Bài 4: Đường tiệm cận

Tính các giới hạn sau

x2 2x 3 
a ) lim 

2
x 
 x 1 

 2x  7 
b) lim  2

x  x  2 x



 x 1
c) lim 

x  2  x  2 

 x 1
d ) lim 

x  2  x  2 

1
e) lim  
x   x
 

1
f ) lim  
x   x
 


1
Ta biết đồ thị hàm số y =x

là đường hypebol gồm hai
nhánh nằm trong góc phần tư
thứ nhất và thứ ba của mặt
phẳng tọa độ
Từ đồ thị thị ta tịnh tiến lên trên 2
đơn vị ta được đồ thị hàm số
1
y f  x    2
x

y

2
O

x


1
 2 M(x;y) thuộc đồ thị

Xét đồ thị y =
x
1
Có lim  y  2   lim 0
x  
x   x
Khoảng cách từ điểm M đến
đường thẳng y=2 là MH = |
y-2| dần đến 0 khi M chun
®éng theo đường Hypebol đi
ra xa vơ tận về phía trái

y

H

M

Ta gọi y=2 là tiệm cận ngang
1
của đồ thị hàm số y   2 ( khi x  )
x

2
O

x


1

 2 M(x;y) thuộc đồ thị .
Xét đồ thị y =
x
Có

1
lim  y  2   lim 0
x  
x   x

y

Khoảng cách từ điểm M đến
trục hoành là MH = |y-2|
dần đến 0 khi M chun ®éng
theo đường Hypebol đi ra xa
vơ tận về phía phải
Ta gọi đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang
của đồ thị hàm số y  1  2 ( khi x + )
x

M
O

H

x


1. Đường tiệm cận ngang

Định nghĩa 1:
Đường thẳng y = y0 gọi là đường tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số y = f(x) nếu một trong hai điều kiện sau được
thỏa mãn

lim y  lim f ( x)  y0

x  

x  

lim y  lim f ( x)  y0

x  

x  


y

y

y0

y0

O
Khi x  

x

x

O
Khi x  +


ã

Em hÃy phát biểu định nghĩa đờng tiệm cận ngang của
đồ thị hàm số
ã Mỗi nhóm vận dụng định nghĩa tìm tiệm cận ngang của
đồ thị mỗi hàm số sau
Vớ dụ 1:

x 2  7 x  10
1) y  2
3 x  5 x  11

7x  3
2) y  2
x  x 5

KQ: TCN y =1/3

KQ: TCN y = 0

x 2  3 x  15
3) y 

x 1
KQ: Kh«ng cã TCN


ãQua các ví dụ vừa xét và dựa vào kiến thøc vỊ giíi h¹n cã


d¹ng em h·y cho nhËn xÐt về dấu hiệu nhận biết một

hàm phân thức hữu tỉ có tiệm cận ngang?

Hàm phân thức hữu tỉ (không suy biÕn) cã tiƯm cËn ngang
khi bËc cđa tư sè nhá hơn hoặc bằng bậc của mẫu số
ãEm hÃy cho một ví dụ về hàm số và tìm tiệm cận ngang

của hµm sè võa chØ ra.


Vẫn xét đồ thị y =

1
2
x

N(x;y) thuộc đồ thị .
y

2 x 1
 
Có lim y  lim

x 0
x 0
x
Khoảng cách từ điểm N
đến trục tung là NK = |x|
dần đến 0 khi N chun
®éng theo đường Hypebol đi
ra xa vơ tận về phía dưới

x
O
N

Ta gọi trục tung là tiệm cận đứng của

1
đồ thị hàm số y   2 ( Khi x  0 )
x

K


1
Vẫn xét đồ thị y =  2
x
2 x 1

Có lim y  lim
x 0
x 0

x

N(x;y) thuộc đồ thị .

