GIAO AN PPM k11 HH c3 b1 b2 b3 b4 b5

TÊN BÀI: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. Mục tiêu của bài (chủ đề)
1. Kiến thức:
-Quy tắc hình hộp để cộng vectơ trong không gian;
-Khái niệm và điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.
2. Kỹ năng:
-Vận dụng được phép cộng, trừ vectơ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng của hai vectơ, sự bằng nhau
của hai vectơ trong không gian để giải bài tập.
-Biết cách xét sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ trong không gian.
3. Thái độ:
- Cẩn thận, chính xác, nghiêm túc, tích cực họat động .
4. Đinh hướng phát triển năng lực:
- Phát triển năng lực tư duy trừu tượng, trí tưởng tưởng tượng không gian.
- Biết quan sát và phán đoán chính xác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên:
Mô hình véctơ, thước kẻ, hình hộp mô hình.
2. Học sinh:
Xem lại kiến thức vectơ trong mặt phẳng đã học ở lớp 10.
Xem trước bài mới: Vectơ trong không gian.
III. Chuỗi các hoạt động học
TIẾT 1.
1. GIỚI THIỆU (HOẠT ĐỘNG TIẾP CẬN BÀI HỌC)
GV Chia lớp thành 4 nhóm mỗi nhóm 3 bàn trả lời vào các phiếu học tập sau:
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
1. Nêu định nghĩa vectơ trong mặt phẳng, nêu khái niệm hai vectơ cùng phương, hai vectơ bằng
nhau trong mặt phẳng.
2. Với ba điểm A, B, C tùy ý trong mặt phẳng. Em hãy nêu quy tắc cộng, trừ vectơ cho ba điểm
đó ?
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
1. Trong mặt phẳng em hãy:

a) Nêu quy tắc trung điểm I của đoạn thẳng AB.
b) Nêu quy tắc trọng tâm G của tam giác ABC.
2. Trong mặt phẳng cho hình bình hành ABCD, hãy nêu quy tắc hình bình hành mà em đã học.
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 3
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tính các tổng sau:
uuu
r uuur
a) AB  AD  ?


uuur uuur
b) AC  AA '  ?
uuu
r uuur uuur
Từ a) và b) hãy tính tổng AB  AD  AA '  ?
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 4
r
1. Nêu khái niệm phép nhân vectơ a với một số k �0 trong mặt phẳng.
2. Điền
r r vào chỗ trống các tính chất còn thiếu của phép nhân vectơ với một số trong mặt phẳng, với
hai véc tơ a, b bất kỳ k, h là hai số tùy ý.
r r
a. k (a  b)  ... ……………

r
b. (h  k )a  ... …………….

r
c. h(k a )  ... ……………….

r
r
d. 1a  ...;  1a  ... ……….

2. NỘI DUNG BÀI HỌC (HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC)
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
2.1 Đơn vị kiến thức 1 (10 phút)
a) Tiếp cận (khởi động)
Từ phiếu học tập số 1, hãy nêu định nghĩa vectơ trong không gian.
b) Hình thành
1. Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
uuur
Ký hiệu AB chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B.

r ur r r r u
r
Chú ý:+ Vectơ còn được ký hiệu là : a, b, u , v, x, y...
+ Các khái niệm có liên quan đến vec tơ như: giá, độ dài , cùng phương……… tương tự như
trong mặt phẳng
c) Củng cố
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD.
a) Hãy chỉ ra các vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là các đỉnh còn lại của tứ diện ?
uuu
r uuur uuur
b) Các vectơ đó AB, AC , AD cùng nằm trong một mặt phẳng không ?
Giải


uuu
r uuur uuur

a) Có các vectơ sau : AB, AC , AD .
b) Các vectơ ở câu a) không cùng nằm trên một mặt phẳng.
2.2 Đơn vị kiến thức 2 (10 phút)
a) Tiếp cận (khởi động)
Từ phiếu học tập số 2, hãy nêu định nghĩa phép cộng và phép trừ
của hai vectơ trong không gian.
b) Hình thành
2. Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian.
- Phép cộng và phép trừ vectơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ trong
mặt phẳng
- Khi thực hiện cộng vectơ trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành
như đối với vectơ trong hình phẳng.
c) Củng cố
uuur uuur uuur uuur
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh: AC  BD  AD  BC .
Giải:

uuur uuur uuur
Theo quy tắc ba điểm ta có: AC = AD  DC .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Do đó : AC  BD  AD  DC  BD  AD  BD  DC  AD  BC .





