Dáng điệu tiệm cận của một số bất biến của lũy thừa các iđêan phủ

VI N H N L M KHOA H¯C V C˘NG NGH VI T NAM
VI NTO NH¯C

NGUY N THU H NG

D NG I UTI MC NCÕAM¸TS¨B TBI NCÕA LÔY THØA C C I AN
PHÕ

LU N

NTI NS TO NH¯C

H Nºi - 2019


VI N H N L M KHOA HC V CNG NGH VI T NAM VI NTO
NHC

NGUY N THU H NG

D NGI UTI MC NCếAMáTSăB TBI N
CếA LễY THỉA C C I AN PHế
Chuyản ng nh:

i s v Lỵ thuyt s

MÂ s: 9 46 01 04

LU N

NTI NS TO NHC

Tp th hữợng dÔn:
TS. Trn Nam Trung
GS.TS. Lả Th Thanh Nh n

H Ni - 2019


ii

Tõm tt

Cho R = k[x1; : : : ; xn] l v nh a thức n bin trản trữớng k v H = (V; E) l
siảu ỗ th trản tp nh V = f1; : : : ; ng vợi tp cnh E: Ta liản kt vợi H mt
i ảan ỡn thức khổng chứa bnh phữỡng
J(H) = \ (xi j i 2 E)

R:

E2E

J(H) ữổc gồi l i ảan ph ca siảu ỗ th H. Lun Ăn tp trung nghiản cứu
v tnh n nh ca hai bĐt bin quan trồng l sƠu v ch s chnh
quy Castelnuovo-Mumford (gồi tt l ch s chnh quy) ca lụy tha ca
i ảan ph liản kt vợi hai lợp siảu ỗ th unimodular v cƠn bng, khi lụy tha
lợn. Dỹa trản viằc nghiản cứu cĂc nh nguyản ca cĂc a diằn lỗi, lun Ăn
 t ữổc cĂc kt quÊ chnh v tnh giÊm ca h m sƠu
v tnh tiằm cn tuyn tnh ca ch s chnh quy. Bản cnh õ, lun Ăn
cụng ữa ra cĂc chn trản hổp lỵ cho tnh n nh ca hai bĐt bin ữổc
nghiản cứu.

Lun Ăn ữổc chia l m 3 chữỡng.
Trong Chữỡng 1; chúng tổi giợi thiằu mt s khĂi niằm v kt quÊ v
mi quan hằ gia i ảan ỡn thức khổng chứa bnh phữỡng v siảu ỗ
th; trnh b y li cổng thức Takayama; nghiản cứu cĂc tnh chĐt quan
trồng ca ca a diằn lỗi cõ liản quan n phức bc; nhc li b i toĂn quy
hoch tuyn tnh.
Trong Chữỡng 2; chúng tổi tp trung nghiản cứu v tnh giÊm ca h
m sƠu v chn trản ch s n nh ca h m sƠu ca lụy tha cĂc i ảan
ph.
Trong Chữỡng 3; chúng tổi tp trung nghiản cứu v tnh tiằm cn
tuyn tnh ca ch s chnh quy ca lụy tha cĂc i ảan ph.


iii

Abstract

Let R = k[x1; : : : ; xn] be a polynomial ring in n variables over a field
k; and H = (V; E) be a hypergraph with vertex set V, edge set E: We
consider a square-free monomial ideal corresponding to H as follows:
J(H) := \ (xi j i 2 E)

R:

E2E

J(H) is called cover ideal of H: The main aim of this thesis focuses on
studying the stability of two important invariants in commutative algbra,
which are depth and Castelnuovo-Mumford regularity (regularity for
short). We investigate these invariants for large enough powers of

cover ideals of balanced hypergraphs, and unimodular hypergraphs.
It is based on investigating polytopes with integral vertices. We obtain
some main resutls for non-increasing property of depth functions and the
asymptotic behavior of regularity of cover ideals. In addition, this thesis
also gives a suitable upper bound for the index of depth stabbility, and a
reasonable bound for the stable position of regularity.

This thesis is divided into three chapters.
Chapter 1, we introduce some basic notation, and resutls about the
rela-tions between square-free monomial ideals and hypergraphs; recall
Takayama’s formula; study some useful properties of polytopes.
Chapter 2; we consider the non-increasing property of depth functions
and show a suitable upper bound for the index of depth stabbility.

Chapter 3; we investigate the asymptotic behavior of regularity of
pow-ers of cover ideals.


iv

Lới cam

oan

Tổi xin cam oan Ơy l cổng trnh nghiản cứu ca tổi ữổc ho n th
nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS. Trn Nam Trung v GS.TS. Lả Th Thanh
Nh n. CĂc kt quÊ vit chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữổc sỹ nhĐt tr ca
cĂc ỗng tĂc giÊ trữợc khi ữa v o lun Ăn. CĂc kt quÊ ữổc nảu trong lun Ăn
l trung thỹc v chữa tng ữổc ai cổng b trong bĐt ký cổng trnh n o
khĂc.

