1 VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1 - VECTOR TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

uuur uuuur uuuur
uuur
BD − D′D − B′D′ = k BB′
A. k = 1 .

B. k = 0 .

C. k = 2 .

D. k = 4 .

Hướng dẫn giải::

uuur uuuur uuuur uuur
Ta có BD + DD′ + D′B′ = BB′ nên k = 1

uuu
r r uuur r uuur r
AB
= a, AC = b, AD = c, gọi M là trung điểm của BC. Trong các
ABCD
Câu 2. Cho tứ diện
. Đặt
khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
uuuur 1 r
r r
DM = a + 2b − c

2
A.

(

)

uuuur 1
r r r
DM = −2a + b + c
2
C.

(

uuuur 1 r r r
DM = a + b − 2c
2
B.

(

)

uuuur 1 r
r r
DM = a − 2b + c
2
D.
.

)

(

)

Hướng dẫn giải:
uuuur uuur uuu
r uuuu
r uuu
r uuur 1 uuur uuu
r uuur 1 uuu
r uuur
DM = DA + AB + BM = AB − AD + BC = AB − AD + BA + AC
2
2
Ta có:

(

=

)

r 1 uuur uuur 1 r 1 r r 1 r r r
1 uuu
AB + AC − AD = a + b − c = a + b − 2c .
2
2

2
2
2

(

)

Câu 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC . Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
uuu
r uuur uuuu
r
AB
,
AC
,
MN
A. Các vectơ
không đồng phẳng.

uuur uuuu
r uuuu
r
AN
,
CM
,
MN
B. Các vectơ

đồng phẳng.

uuur uuur uuuu
r
BD
,
AC
,
MN
C. Các vectơ
đồng phẳng.

uuu
r uuur uuuu
r
AB
,
DC
,
MN
D. Các vectơ
đồng phẳng.
Trang 1/50


Hướng dẫn giải:

uuuu
r 1 uuu
r uuur

MN = AB + DC .
2
Đáp án A: Đúng vì
uuuu
r
uuuu
r
Đáp án B: Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN thì MN không nằm trong mặt phẳng

(

)

( ABC ) .

uuur
( CMN ) .
Đáp án C: Sai. Tương tự đáp án B thì AN không nằm trong mặt phẳng
uuuu
r 1 uuur uuur
MN = AC + BD .
2
Đáp án D: Đúng vì

(

)

0 ·
0

·
·
Câu 4. Hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có các cạnh đều bằng a và B ' A ' D ' = 60 , B ' A ' A = D ' A ' A = 120 .

Tính diện tích các tứ giác A ' B ' CD và ACC ' A ' .
1
2
S A ' B 'CD = a 2 S
2 ; AA 'C 'C = 2a 2
A.

B.

S A ' B 'CD = a 2 S AA 'C ' C = a 2 2
;

S A ' B 'CD = a 2 3 S AA 'C 'C = a 2 2

D.

2
S A ' B 'CD = a 2 ; S AA 'C 'C = a 2 2

C.

;

Hướng dẫn giải:

uuuur r r r uuuur r r r uuuur uuuur r r r r r r

A ' C = a + b + c, B ' D = a − b + c ⇒ A ' C .B ' D = a + b + c a − b + c = 0

(

⇒ A ' C ⊥ B ' D nên

S A ' B ' DC =

)(

)

1
A ' C.B ' D
2
.

Trang 2/50


1
A ' C = a 2, B ' D = a 2 ⇒ S A ' B ' CD = a 2a. 2 = a 2
2
Dễ dàng tính được
uuur uuur
S AA 'C 'C = AA ' AC sin AA ', AC

(

) , AA ' = a, Ac = a

3.

uuur uuur
uuur uuur
6
sin AA ', AC = 1 − cos 2 AA ', AC =
3
Tính được

(

)

(

)

uuur uuur
6
S AA 'C 'C = AA ' AC sin AA ', AC = a.a 3.
= a2 2
3
Vậy
.

(

)

Câu 5. Hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' và M , N , P thỏa

uuur
uuuur
uuur
uuuur uuur
uuuu
r
MA = k MB ' ( k ≠ 0 ) , NB = xNC ', PC = yPD '

. Hãy tính

x, y theo k để ba điểm M , N , P thẳng hàng.

A.

x=

1+ k
1
,y=−
1− k
k

B.

1
+k
1
x= 2

,y=−
2−k
2k
C.

D.

x=

1 + 2k
1
,y=−
1 − 2k
2k

x=

2+k
2
,y=−
2−k
k

Hướng dẫn giải:

uuur r uuur r uuur r
Đặt AD = a, AB = b, AA ' = c .
Từ giả thiết ta có:
uuuu
r

k r r
AM =
b+c
k −1

(

)

uuur r
x r r
AN = b +
a+c
x −1

(

( 1)

)

( 2)

uuu
r r r
y r r
AP = a + b +
c − b ( 3)
y −1

(

)

Trang 3/50


Từ đó ta có

x r

1 r

r



uuuu
r uuur uuuur =
a−
b+
−
÷c
k −1  x −1 k −1 
MN = AN − AM x − 1
x

k

 x

y r
+
−
÷c
 x −1 y −1  .
uuur uuur uuuur r
y
1 r  y
k r
MP = AP − AM = a − (
+
)b + 
−
÷c
y −1 k −1
 y −1 k −1 

uuuu
r

uuur

MN = λ MP
Ba điểm M , N , P thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại λ sao cho
uuuu
r uuur
MN
, MP vào
Thay các vec tơ
x=

( *)

( *) .

r r r
a
và lưu ý , b, c không đồng phẳng ta tính được

1+ k
1
,y=−
1− k
k.