2.3 Đơn vị kiến thức 3 (10 phút)
a) Tiếp cận (khởi động)
Từ phiếu học tập số 3, hãy nêu quy tắc hình hộp.
b) Hình thành

Quy tắc hình hộp.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.Có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD, AA’
uuu
r uuur uuuur uuuu
r
và có đường chéo là AC’. Khi đó ta có quy tắc hình hộp: AB  AD  AA '  AC '
c) Củng cố
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng :
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur
a ) AB  AH  GC  FE  AD
uuu
r uuur uuur uuur uuu
r r
b) AB  AD  AE  GH  GB  0
Giải:
uuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r
uuur uuur r uuur uuur uuur
a) Ta có: AB  AH  GC  FE  AB  FE  AH  GC  0  AH  HD  AD



b) Ta có:

 







uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuu
r uuur r
AB  AD  AE  GH  GB  AB  AD  AE  GH  GB  AG  GA  AA  0



2.4 Đơn vị kiến thức 4 (15 phút)

 




a) Tiếp cận (khởi động)
Từ phiếu học tập số 4, hãy nêu định nghĩa phép nhân của vectơ với một số trong không gian.
b) Hình thành
3. Phép nhân vectơ với một số.
- Định nghĩa tích của một vectơ với một số giống như trong mặt phẳng.

- Các tính chất của phép nhân vectơ với một số giống như trong hình học phẳng.
c) Củng cố
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC và G là trọng tâm của
tam giác BCD chứng minh rằng:
uuuu
r 1 uuu
r uuur
a) MN  ( AB  DC )
2
uuu
r uuur uuur
uuur
b) AB  AC  AD  3 AG
Giải:
uuuu
r 1 uuur uuuu
r 1 uuur uuu
r uuuu
r uuur 1 uuu
r uuur
uuur uuuu
r
r uuur
1 uuu
a) Ta có: MN  ( MB  MC )  ( MA  AB  MD  DC )  (( AB  DC )  ( MA  MD ))  ( AB  DC )
2
2
2
2
b) Ta có:

uuu
r uuur uuu
r
AB  AG  GB
uuur uuur uuur
AC  AG  GC
uuur uuur uuur
AD  AG  GD
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur
uuur
Cộng các đẳng thức theo vế ta có: AB  AC  AD  GB  GC  GD  3 AG





uuu
r uuur uuur r
Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên GB  GC  GD  0 .
uuu
r uuur uuur
uuur
suy ra AB  AC  AD  3 AG .
TIẾT 2.
II. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VÉCTƠ. ĐIỀU KIỆN ĐỂ BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG.
2.5 Đơn vị kiến thức 5 (17 phút)
a) Tiếp cận (khởi động)
HĐ1: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các

cạnh AB và BC. Chứng minh rằng đường thẳng IK và ED song song với mặt
phẳng (AFC).


b) Hình thành

uuur r uuur r uuur r
r r r r
Cho a,b,c �0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA  a
, OB  b , OC  c .
r r r

 Nếu OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a,b,c không đồng phẳng.
r r r

 Nếu OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a,b,c đồng phẳng.
Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hay không đồng phẳng của ba vectơ không phụ thuộc vào vị trí điểm
O.
Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

c) Củng cố
Ví dụ 5:
1/ Cho hình hộp ABCD. A1B1C1 D1 . Chọn khẳng định đúng?
uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r uuur uuuur
A. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng.
B. CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng.

uuuu
r uuur uuur
uuur uuur uuur
C. CD1 , AD, A1C đồng phẳng.
D. AB, AD, C1 A đồng phẳng.
2/ Trong các khẳng
r định
r r sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
r r r
r
B. Nếu trong ba vectơ a, b, c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.
r r r
C. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
r r r
D. Nếu trong ba vectơ a, b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh

uuur uuur uuuu
r

AB, CD. Chứng minh rằng ba vectơ BC , AD, MN đồng phẳng.
Giải:
Gọi I là trung điểm của AC. Khi đó, mp(MNI) chứa MN và song song với
với các đường thẳng BC và AD. Ta suy ra ba đường thẳng BC, MN và AD
uuur uuur uuuu
r
cùng song song với một mặt phẳng. Khi đó ta nói ba vectơ BC , AD, MN
đồng phẳng.
2.6 Đơn vị kiến thức 6 (28 phút)

a) Tiếp cận (khởi động)
HĐ: Nhắn lại định lý về sự phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương trong hình học phẳng?


b) Hình thành
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:
r
ur r r
ur
Định lý 1: Cho ba vectơ a, b, c trong đó a và b không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ
r
r
r
ur r r
a, b, c đồng phẳng là có các số m, n sao cho c  ma  nb . Hơn nữa các số m, n là duy nhất.

