Bài giảng Xử lý tín hiệu số: Chương 5 - TS. Đinh Đức Anh Vũ

dce

2011

Chương 5

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
BK
TP.HCM

©2011, TS. Đinh Đ ức Anh Vũ


dce

2011

Giới thiệu về DFT
•

Biến đổi Fourier liên tục
x(n) = 0.8nu(n)

x(n)

F

X (ω ) =

Miền thời gian
Miền tần số

∞

− j ωn
x
(
n
)
e
∑

n = −∞

•

Vấn đề: X(ω) liên tục theo tần số ω → không thích hợp cho việc tính toán trên máy
tính

DSP – Biến đổi DFT

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

2


dce

2011

Lấy mẫu miền tần số

X(ω)

Lấy
mẫu

N=10

X (k ) ≡ X (ω =

2π
N

N=10

k)

DSP – Biến đổi DFT

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

3


dce

2011

Lấy mẫu miền tần số
X (ω ) ω = 2πk / N = X (

X (k )

= +

2π
N

−1

k) =

∑ x ( n)e

− j 2Nπ kn

∞ lN + N −1

∑ ∑

∑ x ( n )e

− j 2πkn / N

k = 0,1,..., N − 1

n = −∞

n=− N

=

∞

x ( n)e

N −1

+ ∑ x ( n)e

− j 2Nπ kn

n =0

+

2 N −1

∑ x ( n)e

− j 2Nπ kn

+

n= N

− j 2Nπ kn

l = −∞ n =lN

 ∞
 − j 2Nπ kn
= ∑  ∑ x(n − lN ) e
n = 0 l = −∞

N −1

N −1

⇒ X ( k ) = ∑ x p ( n )e

− j 2Nπ kn

Thay n bằng (n-lN)

với

n =0

•

x p ( n) =

∞

∑ x(n − lN )

l = −∞

T/h xp(n) – lặp chu kỳ của x(n) mỗi N mẫu – t/h tuần hoàn với chu kỳ cơ bản N

N −1

x p (n) = ∑ ck e j 2πkn / N

n = 0,1,..., N − 1

k =0

1
ck =
N
DSP – Biến đổi DFT

N −1

− j 2πkn / N
x
n
e
(
)
∑ p

k = 0,1,..., N − 1

n =0

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

4

dce

2011

Lấy mẫu miền tần số
1
ck = X ( k )
N
1 N −1
j 2Nπ kn
x p ( n ) = ∑ X ( k )e
N k =0
•

k = 0,1,  , N − 1
n = 0,1,  , N − 1

Có thể phục hồi t/h xp(n) từ các mẫu của phổ X(ω)
x(n)

 x p ( n)
x ( n) = 
0

n
0

L

0 ≤ n ≤ N −1
others

xp(n)

N>L

n
0

L N

xp(n)

N
alias
n

0
DSP – Biến đổi DFT

N

Khi N≥L, x(n) có thể được khôi phục
từ các mẫu phổ tần số tại ωk=2πk/N
©2011, Đinh Đức Anh Vũ

5

dce

2011

Lấy mẫu miền tần số
•

Có thể phục hồi X(ω) từ các mẫu X(k) với k = 0, 1,…, N-1
– Giả sử N ≥ L → x(n) = xp(n) khi 0 ≤ n ≤ N-1
N −1

1
x ( n) =
N

j 2πkn / N
X
k
e
(
)
∑

X (ω ) =

∑ x ( n )e

k =0

∞

n = −∞

− jωn

1
= ∑
n =0  N
N −1

N −1

∑ X ( k )e
k =0

 1 N −1 − j (ω − 2πk / N ) n 
= ∑ X (k )  ∑ e

N
k =0
 n =0

1 N −1 − jωn 1 1 − e − jωN
P(ω ) = ∑ e
=
N n =0
N 1 − e − jω
sin(ωN / 2) − jω ( N −1) / 2
=

e
N sin(ω / 2)
k =0
1
2π
P( N k ) = 
k = 1,2,  , N − 1
0

j 2πkn / N

 − jωn
e


N −1

DSP – Biến đổi DFT

N −1

X (ω ) = ∑ X (k ) P (ω − 2Nπ k )

N≥L

k =0

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

6

dce

2011

Lấy mẫu miền tần số
1
x ( n) =
N

x(n)
có chiều dài L≤N

N −1

∑ X ( k )e

j 2Nπ kn

k =0

BĐ F

X (ω ) =

∞

∑ x ( n )e

N −1

− j ωn

n = −∞

X ( k ) = ∑ x ( n )e

k =0
N −1

1
P (ω ) =
N

Lấy mẫu
N −1

X (ω ) = ∑ X (k ) P (ω − ωk )