TĂc giÊ
Nguyn Thu Hng


v

Lới cÊm ỡn

Lun Ăn n y ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn, ch bÊo vổ cũng tn
tƠm v sƠu sĂt ca Thy, Cổ tổi: TS. Trn Nam Trung v GS.TS. Lả Th
Thanh Nh n. Thy v Cổ Â bọ ra rĐt nhiu cổng sức khổng ch dÔn
dt, giÊng dy cho tổi v kin thức, kinh nghiằm v tữ duy ca ngữới l m
ToĂn, m cặn luổn ch bÊo cho tổi cĂch thức nhn nhn ca ngữới l m
ToĂn trong cuc sng. Thy, Cổ Â khổng ngng kiản nhÔn, ht lặng lo
lng cho mt hồc trặ cõ vổ v n khõ khôn cÊ v kin thức v sức khọe
nhữ tổi. Tổi xin ữổc b y tọ tĐm lặng bit ỡn vổ hn n Thy, Cổ.
Tổi xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn vổ cũng sƠu sc n GS.TSKH. Lả
TuĐn Hoa. Thy  luổn quan tƠm v sĂt sao i vợi tổi trản con ữớng hồc
tp. Thy  to mồi iu kiằn thun lổi tổi cõ cỡ hi tham gia cĂc hi thÊo
quan trồng, cĂc bui hồc v cĂc vĐn mợi. Vợi tĐm lặng ca mnh, tổi
xin ữổc trƠn trồng cÊm ỡn Thy.
Tổi cụng trƠn trồng cÊm ỡn Viằn ToĂn hồc, Trung tƠm o to sau i
hồc, cĂc phặng chức nông ca Viằn ToĂn hồc, Â to iu kiằn thun lổi
tổi hồc tp v nghiản cứu ti Viằn. Tổi cụng trƠn trồng cÊm ỡn GS.TSKH.
Ngổ Viằt Trung, GS.TSKH. Nguyn Tỹ Cữớng, PGS. TS. Nguyn Cổng
Minh  to iu kiằn thun lổi tổi ữổc tham gia cĂc sinh hot khoa hồc
ca phặng i s, Viằn ToĂn hồc, cĂc seminar ti Viằn nghiản cứu cao cĐp
v ToĂn v cĂc seminar ti i hồc Sữ phm H Ni. c biằt, tổi xin ữổc b y tọ
lặng cÊm ỡn sƠu sc tợi TS. o n Trung Cữớng. Tin sắ Â rĐt tn tƠm,
nhiằt th nh giÊng dy cĂc kin thức nn tÊng v i s giao hoĂn cho tổi

trong nhng nôm u l m nghiản cứu sinh.
Tổi xin chƠn th nh cÊm ỡn Ban GiĂm hiằu - trữớng i hồc Khoa hồc;
Ban ch nhiằm Khoa ToĂn Tin - trữớng i hồc Khoa hồc; i hồc ThĂi
Nguyản  to iu kiằn thun lổi nhĐt, phũ hổp nhĐt tổi va ho n


vi

th nh viằc hồc tp, va Êm bÊo cổng viằc giÊng dy ca mnh ti Trữớng.
Tổi xin cÊm ỡn cĂc anh, ch nghiản cứu sinh ang hồc tp, nghiản cứu ti
Phặng i s, Viằn ToĂn hồc  giúp ù tổi trong hồc tp v cuc sng.
Cui cũng, tổi xin ữổc b y tọ sỹ bit ỡn vổ hn tợi B, Mà v anh ch
em trong gia nh tổi. c biằt l Chỗng v hai con nhọ, nhng ngữới Â
luổn hy sinh rĐt nhiu, luổn lo lng, mong mọi tổi tin b tng ng y, tng
thĂng. Lun Ăn n y tổi xin ữổc d nh tng cho nhng ngữới m tổi yảu
thữỡng.
TĂc giÊ
Nguyn Thu Hng


vii

BÊng cĂc kỵ hiằu

N
Z

tp cĂc s tỹ nhiản
tp cĂc s nguyản

Q

tp cĂc s hu t

R

tp cĂc s thỹc

depth

h m sƠu

H = (V;E)

siảu ỗ th vợi tp nh V v tp cnh E

J(H)

i ảan ph liản kt vợi siảu ỗ th H

I(H)

i ảan cnh liản kt vợi siảu ỗ th H

(I)
dstab(I)

trÊi giÊi tch ca i ảan I
ch s n nh sƠu ca i ảan I

reg(I)

ch s chnh quy Castelnuovo-Mumford ca i ảan I

m(M)
i
Hm (M)

mổ un con xon ca M

G(I)

tp sinh ỡn thức ti tiu ca i ảan I

mổ un i ỗng iu a phữỡng thứ i ca M vợi giĂ m
phức ỡn hnh

I

i ảan Stanley-Reisner liản kt vợi phức ỡn hnh

k[ ]

v nh Stanley-Reisner ca phức ỡn hnh

F( )

tp cĂc mt cỹc i ca phức ỡn hnh

(I)

A(H)

phức ỡn hnh liản kt vợi i ảan I
ma trn liản thuc ca siảu ỗ th H

C ( ; k)

phức rút gồn ca trản k

H

e

e

;k

i(

)