Câu 6. Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:

r r r r
r
r
A. véctơ x = a + b + c luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ a và b .
uuur uuuu
r uuur
′
′
′, DA′ đồng phẳng
AB
,
C
A

ABCD
.
A
’
B
’
C
’
D
’
B. Cho hình hộp
ba véctơ
r r r
C. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương.
r r r
r
a
,
b
,
c
0
D. Ba véctơ
đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án A: Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.
Đáp án B: Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.
Đáp án C: Sai

uuur uuur uuur r r
 DA′ = AA′ − AD = a − c
uuur uuur uuu
r
 uuur r r
′
′
′
AB
=
a
+
b
⇒
AB
=
DA
−
CA

r uuu
r
r r
 uuuu
uuur uuuu
r uuur
′A′ = CA = −b − c
C

⇒ 3 vectơ AB′, C ′A′, DA′ đồng

Đáp án D: Đúng vì 
phẳng.
Trang 4/50


Câu 7. Cho tam giác ABC , thì công thức tính diện tích nào sau đây là đúng nhất.

A.

C.

S=

1
AB 2 AC 2 − BC 2
2

S=

r uuur
1
1 uuu
AB 2 AC 2 − AB. AC
2
2

B.

(

)

2

D.

S=

r uuur
1
1 uuu
AB 2 AC 2 + AB. AC
2
2

S=

uuu
r uuur
1
AB 2 AC 2 − AB. AC
2

(

(

)

)

2

2

Hướng dẫn giải:
S ABC =
=

1
1
1
ABAC sin A =
AB 2 AB 2 sin 2 A =
AB 2 AC 2 ( 1 − cos 2 A )
2
2
2

uuu
r uuur
1
AB 2 AC 2 − AB. AC
2

(

)

2

.

0 ·
0
·
·
Câu 8. Hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có các cạnh đều bằng a và B ' A ' D ' = 60 , B ' A ' A = D ' A ' A = 120 .

Tính góc giữa đường thẳng AC ' với các đường thẳng AB, AD, AA ' .

·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos
(
) (
) (
)
A.

5
3

·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos
(
) (
) (
)
B.

6
2

·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos
(
) (
) (
)
C.

6
4

·AC ', AB = ·AC ', AD = ·AC ', AA ' = arccos
(
) (
) (
)
D.

6
3

Hướng dẫn giải:

( ·AC ', AB ) = ( ·AC ', AD ) = ( ·AC ', AA ') = arccos

6
3

Trang 5/50

uuur
uuu
r uuur
uuu
r
E
,
F
EA
=
kEB
,
FD
=
kFC
ABCD
Câu 9. Cho tứ diện
. Gọi
là các điểm thỏa nãm
còn P ,Q , R là các
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
điểm xác định bởi PA = lPD ,QE = lQF , RB = lRC . Chứng minh ba điểm P ,Q , R thẳng
hàng.Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tất cả đều sai

B. P, Q, R thẳng hàng

C. P, Q, R không đồng phẳng

D. P, Q, R không thẳng hàng

Hướng dẫn giải:
Ta có

uuur uuu
r uuur uuur
PQ = PA + AE + EQ ( 1)

uuur uuur uuur uuur
PQ = PD + DF + FQ

( 2)
Từ
Lấy

ta có

( 2)

uuur uuur uuur uuur
l PQ = l PD + l DF + l FQ

( 1) − ( 3)

theo vế ta có

uuur

uuur

uuur

( 3)

( 1− l ) PQ = AE − l DF

uuur
1 uuur
l uuur
⇒ PQ =
AE −
DF
1− l
1− l

uuu
r
r
1 uuu
l uuur
QR =
EB −
FC
1− l
1− l
Tương tự
uuur
r kl uuur
uuu

r
1 uuur
l uuur −k uuu
uuu
r
uuu
r uuur
uuur
PQ =
AE −
DF =
EB −
FC = − kQR
1− l
1− l
1− l
1− l
Mặt khác EA = k EB, FD = k FC nên
Vậy P, Q, R thẳng hàng.
Câu 10. Cho tứ diện ABCD có BC = DA = a,CA = DB = b, AB = DC = c . Gọi S là diện tích toàn phần
1
1
1
+ 2 2+ 2 2
( tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của a b b c c a .
2 2

Trang 6/50

2
A. S

3
B. S

2
2
C. S

9
2
D. S

Hướng dẫn giải:
Do

tứ

diện

ABCD

BC = DA = a, CA = DB = b, AB = DC = c

có

nên

∆BCD = ∆ADC = ∆DAB = ∆CBA . Gọi S ' là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp

mỗi

mặt

đó

thì

S = 4S ' =

abc
R ,

nên

bất

đẳng

thức

cần

chứng

minh

1
1

1
9
+ 2 2 + 2 2 ≤ 2 ⇔ a 2 + b2 + c2 ≤ 9R 2
ab bc ca
S
.
2 2

Theo công thức Leibbnitz: Với điểm M bất kì và G là trọng tâm của tam giác ABC thì
MA2 + MB 2 + MC 2 = GA2 + GB 2 + BC 2 + 3MG 2 =

1 2
a + b 2 + c 2 + 9 MG 2 )
(
3

Cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta được
9 R 2 = aa 2 + b 2 + c 2 + 9OG 2 ≥ a 2 + b 2 + c 2 .

