Một số dạng toán cơ bản về dao động điều hòa

Bài 1: Đại cương về dao động điều hòa
1. Các định nghĩa về dao động cơ
♦ Dao động cơ học.
- Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là vị trí cân bằng.
♦ Dao động tuần hoàn
- Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ, theo hướng cũ sau
những khoảng thời gian bằng nhau xác định (Chu kì dao động)
♦ Dao động điều hòa
- Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm cos hay sin theo thời
gian.
2. Phương trình dao động điều hòa
♦ Phương trình li độ:
- Phương trình dao động :
Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa :
+ x : li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. Đơn vị tính (cm, m..)
+ A : Biên độ dao động hay li độ cực đại. Đơn vị tính (cm, m..)
+ ω : tần số góc của dao động , đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số dao
động. Đơn vị tính (rad/s).
+ φ : pha ban đầu của dao động (t = 0), giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm
ban đầu. Đơn vị tính (rad)
+ (ωt + φ) : pha dao động tại thời điểm t, giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời
điểm bất kỳ t. Đơn vị tính (rad)
* Chú ý : Biên độ dao động A luôn là hằng số dương.
♦ Phương trình vận tốc
Phương trình vận tốc :
Nhận xét :
- Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc:
- luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo
chiều âm thì v < 0).
♦ Phương trình gia tốc
Phương trình gia tốc:

Nhận xét :
- Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc , nhanh pha hơn li độ góc π.
- luôn hướng về vị trí cân bằng.
♦ Phương trình liên hệ giữa x, A, v và ω độc lập với thời gian:
Ta có :
* Chú ý :
Khi vật ở VTCB : x = 0; |v|
max
= ωA; |a|
min
= 0
Khi vật ở biên : x = ±A; |v|
min
= 0; |a|
max
= ω
2
A
3. Các đại lượng trong dao động cơ
♦ Chu kì dao động T(s):
Là khoảng thời gian ngắn nhất để vật thực hiện được một dao động toàn phần, hay là khoảng thời
gian ngắn nhất để trạng thái dao động được lặp lại như cũ. Nếu trong khoảng thời gian Δt vật thực
hiện được N dao động thì ta có: Δt = N.T
♦ Tần số dao động f(Hz):
Là số lần dao động trong một đơn vị thời gian, nó là đại lượng nghịch đảo của chu kỳ dao động.
♦ Mối quan hệ giữa chu kì, tần số và tần số góc:
Biểu thức:
4. Năng lượng trong dao động cơ:
Cơ năng = Động năng + Thế năng.
♦ Động năng:

♦ Thế năng :
♦ Định luật bảo toàn cơ năng: W = W
đ
+ W
t
= = W
đmax
= W
tmax
= const
Trong quá trình dao động thì động năng và thế năng có sự biến đổi qua lại, động năng tăng thì thế
năng giảm và ngược lại nhưng tổng của chúng là cơ năng (năng lượng toàn phần) luôn được bảo
toàn.
* Chú ý :
- Dao động điều hoà có tần số góc là ω, tần số f, chu kỳ T. Thì động năng và thế năng biến thiên
với tần số góc 2ω, tần số 2f, chu kỳ T/2
- Động năng và thế năng trung bình trong thời gian nT/2 ( nЄN*) là:
5. Một số dao động có phương trình đặc biệt:
• x = a ± Acos(ωt + φ) với a = const.
Các tham số của phương trình :
- Biên độ là A, tần số góc là ω, pha ban đầu φ
- x là toạ độ, x0 = Acos(ωt + φ) là li độ.
- Toạ độ vị trí cân bằng x = a, toạ độ vị trí biên x = a ± A
- Vận tốc v = x’ = x0’, gia tốc a = v’ = x” = x0”
- Hệ thức độc lập: a = -ω2x0 ;
• x = a ± Acos2(ωt + φ)
Sử dụng công thức hạ bậc lượng giác ta có:
x = a ± Acos2(ωt + φ) =
→ Biên độ dao động là A/2; tần số góc 2ω, pha ban đầu 2φ.
6. Cách lập phương trình dao động điều hòa