ur r r
r
Định lý 2: Trong không gian cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Khi đó, với mọi vectơ x , ta tìm
r
r
r
r
được các số m, n, p sao cho x  ma  nb  pc . Hơn nữa các số m, n, p là duy nhất.

c) Củng cố
Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm P, Q
uuu
r 1 uuur uuu

r 1 uuur
lần lượt thuộc các đường thẳng AB và BC sao cho PA  PD, QB  QC . Chứng minh rằng các điểm M,
2
2
N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.
Giải:
uuu
r 1 uuur
uuur
uuur uuuu
r
Từ hệ thức PA  PD ta được: MP  2 MA  MD .
2
uuuu
r
uuur uuuu
r
Tương tự, MQ  2 MB  MC .
uuur uuuu
r
uuuu
r
Từ hai hệ thức trên suy ra: MP  MQ  2 MN .
uuur uuuu
r uuuu
r
Vậy ba vectơ MP, MQ, MN đồng phẳng hay các điểm M, N, P, Q
cùng thuộc một mặt phẳng.

Ví dụ 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xét các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng A’C và C’D
uuuur
uuuu
r uuuur
uuu
r r uuur r uuur r
uuur
uuur
uuuu
r
sao cho MA '  3MC , NC '   ND . Đặt BA  a, BB '  b, BC  c . Hãy biểu thị các vectơ BM và BN
r r r
qua các vectơ a, b, c.
Giải:
uuuur
uuuu
r
uuur uuur
uuur uuur
MA '  3MC � MB  BA '  3 MB  BC
uuur
uuu
r uuur
uuur
� 4 MB   BA  BB '  3BC









uuuu
r 1r 1r 3r
� BM  a  b  c .
4
4
4
uuur 1 r 1 r r
Tương tự, BN  a  b  c .
2
2

TIẾT 3.
3. LUYỆN TẬP (10 phút)

uuu
r r uuur r uuur r
Bài tập 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh 4. Đặt AB  a, AD  b, AA '  c . Gọi M, N theo
r r r
uuuu
r
thứ tự trên AC và A’B sao cho AM  A ' N  x . Hãy biểu thị vectơ MN qua các vectơ a, b, c. (hình bên)

Giải: Ta có:
uuuu
r uuur uuur
x uuur uuur uuuur

x uuur uuur
x uuuur uuur
MN  MA  AN  
AC  AA '  A ' N  
AC  AA ' 
A ' A  AB
4 2
4 2
4 2





r r r
r r
x
ab c
c  a
4 2
4 2



r
x r � x �
b�
1
c
�.

4 2
� 4 2�

x















4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG
4.1 Vận dụng vào thực tế (10 phút)
Bài tập 2: Bên trong phòng khách một căn nhà có dạng hình lập phương, được ký hiệu ABCD.A’B’C’D’
cạnh bằng 4(m). Người ta tiến hành trang trí ngôi nhà bằng cách gắn dây lụa nối từ điểm M đến N theo thứ


tự trên AC và A’B sao cho AM  A ' N  x . Biết rằng chủ nhà muốn trang trí bằng dây lụa nhập khẩu giá
500.000 nghìn đồng 1m. Hỏi phải trang trí bằng cách nào cho đỡ tốn chi phí nhất? Chi phí mua dây là bao nhiêu?

Giải.
uuuu

r
r
x r � x �
b�
1
c.
Theo kết quả của bài tập 1, ta có: MN  
�
4 2
� 4 2�
2
x2 r 2
2 x � x �r r � x � r 2
b 
1
b.c  �
1
Do đó, MN 
�
�c
32
4 �
� 4 2� � 4 2�
2

2

x2
� x � 2
 .16  �

1
.16  x 2  4 2 x  16.
�
32
� 4 2�



MN 2  x  2 2



2

 8 �8 .

Vậy để chi phí ít nhất thì MN  2 2m .
Chi phí phải mua là 2 2 �500.000 �1.414.214 đồng.
4.2 Mở rộng, tìm tòi (mở rộng, đào sâu, nâng cao,…) (25 phút)
r r
ur
r r
r
Câu 1:Trong không gian cho hai véc tơ a, b đều khác vectơ – không. Hãy xác định m  2a, n  3b và
ur ur r
p  mn.
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu

r
Câu 2: Tìm tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn đẳng thức MA  MB  MC  MD  4MG .
Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm P, Q lần
uuu
r
uuur uuu
r
uuur
lượt thuộc các đường thẳng AB và BC sao cho PA  k PD, QB  kQC  k �1 . Chứng minh rằng các điểm
M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.
Giải:
uuur uuuu
r
uuur MA  k MD
uuu
r
uuur
Từ hệ thức PA  k PD ta được: MP 
1 k


uuur uuuu
r
uuuu
r MB  k MC
Tương tự, MQ 
.
1 k
uuur uuuu
r 2k uuuu

r
MN .
Từ hai hệ thức trên suy ra: MP  MQ 
k 1
uuur uuuu
r uuuu
r
Vậy ba vectơ MP, MQ, MN đồng phẳng hay các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.
Trắc nghiệm.

