Khảo sát trạng thái nhiệt lớp bêtông nhựa mặt cầu dưới tác động của thay đổi thời tiết bằng phương pháp phần tử hữu hạn

KHẢO SÁT TRẠNG THÁI NHIỆT LỚP BÊTÔNG NHỰA MẶT CẦU
DƯỚI TÁC ĐỘNG CỦA THAY ĐỔI THỜI TIẾT BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN
PGS.TS Trịnh Văn Quang. ThS Trần Văn Bảy.

Tóm tắt: Bài báo trình bày cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để đánh giá trạng thái nhiệt
của các lớp bê tông nhựa mặt cầu dưới tác động của thay đổi nhiệt độ không khí và bức xạ măt trời.
Abstract: The paper presents the way to use the finite element method for evaluating thermal state of
the bitumen concrete layers of bridge surface under impact of the changing of air temperature and
solar radiation.
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hiện tượng mặt cầu bị hư hỏng liên quan đến trạng thái nhiệt đến nay còn ít được quan tâm nghiên
cứu lý thuyết. Với mục đích tìm hiểu trạng thái nhiệt của các lớp bê tông nhựa mặt cầu và mở rộng các
phương pháp tính nhiệt, bài viết trình bày cách áp dụng phương pháp (pp) phần tử hữu hạn (PTHH)
trong tính nhiệt, để xác định nhiệt độ và đưa ra các nhận định về trạng thái nhiệt của các lớp bê tông
(BT) nhựa mặt cầu dưới tác động của các yếu tố khí hậu thay đổi.
II. PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT
2.1. Giới hạn bài toán , dữ liệu ban đầu
+ Khảo sát mặt cầu BT dày L=0,3m, gồm 2 lớp, lớp trên bêtông nhựa át phan, lớp dưới là dầm cầu bê
tông cốt thép. Bề dày (cm), hệ số dẫn nhiệt k(W/m0C), mật độ  (kg/m3), nhiệt dung riêng c (J/kg0C)
của hai lớp tương ứng như sau: 1=8; 2=22; k1= 1,0416; k2= 1,265; 1= 2100; 2 = 2200; c1= 1666,6;
c2 = 1215. Mặt trên nhận bức xạ mặt trời, hai mặt tỏa nhiệt với không khí. Nhiệt độ không khí T K, bức
xạ mặt trời E từng giờ trong ngày mùa hè (tháng 6) và mùa đông (tháng 12) thay đổi theo số liệu của
ngành khí tượng, bảng 1, tốc độ gió trung bình w = 2,4 m/s.
Bảng 1
Giờ
TK (0 C)
E (W/m 2 )

Giờ
TK (0 C)

E (W/m 2 )

5
26,3
0
17
31,3
203,5

6
26,5
34,89
18
30,2
58,15

7
27,2
209,3
19
29,6
0

8
27,7
407,0
20
28,8
0

9
28,5
610,5
21
28,4
0

10
29,4
779,2
22
28,2
0

11
30,1
895,5
23
27,6
0

12
30,7
930,4
24
27,2
0

13
31,3

872,2
1
27,0
0

14
31,8
744,3
2
26,8
0

15
32,0
593,1
3
26,5
0

16
31,7
401,2
4
26,4
0

(Mùa đông: nhiệt độ trung bình ngày 16,6 0C, trung bình thấp nhất 13,80C; bức xạ bằng 35% mùa hè)
Truyền nhiệt qua lớp mặt cầu có bề dày nhỏ hơn rất nhiều so với bề rộng và dài, được mô tả bởi
T
 2T

phương trình vi phân dẫn nhiệt một chiều: ρ.c
 k 2 (1); do điều kiện biên khá phức tạp nên
τ
x
không thể giải được bằng phương pháp giải tích mà phải dùng pp gần đúng là PTHH.
2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn
1- Rời rạc miền nghiệm: Bề dày mặt cầu được rời rạc thành 15 phần tử (PT) ký hiệu ,,,... mỗi
PT dài là l = 0,3m/15 = 0,02m, và 16 nút ký hiệu 1,2,3,,16., hình 1. Lớp nhựa 4 PT, lớp dầm BT 11
PT.
1


