một số dạng toán cơ bản về dao động điều hoà

Một số dạng toán cơ bản về dao động điều hòa
1. Kiến thức nền tảng:
- Quãng đường mà vật đi được trong 1 chu kỳ dao động là S = 4A.
- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = 2A.
- Quãng đường mà vật đi được trong chu kỳ dao động là S = A.
- Chiều dài quỹ đạo: 2A.
2. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và hình chiếu của chuyển động tròn đều.
Xét một vật chuyển động tròn đều trên đường tròn có bán kính A và tốc độ góc là ω. Tại thời điểm ban
đầu chất điểm ở vị trí điểm M
0
và tạo với trục ngang một góc φ. Tại thời điểm t chất điểm ở vị trí điểm M
và góc tạo với trục ngang là (ωt + φ). Khi đó hình chiếu của điểm M xuống Trục ngang là OP có độ dài
đại số .
Khi đó ta nói hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều là một dao động điều hòa.
* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công cụ rất
mạnh" trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong dao động điều hòa. Không
chỉ giới hạn trong phạm vi của chương Dao động cơ học này mà ở các chương về Dao dộng điện từ hay
Dòng điện xoay chiều chúng ta cũng sẽ gặp lại ứng dụng của nó. Và việc hiểu để áp dụng được là một
yêu cầu cần thiết và giúp chúng ta giải quyết nhanh các bài toán.
3. Các dạng bài toán cơ bản:
Dạng 1: Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x
1
đến x
2

Cách giải : Chúng ta sử dụng ứng dụng của hình chiếu dao động điều hòa vào chuyển động tròn đều. Các
bước thực hiện như sau :
- Xác định các vị trí x
1
và x
2

trên trục quỹ đạo.
- Tính các góc φ
1
, φ
2
với thỏa mãn (0 ≤ φ
1
, φ
2
≤ π)
- Thời gian ngắn nhất cần tìm là:
* Ví dụ điển hình :
Ví dụ 1 : Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T = 8s, tính thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí
đến vị trí có li độ
Hướng dẫn giải :
Ta có tần số góc:
Vậy thời gian ngắn nhất mà vật đi từ đến là .
Ví dụ 2 :
Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T và biên độ là A. Tìm thời gian ngắn nhất mà vật đi từ vị trí:
a. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí x = A.
b. x = 0 (vị trí cân bằng) đến vị trí .
c. đến vị trí x = A.
Hướng dẫn giải :
Thực hiện các thao tác như ví dụ 1 chúng ta có:
a.
b.
c.
NHẬN XÉT : 3 Trường hợp trên là những trường hợp phổ biến nhất trong các kỳ thi và hầu như các bài
toán lớn hơn thì biến đổi đều đưa về 3 trường hợp trên. Từ đó chúng ta cần ghi nhớ công thức:
Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = A hoặc x = -A và ngược lại thì

Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí hoặc và ngược lại thì
Khi vật đi từ vị trí đến vị trí x = A hoặc đến x = -A và ngược lại thì
Dạng 2: Tìm quãng đường vật đi được từ thời điểm t
1
đến t
2
.
Cách giải : Xác định vị trí và chiều chuyển động của vật dựa vào việc giải các phương trình lượng giác
sau:
(v
1
và v
2
chỉ cần xác định dấu)
Phân tích: Δt = t
2
– t
1
= n.T + T/2 + T/4 + t
0
(n ЄN; 0 ≤ t
0
< T/4)
- Quãng đường đi được trong thời gian n.T + T/2 + T/4 là S
1
= n.4A+ 2A + A
- Ta tính quãng đường vật đi được trong thời gian t
0
là bằng cách sau:
• Tính li độ x

1
và dấu của vận tốc v
1
tại thời điểm
• Tính li độ x
2
và dấu của vận tốc v
2
tại thời điểm t
2

• Nếu trong thời gian t
0
mà vật không đổi chiều chuyển động (v
1
và v
2
cùng dấu) thì quãng đường đi được
trong thời gian cuối t
0
là S
2
= |x
2
- x
1
|
• Nếu trong thời gian t
0
mà vật đổi chiều chuyển động (v

1
và v
2
trái dấu) thì để tính quãng đường đi được
trong thời gian cuối t
0
ta phải biểu diễn chúng trên trục tọa độ rồi tính S
2
. Từ đó quãng đường tổng cộng là
S = S
1
+ S
2

CHÚ Ý :
+ Nếu Δt = T/2 thì S
2
= 2A
+ Tính S
2
bằng cách định vị trí x
1
, x
2
và chiều chuyển động của vật trên trục Ox
+ Trong một số trường hợp có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và
chuyển động tròn đều sẽ đơn giản hơn.
+ Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t
1
đến t

2
: với S là quãng đường tính như trên.
Ví dụ điển hình :
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Tính quãng đường vật đi
được trong 1,1s đầu tiên.
Hướng dẫn giải: Quãng đường vật đi được trong 1,1s đầu tiên tức là tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động.
Như vậy chúng ta phải thay t = 0 vào phương trình li độ và phương trình vận tốc để kiểm tra xem vật bắt
đầu đi từ vị trí nào và theo chiều nào.
Ta có :
Tại t = 0 :
Vậy vật bắt đầu đi từ vị trí x = - 1cm theo chiều dương. Ta lại có
Quãng đường vật đi được là S = 5.4A+ 2A = 22A = 44cm.
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình . Tính quãng đường vật đi
được trong 2,25s đầu tiên.
Hướng dẫn giải:
Cách 1 : (Sử dụng phân tích) Ta có : ; (s) Quãng đường vật đi được
trong 2s đầu tiên là S
1
= 4A = 16cm.
- Tại thời điểm t = 2s :
- Tại thời điểm t = 2,25s :
Từ đó ta thấy trong 0,25s cuối vật không đổi chiều
chuyển động nên quãng đường vật đi được trong
0,25s cuối là S
2
= .
Vậy quãng đường vật đi được trong 0,25s là
S =
Cách 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều).
Tương tự như trên ta phân tích được Δt = 2,25s = T + 0,25(s)

Trong một chu kỳ T vật đi được quãng đường S
1
= 4A = 16cm
Xét quãng đường vật đi được trong 0,25s cuối. Trong thời gian 0,25s cuối thì góc mà vật quét được trên
đường tròn bán kính A = 4cm là Độ dài hình chiếu của vật chính là quãng
đường đi được. Độ dài hình chiếu này là .
Từ đó ta cũng tìm được quãng đường mà vật đi được là S =
Dạng 3: Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < Δt < T/2.
Cách giải:
NHẬN XÉT : Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một
khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí
biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn để để giải bài toán. Góc quét Δφ
= ωΔt.