1
1
1
9
+ 2 2+ 2 2
2
Vậy giá trị lớn nhất của a b b c c a là S đạt được khi M trùng với tâm đường tròn
2 2

ngoại tiếp tam giác ABC
Câu 11. Cho hình hộp

ABCD. A1 B1C1 D1

. Chọn đẳng thức sai?

uuur uuu
r uuuur uuuur
BC
+
BA
= B1C1 + B1 A1 .
A.

uuur uuuur uuuur uuur
AD + D1C1 + D1 A1 = DC .
B.

uuur uuu
r uuur uuuu
r
BC
+
BA
+
BB
=
BD
1
1 .
C.

uuu
r uuuur uuuu
r uuur
BA
+
DD
+
BD
1
1 = BC .
D.

Hướng dẫn giải:

uuu
r uuuur uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuur
BA
+
DD
+
BD
=
BA
+
BB

+
BD
=
BA
+
BD
1
1
1
1
1
1 ≠ BC nên D sai.
Ta có:
Trang 7/50


uuur uuur uuuur uuuur
BC + BA = B1C1 + B1 A1 . A đúng
Do
và
nên
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur
AD + D1C1 + D1 A1 = AD + D1 B1 = A1 D1 + D1 B1 = A1 B1 = DC
uuur uuuur
BC = B1C1

uuu
r uuuur
BA = B1 A1

Do

uuur uuuur uuuur uuur
AD + D1C1 + D1 A1 = DC

nên

nên B đúng.

uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur
BC + BA + BB1 = BD + DD1 = BD1 nên C đúng.
Do
Câu 12. Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O . Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào sai?

uuu
r uuur uuur uuur r
A. Nếu ABCD là hình thang thì OA + OB + 2OC + 2OD = 0
uuu
r uuur uuur uuur r
B. Nếu OA + OB + OC + OD = 0 thì ABCD là hình bình hành.
uuu
r uuur uuur uuur r
OA
+ OB + 2OC + 2OD = 0 thì ABCD là hình thang.
C. Nếu
uuu
r uuur uuur uuur r
OA
+ OB + OC + OD = 0 .

ABCD
D. Nếu
là hình bình hành thì
Hướng dẫn giải:

uuu
r uuur uuur uuur
Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có OA + OB = OC + OD
r ruu
r
a
,
b
,
c
Câu 13. Cho ba vectơ
không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
r r r r u
r
r r r r
r r
r
A. Các vectơ x = a + b − c; y = 2a − b + 3c; z = − a − b + 2c đồng phẳng.
r r
r
r u
r
r r
r r
r r r

x
=
a
−
2
b
+
4
c
;
y
=
3
a
−
3
b
+
2
c
;
z
=
2
a
− 3b − 3c đồng phẳng.
B. Các vectơ
r r r r u
r
r r r r

r
r r
C. Các vectơ x = a + b + c; y = 2a − 3b + c; z = −a + 3b + 3c đồng phẳng.
r r r
r u
r
r r
r r
r
r
r
x
=
a
+
b
+
2
c
;
y
=
2
a
−
3
b
−
6
c

;
z
=
−
a
+
3
b
+
6
c
D. Các vectơ
đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:
r u
r r
r
u
r
r
x
,
y
,
z
⇔
∃
m
,

n
:
x
=
m
y
+
nz
Các vect
ơ u
đồng phẳng
r
r
r
Mà : x = m y + nz

Trang 8/50


3m + 2n = 1

r
r
r
r
r
r
r
r r ⇔  −3m − 3n = −2
2m − 3n = 4

⇔ a − 2b + 4c = m 3a − 3b + 2c + n 2a − 3b − 3c

(hệ vô nghiệm)
r
u
r
r
Vậy không tồn tại hai số m, n : x = m y + nz

(

) (

)

Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

uur uuu
r uur uuu
r

A. Nếu ABCD là hình bình hành thì SB + SD = SA + SC .

uur uuur uur uuur
B. Nếu SB + SD = SA + SC thì ABCD là hình bình hành.
uur

uuu
r uur

uuu
r

C. Nếu ABCD là hình thang thì SB + 2 SD = SA + 2SC .

uur uuu
r uur uuu
r
SB
+
2
SD
=
SA
+
2
SC
D. Nếu
thì ABCD là hình thang.
Hướng dẫn giải:
Đáp án C sai do nếu ABCD là hình thang có 2 đáy lần lượt là AD và BC thì ta có

uuu
r uur uuu
r uur
SD + 2SB = SC + 2SA.
·
·
·
( β ) là mặt phẳng đi

Câu 15. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC = a , ASB = BSC = CSA = α . Gọi
qua A và các trung điểm của SB, SC . Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng

A.

C.

(β) .

S=

a2
7 cos 2 α − 6 cos α + 9
8

S=

a2
7 cos 2 α − 16 cos α + 9
2

B.

D.

S=

a2
7 cos 2 α − 16 cos α + 9

8

S=

a2
7 cos 2 α − 6 cos α + 9
2

Hướng dẫn giải:

Gọi B ', C ' lần lượt là trung điểm của SB, SC . Thiết diện là tam giác AB ' C ' .
Trang 9/50


Theo bài tập 5 thì

S AB ' C ' =

uuuu
r uuuu
r
1
AB '2 AC '2 − AB '. AC '
2

(

)

2

uuuu
r uuur uur 1 uur uur
AB ' = SB ' − SA = SB − SA
2
Ta có
⇒ AB '2 =

uuruur
1 2
SB + SA2 − SASB
4

a2
= ( 5 − 4 cos α )
4
. Tính tương tự, ta có
uuuu
r uuuu
r a2
AB ' AC ' = ( 4 − 3cos α )
4
.