Hình 1. Sơ đồ rời rạc lớp bê tông mặt cầu thành các PTHH
2- Hàm nội suy: Chọn hàm bậc nhất: N  N N   1  x   x  (2); với l là chiều dài của một PT,
i
j

l
l 


  

x là toạ độ trong phần tử, nên nhiệt độ là T  N i Ti  N j T j  N T (3); Ti và Tj là nhiệt độ tại hai
nút của PT. Đạo hàm của hàm nội suy [B], gradient nhiệt độ [g] là
N  N i

x  x

Nj  1

T1 
T  Ni

Ti
Tj   1 1   BT  g
x  x
x  l
Tj 

N j  1
(4);
   1 1  B
x  l

(5)

3-Thiết lập phương trình ma trận đặc trưng của phần tử :
Chọn pp Galerkin, lấy hàm trọng số là hàm nội suy Ni , yêu cầu (1) thoả :
  2T
T 
Ni  k 2  ρc dV  0 (6). Sau khi thực hiện tích phân sẽ được :
V

x
τ 


 Tj τ    N N j 
V ρ.cNi N j dV  τ   V  k xi x dV  ShNi N j dSTj τ    SNiqdS  ShNi TK dS (7)










Viết (7) gọn dạng ma trận là : C T   K T  f 
 τ 
(8) được gọi là Phương trình ma trận đặc trưng của phần tử. Trong đó:
[C] gọi là ma trận nhiệt dung, C   ρ.cN T N  dV


V

 

(8)

(9)

[K] là ma trận độ cứng,

K  V kBT BdV  ShNT NdS

(10)

{f}là véc tơ tải nhiệt

f    S N TqdS  S hNTTKdS

(11)

4 - Rời rạc theo thời gian. Rời rạc bằng pp Sai phân hữu hạn (SPHH), (8) trở thành:

C  ξ.ΔτKTp1  C  (1  ξ)ΔτKTp  Δτξf p1  (1  ξ)f p 

(12)
Trong đó  là bước thời gian giữa hai thời điểm liên tiếp p và (p+1); = 01 là tham số tùy chọn,
lấy =1 để không cần điều kiện hạn chế chọn bước thời gian .
5 - Tính các số hạng trong phương trình ma trận đặc trưng của phần tử một chiều
a. Ma trận nhiệt dung phần tử [C] . Lớp nhựa atphalt 4 phần tử, dầm BT 11 phần tử
17820 8910
23332 11666 
- Nhựa atphalt : C 1 4  
(13); - dầm BT: C 515  
 (14)

8910
17820
11666
23332




b. Ma trận độ cứng phần tử [K]: Lớp nhựa : các PT 1, 24; lớp dầm BT: 514 và 15 tương ứng là
1  1
1 0 59.97 - 52.08 (15); K   Ak  1  1  52.08 - 52.08 (16);

 hA 
K 1  Ak 
2- 4



l  1 1  - 52.08 52.08
l  1 1 
0 0 - 52.08 52.08

K5-14  Ak 

1

l  1

 1 63.250 - 63.250
(17). K15  Ak  1 1  hA0 0  63.250 - 63.250 (18)

1  - 63.250 63.250
l 1 1 
0 1 - 63.250 71.140

2


c. Véc tơ phụ tải nhiệt {f}:
1

1

hTKA  qA 7,89TΣK
0
 0   0  (21)

 (19); f 2-14    (20) f 15     

0
0
0
0
 
 

 
hTk  7,89TK 

f 1  qA   hTKA   
0

6 - Lắp ghép các phần tử
- Ma trận nhiệt dung toàn hệ: Từ (13) , (14) có
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
 23332 11666
 11666 46664 11666
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

 0
11666 46664 11666
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0

0
11666 46664 11666
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
 0
 0
0
0
11666 41152 8910
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0

0
0
0
8910 35640 8910
0
0
0
0
0
0
0
0
0
 0
 0
0
0
0
0
8910 35640 8910
0
0
0
0

0
0
0
0

0
0
0
0
0
8910 35640 8910
0
0
0
0
0
0
0
 0
 0
0
0
0
0
0
0
8910 35640 8910
0
0
0

0
0
0

 0
0
0
0
0
0
0
0
8910 35640 8910
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
8910 35640 8910
0
0