− j 2Nπ kn

n =0

DSP – Biến đổi DFT

Phục hồi

− j ωn
e

∑
k =0

ωk =

2π
N

k

Phục hồi
©2011, Đinh Đức Anh Vũ

7


dce

2011

Lấy mẫu miền tần số
•

Ví dụ: x(n) = anu(n), 0– Phổ t/h được lấy mẫu tại các tần số ωk = 2πk/N, k=0, 1, …, N-1
∞

X (ω ) = ∑ a n e − jωn =
n =0

x p ( n) =
=

1
1 − ae − jω

X (k ) = X (

2πk
1
)=
1 − ae − j 2πk / N
N

∞

∑ x(n − lN )

l = −∞
0

∑a

l = −∞

a=0.8

n −lN

an

=
1− aN

DSP – Biến đổi DFT

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

8


dce

2011

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)
•
•
•
•
•
•

Chuỗi không tuần hoàn, năng lượng hữu hạn x(n)
Các mẫu tần số X(2πk/N), k = 0, 1,…, N-1 không đặc trưng cho x(n) khi
x(n) có chiều dài vô hạn
Nó đặc trưng cho chuỗi tuần hoàn, chu kỳ N xp(n)
xp(n) là lặp tuần ho , N − 1
tuần hoàn chu kỳ N

•

N −1

X ( k ) = ∑ x ( n )e

− j 2Nπ kn

n =0

k = 0,1,  , N − 1

Với BĐ Fourier của chuỗi không chu kỳ
– DFT N điểm cho phổ vạch của chuỗi không chu kỳ x(n) nếu x(n) hữu hạn có
độ dài L ≤ N

DSP – Biến đổi DFT

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

15


dce

2011

DFT – Biểu diễn tín hiệu
Dạng vòng

Dạng thẳng

Dương
n

Âm

Chiều dương
n=1

-2 -1 0 1 2

n=0
n=–1

x(n) = {1 2 3 4}
x(n)

x(1)

4
3
2

x(2)

1

x(n)

Chiều âm

x(0)

n
0

1

2

DSP – Biến đổi DFT

3

x(3)
©2011, Đinh Đức Anh Vũ

16


dce

DFT – Biểu diễn tín hiệu theo vòng

2011

•

Chuỗi tuần hoàn chu kỳ N, mở rộng từ x(n)

Chuỗi có chiều dài hữu hạn từ x’p(n)

•

Quan hệ giữa x(n) và x’(n): dịch vòng
4
3

4

xp(n)

2

4

3

1

1

0 1 2 3

3

2

∑ x(n − lN − k )

l = −∞

'
p

x’(n) = x(n-k, MOD N) ≡ x((n-k))N

1

4

3

4

3

2
1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

4

xp(n-2)

2

1

x’(n)

4

4

3

2

n = −∞
∞


 x ( n) 0 ≤ n ≤ N − 1
x ' ( n) = 

otherwise
0

•

x(n)

∑ x(n − lN )

x p ( n) =

x 'p (n) = x p (n − k ) =

Chuỗi dịch xp(n) đi k mẫu

•

∞

3

2

2

1

1

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x(1)

x’(1)

2

4

3
2
1
0 1 2 3
DSP – Biến đổi DFT

x(2) 3

x(n)

1 x(0)

x’(2) 1

x’(n)

3 x’(0)

4

2

x(3)

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

x’(3)

17


dce

2011

DFT – Tính đối xứng vòng

• Phép dịch vòng của một chuỗi N điểm tương đương với phép
dịch tuyến tính của chuỗi mở rộng tuần hoàn của nó
• Chuỗi N điểm là chẵn theo vòng nếu nó đối xứng qua điểm 0
trên vòng tròn
– i.e. x(N – n) = x(n), 0 ≤ n ≤ N – 1

• Chuỗi N điểm là lẻ theo vòng nếu nó phản đối xứng qua điểm
0 trên vòng tròn
– i.e. x(N – n) = – x(n), 0 ≤ n ≤ N – 1

• Đảo theo thời gian của chuỗi N điểm: đảo các mẫu của chuỗi
quanh điểm 0 trên vòng tròn
– i.e. x((– n))N = x(N – n), 0 ≤ n ≤ N – 1
– Phép đảo được thực hiện bằng cách vẽ x(n) theo chiều kim đồng hồ