Vậy

SAB'C ' =

2
2

1 a4
a4
5− 4cosα ) − ( 4 − 3cosα )
(
2 16
16

a2
=
7 cos 2 α − 16 cos α + 9
8
.
Câu 16. Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ .
Xác định vị trí của M để
A. Trung điểm CD

uuur uuur uuuu
r uuuu
r
MA + MB + MC + MD

B. Trung điểm AB

nhỏ nhất.
C. Trùng với G

D. Trung điểm AC

Hướng dẫn giải:

Ta có

uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
MA + MB + MC + MD = 4 MG

nên

uuur uuur uuuu
r uuuu
r
MA + MB + MC + MD
uuu
r

r

uuur

nhỏ nhất khi M ≡ G .
r

Câu 17. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O . Đặt AB = a ; BC = b . M là điểm xác định bởi
uuuu
r 1 r r
OM = a − b
2

. Khẳng định nào sau đây đúng?

(

)

Trang 10/50


A. M là tâm hình bình hành BCC ′B′ .

B. M là trung điểm BB′ .

C. M là trung điểm CC ′ .

D. M là tâm hình bình hành ABB′A′ .

Hướng dẫn giải:

r
a

r
b

Ta phân tích:
uuuu
r 1 r r 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
OM = a − b = AB − BC = AB − AD = DB
2

2
2
2
.

(

(

)

)

(

)

⇒ M là trung điểm của BB′ .
Câu 18. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung
điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào
đẳng thức vectơ:

uur
uuu
r uuu
r uuur uuur
PI = k PA + PB + PC + PD

A. k = 4 .

(

B.

k=

1
2.

).
C.

k=

1
4.

D. k = 2 .

Hướng dẫn giải::

uuu
r uuur
uuuu
r uuu
r uuur
uuur
PA
+
PC

=
2
PM
PB
+
PD
=
2
PN
Ta có
,
1
uuu
r uuu
r uuuuu
r uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r uuur
uur
uur
k=
4
Nên PA + PB + PC + PD = 2 PM + 2 PN = 2( PM + PN ) = 2.2. PI = 4 PI . Vậy
uuuu
r

r

Câu 19. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC ′ = u ,
r r
uuur r uuuu
r r uuuu
′ = y . Khẳng định nào sau đây đúng?
DB
CA ' = v , BD′ = x ,
uur
1 r r r r
2OI = − ( u + v + x + y )
2
A.
.

uur 1 r r r r
2OI = ( u + v + x + y )
4
B.
.

uur
1 r r r r
2OI = − ( u + v + x + y )
4
C.
.

uur 1 r r r r
2OI = ( u + v + x + y )

2
D.
.

Hướng dẫn giải:

Trang 11/50


r
x

r
v

r
y

r
u

Ta phân tích:
r uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuur
uuur
r r uuuu
u + v = AC ′ + CA′ = AC + CC ′ + CA + AA′ = 2 AA′

(

) (

)

.

r uuuu
r uuur uuuur
uuur uuur
uuur
uuur
r r uuuu
x + y = BD′ + DB′ = BD + DD′ + DB + BB′ = 2 BB′ = 2 AA′

(

) (

)

.

uuur
uuur
uur
r r r r
⇒ u + v + x + y = 4 AA′ = −4 A′A = −4.2OI .

uur
1 r r r r
⇒ 2OI = − ( u + v + x + y )
4
.
Câu 20. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

uuu
r
uuur uuur
AB
=
−
2
AC + 5 AD nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng
A. Vì
uuu
r
uuur
uuu
r
uuur
B. Từ AB = −3 AC ta suy ra CB = 2 AC .
uuur uuur
uuu
r
uuu
r
C. Từ AB = 3 AC ta suy ra BA = −3CA
uuu

r
1 uuur
AB = − BC
2
D. Nếu
thì B là trung điểm đoạn AC .
Hướng dẫn giải:
A

M

G
B

D

N
C

uuu
r
uuur uuur
AB = −2 AC + 5 AD
Ta có: uuur uuur uuur
Suy ra: AB, AC , AD hay bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng.
Câu 21. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
Trang 12/50


uuur uuur

uuu
r
uuu
r
A. Từ AB = 3 AC ta suy ra BA = −3CA.
uuu
r
1 uuur
AB = − BC
2
B. Nếu
thì B là trung điểm của đoạn AC .

uuu
r
uuur
uuu
r uuur
C. Từ AB = −3 AC ta suy ra CB = AC.
uuur
uuur uuur
D. Vì AB = −2 AC + 5 AD nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
uuu
r
1 uuur
AB = − BC ⇒
2
A là trung điểm BC .
Đáp án A: Sai vì

uuur uuur
uuu
r
uuur
AB
−
3
AC
⇒
CB
=
−
4
AC .
Đáp án B: Sai vì

Đáp án C: Đúng theo
srự đồuu
ng
uuur định
uuurlý vềuuu
u
r phẳng của 3 véctơ.
Đáp án D: Sai vì AB = 3 AC ⇒ BA = 3CA (nhân 2 vế cho −1 ).
Câu 22. Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M , N sao cho AM = 3MD ,
BN = 3 NC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC . Trong các khẳng định sau,

khẳng định nào sai?
uuur uuur uuuu

r
BD
,
AC
,
MN
A. Các vectơ
đồng phẳng.

uuuu
r uuur uuur
MN
, DC , PQ đồng phẳng.
B. Các vectơ

uuu
r uuur uuur
AB
, DC , PQ đồng phẳng.
C. Các vectơ

uuu
r uuur uuuu
r
AB
,
DC
,
MN
D. Các vectơ

đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

Trang 13/50


uuuu
r uuur uuur uuur
uuuu
r uuur uuur uuur
 MN = MA + AC + CN
 MN = MA + AC + CN
r uuuu
r uuur uuur ⇒  uuuuur uuuuu
r uuur uuur
 uuuu
MN
=
MD
+
DB
+
BN
3
MN
=
3
MD
+ 3DB + 3BN