0
0
 0
 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8910 35640 8910
0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8910 35640 8910
0

0
 0
 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8910 35640 8910
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8910 35640 8910

 0
 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8910 17820


(22)

- Ma trận độ cứng toàn hệ [K] lắp ghép từ (15),(16),(17),(18) và véc tơ phụ tải tổng {f} lắp ghép từ
(19),(20),(21) sẽ được các ma trận K] (23) và {f} (24) dưới đây.
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0 
 59.97 - 52.08
- 52.08 104.16 - 52.08
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 

 0
- 52.08 104.16 - 52.08
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0 


0
- 52.08 104.16 - 52.08
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
 0
 0
0
0
- 52.08 115.33 - 63.25
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0 


0
0
0
- 63.25 126.5 - 63.25
0
0
0
0
0
0
0
0
0 
 0
 0
0
0
0
0
- 63.25 126.5 - 63.25
0
0

0
0
0
0
0
0 


0
0
0
0
0
- 63.25 126.5 - 63.25
0
0
0
0
0
0
0 
 0
 0
0
0
0
0
0
0
- 63.25 126.5 - 63.25

0
0
0
0
0
0 


 0
0
0
0
0
0
0
0
- 63.25 126.5 - 63.25
0
0
0
0
0 


0
0
0
0
0
0

0
0
- 63.25 126.5 - 63.25
0
0
0
0 
 0
 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
- 63.25 126.5 - 63.25
0
0
0 


0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
- 63.25 126.5 - 63.25
0
0 
 0
 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
- 63.25 126.5 - 63.25
0 


0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
0
0
- 63.25 126.5 - 63.25
 0
 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
- 63.25 71.14 


(23)

7,89TK 
 0 



 0 


 0 
 0 


 0 
 0 


0 
 f   

 0 
 0 


 0 
 0 


 0 
 0 


 0 



 7,89TK 

(24)

7- Giải hệ phương trình
Vì số liệu cho theo giờ (bảng 1), tức  = 3600s, từ (12) suy ra:

TP  1  C  ΔτK 1 * CTp  Δτf p 1 

(25)
Lấy {T}p=0 =28,8oC vào mùa hè, và 16,6oC vào mùa đông; thay (22),(23) và (24) vào (25), và giải (25)
trên Matlap qua 192 thời điểm. Kết quả được lập thành bảng và đồ thị.
III. KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ CÁC NHẬN XÉT
3.1. Diễn biến và thay đổi nhiệt độ tại 15 nút sau 192 thời điểm
Thay đổi nhiệt độ tại 15 nút sau 192 giờ mùa hè và đông thể hiện trên hình 2 và 3. Từ đó rút ra các
nhận xét:

3


1. Thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại 14 nút là 14 đường dao động, gồm 8 chu kỳ tương ứng 8 ngày
đêm. Từ chu kỳ 5 trở đi, dao động trong các chu kỳ tuân theo cùng một quy luật, nhiệt độ tại mỗi nút ở
cùng thời điểm tương ứng trong ngày đã hội tụ tới giá trị ổn định.
2. Kể từ chu kỳ thứ năm, có thể chọn nhiệt độ tại 24 thời điểm liên tiếp để đại diện cho thay đổi nhiệt
độ trong tấm bê tông qua một ngày đêm điển hình mùa hè và đông. Ở đây chọn từ thời điểm 154 đến
177.
3.2. Đặc tính thay đổi nhiệt độ trong tấm bê tông qua một ngày đêm điển hình tháng 6.
1. Thay đổi nhiệt độ tại mặt trên cùng bê tông nhựa là hàm chu kỳ, nhưng rô ràng không phải là hàm
điều hoà (hàm cosin), nhưng càng vào sâu trong tấm BT, dạng dao động nhiệt độ càng tiến tới hình
sin. Thời điểm đạt trị số nhiệt độ cực đại chậm dần từ mặt trên cùng qua các lớp giữa, đến mặt dưới