Gọi phương trình dao động là x = Acos(ωt + φ) (cm). Để viết phương trình dao động chúng ta cần
tìm ba đại lượng A, ω, φ
- Tìm ω từ các công thức:
- Tìm A, φ từ điều kiện ban đầu.
* Chú ý :
- Với thể loại bài toán lập phương trình thì chúng ta cần xác định gốc thời gian (t = 0), nếu đề bài
không yêu cầu thì để cho đơn giản hóa bài toán chúng ta chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân
bằng theo chiều dương.
- Khi thả nhẹ thì ta hiểu là vận tốc ban đầu v
0
= 0, còn nếu cho vận tốc ban đầu v
0
≠ 0 thì chúng ta
áp dụng hệ thức liên hệ để tìm các thông số khác.
7. Ví dụ điển hình:
Ví dụ 1:
Một vật dao động điều hòa với phương trình :
a. Tính biên độ dao động, tần số góc, pha ban đầu, chu kỳ, tần số dao động.
b. Lập phương trình vận tốc và phương trình gia tốc.
c. Li độ, vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t = 4s; t = 4,2s.
d. Giá trị cực đại của li độ, vận tốc và gia tốc.
Hướng dẫn giải:
Đây là một bài toán rất cơ bản về dao động điều hòa. Để làm tốt chúng ta chỉ cần nhớ các đặc
trưng cơ bản nhất của dao động điều hòa.
a. Đối chiếu với phương trình dao động điều hòa tổng quát ta tìm được các đại
lượng :
- Biên độ dao động A = 4cm
- Tần số góc:
- pha ban đầu:
- Chu kỳ dao động:

- Tần số dao động:
b. Phương trình vận tốc:
Phương trình gia tốc:
c. Tại thời điểm t = 4s:
Tại thời điểm t = 4,2s:
d. Li độ cực đại: x
max
= A = 4cm
Vận tốc cực đại:
Gia tốc cực đại:
Ví dụ 2:
Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 2s và biên độ dao động là 2cm. Viết phương trình dao
động trong các trường hợp sau:
a. khi t = 0 thì vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
b. khi t = 0 thì vật qua vị trí có li độ x = - 1cm theo chiều dương.
Hướng dẫn giải:
Gọi phương trình dao động điều hòa của vật là:
Tần số góc dao động:
a. Khi t = 0 ta có:
Tần số góc dao động:
Vậy phương trình dao động của vật là:
b. Khi t = 0 ta có:
Vậy phương trình dao động của vật là:
Ví dụ 3:
Một vật dao động điều hòa có phương trình: . Vận tốc của vật khi vật qua
vị trí có li độ x = 3cm là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải :
Đây là dạng bài toán mà cho biết 3 trong 4 đại lượng x, v, A và ω. Để giải quyết đơn giản chúng ta
sử dụng hệ thức liên hệ. Áp dụng hệ thức liên hệ giữa x, v, A và ω ta có:
Ví dụ 4:

Một vật dao động điều hòa với phương trình: . Tìm những thời điểm mà
vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm.
Hướng dẫn giải :
Đối với những dạng bài tập tìm thời điểm (thời gian t) thì chúng ta chỉ cần quan tâm đến li độ và
chiều chuyển động ở thời điểm đó rồi giải phương trình lượng giác tìm t. Cụ thể với bài toán này
thì thời gian t mà vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm thỏa mãn hệ phương trình:
8. Bài tập tương tự luyện tập:
Bài 1: Một vật dao động điều hòa có phương trình: x = 2cos(10πt + π/4 ) (cm)
a) Hãy cho biết biên độ, tần số, chu kì và pha ban đầu của dao động.
b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở các thời điểm t = 0 và t = 0,5s.
Bài 2: Hệ dao động đều hoà gồm quả cầu và lò xo. Gia tốc cực đại và vận tốc cực đại của quả cầu
lần lượt là :
amax
= 18m/s
2
và v
max
= 3m/s . Xác định tần số và biên độ dao động của hệ.
Bài 3: Một vật dao động với biên độ 3cm, chu kì 0,5s. Tại thời điểm t = 0, hòn bi đi qua vị trí cân
bằng.
a) Viết phương trình dao động của vật.
b) Hòn bi có li độ x = 1,5cm; x = 3cm vào những thời điểm nào?
Bài 4: Một chất điểm dao động điều hòa dọc theo trục x với biên độ 10 cm và chu kì 2s. Lấy gốc
tọa độ là vị trí cân bằng. Viết phương trình dao động trong các trường hợp:
a) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm qua vị trí cân bằng theo chiều dương.
b) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ cực đại theo chiều âm.
c) Chọn gốc thời gian lúc chất điểm có li độ x = +5 cm và đi theo chiều dương.
Bài 5: Viết phương trình dao động của một chất điểm dao động điều hòa trong các trường hợp sau:
a) Tần số f = 0,5 Hz, lúc t = 0 chất điểm có li độ x = cm, đi theo chiều dương và có tốc độ
cm/s.