Đáp án A: Sai vì 
uuuu
r uuur uuur 1 uuur
uuur uuur uuuu
r
⇒ 4MN = AC − 3BD + BC
BD
,
AC
,
MN
⇒
2
không đồng phẳng.
uuuu
r uuur uuur uuur
uuuu
r uuur uuur uuuu
r 1 uuur uuur
 MN = MP + PQ + QN
⇒
2
MN
=
PQ
+
DC

⇒
MN
= PQ + DC
u
u
u
u
r
u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r

2
MN
=
MD
+
DC
+
CN


Đáp án B: Đúng vì 

(

)

uuuu
r uuur uuur
⇒ MN , DC , PQ : đồng phẳng.

uuur 1 uuur uuur
uuur
PQ = AB + DC .
2
Đáp án C: Đúng. Bằng cách biểu diễn PQ tương tự như trên ta có

(

)

uuuu
r 1 uuur 1 uuur
MN = AB + DC
4
4
Đáp án D: Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có
.
r r r
r

r r u
r r r r r
r
r
a
,
b
,
c
x
=
2
a
+
b
;
y
=
a
−
b
−
c;
z
=
−
3
b
−
2

c
Câu 23. Cho ba vectơ
không đồng phẳng. Xét các vectơ
. Chọn

khẳng định đúng?
r r
A. Hai vectơ x; b cùng phương.

r u
r r
x
;
y
; z đôi một cùng phương.
B. Ba vectơ

r u
r r
x
;
y
; z đồng phẳng.
C. Ba vectơ

r r
D. Hai vectơ x; a cùng phương.

Hướng dẫn giải:
u

r 1 r r
r u
r r
y = x+z
x
;
y
; z đồng phẳng.
2
Ta có:
nên ba vectơ

(

)

uur r uuu
r r uuur r
′
′
′
ABCA
B
C
CA
=
a
CB
= b , AA ' = c . Khẳng
Câu 24. Cho hình lăng trụ

, M là trung điểm của BB’ . Đặt
,
định nào sau đây đúng?
uuuu
r r r 1r
AM = a + c − b
2
A.

uuuu
r r r 1r
AM = b + c − a
2 .
B.

uuuu
r r r 1r
AM = b − a + c
2 .
C.

uuuu
r r r 1r
AM = a − c + b
2 .
D.

Hướng dẫn giải::
uuuu
r uuu

r uuuu
r uuu
r uuu
r 1 uuur r r 1 r
AM = AB + BM = CB − CA + BB ′ = b − a + c
2
2
Ta có

Trang 14/50


uuur

r

Câu 25. Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB = b , AC = c ,
uuur r
AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng?

uuur 1 r r r
MP = c + d + b
2
A.
.

uuur 1 r r r
MP = c + d − b
2
B.

.

uuur 1 r r r
MP = d + b − c
2
C.
.

uuur 1 r r r
MP = c + b − d
2
D.
.

(

)

(

(

)

(

)

)

Hướng dẫn giải:

r
b

r
d
r
c

Ta phân tích:
uuur 1 uuuu
r uuuu
r
MP = MC + MD
2
(tính chất đường trung tuyến)

(

)

=

r uuur uuuu
r 1 r r uuuu
r
1 uuur uuuu
AC − AM + AD − AM = c + d − 2 AM
2

2

=

1 r r uuur 1 r r r
c + d − AB = c + d − b
2
2
.

(

(

)

)

(

(

)

)

r r uuur r uuur
r uuu
Câu 26. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x = AB ; y = AC ; z = AD . Khẳng

định nào sau đây đúng?
uuur 1 r r r
AG = ( x + y + z )
3
A.
.

uuur
1 r r r
AG = − ( x + y + z )
3
B.
.

Trang 15/50


uuur 2 r r r
AG = ( x + y + z )
3
C.
.

uuur
2 r r r
AG = − ( x + y + z )
3
D.
.

Hướng dẫn giải:

r
x

r
z

r
y

Gọi M là trung điểm CD .
Ta phân tích:
uuur uuu
r uuur uuu
r 2 uuuu
r uuur 2 uuuu
r uuur
AG = AB + BG = AB + BM = AB + AM − AB
3
3

(

)

uuu
r 2  1 uuur uuur uuu
r  1 uuu
r uuur uuur 1 r r r

= AB +  AC + AD − AB  = AB + AC + AD = ( x + y + z )
3 2
3
 3
.

(

)

(

)

Câu 27. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
r r r
A. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.
r r r
r
a
,
b
,
c
0
B. Nếu trong ba vectơ
có một vectơ thì ba vectơ đó đồng phẳng.
r r r
C. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vect ơ đó đồng

phẳng.
r r r
a
D. Nếu trong ba vectơ , b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:
+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.
Câu 28. Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’ A’ và
BCC ′B′ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng

uur 1 uuur 1 uuuur
IK = AC = A′C ′
2
2
B.

uuur uur uuuur
C. Ba vectơ BD; IK ; B′C ′ không đồng phẳng.

uuur uur
uuur
D. BD + 2 IK = 2 BC

Hướng dẫn giải:
Trang 16/50


uur uuur

( B′AC )
Đáp án A: Đúng vì IK , AC cùng thuộc

uur uuu
r uuuur 1 r r 1 r r 1 r r 1 uuur 1 uuuur
IK = IB′ + B ' K = a + b + −a + c = b + c = AC = A′C ′.
2
2
2
2
2
Đáp án B: Đúng vì

