Khi giải quyết xong
một nhiệm vụ toán học thì việc tìm cách giải quyết khác và tìm lời giải tối ưu cho
bài toán là một nhu cầu tất yếu trong việc phát triển tư duy. Tại sao phải nhìn vấn đề
theo những cách khác khi đã tìm ra cách thực hiện? Lý do là những quan điểm khác
nhau thường có cái nhìn mới về một vấn đề. Polya đã nói: “Giải quyết một vấn đề
bằng năm cách khác nhau quan trọng hơn nhiều là giải quyết năm vấn đề chì với
một cách duy nhất” (Polya, 1997).
Tư tưởng chủ yếu của việc đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) toán là tổ
chức cho HS học tập trong hoạt động (HĐ) và bằng hoạt động tự giác, chủ động,
tích cực, sáng tạo để từ đó tự mình tìm tòi kiến thức mới. Dạy học theo hướng tiếp
6


cận năng lực (NL) là định hướng quan trọng trong đổi mới giáo dục toán học hiện
nay. Các lý thuyết dạy học hiện đại đặc biệt nhấn mạnh dạy học để người học tự
mình phát hiện kiến thức mới thông qua hoạt động tìm tòi trí tuệ.
Các hoạt động tìm tòi trí tuệ được điều chỉnh bởi hệ thống tri thức và kinh
nghiệm đã có, được tổ chức tuân thủ theo các quy luật nhận thức. Hoạt động tìm tòi
trí tuệ cũng có cơ sở tự hoạt động tư duy đi từ cái đã biết đến cái chưa biết và cần
biết. Nhờ sự tìm tòi trí tuệ người học khám phá được các thuộc tính bản chất của đối
tượng mới cần nghiên cứu, các quy luật về các mối quan hệ cần khám phá.
Đã có nhiều nghiên cứu liên quan đến năng lực tìm tòi trí tuệ của học sinh.
Chẳng hạn như Canadas và Castro (2005), Canadas và cộng sự (2007), Lê Thị Dung
(2014),… nghiên cứu về năng lực dự đoán. Đào Tam (2014), Crugliăc (1976) đã có
những bài viết về cấu trúc của sự tìm tòi trí tuệ,… Tuy vậy chưa có nghiên cứu nào

tìm hiểu sâu về năng lực tìm tòi trí tuệ của học sinh khi học tập môn toán.
Hơn nữa, thực tiễn dạy học toán ở nước ta hiện nay vẫn còn mang nặng lối
dạy học truyền đạt tri thức một chiều, thụ động từ giáo viên đến học sinh. Lối dạy
học “luyện thi” chỉ để phục vụ cho việc thi cử mà ít quan tâm đến sự phát triển tư
duy toán học của học sinh.
Trong chương trình môn Toán ở trường trung học phổ thông (THPT), hình
học không gian (HHKG) là nội dung quan trọng góp phần hoàn thiện tri thức toán
học phổ thông cũng như phát triển tư duy cho HS. Đặc biệt là phát triển trí tưởng
tượng không gian cho HS, chuẩn bị cho việc GQVĐ trong thực tế cuộc sống. Tuy
nhiên khi học nội dung này, HS khó tiếp thu kiến thức do tư duy trừu tượng, trí
tưởng tượng không gian còn hạn chế, suy luận logic toán học chưa chặt chẽ và do
sự thay đổi từ hình học phẳng sang HHKG đã tạo nên hố ngăn cách giữa hình học
phẳng và HHKG. Học sinh chưa được quan tâm đúng mức việc phát triển NL tìm
tòi trí tuệ để GQVĐ. Hơn nữa, nội dung HHKG cũng chứa đựng những yếu tố thích
hợp để phát triển NL tìm tòi trí tuệ cho HS trong quá trình dạy học.
Vì những lý do trên chúng tôi chọn “Phát triển một số năng lực tìm tòi trí tuệ
cho học sinh qua dạy học hình học không gian ở trường trung học phổ thông”
làm đề tài nghiên cứu của mình.

7


1.2. Mục đích nghiên cứu
Trong nghiên cứu này, chúng tôi hướng đến các mục đích cụ thể sau:
 Tìm hiểu thực trạng về năng lực tìm tòi trí tuệ của học sinh khi học tập hình
học không gian ở trường THPT.
 Tìm hiểu những khó khăn mà giáo viên (GV) và học sinh có thể gặp phải khi
dạy học HHKG theo hướng phát triển năng lực tìm tòi trí tuệ của học sinh.
 Tìm hiểu một số giải pháp có thể nâng cao hiệu quả dạy học HHKG theo
hướng phát triển năng lực tìm tòi trí tuệ cho học sinh.

1.3. Câu hỏi nghiên cứu
Nhằm đạt được các mục đích cụ thể của luận văn, chúng tôi sẽ bám sát ba
câu hỏi nghiên cứu sau:
Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Việc dạy học hình học không gian theo hướng phát
triển năng lực tìm tòi trí tuệ cho học sinh được giáo viên tổ chức như thế nào?
Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Trong quá trình dạy và học hình học không gian theo
hướng tìm tòi trí tuệ thì giáo viên và học sinh sẽ gặp những khó khăn gì?
Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Làm thế nào để việc dạy học hình học không gian
theo hướng phát triển năng lực tìm tòi trí tuệ cho học sinh mang lại hiệu quả?
1.4. Ý nghĩa của nghiên cứu
Kết quả nghiên cứu của luận văn được mong đợi sẽ góp phần:
 Nghiên cứu này sẽ mang lại một cái nhìn tổng quan ban đầu về mức độ thành
thạo của HS phổ thông trong việc học HHKG theo hướng tìm tòi trí tuệ.
 Nghiên cứu sẽ cho thấy tầm quan trọng và những khó khăn mà GV và HS có
thể gặp phải khi dạy học HHKG theo hướng phát triển NL tìm tòi trí tuệ.
 Nghiên cứu này có thể làm tài liệu tham khảo cho GV và sinh viên sư phạm
toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT.