DSP – Biến đổi DFT

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

18


dce

2011

DFT – Tính đối xứng vòng
•

Giả sử x(n) và BĐ DFT X(k) là t/h phức

– x(n) = xR(n) + jxI(n), 0≤n≤N–1
– X(k) = XR(k) + jXI(k), 0≤k≤N–1

1 N −1

2πkn
2πkn
 xR ( n) = N ∑ [X R ( k ) cos N − X I ( k ) sin N ]

k =0

N −1
 x ( n) = 1
[
X R ( k ) sin 2πNkn + X I ( k ) cos 2πNkn ]
∑
I

N k =0

Nếu x(n) thực: X(N-k) = X*(k) = X(–k)

N −1

2πkn
2πkn
 X R ( k ) = ∑ [xR ( n) cos N + xI ( n) sin N ]

n =0


N −1
 X ( k ) = − [x ( n) sin 2πkn − x ( n) cos 2πkn ]
∑
I
R
I
N
N

n =0


•

X ( N − k ) = X (k )

•

N −1
n =0

2πkn
N

1
x ( n) =
N

Nếu x(n) thực và lẻ: x(n) = –x(N–n) → XR(k) = 0
N −1

X (k ) = − j ∑ x(n) sin
•

∠X ( N − k ) = −∠X ( k )

Nếu x(n) thực và chẵn: x(n) = x(N–n) → XI(k) = 0

X (k ) = ∑ x(n) cos
•

và

n =0

2πkn
N

Nếu x(n) thuần ảo: x(n) = jxI(n)
N −1

X R ( k ) = ∑ xI (n) sin
n =0

DSP – Biến đổi DFT

2πkn
N

N −1

∑ X (k ) cos
k =0

1
x ( n) = j
N

N −1

2πkn
N

∑ X (k ) sin
k =0

2πkn
N

N −1

X I (k ) = ∑ xI (n) cos 2πNkn
n =0

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

19


dce

2011

DFT – Tính chất
•

Tuần hoàn

•

Tuyến tính

•

Tổng chập vòng

DFTN
x ( n) ←
→ X ( k )

 x ( n) = x ( n + N )
⇒
 X (k ) = X (k + N )

∀n
∀k

DFTN

(

)
x
n
←

→ X 1 ( k )
 1

DFTN

(
)
x
n
←

→ X 2 ( k )
 2
DFTN
⇒ a1 x1 ( n) + a2 x2 ( n) ←
→ a1 X 1 ( k ) + a2 X 2 ( k )
DFTN

→ X 1 (k )
 x1 ( n) ←

DFTN

x
(

n
)
←

→ X 2 ( k )
 2
DFTN
⇒ x1 ( n) ⊗
→ X 1 (k ) X 2 (k )
N x2 ( n) ←

N Tổng chập vòng N điểm
N −1

x1 (n) ⊗
N x2 (n) = ∑ x1 (k ) x2 ((n − k )) N

n = 0,1,  , N − 1

k =0

DSP – Biến đổi DFT

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

20


dce

2011

DFT – Tổng chập vòng

DFTN
x ( m)

→ X 1 (k )
 x1 ( n) ←

DFTN

 x2 ( n) ←→ X 2 ( k )
DFTN
→ X ( k ) = X 1 ( k ) X 2 (k )
x( m) ←

a =1
N

k
=
a
1 − a N
∑
a ≠1
k =0

 1− a
N −1

j 2Nπ ( m − n − l )

Trong ñoù
a=e
a = 1, khi : m − n − l = pN , p ∈ Z

= IDFT { X ( k )}
N −1

1
=
N

∑ X ( k )e

1
=
N

N −1

∑X

1
=
N

N −1
 N −1

− j 2Nπ kn  
− j 2Nπ kl  j 2Nπ km
x
n
e
x
l
e
(
)
(
)
∑
∑ 1
 ∑ 2
e
k =0  n =0
  l =0


1
=
N

j 2Nπ km

k =0

k =0

1

( k ) X 2 ( k )e

j 2Nπ km

N −1

N −1

N −1

N −1

∑ x (n)∑ x (l )∑ e
n =0

1

l =0

2

j 2Nπ k ( m − n −l )

