Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh(07)

sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
lớp 9 năm học 2006-2007
đề thi chính thức
môn : Toán
Số báo danh:
(bảng A)
...............................
Thời gian làm bài : 150 phút
Chữ ký giám thị 1:
(không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 27/3/2007.
Bài 1.
Rút gọn biểu thức A =
24923013
+++
Bài 2.
Chứng minh rằng với x > 0, x

1, biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
1
.
11
2
+
+

+

+
++
x
xxxxx
xx
xx
xx
xx
.
Bài 3.
Giải phơng trình: (2x + 1)
2
(x + 1)x = 105
Bài 4.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đờng thẳng (d
1
) : y = 3x m 1 và
(d
2
) : y = 2x + m - 1. Chứng minh rằng khi m thay đổi, giao điểm của (d
1
) và (d
2

)
luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.
Bài 5.
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D khác A và B. Trên tia đối của
tia CA lấy điểm E khác C. Cạnh BC cắt DE tại I. Giả sử đờng tròn ngoại tiếp tam
giác

ABC cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác

CEI tại điểm thứ hai K. Chứng
minh rằng đờng tròn ngoại tiếp

ADE đi qua điểm K.
Bài 6.
Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn, H là trực tâm tam giác. Dựng đờng
tròn tâm O đờng kính BC, qua A kẻ các tiếp tuyến AP, AQ với đờng tròn (P, Q là
các tiếp điểm). Chứng minh: P, H, Q thẳng hàng .
Bài 7.
Cho a, b 0 thoả mãn :
1
=+
ba
. Chứng minh rằng: ab(a + b)
2

64
1
.
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
------------------------ Hết -------------------------

hớng dẫn chấm thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh
môn toán lớp 9 - bảng a. năm học 2006-2007.
Bài Sơ lợc lời giải Cho
điểm
Bài 1
3 điểm
Rút gọn đợc:
249
+
=2
2
+1 ;
2492
++
=
2
+1
=>
24923013
+++
=
23043
+
= 5 + 3
2
1,5 đ
1,5 đ
Bài 2
3 điểm
Với x > 0, x

1, rút gọn đợc:









+

+
++
xx
xx
xx
xx 11
=
)1.(
2


xx
.
và
1
2
+

+
x
xxxxx
=
)1.(

xx
Suy ra :
1
.
11
2
+
+









+

+
++
x
xxxxx
xx

xx
xx
xx
= - 2 (đpcm !)
1,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
Bài 3
3 điểm
Biến đổi ph/tr (1): (2x + 1)
2
(x + 1)x = 105 thành (4x
2
+4x+1)(x
2
+x) = 105
Đặt x
2
+x = t, từ (1) => (4t+1)t = 105 <=> 4t
2
+ t 105 = 0 (2)
Giải (2) đợc t = 5 và t = -21/4.
Với t = 5, tìm đợc x
1,2
= (-1
21

)/2; Với t = -21/4, vô nghiệm.
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là x
1,2

= (-1
21

)/2
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
1,0 đ
0,5 đ
Bài 4
3 điểm
Tìm đợc (d
1
) cắt (d
2
) tại M(2m ; 5m-1) với mọi m.
Suy ra quan hệ : y
m
= 5x
m
/2 1 với mọi m
Do đó khi m thay đổi, giao điểm M của (d
1
) và (d
2
) luôn nằm trên đờng
thẳng cố định (d) : y = (5/2)x - 1.

1,0 đ
1,0 đ

1,0 đ
Bài 5
3 điểm
Trớc hết ch/m đợc

BKI +

BDI =

BKC +

BAC => BKID nội tiếp.
Chứng minh đợc:

DKE =

DKI +

IKE =

DBC +

BCA
=>

DKE+

DAC =

DBC+

BCA+

DAC = 180
0
=> ADKE nội
tiếp.
Suy ra đờng tròn (ADE) đi qua K (đpcm !).
1,0 đ
0,5 đ
1,25 đ
0,25 đ
Bài 6
3 điểm
Gọi I = AOxPQ; D = ACx(O). Do AP, AQ là các tiếp tuyến nên PQ

AO
Chứng minh đợc AI.AO = AQ
2
= AD.AC = AH.AK
=> tứ giác HIOK nội tiếp. Suy ra IH

AO.
Từ đó suy ra P, H, Q thẳng hàng (đpcm !)
0,5 đ
1,0 đ
1,0 đ
0,5 đ
Bài 7
2 điểm

Do giả thiết a, b 0;
1
=+
ba
nên: ab(a + b)
2

64
1
64.ab(a + b)
2
1
64ab(a + b)
2

8
)( ba
+
64ab(a + b)
2
(a+b+2
ab
)
4
.
áp dụng BĐT Côsi, đợc: (a+b+2
ab
)

2

abba 2).(
+

=> (a+b+2
ab
)
4


(2
abba 2).(
+
)
4
= 64.ab(a+b)
2
. (đpcm !)
Dấu = có a+b = 2
ab
a = b = 1/4.
1,0 đ
0,75 đ
0,25 đ
Các chú ý khi chấm:
1. Hớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lợc một cách giải. Bài làm của học sinh
phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đợc điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết nhng không đợc vợt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó.
3. Có thể chia điểm thành phần đến 0,25 đ nhng phải thống nhất trong cả tổ
chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm, không làm tròn.

Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ninh.