8


1.5. Một số thuật ngữ dùng trong luận văn
 Vấn đề: Là một tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc nhóm để giải quyết mà
khi đối mặt với tình huống này họ không thấy ngay các phương pháp hoặc
con đường để thu được lời giải (Trần Vui, 2014).
 Giải quyết vấn đề: Giải quyết vấn đề chỉ quá trình một cá nhân sử dụng kiến
thức, kỹ năng và hiểu biết đã học được trước đây để đáp ứng đòi hỏi của
những tình huống không quen thuộc đang gặp phải (Krulik và Rudnick,
1980).
 Suy luận: Chỉ quá trình một cá nhân có thể sử dụng các quy tắc, các bằng

chứng và những kiến thức đã có để đi đến kết luận, đưa ra các dự đoán hay
xây dựng các giải thích (English, 2004).
 Tư duy: Là cách nghĩ để nhận thức và GQVĐ. Tư duy là quá trình tâm lý
nhờ đó mà con người phản ánh, nhận thức được các sự vật hiện tượng, các
mối quan hệ của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng.
 Tìm tòi trí tuệ: Là hoạt động của HS hướng suy nghĩ của mình vào đối
tượng đang tìm hiểu; họ có nhu cầu tìm hiểu bên trong, có được động cơ bên
trong do chính đối tượng gây nên, hướng họ vào hoạt động tích cực nghiên
cứu phân tích đối tượng để tìm ra cách GQVĐ (Đào Tam, 2014).
 Câu hỏi kết thúc mở: Là câu hỏi trong đó GV đưa ra tình huống và yêu cầu
HS thể hiện bài làm của mình. Câu hỏi kết thúc mở thường có cấu trúc thiếu
như thiếu dữ liệu hay các giả thiết và không có thuật toán cố định để giải.
Điều này dẫn đến có nhiều lời giải đúng cho một câu hỏi kết thúc mở.
1.6. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo và phụ
lục, luận văn gồm có năm chương như sau:
Chương 1. Mở đầu.
Chương 2. Tổng quan các kiến thức liên quan.
Chương 3. Thiết kế nghiên cứu.
Chương 4. Các kết quả nghiên cứu.
Chương 5. Kết luận.
9


Chương 2. TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
2.1. Khái niệm tìm tòi trí tuệ
Theo tác giả Đào Tam (2014): “Tìm tòi trí tuệ là hoạt động của HS hướng
suy nghĩ của mình vào đối tượng đang tìm hiểu; họ có nhu cầu tìm hiểu bên trong,
có được động cơ bên trong do chính đối tượng gây nên, hướng họ vào hoạt động
tích cực nghiên cứu phân tích đối tượng để tìm ra cách GQVĐ”. HS tiếp thu tri thức

không phải trực tiếp qua truyền đạt giản đơn mà thông qua con đường vòng nhờ
những hành động trí tuệ và thao tác tư duy cần thiết, được điều chỉnh bởi tri thức và
kinh nghiệm đã có nhằm tìm ra điều chưa biết.
Các hoạt động tìm tòi trí tuệ nêu trên được điều chỉnh bởi hệ thống tri thức
và kinh nghiệm đã có, được tổ chức tuân thủ theo các quy luật nhận thức. HĐ tìm
tòi trí tuệ cũng có cơ sở tự hoạt động tư duy đi từ cái đã biết đến cái chưa biết và
cần biết. Nhờ sự tìm tòi trí tuệ mà người học khám phá được các thuộc tính bản chất
của đối tượng mới cần nghiên cứu, các quy luật về các mối quan hệ cần khám phá.
2.2. Cấu trúc của sự tìm tòi trí tuệ
Nhờ sự tìm tòi trí tuệ mà HS khám phá ra khái niệm về đối tượng đang tìm
hiểu và các thuộc tính bản chất của nó. Vì vậy cấu trúc của sự tìm tòi trí tuệ trước
hết là do chính nội dung của đối tượng nghiên cứu quyết định. Cấu trúc ấy còn bao
gồm cả mối liên hệ qua lại giữa các trình độ nhận thức, từ việc tri giác các hiện
tượng trực tiếp đến chỗ vạch ra bản chất của chúng.
Theo tác giả M.Crugliăc (1976), cấu trúc của sự tìm tòi trí tuệ gồm các thành
tố quan trọng sau:
2.2.1. Phát hiện mâu thuẫn không trùng hợp, không ăn khớp giữa thông tin
mới với mô hình của các đối tượng mà học sinh đã hình thành trên cơ sở
những tri thức đã lĩnh hội được.
Mới thoạt nhìn điều ấy hình như bất ngờ và làm cho HS ngạc nhiên. Thế là
nảy sinh một tình huống có vấn đề. Khi đó HS ý thức được khó khăn trong việc tìm
hiểu hiện tượng nói trên và thấy phải tìm lối thoát ra khỏi khó khăn ấy, cảm thấy
nhu cầu xây dựng lại mô hình đã có trên cơ sở thông tin mới. Điều này tăng cường
hoạt động trí tuệ nhằm tìm cách GQVĐ đã đặt ra.
10