(

)

(

)

(

)

uur uuu
r uuuur 1 r r 1 r r 1 r r
IK = IB′ + B ' K = a + b + −a + c = b + c .
2
2

2
Đáp án C: Sai vì

(

)

(

)

(

)

uuur uur
r r r r
r
uuuur
⇒ BD + 2 IK = −b + c + b + c = 2c = 2 B′C ′ ⇒ ba véctơ đồng phẳng.
uuur uur
r r r r
r
uuuur
uuur
′
′
⇒
BD
+

2
IK
=
−
b
+
c
+
b
+
c
=
2
c
=
2
B
C
=
2
BC.
Đáp án D: Đúng vì theo câu C
r r r
r r r
Câu 29. Cho ba vectơ a, b, c . Điều kiện nào sau đây khẳng định a, b, c đồng phẳng?
r r r
a
A. Giá của , b, c đồng qui.
r
r

r r
B. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p = 0 và ma + nb + pc = 0 .
r
r
r r
m
+
n
+
p
≠
0
m
,
n
,
p
ma
+
nb
+
pc
=0.
C. Tồn tại ba số thực
thỏa mãn
và
r
r
r r
D. Tồn tại ba số thực m, n, p sao cho ma + nb + pc = 0 .

Hướng dẫn giải:
Theo giả thuyết m + n + p ≠ 0 ⇒ tồn tại ít nhất một số khác 0 .
r
r
r r
r
nr pr
ma + nb + pc = 0 ⇒ a = − b − c
m
m .
Gi
ả sử m ≠ 0 . Từ
r r r
a, b, c đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ).
Câu 30. Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a .
uuur uuur
Ta có AB.EG bằng:

A. a 3.

a 2
.
B. 2

2
C. a .

D. a 2

Hướng dẫn giải:

Trang 17/50


uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
AB.EG = EF + EH AE + EF + FB
uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
= EF . AE + EF 2 + EF .FB + EH . AE + EH .EF + EH .FB
uuur uuu
r
= 0 + a 2 + 0 + 0 + 0 + EH .EA = a 2 + 0 = a 2

(

)(

)

uuu
r r uuur r
′
′
′
′

AB
= a ; BC = b . M là điểm xác định bởi
ABCD
.
A
B
C
D
O
Câu 31. Cho hình hộp
có tâm . Đặt
uuuu
r 1 r r
OM = a − b
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?

(

)

A. M là trung điểm BB′.

B. M là tâm hình bình hành BCC ′B′.

C. M là tâm hình bình hành ABB′A′.

D. M là trung điểm CC ′.

Hướng dẫn giải:

uuuu
r uuu
r uuur
r uuuu
r
1 uuuu
⇒ 2OM = OB + OB′ = − B′D + BD′
2
Đáp án A: M là trung điểm BB′
(quy tắc trung điểm).
u
u
u
r
r
r
u
u
u
r
r
r
r r r r
1
1
= − B′B + b − a + BB′ + b − a
= − −2a + 2b = a − b
2
2
(quy tắc hình hộp)

.

(

(

)

Câu 32. Cho hình hộp

)

(

)

ABCD. A1 B1C1D1 . Chọn khẳng định đúng.

A.

uuur uuuur uuuur
BA1 , BD1 , BC1

C.

uuur uuuur uuur
BA1 , BD1 , BC

đồng phẳng.

đồng phẳng.

B.

uuur uuuur uuur
BA1 , BD1 , BD

D.

uuur uuuu
r uuuu
r
BD, BD1 , BC1

đồng phẳng.
đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:
Ta có 3 véctơ

uuur uuuur uuur
BA1 , BD1 , BC

đồng phẳng vì chúng có giá cùng nằm trên mặt phẳng

( BCD1 A1 ) .

uuu
r r uuur r uuur r
AB

= a, AC = b, AD = c, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Trong
ABCD
Câu 33. Cho tứ diện
. Đặt

các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
uuur 1 r r r
AG = a + b + c
2
A.
.

uuur 1 r r r
AG = a + b + c
4
B.
.

uuur r r r
C. AG = a + b + c .

uuur 1 r r r
AG = a + b + c
3
D.
.

(

)

(

(

)

)

Hướng dẫn giải:

Trang 18/50


Gọi M là trung điểm BC .
uuur uuu
r uuur r 2 uuuu
r r 2 1 uuur uuur
AG = AB + BG = a + BM = a + . BC + BD
3
3 2
r 1 uuur uuu
r uuur uuu
r r 1
r r r 1 r r r
= a + AC − AB + AD − AB = a + −2a + b + c = a + b + c .
3
3
3

(

(

)

Câu 34. Cho hình lập phương

)

(

)

(

)

ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức

đúng?
uuur 1 uuu
r uuur uuur
AO = AB + AD + AA1
3
A.

)

uuur 1 uuu

r uuur uuur
AO = AB + AD + AA1
2
B.

uuur 1 uuu
r uuur uuur
AO = AB + AD + AA1
4
C.

)

uuur 2 uuu
r uuur uuur
AO = AB + AD + AA1
3
D.
.

(

(

(

(

)
)

Hướng dẫn giải:

uuuu
r uuur uuur uuur
AC
1 = AB + AD + AA1
Theo quy tắc hình hộp:
uuur 1 uuuu
r
uuur 1 uuur uuur uuur
AO = AC1
AO = AB + AD + AA1
2
2
Mà
nên
.

(

Câu 35. Cho hình hộp

ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định đúng?

uuuu
r uuur uuur
CD
1 , AD, A1C đồng phẳng.
A.

C.