ỗng iu ỡn hnh rút gồn thứ i ca trản k


viii

CS

Łi gi¡ cıa v†ctì

(I)

phøc b“c

st F

phøc ìn h…nh con sao cıa F trong

I

m

I(m)

lôy thła thæng th÷íng thø m cıa i ¶an I
lôy thła h…nh thøc thø m cıa i ¶an I

R(I)

v nh Rees cıa i ¶an I

G = (V (G); E(G))
M

ç thà vîi t“p ¿nh V (G) v t“p c⁄nh E(G)
gh†p c°p cıa ç thà

0(G)

ch¿ sŁ gh†p c°p câ thø tü

ai(M)

b“c khæng tri»t ti¶u lîn nh§t cıa Hm (M)

i


ix

Danh s¡ch h…nh v‡

1.1 Si¶u ç thà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Si¶u ç thà c¥n b‹ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
16

1.3 Si¶u ç thà c¥n b‹ng nh÷ng khæng unimodular . . . . . . . .

17

1.4 Phøc ìn h…nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1 ç thà H4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2 ç thà C5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Mºt gh†p c°p cıa C5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45
45


1

Mửc lửc

Tõm tt
Abstract

ii
iii

Lới cam oan

iv

Lới cÊm ỡn

v

BÊng cĂc kỵ hiằu

vii

Danh sĂch hnh v

ix

M u

3

Chữỡng 1 Kin thức chu'n b

10

1.1. sƠu v ch s chnh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2. Siảu ỗ th cƠn bng v siảu ỗ th unimodular . . . . . . .

13

1.3. Mt s cĂch mổ tÊ i ảan ỡn thức khổng chứa bnh phữỡng 18
1.3.1. I ảan Stanley-Reisner . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.2. I ảan ph ca siảu ỗ th . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.4. Cổng thức Takayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5. Tp lỗi a diằn v b i toĂn quy hoch tuyn tnh . . . . . .

25

1.6. Phức bc v a diằn lỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Chữỡng 2 Tnh n nh ca h m sƠu

35

2.1. Tnh giÊm ca h m sƠu v chn trản ch s n nh . . . 35
2.2. DĂng iằu ca h m sƠu ca i ảan ph liản kt vợi siảu
ỗ th cƠn bng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38


2

2.3. D¡ng i»u h m º s¥u cıa i ¶an phı li¶n k‚t vîi ç thà hai
phƒn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Ch÷ìng 3 T‰nh Œn ành cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy

52

3.1. Ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lôy thła c¡c i ¶an ìn thøc khæng

chøa b…nh ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.2. D¡ng i»u ti»m c“n cıa c¡c b§t bi‚n ai(R=J(H)s) v ch¿ sŁ
ch‰nh quy reg J(H)

s

......................

54

K‚t lu“n

71

T i li»u tham kh£o

74

B£ng thu“t ngœ

80


3

M

u

Trong i s, c biằt l i s giao hoĂn, tnh n nh ca cĂc bĐt bin l
nhng vĐn ữổc quan tƠm bi nhiu nh nghiản cứu. Nhn li lch sò
phĂt trin ca nhng vĐn n y, ta cõ th thĐy nõ Â ữổc nghiản cứu t rĐt
lƠu. Tht vy, nhng nôm 50 ca th k 20 mt kt quÊ kinh in ca Hilbert
s

- Samuel [47] Â ch ra rng h m d i (R=m ), trong
õ (R; m) l v nh Noether, a phữỡng, l mt a thức khi s mụ s l lợn, bc
ca a thức n y chnh l chiu ca v nh R: n nôm 1979, cĂc kt quÊ M.
Brodmann [9], [10] Â ch ra rng tp cĂc i ảan nguyản t liản kt
s

s

fAss(R=I )gs2N v dÂy fdepth(R=I )gs2N n nh khi s mụ ca i ảan
lợn. Cũng nôm õ, S. McAdam - P. Eakin [48] cụng chứng minh ữổc
s

s

rng fAss(R=I )gs2N l tp n nh khi s lợn (trong õ I l bao õng nguyản
s

ca I ).
Cho n nay, cĂc b i toĂn trản vÔn ang thu hút ữổc sỹ quan tƠm
nghiản cứu ca rĐt nhiu nh toĂn hồc. Bản cnh õ, cụng xuĐt hiằn thảm
mt v i cĂc bĐt bin khĂc ữổc nghiản cứu mt cĂch tch cỹc nhữ: ch s
chnh quy Castelnuovo-Mumford ([17], [18], [25], [46], [56]), ch s

chnh quy ca h m Hilbert ([40, 57]), s mụ rút gồn ([38]) ...
Mửc ch chnh ca lun Ăn l nghiản cứu tnh n nh ca hai trong
s cĂc bĐt bin k trản, õ l : nghiản cứu tnh n nh ca h m sƠu v t
nh tiằm cn tuyn tnh ca ch s chnh quy Castelnuovo - Mumford.