2.2.2. Phân tích tình huống chứa đựng những vấn đề cần nghiên cứu để hình
thành nhiệm vụ nhận thức.
Thành phần này làm sáng tỏ tình huống tri thức cần khám phá được tách ra

thành những điều đã biết và những điều chưa biết. Từ đó chủ thể nhận thức hiểu
được là “chúng ta cần phải tìm hiểu điều gì?”.
2.2.3. Tách vấn đề cần nghiên cứu thành các vấn đề nhỏ có tính chất bộ phận
để nghiên cứu.
Khi tìm hiểu các tình huống có vấn đề phức tạp cần phải tách vấn đề khởi
điểm cơ bản ra thành nhiều vấn đề (giai đoạn, bước) nhỏ có tính chất bộ phận để
dẫn dắt đến chỗ tìm ra điều cần biết. Vấn đề ban đầu được biến đổi thành một vấn
đề có tính chất phân hóa nhưng đồng thời cũng là một hệ thống vấn đề có tính chất
trọn vẹn bên trong.
Những vấn đề có tính chất bộ phận là những vấn đề cùng phụ thuộc, mỗi vấn
đề trong đó đều gắn bó trực tiếp với nhiệm vụ nhận thức cơ bản với tư cách là một
giai đoạn trung gian kế tục nhau và là một khâu hữu cơ trong chuỗi những mối quan
hệ nhân quả cần thiết để tìm ra điều cần biết. Các vấn đề bộ phận nổi lên thành
những yếu tố cấu trúc để giải một vấn đề phức tạp. Chúng gắn bó với nhau không
phải bằng một mối liên hệ có tính chất hình thức mà được vạch ra một cách có trình
tự, từ vấn đề này phát triển ra thành vấn đề kia và từng bước hướng đến chỗ tìm ra
điều cần biết.
Đồng thời với tiến trình tìm tòi, ở từng giai đoạn của nó cũng diễn ra “mối
liên hệ ngược”. Từ đó mới xác định được rằng giai đoạn ấy đã dẫn dắt chúng ta đến
gần chỗ thông hiểu vấn đề xuất phát ở mức độ nào và chúng ta cần phải tiếp tục làm
gì để tìm ra câu trả lời cuối cùng.
Các bước tìm tòi được chọn và tính chất hợp lý của chúng là tùy thuộc vào
“sợi chỉ” xuất phát từ vấn đề đã được nhận thức, mỗi giai đoạn tìm tòi đều được
đánh giá căn cứ vào mối quan hệ của nó đối với mục tiêu xuất phát có tác dụng điều
chỉnh. Điều đó quyết định cấu trúc của tư duy. Tính chất có trật tự và tính nhất quán
của tư tưởng cũng được phát triển trong quá trình thu thập tri thức. Và điều ấy khiến
cho tri thức được vững vàng, chắc chắn và linh hoạt. Những tri thức tích lũy được
trong khi giải quyết các vấn đề, sau đó được vận dụng có hiệu quả hơn, nhuần
nhuyễn hơn và sáng tạo hơn.
11

Những vấn đề nhỏ này thực hiện chức năng gợi mở, giúp HS hướng vào những
sự kiện còn thiếu để GQVĐ tồn tại.
2.2.4. Huy động những tri thức tương ứng đã có liên quan tới đối tượng mới đang
nghiên cứu và tổ chức chúng nhằm tìm ra cách giải quyết nhiệm vụ.
Việc tìm tòi các tri thức liên quan không phải đơn thuần nhớ lại tri thức đã có
một cách ngẫu nhiên mà là kết quả của hoạt động tìm kiếm có quy luật do nhiệm vụ
nhận thức chi phối, quyết định. Nó liên quan tới nhu cầu huy động và vận dụng điều
đã biết vào quá trình phân tích nhiệm vụ nhận thức mới và tìm ra mối liên hệ giữa
điều đã biết và nhiệm vụ được giao, với điều đang tìm. Trong việc gợi lại như vậy
sự tái hiện điều đã biết gắn bó hữu cơ với hoạt động trí tuệ nhằm tìm ra điều chưa
biết. Sự nhớ lại trong trường hợp như vậy biến thành một mặt thiết yếu của tư duy
sáng tạo. Trong quá trình HS tìm hiểu cách thức GQVĐ tồn tại, các em vận dụng
những tri thức đã lĩnh hội được trước đây. Việc phân tích những tri thức đó sẽ giúp
các em khám phá ra bản chất của đối tượng mới đang nghiên cứu.
Bằng cách đó, GV rèn luyện cho HS kỹ năng trí tuệ biết tổ chức đúng đắn sự
vận động những tri thức đã thu nhận được trong tư duy của mình để tiếp thu thêm
tri thức mới, biết vận dụng tài liệu đã lĩnh hội được để tách trong ấy ra điều thiết
yếu đối với việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức mới. Việc gợi lại những tri thức đã
có để đối chiếu với tài liệu mới đang tìm hiểu có ý nghĩa lớn lao đối với sự phát
triển tư duy độc lập của HS khi tiếp thu tri thức mới.
Ví dụ 2.1. Cho tứ diện ABCD biết AB = a, AC = b, AD = c và các góc
BAC  CAD  DAB  600 . Tính thể tích tứ diện ABCD (Đỗ Văn Cường, 2012).