k =0

a ≠ 1 ⇒ a N = e j 2π ( m − n −l ) = 1 ⇒ 1 − a N = 0
N
⇒ ∑a = 

k =0
0
N −1

k

m − n − l = pN ⇔ l = ((m − n)) N
otherwise

N −1

x(m) = ∑ x1 (n) x2 ((m − n)) N

m = 0,1,  , N − 1

n =0

N −1

x(n) = ∑ x1 (k ) x2 ((n − k )) N
DSP – Biến đổi DFT

k =0

n = 0,1,  , N − 1

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

21

dce

2011

DFT – Tổng chập vòng
Ví dụ: cho x1(n) ={1^ 2 3 4} và x2(n) ={1^ 0
cách

•

–
–

2 1}. Tính x(n) = x1(n) N x2(n) theo 2

Dùng công thức định nghĩa
Dùng DFT và IDFT

x2(0) = 1

Dùng định nghĩa

x2(3) = 1

N −1

x(m) = ∑ x1 (n) x2 ((m − n)) N

m = 0,1,  , N − 1

x1(2) = 3

x2(2) = 2

x1(n)

x2(2) = 2

x2(n)

x2(0) = 1

x2(0) = 1

x2((2-n))4

x1(3) = 4

x2(3) = 1

x2(3) = 1

x2(3) = 1

2

x2(2) = 2

x2((-n))4

x2(0) = 1

x2(1) = 0
DSP – Biến đổi DFT

6

x1(n)x2((-n))4 1

x(0) = 9

0

3 x1(n)x2((1-n))4 0

x(1) = 13

x2(1) = 0

x2(1) = 0
x1(0) = 1

x2(1) = 0

x2(2) = 2

n =0

x1(1) = 2

x2((1-n))4

2

x2(1) = 0

x2((3-n))4

x2(0) = 1

8
0

x2(2) = 2

3 x1(n)x2((2-n))4 2

x(2) = 9

4
4

x2(3) = 1

0 x1(n)x2((3-n))4 1

x(3) = 9

4

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

22


dce

2011

DFT – Tổng chập vòng

Dùng DFT & IDFT
3

X 1 (k ) = ∑ x1 (n)e

X (k ) = X 1 (k ) X 2 (k )
− j 24π kn

= 1 + 2e

− j π2 k

+ 3e − jπk + 4e

n =0

k = 0,1,2,3
 X 1 (0) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

 X (1) = 1 + (−2 j ) + (−3) + (4 j ) = −2 + 2 j
 1

 X 1 (2) = 1 + (−2) + (+3) + (−4) = −2
 X 1 (3) = 1 + (2 j ) + (−3) + (−4 j ) = −2 − 2 j

− j 32π k

k = 0,1,2,3
 X (0) = 40
 X (1) = (−2 + 2 j )(−1 + j ) = −4 j


 X (2) = −4
 X (3) = 4 j

k = 0,1,2,3

1 3
j 24π kn
x ( n ) = ∑ X ( k )e
4 k =0
1
jπ n
j 3π n
= 40 − 4 je 2 − 4e jπn + 4 je 2
4
n = 0,1,2,3

 X 2 (0) = 1 + 2 + 1 = 4

 X (1) = 1 + (−2) + ( j ) = −1 + j
 2

 X 2 (2) = 1 + 2 − 1 = 2
 X 2 (3) = 1 + (−2) + (− j ) = −1 − j

 x(0) = 9
 x(1) = 13


 x(2) = 9
 x(3) = 9

3

X 2 (k ) = ∑ x2 (n)e

− j 24π kn

= 1 + 2e

− jπk

n =0

DSP – Biến đổi DFT

+e

− j 32π k

[

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

]

23


dce

2011

DFT – Tính chất
•

Đảo vòng theo thời gian
DFTN
x(n) ←
→ X (k )
DFTN
⇒ x((−n)) N = x( N − n) ←
→ X ((−k )) N = X ( N − k )

•

Dịch vòng theo thời gian
DFTN
x(n) ←

→ X (k )
DFTN
⇒ x((n − l )) N ←
→ X (k )e − j 2πkl / N

•

Dịch vòng theo tần số
DFTN
x(n) ←
→ X (k )
DFTN
⇒ x(n)e j 2πnl / N ←
→ X ((k − l )) N

•

Liên hợp phức

DFTN
→ X (k )
x(n) ←

DFTN
 x* (n) ←
→ X * ((− k )) N = X * ( N − k )
⇒ *
DFTN
 x ((− n)) N = x* ( N − n) ←
→ X * (k )

DSP – Biến đổi DFT

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

24


dce

2011

DFT – Tính chất
•

Tương quan vòng

DFTN
x(n) ←
→ X (k )
DFTN
y (n) ←
→ Y (k )

~

~

~

⇒ r xy (l ) ←→ R xy (k ) = X (k )Y (k )