r uuu
r u
r uuur r uuur
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt x  AB; y  AC ; z  AD. Khẳng định
nào sau đây đúng?
uuur 1 r u
r r
uuur
r r
1 r u
A. AG  ( x  y  z ) .
B. AG   ( x  y  z ) .
3
3
uuur 2 r u
r r
uuur
r r
2 r u
C. AG  ( x  y  z ) .

D. AG   ( x  y  z ) .
3
3
ABCD
.
A
B
C
D
Câu 2: Cho hình hộp
1 1 1 1 với tâm O . Chọn đẳng thức sai.
uuur uuur uuur uuuur
uuuu
r uuur uuur uuur
A. AB  AA1  AD  DD1 .
B. AC1  AB  AD  AA1 .
uuur uuuu
r uuur uuuu
r r
uuu
r uuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuu
r
C. AB  BC1  CD  D1 A  0 .
D. AB  BC  CC1  AD1  D1O  OC1 .

Câu 3: Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn đẳng thức sai?
uuur uuu

r uuuur uuuur
uuur uuuur uuuur uuur
A. BC  BA  B1C1  B1 A1 .
B. AD  D1C1  D1 A1  DC .
uuur uuu
r uuur uuuu
r
uuu
r uuuur uuuu
r uuur
C. BC  BA  BB1  BD1 .
D. BA  DD1  BD1  BC .
Câu 4:Cho tứ diện ABCD . Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD . Chọn khẳng định đúng?
uuur 1 uuur uuur
uuur 1 uuur uuur
A. PQ  BC  AD .
B. PQ  BC  AD .
4
2
uuur 1 uuur uuur
uuur uuur uuur
C. PQ  BC  AD .
D. PQ  BC  AD .
2
Câu 5: Cho hình hộp ABCD. A1B1C1 D1 . Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức đúng.
uuuur uuuu
r uuuur 1 uuuur
uuuur uuur uuuur uuuur
A. B1M  B1 B  B1 A1  B1C1 .
B. C1 M  C1C  C1 D1  C1 B1 .

2
uuuur uuuu
r 1 uuuur 1 uuuur
uuur uuuur uuuur
uuuu
r
C. C1 M  C1C  C1 D1  C1 B1 .
D. BB1  B1 A1  B1C1  2 B1 D .
2
2
Câu 6: Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành
BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
uuur uuur uuur
uuur uur uuur
A. BD, AK , GF đồng phẳng.
B. BD, IK , GF đồng phẳng.
uuur uuur uuur
uuur uur uuur
C. BD, EK , GF đồng phẳng.
D. BD, IK , GC đồng phẳng.
uuuu
r r
B C D có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC �
Câu 7: Cho hình hộp ABCD. A����
u ,
r r
uuur r uuuu
r r uuuu
 y . Khẳng định nào sau đây đúng?
CA '  v , BD�

 x , DB�
uur 1 r r r r
uur
1 r r r r
A. 2OI   u  v  x  y  .
B. 2OI    u  v  x  y  .
2
2
uur 1 r r r r
uur
1 r r r r
C. 2OI   u  v  x  y  .
D. 2OI    u  v  x  y  .
4
4











TÊN BÀI: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC (2 tiết)
I. Mục tiêu của bài

1. Kiến thức:



Nắm khái niệm góc giữa hai vectơ trong không gian, tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian.
Nắm được định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng; định nghĩa 2
đường thẳng vuông góc trong không gian.

2. Kỹ năng:
 Biết dựng góc giữa 2 vectơ; vận dụng linh hoạt công thức tích vô hướng của 2 vectơ trong không
gian; xác định được góc của 2 đường thẳng trong không gian.
 Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc trong không gian.
 Hình thành cho học sinh các kĩ năng khác:
- Thu thập và xử lý thông tin.
- Tìm kiếm thông tin và kiến thức thực tế, thông tin trên mạng Internet.
- Làm việc nhóm trong việc thực hiện dự án dạy học của giáo viên.
- Viết và trình bày trước đám đông.