Khi gặp bài toán tính thể tích tứ diện, HS

A

1

thường áp dụng công thức V  S .h (trong đó:
3

S là diện tích đáy, h là độ dài đường cao) để
tính thể tích của hình chóp. Tuy nhiên, HS gặp

F
B

D

những khó khăn sau: HS không xác định được
vị trí chân đường cao kẻ từ một đỉnh nào đó của
tứ diện, điều này dẫn đến không tính được độ
dài đường cao của tứ diện theo a, b, c. Mặt

E
C
Hình 2.1

khác, HS cũng không thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán này. Từ việc
12


phân tích tình huống trên, HS hình thành nhiệm vụ nhận thức là tính được đường
cao của tứ diện. Việc khắc phục những khó khăn này nhờ sử dụng các tri thức về
mối liên hệ giữa tứ diện ABCD và tứ diện đều (việc nghĩ đến mối liên hệ này là nhờ
vào giả thiết của bài toán cho các góc ở đỉnh A bằng nhau và bằng 600). Do đó, vấn
đề ban đầu sẽ được tách thành tính thể tích tứ diện đều và tỉ số thể tích. Tứ diện đều
có thể được xây dựng từ tứ diện ABCD bằng cách: trên các cạnh AC, AD lần lượt

lấy các điểm E, F sao cho: AE = AF = a và thông qua việc tính tỉ số thể tích giữa hai
tứ diện có chung đỉnh A là ABCD và ABEF để tính được thể tích tứ diện ABCD.
Khi đó, học sinh tính được thể tích tứ diện đều ABEF là VABEF 
tích

a3 2
và tỉ số thể
12

bc
abc 2
VABCD bc
(đvdt).
 2 . Từ đó ta có: VABCD  2 .VABEF 
a
12
VABEF a

2.3. Một số loại hình tri thức định hướng và điều chỉnh hoạt động tìm tòi trí tuệ
2.3.1. Tri thức phương pháp
Phương pháp (PP) luận toán học là hệ thống các PP được dùng trong toán
học và nghiên cứu các nguyên tắc làm cơ sở cho việc xây dựng các lí thuyết của
toán học và các PP tìm kiếm chân lí, thông tin hay tri thức trong Toán học (Nguyễn
Phú Lộc, 2006, tr.9).
Trong quá trình dạy học, HS không chỉ tiếp thu tri thức khoa học mà còn
phải nắm được tri thức PP. “Tri thức, đặc biệt là tri thức PP vừa là điều kiện vừa là
kết quả của hoạt động” (Nguyễn Bá Kim, 2011, tr.143). Cũng theo ông: “Tri thức
không phải là điều có thể dễ dàng cho không, để dạy một tri thức nào đó, thầy giáo
thường không thể trao ngay cho HS điều thầy muốn dạy, cách làm tốt nhất thường
là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để HS chiếm lĩnh nó thông qua

hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo” (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận,
2004, tr.52). Tạo tiền đề cho HS lĩnh hội, kiến tạo, tìm tòi tri thức mới.
Tri thức PP trong hoạt động dạy học toán rất phong phú và đa dạng nên việc
phân loại các tri thức PP là rất khó khăn. Nếu xét về nội dung cơ bản thì tri thức PP
có hai dạng chủ yếu, đó là những tri thức PP có tính chất thuật giải và những tri
thức PP có tính chất tìm đoán (Nguyễn Bá Kim, 2011, tr.144).
13


 Các tri thức PP có tính chất thuật giải: chẳng hạn PP chứng minh hai đường
thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng
vuông góc trong không gian,…
 Tri thức PP có tính chất tìm đoán: chẳng hạn PP tổng quát của Polya để giải
bài tập toán học: tìm hiểu nội dung bài toán, xây dựng chương trình giải,
thực hiện các bước giải, kiểm tra và nghiên cứu lời giải (Polya, 2009).
Không phải bài toán nào ở phổ thông cũng có PP có tính thuật giải mà có
nhiều bài toán cần phải mày mò, có khi thành công có khi thất bại. Do đó,
rèn luyện những tri thức PP có tính tìm đoán là rất quan trọng trong quá trình
dạy học toán.
Theo các tác giả Đào Tam và Trần Trung (2010), tri thức PP có những vai
trò và ý nghĩa sau đây trong dạy học toán:
 Một là, tri thức PP đóng vai trò là cơ sở định hướng trực tiếp cho hoạt động.
Trong quá trình dạy học, ngoài việc giúp HS nắm được tri thức sự vật, cần
đặc biệt chú trọng rèn luyện tri thức về cách thức hoạt động để chiếm lĩnh tri
thức. Trước một vấn đề cụ thể nếu có hệ thống tri thức PP đầy đủ thì HS dễ
dàng tiến hành nhiều hoạt động khám phá các tri thức mới.
 Hai là, tri thức PP giúp HS hình thành các tri thức sự vật mới. Để phát hiện
một quy luật, một định lí, một quy tắc có thể cho HS khảo sát một vài trường
hợp riêng lấy từ nội bộ toán học hoặc khảo sát các hiện tượng thực tiễn. Từ
đó nhờ hoạt động phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa,… mà tìm tòi,

phát hiện tri thức mới.
 Ba là, tri thức PP góp phần quyết định trong việc hình thành và phát triển các
thao tác tư duy của HS, trên cơ sở đó rèn luyện cho HS khả năng sáng tạo
toán học. Các thao tác tư duy cơ bản như phân tích, so sánh, tổng hợp, tương
tự hóa, khái quát hóa, trừu tượng hóa,… Trong đó phân tích và tổng hợp là
hai quá trình ngược nhau nhưng là hai mặt của một quá trình thống nhất.
Chúng là hai thao tác cơ bản của quá trình tư duy. Thường xuyên quan tâm
rèn luyện tri thức PP trong mọi nội dung toán học sẽ góp phần giúp HS hình
thành và phát triển các thao tác tư duy.