b) Lúc t = 0, chất điểm có li độ x = 4 cm và v = 0. Vận tốc của chất điểm có giá trị cực đại là 8π
cm/s.
Một số dạng toán cơ bản về dao động điều hòa
1. Kiến thức nền tảng:
- Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kỳ dao động là S = 4A.
- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = 2A.
- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = A.
- Chiều dài quỹ đạo: 2A.
2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển
động tròn đều.
Xét một vật chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A
và tốc độ góc là ω. Tại thời điểm ban đầu chất điểm ở vị trí điểm
M
0
và tạo với trục ngang một góc φ. Tại thời điểm t chất điểm ở vị
trí điểm M và góc tạo với trục ngang là (ωt + φ). Khi đó hình chiếu
của điểm M xuống Trục ngang là OP có độ dài đại số
.
Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động điều hòa.
* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công cụ
rất mạnh" trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong dao động điều
hòa. Không chỉ giới hạn trong phạm vi của chương Dao động cơ học này mà ở các chương về
Dao dộng điện từ hay Dòng điện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó. Và việc
hiểu để áp dụng được là một yêu cầu cần thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài toán.
3. Các dạng bài toán cơ bản:
Dạng 1: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x
1
đến x
2

Cách giải : Chúng ta sử dụng ứng dụng của hình chiếu dao động điều hòa vào chuyển động tròn
đều. Các bước thực hiện như sau :
- Xác định các vị trí x
1
và x
2
trên trục quỹ đạo.
- Tính các góc φ
1
, φ
2
với thỏa mãn (0 ≤ φ
1
, φ
2
≤ π)
- Thời gian ngắn nhất cần tìm là:
* Ví dụ điển hình :
Ví dụ 1 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 8s, tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí
đến vị trí có li độ
Hướng dẫn giải :
Ta có tần số góc:
Vậy thời gian ngắn nhất mà vật đi từ đến là .
Ví dụ 2 :
Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A. Tìm thời gian ngắn nhất mà vật đi từ vị
trí:
a. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí x = A.
b. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí .
c. đến vị trí x = A.
Hướng dẫn giải :

Thực hiện các thao tác như ví dụ 1 chúng ta có:
a.
b.
c.
NHẬN XÉT : 3 Trường hợp trên là những trường hợp phổ biến nhất trong các kỳ thi và hầu như
các bài toán lớn hơn thì biến đổi đều đưa về 3 trường hợp trên. Từ đó chúng ta cần ghi nhớ công
thức:
Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = A hoặc x = -A và ngược lại thì
Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí hoặc và ngược lại thì
Khi vật đi từ vị trí đến vị trí x = A hoặc đến x = -A và ngược lại thì
Dạng 2: Tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến t
2
.
Cách giải : Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật dựa vào việc giải các phương trình lượng
giác sau:
(v
1
và v
2
chỉ cần xác định dấu)
Phân tích: Δt = t
2
– t
1
= n.T + T/2 + T/4 + t
0
(n ЄN; 0 ≤ t
0

< T/4)
- Quãng đường đi được trong thời gian n.T + T/2 + T/4 là S
1
= n.4A+ 2A + A
- Ta tính quãng đường vật đi được trong thời gian t
0
là bằng cách sau:
• Tính li độ x
1
và dấu của vận tốc v
1
tại thời điểm