Ta bit rng lợp cĂc i ảan ỡn thức khổng chứa bnh phữỡng l nhng i
ảan quen thuc v cõ nhiu ứng dửng. Lợp i ảan n y cho thĐy sỹ kt ni
mnh m gia i s giao hoĂn vợi Tổpổ v T hổp. Chnh v vy,
lun Ăn ca chúng tổi tp trung nghiản cứu cĂc bĐt bin cõ liản quan n
lụy tha ca lợp i ảan quan trồng n y.
Cho H = (V; E) l mt siảu ỗ th ỡn trản tp nh V = f1; : : : ; ng v


4

tp cnh E = fE1; : : : ; Emg: I ảan ph liản kt vợi siảu ỗ th H l i ảan ỡn
thức khổng chứa bnh phữỡng, ữổc nh nghắa nhữ sau:
Y
J(H) := (

xi j

l mt ph

nh ti tiu ca H):

i2

I ảan n y cặn ữổc xĂc nh bi phƠn tch nguyản sỡ:
J(H) = \ (xi j i 2 E):

E2E

B i toĂn u tiản m chúng tổi quan tƠm nghiản cứu l dĂng iằu ca h m
s

sƠu depth R=J(H) , trong õ H l mt siảu ỗ th cƠn bng. Kt quÊ ca M.
s

Brodmann [10] cho ta bit rng depth R=I , vợi I R l i ảan
thun nhĐt l hng s khi s mụ s lợn. Hỡn na ổng cặn ch ra rng
s
lim depth R=I 6 dim R
(I); vợi (I) l
trÊi giÊi tch ca i ảan I.
s!1

CĂc tĂc giÊ J. Herzog, A. Rauf, M. Vladoiu [36] Â gồi v tr nhọ nhĐt m
tnh n nh bt u xÊy ra l ch s n nh sƠu ca h m sƠu, kỵ
s

hiằu l dstab(I). Tuy nhiản, nu nhữ giợi hn ca dÂy depth R=I l ho n
to n rê r ng th vợi s < dstab(I), dĂng iằu ca h m sƠu vÔn l vĐn phức
tp. Chflng hn trong [26] cĂc tĂc giÊ Â ch ra rng nu I l i ảan ỡn thức bĐt
ký trong v nh a thức th h m sƠu ca nõ l mt h m s hồc hi tử bĐt
ký. Chnh v th, khi I = J(H) chúng tổi tm hiu hai cƠu họi rĐt tỹ
nhiản nhữ sau:
1) DĂng

iằu ca h m

sƠu ca i ảan I s nhữ th n o khi

s < dstab(I)?
2) Tm chn trản cho dstab(I)?
Vợi I

R = k[x1; : : : ; xn] l i ảan
s

ỡn thức. H m

sƠu ca I gồi l

s+1

h m giÊm nu depth R=I > depth R=I
vợi mồi s > 1: Nôm 2005, J.
Herzog, T. Hibi [31] Â ữa ra giÊ thuyt rng: nu I l i ảan ỡn thức
khổng chứa bnh phữỡng th h m sƠu ca nõ l h m giÊm. Tuy
nhiản,


câ mºt ph£n v‰ dö cıa T. Kaiser, M. Stehlik, R. Skrekovski [44]

÷a ra


5

v o nôm 2014 cho giÊ thuyt ca J. Herzog v T. Hibi. Cho n hiằn nay,

ngữới ta bit n mt v i lợp i ảan ỡn thức m h m sƠu ca nõ cõ tnh giÊm,
chflng hn: i ảan ỡn thức m tĐt cÊ cĂc lụy tha ca nõ cõ thữỡng tuyn t
nh [31], i ảan ph ca ỗ th hai phn [14] v mt s cĂc lợp khĂc (xem
[14, 27, 37, 39, 51]).
Trong lun Ăn n y, u tiản chúng tổi nghiản cứu cƠu họi 1) cho i ảan
ph ca lợp siảu ỗ th cƠn bng. Chúng tổi chứng minh ữổc rng
depth R=J(H)s, vợi H l mt siảu ỗ th cƠn bng, l h m giÊm (xem nh lỵ
2.2). Hằ quÊ l h m depth R=J(H)s vợi H l mt siảu ỗ th
unimodular (xem Hằ quÊ 2.5) cụng l h m giÊm, bi v mồi siảu ỗ th
unimodular u l cƠn bng (xem Mằnh 1.14).
Trong trữớng hổp ỗ th, ta bit cĂc siảu ỗ th cƠn bng l lợp ỗ th hai
phn. Do õ chúng tổi thu ữổc kt quÊ v dĂng iằu ca h m sƠu ca i
ảan ph liản kt vợi ỗ th hai phn ging nhữ trong [14].
i vợi cƠu họi thứ 2), v o nôm 2005 J. Herzog, A. Qureshi [35] ữa ra