)

uuur uuuu
r uuuu
r
BD, BD1 , BC1

đồng phẳng.

uuu
r uuur uuur
AB
, AD, C1 A đồng phẳng.
B.
D.

uuuu
r uuur uuuur
CD1 , AD, A1 B1

đồng phẳng.

Hướng dẫn giải:

Trang 19/50


D

C

A

B

D1

C1

A1

B1

+ M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AA1 , DD1 , CD .
Ta có

uuuu
r uuur uuuu
r
CD1 / /( MNPQ); AD / / ( MNPQ ) ; A1C / /( MNPQ) ⇒ CD1 , AD, A1C

Câu 36. Cho hình hộp

ABCD. A1B1C1D1

đồng phẳng.

với tâm O . Chọn đẳng thức sai.

A.

uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur
AB + BC + CC1 = AD1 + D1O + OC1

C.

uuuu
r uuur uuur uuur
AC1 = AB + AD + AA1

.

.

B.

uuur uuur uuur uuuur
AB + AA1 = AD + DD1

D.

uuur uuuur uuur uuuur r
AB + BC1 + CD + D1 A = 0

.
.

Hướng dẫn giải:

Ta có

uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur
AB + AA1 = AB1 , AD + DD1 = AD1

Câu 37. Cho hình hộp

ABCD. A1 B1C1 D1

uuur uuuur
AB1 ≠ AD1

mà

C.

sai.

. Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức đúng.

uuuur uuuu
r 1 uuuur 1 uuuur
C1M = C1C + C1 D1 + C1 B1
2
2
A.
.

uuuur uuur uuuur uuuur
B1M = B1 B + B1 A1 + B1C1

nên

uuur uuur uuur uuuur
AB + AA1 = AD + DD1

uuur uuuur uuuur
uuuu
r
BB
+
B
A
+
B
C
=
2
B
D
1
1
1
1
1
1
B.
.
uuuur uuuu
r uuuur 1 uuuur

C1M = C1C + C1 D1 + C1 B1
2
D.
.

.

Hướng dẫn giải:
uuuur uuur uuuu
r uuur 1 uuu
r uuur uuur 1 uuuur uuuur
B1M = B1B + BM = BB1 + BA + BD = BB1 + B1 A1 + B1D1
2
2
Đáp án A: Sai vì
uuur 1 uuuur uuuur uuuur uuur uuuur 1 uuuur
= BB1 + B1 A1 + B1 A1 + B1C1 = BB1 + B1 A1 + B1C1.
2
2

(

(

)

(

)

)

Trang 20/50


B

A
M

C

D

A1

B1

D1

C1

uuuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r 1 uuu
r uuur uuuu
r 1 uuuur uuuur
C1M = C1C + CM = C1C + CA + CD = C1C + C1 A1 + C1D1
2

2
Đáp án B: Đúng vì
uuuu
r 1 uuuur uuuur uuuur uuuu
r uuuur 1 uuuur
= C1C + C1 B1 + C1 D1 + C1 D1 = C1C + C1D1 + C1 B1.
2
2
Đáp án C: Sai. theo u
câu
uur B usuy
uuur rauuuur uuur uuur uuuu
r
BB
+
B
A
+
B
C
=
BA
+
BC
=
BD
1
1 1
1 1
1

1 .
Đáp án D: Đúng vì

(

(

)

(

)

)

Câu 38. Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC . Đẳng thức đúng là.
uur 1 uur 1 uur 1 uuu
r
SI = SA + SB + SC
3
3
3
A.
.

uur uur uur uuur
B. SI = SA + SB + SC .

uu
r

uur uur uuu
r
SI = 3 SA − SB + SC

uur uur uur uuu
r
6SI
=
SA
+
SB
+
SC
D.
.

C.

(

).

Hướng dẫn giải:
uur uur uuu
r
uu
r
uu
r 1 uur 1 uur 1 uuu
r

SA + SB + SC = 3SI ⇔ SI = SA + SB + SC
3
3
3
Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên
.
Câu 39. Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai.

uuu
r uuur uuur uuur r
A. GA + GB + GC + GD = 0 .

uuur 2 uuur uuur uuur
AG = AB + AC + AD
3
B.
.

uuur 1 uuu
r uuur uuur
AG = AB + AC + AD
4
C.
.

uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
OG = OA + OB + OC + OD
4

D.
.

(

(

)

)

(

)

Hướng dẫn giải:
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
OG = OA + OB + OC + OD
4
Theo giả thuyết trên thì với O là một điểm bất kỳ ta luôn có:
.

(

)

Ta thay điểm O bởi điểm A thì ta có:
uuur 1 uuu

r uuu
r uuur uuur
uuur 1 uuu
r uuur uuur
AG = AA + AB + AC + AD ⇔ AG = AB + AC + AD
4
4

(

)

(

)
Trang 21/50


uuur 2 uuu
r uuur uuur
AG = AB + AC + AD
3
Do vậy
là sai.

(

Câu 40. Cho hình hộp

)

ABCD. A1 B1C1 D1

A.

uuur uuur uuuu
r
CA1 + AC = CC1

C.

uuuu
r uuur uuur
AC1 + A1C = AA1

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

.
.

B.

uuuu
r uuur uuuu
r r
AC1 + CA1 + 2C1C = 0

D.

uuuu

r uuur
uuur
AC1 + A1C = 2 AC

.

.

Hướng dẫn giải:
D

C

A

B

O
D1

A1

C1

B1

ABCD. A1 B1C1 D1
+ Gọi O là tâm của hình hộp
.
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.