3. Thái độ:





Cẩn thận, chính xác.
Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy khái quát, tương tự.
Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm
Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn

4. Đinh hướng phát triển năng lực:

 Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động.
 Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải
quyết bài tập và các tình huống.
 Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu
hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học.
 Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình.
 Năng lực tính toán.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên:
 Các câu hỏi gợi mở.
 Máy chiếu, máy tính.
2. Học sinh:
 Các dụng cụ học tập, bảng phụ.
 Các kiến thức về vectơ trong không gian.
III. Chuỗi các hoạt động học
1. GIỚI THIỆU (HOẠT ĐỘNG TIẾP CẬN BÀI HỌC) (15 phút)
- Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận các kiến thức, vectơ chỉ phương của hai đường thẳng, góc
giữa hai đường thẳng trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian.
- Nội dung, phương thức tổ chức:
+ Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm. Nội dung nghiên cứu của các nhóm:
 Nhóm 1:
 Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng (Hình học 10).
uuu
r uuur
 Xác định góc giữa hai vectơ AB, BC trong hình sau:


 Nhóm 2:
 Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng. (Hình học 10)
uuur uuur

 Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tính AB. AC .

 Nhóm 3: Nêu khái niệm góc giữa hai đường thẳng cắt nhau. Nhận xét về mối quan hệ về góc giữa
hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
 Nhóm 4: Nêu định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng. Lấy ví dụ về hình ảnh hai
đường thẳng vuông góc trong thực tế.
+ Thực hiện: Các nhóm thảo luận, viết vào bảng phụ và cử đại diện trình bày trước lớp.
+ Báo cáo, thảo luận: Lần lượt từng nhóm trình bày đáp án trước lớp, các nhóm khác nhận xét, góp ý. Giáo
viên đánh giá chung và giải thích các vấn đề học sinh chưa giải quyết được.
- Từ nội dung trình bày của các nhóm, GV nhận xét, từ đó đặt vấn đề vào bài mới: nghiên cứu các vấn đề
đã đặt ra đối với véctơ và đường thẳng vuông góc trong không gian.
2. NỘI DUNG BÀI HỌC (HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC)
2.1 ĐVKT1: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. (15 phút)
- Mục tiêu: Tiếp cận khái niệm góc giữa hai vectơ, công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong không
gian.
- Nội dung, phương thức tổ chức:
2.1.1. Góc giữa hai vectơ trong không gian


a) Tiếp cận (khởi động):

GỢI Ý

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Xác Chuyển giao: GV yêu cầu học sinh quan sát
hình vẽ và trả lời các câu hỏi.
định góc giữa các cặp vectơ sau:
uuu
r uuur
a) AB, AC





Thực hiện: Các em học sinh trả lời (có thể sai)

uuur uuuuu
r
b) AB, A ' C '





uuu
r uuuuur
c) AB, D ' C '



uuu
r uuuuur
d) AB, A ' D '







GV nhận xét và dẫn dắt vào định nghĩa.
uuu
r uuur
0
a) AB, AC  45





uuu
r uuuuu
r
0
b) AB, A ' C '  45





uuu
r uuuuur
0
c) AB, D ' C '  0





uuur uuuuur

0
d) AB, A ' D '  90





b) Hình thành kiến thức.
r r r
Định nghĩa. Trong không gian, cho u , v �0 , lấy điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho:
uuur r uuur r
r
r
� �1800 ) là góc giữa hai vectơ u và v , kí hiệu là
�
(0 �BAC
AB  u , AC  v khi đó ta gọi góc BAC
r r
(u, v) .

c) Củng cố.

GỢI Ý

Câu hỏi: Khi nào thì góc giữa hai vectơ - Cùng hướng.
- Vuông góc.
bằng 00 ,900 ,1800 ?
- Ngược hướng.
r r
0

0
Chú ý: 0 � u, v �180 .

 

Ví dụ 1.
Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm - Chuyển giao: Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm.
của AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ:
 Nhóm 1, 2: Câu a.
uuur
uuu
r
a) AB và BC
 Nhóm 3, 4: Câu b.
- Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình bày vào
uuur
uuur
b) CH và AC
bảng phụ, sau đó cử đại diện lên trình bày.