mt giÊ thuyt l dstab(I) < (I), trong õ I l i ảan ỡn thức khổng chứa b
nh phữỡng v (I) := dim R(I)=mR(I) l trÊi giÊi tch ca i ảan I:
GiÊ thuyt úng cho mt v i lợp i ảan ỡn thức khổng chứa bnh phữỡng,
chflng hn: i ảan ỡn thức khổng chứa bnh phữỡng Veronese [31], i
ảan polymatroidal [35], i ảan cnh ca mt ỗ th [58], ...
Khi nghiản cứu cƠu họi n y i vợi lợp siảu ỗ th cƠn bng v unimodular, chúng tổi ch ra ữổc rng dstab(J(H)) 6 n (xem nh lỵ 2.3 v Hằ
quÊ 2.5), trong õ n l chiu ca v nh a thức R: Tuy rng chữa t n giÊ
thuyt ca J. Herzog v A. Qureshi [35], những chn m chúng tổi t ữổc l
hổp lỵ (theo nghắa dstab(J(H)) b chn trản bi mt h m tuyn tnh
theo s bin ca v nh R). Hỡn na, i vợi ỗ th hai phn chúng tổi  t
ữổc chn trản cho ch s n nh sƠu úng nhữ giÊ thit m J. Herzog
v A. Qureshi ữa ra.


B i to¡n ti‚p theo m chóng tæi quan t¥m l t‰nh ti»m c“n tuy‚n t‰nh cıa

ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo - Mumford cıa lôy thła i ¶an phı li¶n


6
s

kt siảu ỗ th unimodular H, kỵ hiằu l reg J(H) .
Ta bit rng ch s chnh quy Castelnuovo - Mumford l mt bĐt bin
quan trồng trong i s giao hoĂn v Hnh hồc i s. BĐt bin n y cung cĐp
nhiu thổng tin v phức tp ca cĐu trúc i s ca mổ un phƠn bc. Nu
nh nghắa ch s chnh quy Castelnuovo - Mumford ca mổ un
phƠn bc hu hn sinh M trản mt i s phƠn bc chu'n R theo bc triằt
tiảu nhọ nhĐt ca mổ un i ỗng iu a phữỡng, th ch s chnh quy
Castelnuovo - Mumford chnh l chn trản bc cỹc i ca mt hằ sinh ti
tiu thun nhĐt ca M. Mt khĂc, nu R l v nh a thức trản trữớng k vợi phƠn
bc chu'n v M l R mổ un, ta bit rng giÊi tỹ do ti tiu ca M cõ d i
hu hn v khi õ ch s chnh quy Castelnuovo - Mumford ca M l
chn trản cho tĐt cÊ cĂc bc sinh ca cĂc mổ un con xon ca M:
Viằc tnh toĂn hay tm chn cho ch s chnh quy l mt vĐn khõ,
những ch s chnh quy ca lu tha cĂc i ảan thun nhĐt cõ dĂng iằu

rĐt àp. Khi R l v nh a thức v I R l i ảan thun nhĐt, nôm 1999 D.
Cutkosky-J. Herzog-N. V. Trung [18] c lp vợi V. Kodiyalam [46] chứng
s

minh rng: tỗn ti cĂc s nguyản khổng Ơm d; e v s 0 sao cho reg(I ) =
ds + e vợi mồi s > s0: Hỡn na, cõ th chn trản hằ s d qua bc lợn nhĐt
ca cĂc phn tò sinh ca I: Nu I ữổc sinh bi cĂc phn tò cũng bc th
d chnh l bc ca cĂc phn tò sinh õ. Tuy nhiản, viằc xĂc nh chnh
xĂc s e v v tr m tnh tuyn tnh xÊy ra vÔn cặn l cĂc cƠu họi

phức tp. Mt cĂch tỹ nhiản, D. Eisenbud v B. Ulrich [20] t ra cĂc cƠu
họi nhữ sau: S e ữổc xĂc nh nhữ th n o v chn trản n o ca s 0
l hổp lỵ? Hai vĐn ữổc nảu ra trản thu hút ữổc sỹ quan tƠm ca
rĐt nhiu tĂc giÊ (xem [3, 4, 6, 7, 13, 27]). Chúng ta cụng bit n mt s
chn phũ hổp cho s0 chflng hn khi I l i ảan cnh ca ỗ th rng v ỗ th
unicyclic [3, 7, 45]; hay I l i ảan m nguyản sỡ [6, 13]. Mt khĂc, t


7

nh nghắa
s

s

s

reg I = 1 + reg R=I = 1 + maxfai(R=I ) + i j i = 0; : : : ; dim R=Ig;
ta cõ th t ra cƠu họi tữỡng tỹ nhữ dĂng iằu tiằm cn ca reg I s: liằu rng
ai(R=Is) cõ phÊi l h m tuyn tnh khi s lợn hay khổng? Tuy
s
nhiản, S. Cutkosky [17] Â ữa ra mt v dử rng lim s!1 reg I l mt s
s
(
vổ t , nản i
) khổng phÊi l h m tuyn tnh khi
e
a

R=I

s

n

lợn.