Khoảng cách từ điểm N đến
trục tung là NK = |x| dần
đến 0 khi N chun ®éng
theo đường Hypebol đi ra xa
vơ tận về phía trên

Ta gọi trục tung là tiệm cận đứng của

1
đồ thị hàm số y   2 ( Khi x  0+ )
x

y

N

K

x
O


2. Đường tiệm cận ngang

Định nghĩa 2:
Đường thẳng x = x0 gọi là đường tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được
thỏa mãn

lim f ( x) 

lim f ( x) 

x  x0

x  x0

lim f ( x)  

lim f ( x)  

x  x0

x  x0


y

y
.

lim y 

lim y 

x  x0

x  x0
.

O

x0

O

x

y

O

lim y  

x  x0

x0

x

y

x0

x

O

x0

x

lim y  

x  x0


ã
ã

Em hÃy phát biểu định nghĩa đờng tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số
Mỗi nhóm vận dụng định nghĩa tìm tiệm cận đứng của
đồ thị mỗi hàm số sau
2

x 7 x  10
1) y 
x 1
KQ: TC§ x = -1
2

x  3x  2
3) y 
x 1
KQ: Kh«ng cã TC§

7x  3
2) y  2
x  3x  2

KQ: có 2 TCĐ x = -1 và x = 2
2

x 4
4) y 2
x 2
KQ: Không có TCĐ


ãQua các ví dụ vừa xét và dựa vào kiến thức đà học về giới

hạn em hÃy cho nhận xét về dấu hiệu nhận biết một hàm
phân thức hữu tỉ có tiệm cận đứng?
Hàm phân thức hữu tỉ (không suy biến) có tiệm cận đứng
khi mẫu số có nghiệm và mọi nghiệm của mẫu số không
đồng thời là nghiệm của tử số
ãEm hÃy cho một ví dụ về hàm số và tìm tiệm cận đứng của

hàm số vừa chỉ ra.


2x  1
Bµi tËp 1: Cho hµm sè y  x 2
Số đờng tiệm cận (TCĐ hoặc TCN) của đồ thị hàm
số đà cho là:

A) 0;
B) 1;
C) 2;
D) 3.
y

Hớng dẫn:
Phơng án đúng là C)
2

TCN : L ng thng y = 2
(khi x   và khi x  +)

O
-2

TCĐ : Là đường thẳng x = 2
(khi x  (2)+ và khi x  (2) )

x


2

x 1
Bài tập 2: Cho hàm số y
x
Số đờng tiệm cận (TCĐ hoặc TCN) của đồ thị hàm
số đà cho là:
A) 0;

B) 1;
C) 2;
D) 3.y

Hớng dẫn:
Phơng án đúng là D)
TCN: Là đường thẳng y = 1
( khi x  + )
Là đường thẳng y = 1
( khi x   )
TCĐ: Là đường thẳng x = 0

1
O
-1

x


Em hÃy cho biết các nội dung chính đà học
trong bài hôm nay?
HÃy nêu cách tìm đờng tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số
HÃy nếu cách tìm đờng tiệm cận đứng của đồ
thị hàm số


Qua bài học hôm này các em cần nắm đợc :
1. Về kiến thức:
Hiểu đợc định nghĩa đờng tiệm cận ngang, đờng tiệm cận đứng

của đồ thị hàm số
Hiểu đợc cách tìm đờng tiệm cận ngang, đờng tiệm cận đứng của
đồ thị hàm số
2. Về kĩ năng:
Biết cách tìm tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
nói chung, hàm phân thức hữu tỉ nói riêng
Nhận biết đợc một hàm phân thức hữu tỉ có đờng tiệm cận ngang,
đờng tiệm cận đứng
3. Về t duy và thái độ:
Hiểu đợc sự tiệm cận của một đờng thẳng với một đờng cong,
chính là sự xích lại gần nhau về khoảng cách giữa chúng
Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Biết quy lạ về quen.
4. Vận dụng làm các bµi tËp sè: 1 vµ 2 trang 33 SGK.