2.1.2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian


a) Tiếp cận (khởi động):

GỢI Ý

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a .
Tính các tích vô hướng sau:

uuur uuur
a) AB. AC

2.2
Chuyển giao: GV yêu cầu học sinh suy nghĩ và
trả lời.

uuur uuur
b) AB.CD

Thực hiện: Các em học sinh trả lời (có thể sai)

uuur uuur
c) AB. AA '

GV nhận xét và dẫn dắt vào định nghĩa.

uuur uuur
a) AB. AC  a 2
uuu
r uuur
b) AB.CD   a 2
uuur uuur
c) AB. AA '  0

b) Hình thành kiến thức.
r r r
r
r

Định nghĩa. Trong không gian cho hai vectơ u , v �0 . Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một
rr r r
r r
r r
số, kí hiệu là u . v , được xác định bởi công thức: u.v | u | . | v | cos u , v .

 

Chú ý: Từ công thức trên ta có
r
r
+ Biểu thức độ dài của một vectơ | u | u 2 .
rr
r r
u.v
+ Tính góc giữa hai vectơ: cos(u , v)  r r .
| u |.| v |
r r
rr
+ (u , v)  900 � u.v  0 .

c) Củng cố.

GỢI Ý

Ví dụ 2.
Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '

uuuu
r

uuur
a) Hãy phân tích AC ' và BD theo
uuu
r uuur uuur
AB, AD, AA ' .
uuuu
r uuur
b) Tính cos  AC ', BD  ?

- Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm.
 Nhóm 1, 2: Câu a.
 Nhóm 3, 4: Câu b.
- Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình bày vào
bảng phụ, sau đó cử đại diện lên trình bày.
- GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện.

Kếtuuquả.
uu
r uuu
r uuur uuur
a) AC '  AB  AD  AA '
uuur
uuu
r uuur
BD   AB  AD
uuuur uuur


ĐVKT2: VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG. (15 phút)
- Mục tiêu: Học sinh hiểu khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian, từ đó rút ra

được các nhận xét.
- Nội dung, phương thức tổ chức:


a) Tiếp cận (khởi động):

GỢI Ý

2.3

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Kể tên
một số VTCP của đường thẳng d đi qua hai
điểm B, C .

b) Hình thành kiến thức.
+ Chuyển giao: Nêu định nghĩa VTCP của đường thẳng trong không gian. Rút ra nhận xét.
+ Thực hiện: HS làm việc độc lập, đưa ra câu trả lời nhanh nhất. GV quan sát, nhận xét.
+ Báo cáo, thảo luận: Sau thời gian tìm hiểu, GV gọi HS đứng dậy trả lời. Các HS khác lắng
nghe, nhận xét, bổ sung.
+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: GV tổng hợp, chuẩn hóa kiến thức.Yêu cầu HS ghi bài vào vở.
1. Định nghĩa

r r
r
Vectơ a �0 được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng với
đường thẳng d.

c) Củng cố.
2. Nhận xét

r
r
a) Nếu a là VTCP của d thì k .a cũng là VTCP của d  k �0  .
b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn có thể xác định nếu biết một điểm A thuộc d
r
và một VTCP a của nó.
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi là hai đường thẳng phân biệt và có hai
VTCP cùng phương.
ĐVKT3: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC (20 phút)
- Mục tiêu: Học sinh hiểu khái niệm góc giữa hai đường thẳng và khái niệm hai đường thẳng vuông góc.
Vận dụng giải quyết một số bài tập liên quan.
- Nội dung, phương thức tổ chức:


2.3.1. Góc giữa hai đường thẳng


a) Tiếp cận (khởi động):

GỢI Ý

Cho biết góc giữa các cặp đường thẳng sau:

H1: 300

H2: 600

H3: 900

b) Hình thành kiến thức.

1. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a ', b ' cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song với a, b .

2. Nhận xét:
a. Điểm O có thể nằm trên đường thẳng a hoặc b .
r r
b. Nếu u, v lần lựợt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a, b :

r r
r r
0
- Nếu u , v �90 thì góc giữa hai đường thẳng bằng góc u, v .

 

 

r r
r r
0
0
- Nếu u , v  90 thì góc giữa hai đường thẳng bằng 180  u, v .

 

 


2.3.2. Hai đường thẳng vuông góc

a) Tiếp cận (khởi động):

GỢI Ý

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' . Kể
tên các đường thẳng vuông góc với AB .

3.

b) Hình thành kiến thức.
1. Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 900 .
Kí hiệu: a  b
2. Nhận xét:
r r
urr
a. a  b � u.v  0 trong đó u , v lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng a, b .

a // a '
�
�b  a'
b. �
ba
�
c. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể cắt nhau hoặc không cắt nhau.
c) Củng cố.

GỢI Ý

+ Dùng định nghĩa.