i vợi cĂc i ảan ỡn thức khổng chứa bnh phữỡng, nôm 2010 L. T.
s

Hoa v T. N. Trung [41] Â ch ra rng ai(R=I ) l h m tỹa tuyn tnh vợi s
s

lợn vợi hằ s u khổng i. Những bĐt bin a i(R=I ) cõ tiằm cn n h m
tuyn tnh khi s lợn hay khổng vÔn l cƠu họi m.
Nhữ Â nõi trản, i ảan ỡn thức khổng chứa bnh phữỡng l nhng i
ảan quan trồng v cõ ỵ nghắa lợn v sỹ kt ni gia cĂc nhĂnh quan
trồng trong toĂn hồc vợi nhau. V vy, chúng tổi cụng tp trung nghiản
cứu ch s chnh quy i vợi mt lợp i ảan ỡn thức khổng chứa bnh
phữỡng c biằt. õ l i ảan ph ca siảu ỗ th unimodular.
Khi J(H) l i ảan ph ca siảu ỗ th unimodular. Chúng tổi chứng
s

minh ữổc tnh tiằm cn tuyn tnh ca bĐt bin a i(R=J(H) ) ( xem nh
lỵ 3:10). T õ cõ th suy ra tnh tiằm cn n h m tuyn tnh ca reg
s

J(H) (xem nh lỵ 3:11). Chúng tổi cụng chn trản ữổc s e v s 0
thổng qua hng ca siảu ỗ th, bc sinh cỹc i ca i ảan ph J(H).
Cổng cử m chúng tổi sò dửng nghiản cứu hai b i toĂn k trản l

cổng thức Takayama [54], mt sỹ m rng ca cổng thức Hochster cho viằc

tnh mổ un i ỗng iu

a phữỡng ca i ảan

ỡn thức bĐt ký. Bng

viằc sò dửng cổng thức Takayama, chúng tổi chuyn viằc nghiản cứu b i

toĂn i s sang nghiản cứu cĂc vĐn t hổp, cử th Ơy l nghiản cứu
cĂc phức bc (xem

nh nghắa (1.10)), sau õ t phức bc chuyn qua
n

nghiản cứu nh nguyản ca mt a diằn lỗi trong R : V vy cõ th nõi,
chúng tổi  sò dửng lỵ thuyt v
a diằn lỗi nhữ mt cha khõa quan
trồng

t

ữổc cĂc kt quÊ ca lun Ăn. Ngo i ra chúng tổi cụng sò


8

dửng mt s tnh chĐt ca b i toĂn quy hoch tuyn tnh cho quĂ trnh
chứng minh cĂc kt quÊ chnh.

Tip theo chúng tổi giợi thiằu cĐu trúc ca lun Ăn. Ngo i bÊng kỵ
hiằu, danh mửc hnh v, mửc lửc, phn m u, phn kt lun, bÊng
thut ng, lun Ăn ữổc chia l m ba chữỡng chnh.
Chữỡng 1 chúng tổi giợi thiằu cĂc kin thức cn thit cho to n b lun
Ăn. Chữỡng n y bao gỗm sĂu mửc. Mửc 1:1 trnh b y li nh nghắa v
mt s tnh chĐt cỡ bÊn v mổ un i ỗng iu a phữỡng, sƠu, ch s
chnh quy Castelnuovo - Mumford, bĐt bin a i. Mửc 1:2 trnh b y li
cĂc khĂi niằm cỡ bÊn ca hai lợp siảu ỗ th ữổc chúng tổi dũng trong
lun Ăn: siảu ỗ th unimodular v siảu ỗ th cƠn bng. Mửc 1:3, giợi thiằu
li ba lợp i ảan ỡn thức khổng chứa bnh phữỡng liản kt vợi hai i tữổng
t hổp l : i ảan Stanley-Reisner liản kt vợi phức ỡn hnh, i ảan ph v i
ảan cnh liản kt vợi siảu ỗ th. Trong Mửc 1:4, chúng tổi trnh b y v
ỗng iu rút gồn ca cĂc phức ỡn hnh v cổng thức Takayama. Trong
Mửc 1:5, chúng tổi d nh nõi v tp lỗi a diằn v b i toĂn quy hoch tuyn t
nh. Mửc 1:6 chúng tổi chứng minh chi tit cĂc tnh chĐt v cĂc nh
nguyản ca a diằn lỗi, cĂc tnh chĐt n y ữổc dũng rĐt nhiu ln trong
cĂc chữỡng sau.
Trong Chữỡng 2; chúng tổi chứng minh tnh n nh ca h m sƠu
ca i ảan ph. Trong Mửc 2:1, chúng tổi trnh b y mt s vĐn chung
v tnh giÊm ca h m sƠu v chn trản cho ch s n nh sƠu i vợi i
ảan thun nhĐt trong v nh a thức. Mửc 2:2, chúng tổi nghiản cứu tnh
s

giÊm ca dÂy fdepth R=J(H) gs2N, vợi J(H) l i ảan ph ca siảu ỗ th cƠn
s

bng (xem nh lỵ 2:2), t õ suy ra tnh giÊm ca depth R=J(H) , vợi
J(H) l i ảan ph ca siảu ỗ th unimodular (xem Hằ quÊ 2:5) v ữa ra
chn trản cho ch s n nh sƠu (xem nh lỵ 2:3). Trong mửc 2:3,
s

chúng tổi nghiản cứu tnh giÊm ca dÂy fdepth R=J(G) gs2N, vợi J(G)
l i ảan ph ca lợp ỗ th hai phn (xem nh lỵ 2:15).
Chữỡng 3 chúng tổi d nh nghiản cứu v tnh tiằm cn tuyn tnh