14


 Bốn là, tri thức PP giúp HS ứng xử và giải quyết những tình huống tương tự
trong học tập cũng như trong cuộc sống. Nếu HS được rèn luyện tri thức PP
để tìm tòi lời giải các bài toán theo lược đồ bốn bước của Polya thì sẽ giúp
các em nâng cao khả năng phát hiện và GQVĐ khi giải các bài toán tương tự.
Mục đích quan trọng trong dạy học toán không chỉ giúp HS nắm vững cách
giải của từng loại bài tập mà còn rèn luyện tư duy để giải quyết những tình
huống mới.
Trong quá trình dạy học điều quan trọng là GV phải thiết lập những tình
huống có dụng ý sư phạm phù hợp để người học học tập trong hoạt động. “Trong
việc dạy học, ta cần quan tâm cả những tri thức cần thiết lẫn tri thức đạt được trong
quá trình hoạt động” (Nguyễn Bá Kim, 2011, tr.143). Ngoài ra, GV phải nắm được
cấu trúc nhận thức của HS (lôgic nhận thức) để tùy vào tình huống cụ thể (dạy học
khái niệm, dạy học định lý hay dạy học giải bài tập toán,...) mà tổ chức các hoạt
động thích hợp, phù hợp với khả năng điều ứng các mức độ kiến thức đã có để giải
quyết các tình huống mới. GV điều khiển hoạt động của HS, lựa chọn phương pháp
thích hợp giúp người học phát hiện, tiếp cận và GQVĐ một cách khoa học.
2.3.2. Tri thức triết học duy vật biện chứng

“Do khái quát những sự kiện từ tất cả các khoa học và trên cơ sở đó phát
hiện ra những quy luật phát triển của tự nhiên, xã hội và tư duy, phép biện chứng
duy vật là cơ sở phương pháp luận cho mọi lĩnh vực khoa học, trong đó có phương
pháp dạy học môn Toán. Nó quyết định những quan điểm xuất phát, chiến lược
nghiên cứu, quyết định việc lựa chọn phương pháp nghiên cứu và giải thích kết
quả” (Nguyễn Bá Kim, 2011, tr. 26).
Phép biện chứng duy vật chỉ ra mối liên hệ qua lại giữa các sự vật, nó
không chỉ thấy sự tồn tại mà còn thấy cả sự hình thành và tiêu vong của sự vật,
không chỉ thấy trạng thái tĩnh mà còn thấy cả trạng thái vận động, biến đổi của sự
vật (Cao Thị Hà, 2010, tr.39).
Tri thức về phép biện chứng duy vật giúp định hướng, điều chỉnh hoạt động
nhận thức và phát triển cho HS khả năng phát hiện và giải quyết các mâu thuẫn, các
chướng ngại nhận thức. Từ đó tìm tòi cách GQVĐ, định hướng việc phát hiện tri
15


thức mới, mở rộng kiến thức. Những tri thức triết học duy vật biện chứng điển hình
trong việc định hướng và điều chỉnh hoạt động tìm tòi trí tuệ của HS bao gồm:
2.3.2.1. Quan điểm biện chứng về mối quan hệ giữa nội dung và hình thức
Theo quan điểm triết học, nội dung là tổng hợp tất cả các mặt, những yếu tố
tạo nên sự vật, hiện tượng; hình thức là phương thức tồn tại và phát triển của sự vật
và hiện tượng, là hệ quả các mối liên hệ tương đối bền vững giữa các yếu tố của sự
vật, hiện tượng.
Giữa nội dung và hình thức có mối liên hệ qua lại, quy định lẫn nhau, trong
đó nội dung giữ vai trò quyết định. Nội dung đòi hỏi phải có hình thức phù hợp với
nó. Khi nội dung thay đổi thì hình thức cũng thay đổi theo. Tuy nhiên hình thức
cũng có tính độc lập tương đối tác động trở lại nội dung. Khi hình thức phù hợp với
nội dung thì nó là động lực thúc đẩy nội dung phát triển, còn khi không phù hợp thì
hình thức lại cản trở sự phát triển của nội dung. Cùng một nội dung, trong quá trình
phát triển có thể thể hiện dưới nhiều hình thức và ngược lại một hình thức có thể

phù hợp với những nội dung khác nhau.
Theo Đào Tam và Trần Trung (2010), có thể vận dụng phép biện chứng giữa
nội dung và hình thức vào việc phát triển hoạt động nhận thức trong dạy học toán
theo các phương thức sau:
Phương thức 1: Bằng nhiều cách khác nhau có thể lựa chọn hình thức thích
hợp cho việc huy động kiến thức trong quá trình hoạt động biến đổi đối tượng, hoạt
động điều ứng và hoạt động phát hiện kiến thức mới.
Ví dụ 2.2. Cho hình thang S.ABCD có các góc BAD  ABC  900 , AD = 2a,
AB = BC = a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S sao cho
AS = a 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB ta có thể
nhìn nhận bài toán bằng nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn:
Cách 1: Để tính khoảng cách giữa AB và SC ta đưa về tính khoảng cách giữa
AB và mặt phẳng song song với nó và chứa SC.
Từ C dựng CI // AB (I  AD), khi đó AB // (SCI).
Suy ra d(SC, AB) = d(AB, (SCI)) = d(A, (SCI)).
16