Hãy nêu một số phương pháp chứng minh + Chứng minh tích vô hướng hai vectơ chỉ phương của
hai đường thẳng vuông góc trong không hai đường thẳng đó bằng 0.
gian?
a // a '
�
�b  a'
+�
ba
�
- Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm.
 Nhóm 1, 2: Ví dụ 6
 Nhóm 3, 4: Ví dụ 7
- Thực hiện: Học sinh dựa vào kiến thức liên quan trong mặt phẳng, tìm hiểu làm ví dụ vào bảng
phụ.
- Báo cáo, thảo luận: Các nhóm treo bảng phụ, cử đại diện báo cáo kết quả. Các nhóm khác nhận
xét, phản biện.
- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn
hóa kiến thức. HS viết bài vào vở.


LUYỆN TẬP (15 phút)
Bài toán.
Bài toán 1] Cho hình lập phương
ABCD. A����
B C D . Tính góc giữa hai đường
thẳng AC và A�
D.

GỢI Ý

Gợi ý:

B C D là hình lập phương nên các tam giác
Do ABCD. A����
� ��
AB�
C ; A��
C D là các tam giác đều � DA
C  60�
C nên
Mặt khác AC / / A��
AC ; A�
D   �
A��
C ; A�
D   60�
�

Bài toán 2. Cho hình hộp thoi
ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và
�
�' BA  B
�' BC  600 . Chứng minh tứ
ABC  B
giác A’B’CD là hình vuông.

Gợi ý:
Trước hết ta dễ thấy tứ giác A’B’CD là hình bình hành, ngoài ra

B’C = a = CD nên nó là hình thoi. Ta chứng minh hình thoi
A’B’CD là hình vuông. Thật vây, ta có:
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuu
r
a2 a2
CB '.CD  CB  BB ' .BA  CB.BA  BB '.BA   
 0 Su
2
2
y ra CB '  CD . Vậy tứ giác A’B’CD là hình vuông.



Bài toán 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là
hình vuông ABCD cạnh bằng  a và các cạnh
bên đều bằng a . Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AD và SD . Tính số đo của
góc giữa hai đường thẳng MN , SC .



Gợi ý:
Ta có: MN / / SA �  MN , SC    SA, SC  .
Ta

lại

có:

AC  a 2 .

Xét

SAC ,

nhận

thấy:

AC 2  SA2  SC 2 .

Theo định lí Pitago đảo, SAC vuông tại S . Suy ra:
0
�ASC  900 hay  MN , SC    SA, SC   90 .


Bài toán 4. Cho hình chóp S . ABC có
�  CSA
� . Chứng
SA  SB  SC và �
ASB  BSC
minh SC  AB .

Gợi ý:
uuu
r uuu

r uuu
r uur uur uuu
r uur uuu
r uur
Ta có SC. AB  SC. SB  SA  SC.SB  SC.SA





uuu
r uur
uuu
r uur uuu
r uur
uuu
r uur
 SC . SB .cos SC.SB  SC . SA .cos SC.SA









�  SC.SA.cos �
 SC.SB.cos BSC
ASC.

uuu
r uuu
r
� �
Mà SA  SB  SC và BSC
ASC � SC. AB  0 .

Do đó SC  AB .

Gợi ý:
Bài toán 5. Cho tứ diện ABCD có AB  CD .
Gọi I , J , E , F lần lượt là trung điểm của
AC , BC , BD, AD . Chứng mình IE  JF .

�IF P CD
�
Ta có IF là đường trung bình của ACD � �
.
1
IF  CD
�
�
2
�JE P CD
�
Lại có JE là đường trung bình của BCD � �
.
1
JE


CD
�
�
2
�IF  JE
��
� Tứ giác IJEF là hình bình hành.
�IF P JE
1
�
IJ  AB
�
�
2
Mặt khác: �
. Mà AB  CD � IJ  JE .
�JE  1 CD
�
2
Do đó IJEF là hình thoi. Suy ra  IE , JF   90�.

4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG


4.1 Vận dụng vào thực tế (5 phút)
CÂU HỎI
HS lấy ví dụ cụ thể về hai đường thẳng vuông góc
(cắt nhau, không cắt nhau) trong thực tế?

GỢI Ý

* Hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau)

Xà ngang và cột dọc của một khung thành
* Hai đường thẳng vuông góc (chéo nhau)

Tuyến đường sắt trên cao và tuyến đường bộ bên dưới
cho ta hình ảnh của hai đường thẳng vuông góc
4.2 Mở rộng, tìm tòi (mở rộng, đào sâu, nâng cao,…) (5 phút)
THÁP NGHIÊNG PISA – KIẾN TRÚC KÌ LẠ CỦA THẾ GIỚI
Tháp nghiêng Pisa – Công trình kiến trúc kì lạ của thế giới
Tháp nghiêng Pisa là một trong những kiệt tác kiến trúc nổi tiếng bậc nhất thế giới. Độ nghiêng của
tháp thách thức thời gian và trở thành điểm nhấn thú vị của kiệt tác kiến trúc này.