9

ca ch s chnh quy Castelnuovo - Mumford, cụng nhữ ca cĂc bĐt
bin ai: Cử th trong Mửc 3:1, chúng tổi giợi thiằu chung b i toĂn v
ch s chnh quy ca i ảan ỡn thức trong v nh a thức, cụng nhữ ng cỡ
dÔn n vĐn nghiản cứu ca chúng tổi. Mửc 3:2, chúng tổi chứng minh
s

tnh tiằm cn ca bĐt bin ai(R=J(H) ) (xem nh lỵ 3:10), vợi J(H) l i ảan
ph ca siảu ỗ th unimodular, Ơy l mt kt quÊ mợi i vợi bĐt bin n y. T
s

dĂng iằu ca ai(R=J(H) ), chúng tổi chứng minh ữổc kt quÊ quan
trồng v tnh tiằm cn tuyn tnh ca ch s chnh quy ca lu tha i
s

ảan ph l reg J(H) = d(J(H))s + e (xem nh lỵ 3:11), trong õ e 6 dim
n

R=J(H) d(J(H)) + 1 v s > r 2 + 1.
CĂc kt quÊ ca lun Ăn ữổc chúng tổi cổng b trong cĂc b i bĂo [28],
[29], [30].
Mt s thut ng ting Viằt chúng tổi dỹa v o Lun Ăn Tin sắ Khoa
hồc ca GS. TSKH. Lả TuĐn Hoa [1].

10

Chữỡng 1
Kin thức chu'n b

Chữỡng n y nhm mửc ch nhc li mt s khĂi niằm v kt quÊ Â bit
ca i s giao hoĂn nhữ: mổ un i ỗng iu a phữỡng, sƠu, ch s ch
nh quy giúp cho viằc trnh b y cĂc chữỡng sau ữổc rê r ng v cõ hằ
thng. Chúng tổi cụng giợi thiằu mt kt quÊ hu dửng tnh chiu ca
mổ un i ỗng iu a phữỡng ca i ảan ỡn thức bĐt ký, ữổc gồi
l cổng thức Takayama. Cổng thức n y l cổng cử ch yu m chúng tổi
dũng cho cĂc chữỡng sau. Chúng tổi cụng nhc li mt s khĂi niằm v a
diằn lỗi v b i toĂn quy hoch tuyn tnh m chúng tổi cn dũng chứng
minh cĂc kt quÊ chnh ca lun Ăn.

1.1.

sƠu v ch s chnh quy

Trong mửc n y ta xt R l mt v nh giao hoĂn Noether, phƠn bc chu'n,
m l i ảan phƠn bc cỹc i ca R v M l R mổ un hu hn sinh. Khi õ
[

m(M)

t

t

:=

t

(0 : m );
t>1

M

trong õ (0 : m ) = fx 2 M j m x = 0g gồi l mổ un con xon ca M:
M

Ta cõ m( ) l h m tò hiằp bin, khợp trĂi t phm trũ cĂc R mổ un v o
phm trũ cĂc R mổ un.


11

GiÊ sò giÊi ni x ca R mổ un M l :
0
1
2
I: 0!
d0
d1
d2
I ! I ! I

n

I

! !

TĂc ng h m tò cĂc m( ) v o giÊi ni x I ca M; ta thu
R mổ un sau:
1
0
m(d

0

m(I

0!
i

)!
i+1

)

1

m(I ) !
i

m(d )

!:

2

ữổc mt phức
2
m(d )

m(I ) !
i

t Hm (M) := ker m(d )= im m(d ) th Hm (M) ữổc gồi l mổ un i
ỗng iu a phữỡng thứ i ca M vợi giĂ m:
Ta cõ mt s kt quÊ v tnh triằt tiảu v khổng triằt tiảu ca mổ un
i ỗng iu a phữỡng nhữ sau.
nh lỵ 1.1. ([12, nh lỵ 3:5:7, trang 132]) Cho M l R mổ un. Khi õ:
i

1) Hm (M) 6= 0 vợi i = dim M hoc i = depth M;
i

2) Hm (M) = 0 vợi i < depth M hoc i > dim M:
Nu M l mt R mổ un phƠn bc hu hn sinh, th mổ un i ỗng iu
i

a phữỡng Hm (M) cụng l R-mổ un phƠn bc v triằt tiảu ti bc lợn. iu
õ ữổc th hiằn thổng qua kt quÊ sau:
nh lỵ 1.2. ([11, nh lỵ 16:1:5, trang 348]) Cho R l v nh phƠn bc
dữỡng v M l R mổ un phƠn bc hu hn sinh, khi õ tỗn ti s nguyản
i

dữỡng r sao cho Hm (M)t = 0 vợi mồi i > 0 v vợi mồi t > r:
Chi tit hỡn v nh nghắa v tnh chĐt ca mổ un i ỗng iu a
phữỡng cõ th xem trong [11] v [12].
Ta bit rng phn tò a 2 R ữổc gồi l phn tò M-chnh quy nu ax 6=
0 vợi mồi 0 6= x 2 M: Mt dÂy a1; : : : ; at 2 R ữổc gồi l dÂy chnh quy
nu cĂc iu kiằn sau thoÊ mÂn:
1) (a1; : : : ; at)M 6= M;