S

Dựng AH  SI (H  SI), thì AH  (SCI) nên
AH = d(SC, AB).
Ta có:

H

1
1
1

1
1
3

 2 2 2 2
2
2
AH
AS
AI
2a
a
2a

Vậy: d(SC, AB) = AH =

I

A

a 6
.
3

B

D

C
Hình 2.2

Cách 2: Để tính khoảng cách giữa AB và SC ta đưa về tính độ dài đường
vuông góc chung của chúng.

S

Từ C dựng CI // AB (I  AD), dựng AH  SI (H  SI).
H

Dựng HM // CI (M  SC), dựng MN // AH (N  AB).

I
C

Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của SC và AB.

M

N

a 6
Vậy: d(SC, AB) = MN = AH =
.
3

A

D
Hình 2.3

Cách 3: Để tính khoảng cách giữa AB và SC ta đưa về tính khoảng cách giữa
hai mặt phẳng song song lần lượt chứa AB và SC.
Từ C dựng CI // AB (I  AD).
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa AB và song song với (SCI).
Khi đó d(SC, AB) = d((SCI), (Q)) = d(A, (SCI)) = AH =
Cách 4: Vận dụng công thức d ( SC , AB) 

a 6
.
3

3VSACI
.
SSCI

Phương thức 2: Phát hiện mâu thuẫn do hình thức không phù hợp với nội
dung thúc đẩy hoạt động tư duy, tạo đối tượng cho hoạt động phát hiện, hoạt động
biến đổi đối tượng và hoạt động điều ứng.
Mâu thuẫn xảy ra không chỉ do hình thức che lấp nội dung, hình thức biểu thị
không bình thường mà còn xảy ra khi những phương pháp, tri thức đã có của HS
quá xa lạ với hình thức biểu thị nội dung đó.
Ví dụ 2.3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=

x2  y 2  z2  2 x  2 y  2z  3 + x2  y 2  z2  2 x  2 y  2z  3
17

B

Với dạng toán này, phương pháp thông dụng là sử dụng bất đẳng thức hoặc
công cụ đạo hàm. Tuy nhiên, việc sử dụng các công cụ trên thì rất khó khăn đối với
bài toán này. Hình thức của bài toán đã che lấp nội dung ẩn chứa trong đó. HS có
thể điều ứng và biến đổi hình thức của bài toán về dạng:
P=

( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2 + ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2 .

Biểu thức này khá quen thuộc!, đó chính là công thức độ dài véc tơ. Nếu
chọn các điểm A(1; 1; –1), B(–1; 1; 1) và M(x; y; z). Khi đó AB = 2 2 và
MA  ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2 , MB  ( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2 .Từ bất đẳng thức

tam giác MA + MB ≥ AB, ta suy ra: P ≥ 2 2 , ∀x, y, z.
Dấu đẳng thức xảy ra khi điểm M nằm trên đoạn AB. Vậy ta có giá trị nhỏ
nhất của P là 2 2 .
2.3.2.2. Quan điểm biện chứng về mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng
Cái riêng là phạm trù dùng để chỉ một sự vật, một hiện tượng nhất định. Cái
chung là phạm trù được dùng để chỉ những mặt, những thuộc tính lặp lại trong
nhiều sự vật, nhiều hiện tượng. Giữa cái chung, cái riêng có mối liên hệ biện chứng
với nhau; cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng, biểu hiện thông qua cái riêng; cái
riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ với cái chung, bao hàm cái chung; cái riêng là cái
toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là cái bộ phận nhưng sâu sắc hơn cái
riêng.
Về mặt phương pháp luận, vì cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng nên chỉ có
thể tìm cái chung trong cái riêng. Để phát hiện cái chung cần xuất phát từ những cái
riêng, từ những sự vật hiện tượng và quá trình riêng lẻ chứ không phải từ những ý
kiến chủ quan của con người.
Quan điểm trên cũng phù hợp với quan điểm giáo dục dựa trên khảo sát toán.
“Khảo sát toán học chỉ một tình huống phức tạp một cách toán học mà học sinh cần
phải tìm tòi, khám phá thông qua: thắc mắc, thử nghiệm, nghiên cứu” (Trần Vui,

2014, tr.34). Theo Wells (2001), khảo sát là một cách dạy và học tích hợp “ngạc nhiên và
bối rối”, gợi lên sự quan tâm và động lực học tập. Từ các vấn đề và các câu hỏi thách thức
tạo nên động cơ và sự chú ý của người học để tìm ra các giải pháp và câu trả lời phù hợp.
Với phương pháp này đòi hỏi HS phải mở rộng sự hiểu biết của mình thông qua các hoạt
18


động thay đổi các đối tượng học tập, xây dựng các giả thuyết và tìm cách giải thích các vấn
đề (dẫn theo Nguyễn Lê Nguyên Thảo, 2014).