Tháp nghiêng Pisa được bắt đầu xây dựng từ năm 1173 và hoàn thành vào năm 1372. Sở dĩ quá
trình thi công công trình này kéo dài như vậy vì việc xây dựng bị tạm dừng trong 199 năm do chiến tranh
nổ ra.
Khi hoàn thành xây dựng tầng thứ 3 vào năm 1178, tháp nghiêng Pisa bắt đầu nghiêng về phía Bắc. Nguyên
nhân khiến tòa tháp bị nghiêng là do móng của công trình đào không sâu. Sau khi hoàn thành quá trình xây cộng
thêm những nỗ lực nâng phần lún của tháp để giữ tháp đượg đi qua 2 điểm A’và B’.
Hoạt động 2: Hình thành định lí
Định lí ba đường vuông góc.
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng
(  ). B là đường thẳng không nằm trong
mặt phẳng (  ) đồng thời không vuông
góc với (  ). Gọi b’ là hình chiếu của b
lên mặt phẳng (  ). Khi đó a vuông góc
với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.

Gợi ý

+ Từ HĐ 1, học sinh nêu định lí ba đường vuông góc.
+ Vì a nằm trong (  ) nên a vuông góc với AA’
Nếu a vuông góc với b thì a vuông góc với mp (b,b ’).
Do đó a vuông góc với b’.
+ Ngược lại nếu a vuông góc với b’ thì a vuông góc với
mp (b,b’). Do đó a vuông góc với b.

Hoạt động 3: Củng cố định lí
VD. Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình
vuông, SA  ( ABCD ) . Gọi M và N lần
lượt là hình chiếu của điểm A lên các
đường thẳng SB và SD . Mệnh đề nào sau
đây đúng?

Gợi ý
S
N

M
D

A

A. SC   AMN  .
B. BC   AMN  .

B

C. SA   AMN  .

C

ĐÁP ÁN: A. SC   AMN  .

D. CD   AMN  .

AM  SB �
�AM  ( SBC ) (1)
AM  BC �
AN  SD �
�AN  ( SDC ) (2)
AN  DC �
�

SC  AM �
�� SC  ( AMN ) (đpcm).
SC  AN �

2.5.3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hoạt động 1: Tiếp cận định nghĩa
+ Yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa về góc
giữa hai đường thẳng trong không gian?

Gợi ý
a

b

+ Nêu cách xác định góc giữa 2 đt trong

không gian.

a'
b'
O

+ Để xác định góc giữa hai đt a và b ta có thể lấy điểm
O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một
đường thẳng đi qua O và song song với đường thẳng


còn lại.
Hoạt động 2: Hình thành định nghĩa
Định nghĩa

Gợi ý
d
A

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (  ).
d'

O

H

Trường hợp đường thẳng d vuông góc với
mặt phẳng (  ) thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng d và mặt phẳng (  ) bằng 900.

Trường hợp đường thẳng d không vuông góc
với mặt phẳng (  ) thì ta nói rằng góc giữa
đường thẳng d và hình chiếu d’ của nó trên
gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (
 ).

+ Từ HĐ 1, học sinh nêu định nghĩa góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng.
+ Khi d không vuông góc với mp(  ) và d cắt (  ) tại
điểm O, ta lấy một điểm A tùy ý trên d khác với O. Gọi
H là hình chiếu vuông góc của A lên mp (  ) và  là
góc giữa d và (  ) thì �
AOH   .

Chú ý: Nếu  là góc giữa d và (  ) thì ta
luôn có 00 � �900 .
Hoạt động 3: Củng cố định nghĩa
VD. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA = a 2 và
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Gợi ý
S
N
M

a/ Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB
và SD. Tính góc giữa đường thẳng SC và
(AMN).

A

B

b/ Tính góc giữa đường thẳng SC và (ABCD).

D
C

a/ Ta có
BC  AB, BC  AS � BC  (ASB)
� BC  AM
SB  AM � AM  ( SBC ) � AM  SC
Tương tự chứng minh AN  SC
Vậy SC  ( AMN ) do đó góc giữa đường thẳng SC và
mp (AMN) bằng 900.
b/ ta có AC là hình chiếu của SC lên mp (ABCD) nên
� là góc giữa đt SC và mp (ABCD). Tam giác vuông
SCA
� =
SAC vuông cân tại A có AS  AC  a 2 do đó SCA
450.