12

2) ai+1 l phn tò M=(a1; : : : ; ai)M-chnh quy, vợi mồi i = 1; : : : ; t 1.
DÂy a1; : : : ; at 2 R ữổc gồi l dÂy chnh quy cỹc
tm

i nu khổng th

ữổc mt phn tò at+1 2 R sao cho a1; : : : ; at+1 l dÂy chnh quy ca R:
Chúng tổi quan tƠm n dÂy chnh quy thun nhĐt cỹc i, tức l dÂy

chnh quy cỹc i m cĂc phn tò ca dÂy l cĂc phn tò thun nhĐt. Khi õ
d i ca cĂc dÂy chnh quy cỹc i trong i ảan cỹc i m l mt s khổng
i. S n y ữổc gồi l sƠu ca M; ữổc kỵ hiằu l depth M:
Cõ th thĐy sau chiu th sƠu ca v nh l bĐt bin quan trồng cõ
nhiu ứng dửng trong i s giao hoĂn. cõ th tnh ữổc sƠu cõ rĐt
nhiu cĂch. Tuy nhiản trong lun Ăn n y, chúng tổi dũng kt quÊ sau [12,
nh lỵ 3:5:7, trang 132] xĂc nh sƠu ca mt R
trữợc

mổ un M cho

i

(1.1)

depth M := minfi j Hm (M) 6= 0g:
Tnh triằt tiảu ca mổ un i ỗng iu a phữỡng l

mt thổng tin

quan trồng. T tnh triằt tiảu ca mổ un i ỗng iu a phữỡng, chúng ta
cõ thổng tin v sƠu, v cĂc bĐt bin a i(M) v ch s chnh quy
Castelnuovo-Mumford ca R mổ un hu hn sinh M (chi tit hỡn v ch
s chnh quy Castelnuovo-Mumford cõ th xem trong [19], [52] v [55]).
CĂc bĐt bin n y ữổc nh nghắa nhữ sau:
nh nghắa 1.3. Cho M l R

mổ un phƠn bc hu hn sinh v

i>0

l mt s nguyản bĐt ký. t
ai(M) := 8
<
Ch s chnh quy

maxftj

i

Hm

i

(M)t 6= 0g nuiHm (M) 6= 0;

(1.2)

nu Hm(M) = 0:
Ca stelnuovo-Mum ford ca mổ un M ữổ c nh nghắa l

:
reg(M) := maxfai(M) + i j i > 0g:

(1.3)

Ch s chnh quy Castelnuovo - Mumford (gồi tt l ch s chnh
quy), tuy rng ữổc nghiản cứu mun hỡn sƠu, những nõ cụng l mt bĐt


13

bin thu hút ữổc sỹ quan tƠm rĐt lợn ca cĂc nh nghiản cứu trong nhng
nôm gn Ơy (xem chflng hn [13], [18], [25], [27], [46], [56], . . . ).

Nu R = k[x1; : : : ; xn] l v nh a thức trản trữớng k v M l R mổ un phƠn
bc hu hn sinh. Theo nh lỵ Hilbert v xon, M cõ giÊi tỹ do ti tiu cõ
d i hu hn (xĂc nh duy nhĐt sai khĂc mt flng cĐu) nhữ sau:
0! Fp !!

F1 ! F0 ! M !

vợi p 6 n v Fi = R( j) ij

(M)

0;

; i = 0; : : : ; p l cĂc R-mổ un tỹ do

j2Z

phƠn bc hu hn sinh. Khi õ ch s chnh quy CastelnuovoMumford ca mổ un M ữổc xĂc nh qua nh nghắa sau:
nh nghắa 1.4. Cho M l R mổ un phƠn bc v gồi
M
M
(M)
(M)
0!R( j) p;j ! !
R( j) 0;j !M ! 0
j2Z

j2Z

l giÊi tỹ do ti tiu ca M: Khi

õ ch s chnh quy ca M l :

(1.4)

reg(M) := maxfj i j i;j(M) 6= 0g:

Chú ỵ 1.5. Nhn v o giÊi tỹ do d thĐy rng nu I l mt i ảan ca R th
reg(I) = reg(R=I) + 1:

(1.5)

V dử 1.6. Cho R = k[x 1; x2; x3; x4] v I = (x1; x2) \ (x3; x4): Ta cõ giÊi tỹ
do ti tiu ca R=I l
0!

R( 4)!

4

R( 3) !

4

R( 2) !

R!

R=I !

0:

Khi õ reg(R=I) = 1:

1.2. Siảu ỗ th cƠn bng v siảu

Cho V = f1; : : : ; ng v gồi E l
khi õ cp H = (V; E) ữổc gồi l

ỗ th unimodular

mt hồ cĂc tp con, khĂc rỉng ca V,
mt siảu ỗ th vợi tp nh V v tp