Câu 41. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ
để A, B, C , D tạo thành hình bình hành là:

uuu
r uuur uuur uuur
A. OA + OC = OB + OD .

uuu
r uuur uuur uuur r
B. OA + OB + OC + OD = 0 .

uuu
r 1 uuur uuur 1 uuur
OA + OB = OC + OD
2
2
C.
.

uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuur
OA + OC = OB + OD
2
2
D.
.

Hướng dẫn giải:

uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuur
OA + OC = OB + OD ⇔ OA + OA + AC = OA + AB + OA + BC ⇔ AC = AB + BC
Trang 22/50


uuur r uuur ur uuur r
′
′
′
ABC
.
A
B
C
Câu 42. Cho lăng trụ tam giác
có AA′ = a, AB = b, AC = c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ
r r r
uuuu
r
B′C qua các vectơ a, b, c .

uuuu
r r r r

′
B
C
= a + b − c.
A.

uuuu
r
r r r
′
B
C
=
−
a
+ b + c.
B.

uuuu
r r r r
′
B
C
= a + b + c.
C.

uuuu
r
r r r
′

B
C
=
−
a
− b + c.
D.

Hướng dẫn giải:

uuuu
r uuur uuuur
uuur uuur
r uuur uuu
r
r r r
B′C = B′B + B′C ′ (qt hình bình hành) = − AA′ + BC = −a + AC − AB = −a − b + c.

( α ) cắt các tia SA, SB, SC , SG ( G là trọng tâm tam giác
Câu 43. Cho hình chóp S . ABC , mặt phẳng
SA SB SC
SG
+
+
=k
ABC ) lần lượt tại các điểm A ', B',C ',G ' .Ta có SA ' SB ' SC '
SG ' . Hỏi k bằng bao
nhiêu?
A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Hướng dẫn giải:

uuu
r uuur uuur r
uuur uur uur uuu
r
G
∆ABC
GA
+
GB
+
GC
=
0
⇒
3
SG
=
SA
+
SB
+
SC

Do
là trọng tâm của
nên
SG uuur SA uuur SB uuur
SG ' =
SA ' +
SB '
SG '
SA '
SB '
SC uuur
+
SC '
SC '
⇔3

Trang 23/50


Mặt khác A ', B ', C ', G ' đồng phẳng nên
SA SB SC
SG
+
+
=3
SA ' SB ' SC '
SG ' .
Chú ý: Ta có một kết quả quen thuộc trong hình học phẳng:
Nếu M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC thì

S a , S b , Sc

uuur
uuur
uuuu
r r
Sa MA + Sb MB + Sc MC = 0

trong đó

lần lượt là diện tích các tam giác MBC , MCA, MAB . Vì vậy ta có bài toán tổng quát

hơn như sau:

( α ) cắt các tia SA, SB, SC , SM ( M là điểm thuộc miền
Cho hình chóp S . ABC , mặt phẳng
trong tam giác ABC ) lần lượt tại các điểm A ', B ', C ', M ' .
S a SA Sb SB S c SC S .SM
+
+
=
SB '
SC '
SM ' . ( Với Sa , Sb , Sc lần lượt là diện tích các tam giác
Chứng minh: SA '
MBC , MCA, MAB và S là diện tích tam giác ABC ).

Câu 44. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
r
r

r r
r r r
m
,
n
,
p
m
a
+
nb
+
pc
=
0
a
0
A. Nếu có
và một trong ba số
khác thì ba véctơ , b, c đồng phẳng.

B. Ba tia Ox,Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.
r r r
r
r
C. Cho hai véctơ không cùng phương a và b . Khi đó ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi
r
r
r
mn

,
, là duy nhất.
c
=
m
a
+
nb
có cặp số
sao cho
, ngoài ra cặp số mn
r r r
D. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng
Hướng dẫn giải::
r r r
Ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt
phẳng. Câu A sai
Câu 45. Cho hình chóp S . ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào sai?

uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
SA
+
SB
+
2

SC
+
2
SD
=
6
SO
A. Nếu
thì ABCD là hình thang.
uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
SA
+
SB
+
SC
+
SD
=
4
SO
ABCD
B. Nếu
là hình bình hành thì
.
uur uur uuu
r uuu

r
uuu
r
SA
+
SB
+
2
SC
+
2
SD
=
6
SO
ABCD
C. Nếu
là hình thang thì
.

Trang 24/50


uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
D. Nếu SA + SB + SC + SD = 4SO thì ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải:

uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
uuu
r uuur uuur uuur r
Đáp án A: Đúng vì SA + SB + 2 SC + 2 SD = 6SO ⇔ OA + OB + 2OC + 2OD = 0 .
uuur
uuur r
uuu
r
uuur
uuur
⇒ ( k + 1) OC + ( m + 1) OD = 0
O
,
A
,
C
O
,
B
,
D
OA
=
kOC
;

OB
=
mOD
Vì
và
thẳng hàng nên đặt
.
OA OB
uuur uuur
=
= 2 ⇒ AB / / CD.
Mà OC , OD không cùng phương nên k = −2 và m = −2 ⇒ OC OD
Đáp án B: Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái.
Đáp án C: Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD, BC thì sẽ sai.
Đáp án D: Đúng. Tương tự đáp án A với k = −1, m = −1 ⇒ O là trung điểm 2 đường chéo.
uuu
r uuu
r uuur

uuur

r

Câu 46. Cho tứ diện ABCD . Định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi GA + GB + GC + GD = 0 ”.
Khẳng định nào sau đây sai?
A. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD .
B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC .
C. Tất cả đều sai.
D. G là trung điểm của đoạn IJ ( I , J lần lượt là trung điểm AB và CD ).
Hướng dẫn giải:

Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD .
Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
Trang 25/50