cùng nhiệt độ đạt cực đại muộn nhất.
2. Biên độ dao động của nhiệt độ các lớp nhựa lớn hơn biên độ dao động nhiệt độ của các lớp bê tông
cốt thép khá nhiều. Về mùa hè biên độ dao động từ 35,120C đến 64,08 0C tại mặt trên cùng, từ 33,680C
đến 36,280C tại mặt dưới cùng. Trong mùa đông biên độ dao động từ 18,520C đến 29,760C tại mặt
trên cùng , từ 19,600C 18,080C tại mặt dưới cùng. Điều đó có nghĩa là sự bất lợi do thay đổi nhiệt độ
của môi trường hầu hết lớp nhựa ở phía trên phải gánh chịu.

Hình 2. Thay đổi nhiệt độ
tại16 điểm nút sau 192 giờ
mùa hè

Hình 3. Thay đổi nhiệt độ
tại 16 điểm nút sau 192 giờ
mùa đông

Hình 4. Phân bố nhiệt độ tại
các lớp trong ngày hè điển
hình

Hình 5. Phân bố nhiệt độ
tại các lớp trong ngày
đông điển hình

.

Hình 6. Trao đổi nhiệt của
lớp mặt trên cầu với môi
trường trong ngày hè

Hình 7. Trao đổi nhiệt của

lớp mặt dưới cầu với môi
trường trong ngày hè

Hình 8. Trao đổi nhiệt của
lớp mặt trên cầu với môi
trường trong ngày đông

Hình 9. Trao đổi nhiệt của
lớp mặt dưới cầu với môi
trường trong ngày đông

3. Trong một ngày đêm có 10 tiếng từ 7h sáng đến 16 h chiều, lớp mặt trên bê tông nhựa nhận nhiệt,
có q > 0. Còn lại 14 tiếng từ 17h đến 6h sáng hôm sau, mặt trên bê tông nhựa nguội toả nhiệt vào môi
trường, tương ứng với q < 0. Lượng nhiệt do mặt trên nhận tăng nhanh từ 8 h đến 10h, sau đó chậm
dần. Lượng nhiệt nhận rất lớn trong khoảng 10h đến 12 h, và lớn nhất lúc 13 h là 330,17 W/m2 vào
mùa hè, và lúc 12h là 127,01 W/m2 vào mùa đông, sau đó lượng nhiệt nhận vào giảm dần.
4. Quá trình toả nhiệt ra môi trường từ mặt trên lớp bê tông nhựa từ 16 giờ đến 6 giờ hôm sau khá
đồng đều. Tại mặt dưới của bản cầu, bê tông hầu như luôn tỏa nhiệt ra môi trường, trừ 3 tiếng lúc buổi

4


trưa bản cầu nhận vào lượng nhiệt nhỏ không đáng kể. Lượng nhiệt tỏa ra môi trường nhỏ và đồng
đều.
5. Lượng nhiệt lớp bê tông nhựa nhận trong mùa hè lớn gấp 2,39 lần so với mùa đông.
3.4. Nhận định về mức độ biến dạng nhiệt trong các lớp mặt cầu
Để đánh giá biến dạng nhiệt cần dựa trên lý thuyết biến dạng nhiệt cục bộ [5]. Kết quả mức độ biến
dạng tại các vị trí (nút) trong các lớp mặt cầu ở các thời điểm khác nhau được thể hiện trên các đồ thị
sau
Mùa hè:

Hình 10. Biến dạng Hình 11. Biến dạng
lúc 5 giờ ngày hè
lúc 7 giờ ngày hè

Hình 12. Biến dạng
lúc 9 giờ ngày hè

Hình 13. Biến dạng
lúc 11 giờ ngày hè

Hình 14. Biến dạng
lúc 13 giờ ngày hè

Hình 15. Biến dạng Hình 16. Biến dạng
lúc 15 giờ ngày hè lúc 17 giờ ngày hè

Hình 17. Biến dạng
lúc 19 giờ ngày hè

Hình 18. Biến dạng
lúc 21 giờ ngày hè

Hình 19. Biến dạng
lúc 23 giờ ngày hè

Mùa đông:

Hình 20. Biến dạng Hình 21. Biến dạng
lúc 5 giờ ngày đông lúc 7 giờ ngày đông

Hình 22. Biến dạng Hình 23. Biến dạng Hình 24. Biến dạng
lúc 9 giờ ngày đông lúc 11 giờ ngày đông lúc 13 giờ ngày đông

Hình 25.Biến dạng Hình 26. Biến dạng Hình 27. Biến dạng Hình 28. Biến dạng Hình 29. Biến dạng
lúc 15 giờ ngày đông lúc 17 giờ ngày đông lúc 19 giờ ngày đông lúc 21 giờ ngày đông lúc 23 giờ ngày đông
Nhận xét:

5


1. Mức độ biến dạng nhiệt do bị kéo của lớp bê tông nhựa mặt cầu: Mức độ bị kéo và bị nén lớn nhất
trong các lớp bê tông nhựa mặt cầu là lớp mặt trên cùng. Các lớp phía dưới mức độ bị kéo, nén nhỏ
hơn lớp trên cùng. Tại mặt trên cùng bị kéo bắt đầu xuất hiện từ 16h, tăng dần đạt lớn nhất vào 1920h sau đó giảm chậm đến 7h sáng hôm sau thì bắt đầu bị nén đến 16h. `
2. Các lớp bê tông cốt thép bản cầu nằm dưới lớp trải nhựa bị kéo và nén nhỏ hơn so với lớp bê tông
nhựa.
3. Mức độ biến dạng do bị kéo của lớp bê tông nhựa mặt cầu trong những ngày mùa đông cũng diễn
biến tương tự như những ngày mùa hè, song ở mức độ nhỏ hơn vì biên độ dao động nhiệt độ bé hơn.
IV. KẾT LUẬN
Việc khảo sát trạng thái nhiệt các lớp BT nhưa mặt cầu bằng pp PTHH, cho phép rút ra kết luận sau:
- Dưới tác động của thay đổi nhiệt độ không khí và bức xạ mặt trời, các lớp nhựa phía trên của mặt cầu
bị kéo và nén mạnh nhất và luân phiên nhau theo thời gian trong một ngày đêm.
- Các lớp nhựa bị nén vào ban ngày từ 7h đến 16h, bị kéo từ 16h đến 7h sáng hôm sau, bị kéo mạnh
nhất xảy ra vào 19-20h.
- Sự kéo nén luân phiên lâu dần có thể gây hiện tượng mỏi nhiệt làm rạn nứt lớp nhựa bề mặt cầu.
- Vào thời điểm bị kéo mạnh (19-20h), nếu gặp mưa nước có nhiệt độ thấp sẽ làm lớp nhựa bề mặt cầu
co ngót mạnh hơn dễ dàng bị rạn nứt, lâu dần gây bong tróc và có thể phá hủy lớp bề mặt cầu.
- Vào mùa hè nhiệt độ mặt trên cao nhất đạt tới trên 640 C vào 13h làm lớp nhựa mặt cầu bị mềm, dễ
dàng bị dồn lún khi có tải trọng xe lớn.
Tài liệu tham khảo

[1] Trần Đình Bửu, Nguyễn Quang Chiêu. Khai thác và sửa chữa đường ô tô, NXB ĐH-THCN 1984
[2] Trịnh Văn Quang. Khảo sát đặc tính biến dạng nhiệt trong các lớp mặt cầu bêtông dưới tác động
của các yếu tố nhiêt khí hâu . Tạp chí Khoa học Giao thông Vận tải ĐHGT, số 7, 5/2004
[3] Phạm Ngọc Đăng. Nhiệt và khí hậu xây dựng, NXB Xây dựng, 1981.
[4] С.А.Фрид.температурные напряжения в бетонных и железобетонных конструкциях
гидротехнических сооружений государствнное. Энергетическое издтелЬство.
Москва 1959.

[5] Trịnh Văn Quang. Phương pháp Phần tử Hữu hạn. Bài giảng cao học Cơ khí, 2009.
[6]. RW Lewis, P.Nithiharasu and Seetharamu. Fundametals of The Finite Element Method for heat
and fluid flow. John Wiley & Sons, Ltd. 2004.

6