Các nhà nghiên cứu chỉ ra rằng phương pháp khảo sát đã cải thiện chất lượng
của việc học toán bằng cách cung cấp cho HS nhiều cơ hội để nâng cao và thử
nghiệm các giả thuyết, nhận được những phản hồi nhanh chóng, sử dụng đa biểu
diễn và được tham gia vào quá trình mô hình hoá. Với cách học này người học trở
thành đối tượng khám phá kiến thức và kết quả phản ảnh một cách nhanh chóng sự
chiếm lĩnh tri thức (Da Ponte, 2007).
Công việc khảo sát đóng vai trò then chốt trong mọi chương trình toán. Nó
tùy thuộc vào kiểu lên lớp của thầy giáo và những kiểu học của HS. Nhiều khảo sát
có kết thúc mở tạo ra cơ hội cho những sáng tạo toán học; và mỗi khi lời giải đã
được tìm ra, nhiều hướng giải khác cũng có thể làm theo được. Mở rộng khảo sát
ban đầu có thể hình thành các câu hỏi mới và vấn đề mới cho việc khám phá tiếp
theo (Trần Vui, 2014).
Khảo sát không đưa ra một quy trình cụ thể mà nó đòi hỏi chủ thể phải làm
sáng tỏ dần. Nó cung cấp cho HS sự kích thích cần có để phát triển theo hướng thắc
mắc của mình và quá trình toán học của các em. HS cần phải đặt ra những vấn đề
riêng của họ cho loại nhiệm vụ khảo sát mở. Nói chung, HS có hai cách tiếp cận:
HS có thể đặt ra mục tiêu cụ thể bằng cách đặt ra một bài toán cụ thể để giải quyết
(Cai & Cifarelli, 2005), nhưng họ cũng có thể không có bất kỳ ý tưởng gì về đặt ra
bài toán. Vì vậy, họ chỉ có thể đặt ra mục tiêu chung bằng cách tìm kiếm cho bất kỳ
kết quả nào. Cả hai phương pháp có thể được gọi chung là đặt vấn đề. Do đó, một

hoạt động khảo sát liên quan đến cả hai hoạt động là đặt vấn đề và GQVĐ.
Các nhà giáo dục toán xem việc đặt vấn đề và các bài toán khảo sát như là
một phần của một kiểu nhiệm vụ toán rộng hơn là các “bài toán mở” (Pehkonen,
1995). Pehkonen lập luận rằng bài toán mở phụ thuộc vào tính mở của giả thiết và
mục tiêu hướng đến, được xác định bởi một nhiệm vụ toán. Kiểu đặt ra vấn đề mới
như “điều gì xảy ra nếu không có...” (Brown & Walter, 2005), là một chiến lược đặt
vấn đề dựa trên việc thay đổi giả thiết, tạo ra một không gian cho việc đặt giả thuyết
và hình thành nên các kiến thức mới từ các kết luận của bài toán mới được đặt ra.
Silver và cộng sự (1996) mô tả chiến lược “thao tác hướng mục tiêu” khi đặt ra bài
19


toán mới, trong đó các giả thiết được giữ nguyên và chỉ có mục tiêu của bài toán
ban đầu được thay đổi. Khái quát hoá cũng là một kiểu thay đổi bài toán ban đầu,
nhiều khi cho phép đi đến các kết luận mang tính lý thuyết dựa trên các trường hợp
cụ thể (dẫn theo Nguyễn Lê Nguyên Thảo, 2014). Đặc biệt, trong hình học, nhiều
khi các tính chất mới được khám phá một cách bất ngờ qua việc thay đổi các yếu tố
của bài toán, chứ không phải bằng một cách tiếp cận mang tính hệ thống.
Theo tác giả Trần Vui (2014), việc dạy học lấy khảo sát làm trung tâm có thể
được tiến hành theo mô hình gồm bốn thành phần chính: (1) Bài toán có kết thúc
mở; (2) khảo sát toán; (3) làm việc cá nhân và hợp tác; (4) thảo luận và trao đổi.
 Bài toán có kết thúc mở: khi chuẩn bị lên lớp, thầy giáo suy nghĩ và chọn
những bài toán có kết thúc mở với xác suất có vấn đề cao cho HS. Những
nhiệm vụ này có thể sẽ tạo ra một môi trường trong đó HS có mong muốn
đặt và theo đuổi các vấn đề được đặt ra bởi chính HS.
 Khảo sát toán: thầy giáo đề nghị một vài chỉ dẫn chính của quá trình khảo sát
toán cho một nhiệm vụ cụ thể. Vai trò của GV là dám phiêu lưu trong GQVĐ
và trợ giúp HS làm sáng tỏ câu hỏi để có những khám phá xa hơn.
 Làm việc cá nhân và hợp tác: HS sẽ làm việc với những nhiệm vụ cụ thể theo
cá nhân hoặc theo nhóm nhỏ. Khi HS làm việc từng cặp hay trong nhóm nhỏ

để tìm lời giải của các bài toán đòi hỏi suy luận, các em sẽ tìm ra được nhiều
cách giải hơn là khi làm việc một mình. Điều này có ý nghĩa thiết thực hơn
đối với HS.
 Thảo luận và trao đổi: Toàn lớp sẽ được tổ chức thảo luận. Từng nhóm trình
bày công việc và kết quả của mình cho lớp, chứ không phải cho GV, nhằm
chia sẽ ý tưởng và cách trả lời. Vai trò của GV trong giai đoạn này là thúc
đẩy và động viên các em nỗ lực tham gia thảo luận.
Theo Đào Tam và Trần Trung (2010), chúng ta có thể vận dụng phép biện
chứng giữa cái chung và cái riêng vào việc phát triển hoạt động nhận thức trong dạy
học toán theo những phương thức sau:

20


Phương thức 1: Luyện tập cho HS hoạt động khảo sát, tương tác qua các
trường hợp riêng thông qua hoạt động phát hiện để tìm cái chung, tri thức mới tổng
quát hơn.
Con đường tổng quát của hoạt động nhận thức theo phương thức này có thể
tóm tắt như sau: (1) Khảo sát trên một vài trường hợp riêng; (2) hoạt động phân
tích, so sánh, tổng hợp để tìm mối liên hệ giữa các yếu tố thành phần; (3) hoạt động
khái quát hóa đưa ra dự đoán về tính chất chung; (4) kiểm chứng và rút ra tính chất
chung (nếu đúng) ở tình huống mới.
Phương thức 2: Xuất phát từ yêu cầu giải đáp của một vấn đề cụ thể (một
trường hợp riêng), thông qua hoạt động khái quát hóa, biến đổi đối tượng, đề xuất
và giải đáp vấn đề tổng quát (cái chung), từ đó giải quyết trường hợp riêng ban đầu
và cụ thể hóa nhiều trường hợp khác liên quan.
Ví dụ 2.4. Từ bài toán: “Cho ∆SAB có M là trung điểm của cạnh AB, một
đường thẳng d bất kì cắt các cạnh SA, SB, SM lần lượt tại A’, B’, M’. Chứng minh
rằng

SA SB
SM
” (Đào Tam, 2014). Chúng ta có thể thiết kế thành bài toán

2
SA ' SB '
SM '

kết thúc mở sau đây nhằm tạo cơ hội cho HS tư duy, tìm tòi, khám phá: “Cho ∆SAB
có M là trung điểm của cạnh AB, một đường thẳng d bất kì cắt các cạnh SA, SB, SM
lần lượt tại A’, B’, M’. Tìm mối liên hệ giữa

SA SB
SM
và
”.

SA ' SB '
SM '

Như vậy, thay vì yêu cầu HS chứng minh một đẳng thức theo kiểu dạy học truyền
thống, ở bài toán trên việc đầu tiên HS phải thực hiện là tìm kiếm một công thức liên hệ.
Để tiến hành tìm kiếm công thức HS có thể khảo sát một số trường hợp riêng (cái riêng) từ
đó dự đoán công thức cần tìm (cái chung).

Trường hợp 1: đường thẳng d chính là trung tuyến AB’.
S

Lúc này M’ chính là trọng tâm của ∆SAB.
Khi đó

SA SB
SM 3

 1  2  3 , trong khi
 .
SA ' SB '
SM ' 2

Trong trường hợp này ta có:

SA SB
SM
.

2
SA ' SB '
SM '

B'
M'
A

M
Hình 2.4

Trường hợp 2: đường thẳng d chính là đường trung bình của ∆SAB ứng với
cạnh AB.
21

B


Lúc này M’ chính là trung điểm của SM.
Khi đó

S

SA SB
SM

 2  2  4 , trong khi
 2.
SA ' SB '
SM '

Trong trường hợp này ta cũng có:

A'

B'
M'

SA SB
SM
.

2
SA ' SB '
SM '

A

Hình 2.5

Trường hợp 3: đường thẳng d song song với AB.
Sử dụng định lí Thales ta được:

S

SA SM SB
SM
.

,

SA ' SM ' SB ' SM '

Trong trường hợp này ta cũng có:

B

M

A'

B'
M'

SA SB

SM
.

2
SA ' SB '
SM '

A

M
Hình 2.6

B

Từ việc khảo sát một số trường hợp riêng như trên, HS có thể dự đoán công
thức cần tìm “có thể là”:

SA SB
SM
?

2
SA ' SB '
SM '

Việc xét các trường hợp riêng nhằm tạo cơ hội đưa ra dự đoán cho kết quả và
nó cũng có thể giúp định hướng lời giải cho bài toán tổng quát. Tuy nhiên không
phải lúc nào và bất cứ HS nào cũng có thể nghĩ đến nó. Để làm được điều này HS
cần phải có năng lực và quan trọng là các em phải được thực hành nó thường xuyên.
Chẳng hạn khi xét trường hợp riêng thứ ba, bằng việc liên tưởng sử dụng định lí

Thales cho bài toán tổng quát ban đầu, HS có thể tiến hành chứng minh giả thuyết
đã đưa ra.
Qua B, C dựng BM1 và CM2 song song với d
S

(M1, M2 ∈ d).

B'
A'

SA SM 1 SB SM 2
Ta có:
.

,

SA ' SM ' SB ' SM '

Do đó:

M'
M1
M

SA SB SM1  SM 2
SM


2
SA ' SB '

SM '
SM '

B

A
Hình 2.7

M2

Sau khi tìm được kết quả cho bài toán, nếu xem kết quả của bài toán trên là
một cái chung, bằng cách khảo sát các trường hợp đặc biệt (cái riêng) ta có các bài
toán sau:
Bài toán 1. Xét trường hợp SAB là tam giác đều ta có:

22

1
1
3


.
SA ' SB ' SM '