•

DFTN

*

với

N −1

r xy (l ) = ∑ x(n) y * ((n − l )) N
n =0

Nhân 2 chuỗi

DFTN

→ X 1 (k )
 x1 ( n) ←

DFTN

←

→ X 2 ( k )
x
n
(
)
 2

DFTN
⇒ x1 ( n) x2 ( n) ←
→ N1 X 1 ( k ) ⊗
N X 2 (k )

•

Định lý Parseval

DFTN
→ X (k )
x(n) ←
DFTN
→ Y (k )
y (n) ←
N −1

N −1

n =0

k =0

⇒ ∑ x(n) y * (n) = ∑ X (k )Y * (k )
DSP – Biến đổi DFT

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

25

dce

2011

DFT – Lọc tuyến tính
•

Y(ω) = H(ω)X(ω)
– Hàm liên tục theo tần số ω
– Khó thực hiện trên các máy tính số
→ DFT: một cách tính hiệu qủa của tổng chập miền thời gian

•

Lọc tuyến tính
– Tín hiệu ngắn

x(n)

x(n) chiều dài = L (n=0,1,…,L-1)
h(n) chiều dài = M (n=0,1,…,M-1)

h(n)

y(n)

y ( n) =

M −1

∑ h( k ) x ( n − k )
k =0

y(n) chiều dài N = M+L-1

Số mẫu phổ (tần số) cần thiết để biểu diễn duy nhất chuỗi y(n) ≥ L+M-1
Y(k) = H(k)X(k), k=0,1,…,N-1
H(k), X(k): DFT N điểm của h(n), x(n)
(các số 0 được đệm vào để tăng kích thước chuỗi lên N)
y(n) = IDFTN{Y(k)}
• Tổng chập vòng N điểm của h(n) và x(n)
tương đương với tổng chập tuyến tính của h(n) với x(n)
• DFT có thể được dùng để lọc tuyến tính
(bằng cách đệm thêm các số 0 vào chuỗi tương ứng)
DSP – Biến đổi DFT

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

26


dce

2011

DFT – Lọc tuyến tính
•

Tóm tắt

x(n)

DFTN

X(k)

x

DFTN

•

Y(k) = X(k)H(k)

IDFTN

y(n)

h(n)
H(k)
Ví dụ: tính đáp ứng y(n) dùng DFT và IDFT
–

h(n) = {1^, 0, 1, 2} và x(n) = {1^, 0, 1}

7

− j 2πkn / 8
− jπk / 2
− j 3πk / 4

H
(
k
)
=
h
(
n
)
e
=
1
+
e
+
2
e
∑


n =0

7
 X (k ) =
x(n)e − j 2πkn / 8 = 1 + e − jπk / 2
∑

n =0


 H (0) = 4

 H (1) = (1 −
 H ( 2) = 2 j


 H (3) = (1 +

 H ( 4) = 0
 H (5) = (1 +

 H (6) = −2 j


 H (7) = (1 −

2 ) − (1 +

2) j

2 ) + (1 −

2) j

2 ) + ( 2 − 1) j
2 ) + (1 +

DSP – Biến đổi DFT

2) j

 X ( 0) = 2
 X (1) = 1 − j

 X (2) = 0

 X (3) = 1 + j

 X (4) = 2
 X (5) = 1 − j

 X (6) = 0
 X (7 ) = 1 + j


(k = 0,1,...,7)
Y (0) = 8
Y (1) = 2(1 − j )

Y ( 2) = 0

Y (3) = 2( 2 + j )
Y ( 4) = 0

Y (5) = 2( 2 − j )

Y (6) = 0

Y (7) = 2( − 2 + j )
7

y (n) = ∑ Y (k )e j 2πkn / 8 (n = 0,1,...,7)
k = 0©2011, Đinh Đức Anh Vũ

27


dce

2011

DFT – Lọc tuyến tính
• Tín hiệu nhập dài: chia nhỏ x(n) thành từng
block có độ dài cố định
– Overlap-Save
– Overlap-Add

• Giả thiết
– Bộ lọc có h(n): chiều dài M
– T/h nhập x(n): được chia nhỏ thành từng block có
chiều dài L >> M
DSP – Biến đổi DFT

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

28


dce

2011

Lọc tuyến tính – Overlap-Save
•
•

DFTN và IDFTN với N = L+M–1
Mỗi block dữ liệu được xử lý bao gồm (M – 1) điểm của block trước và L
điểm mới của t/h nhập
– M-1 điểm của block đầu tiên được set bằng 0

•

Đáp ứng xung của bộ lọc được đệm thêm (L – 1) số 0 để tăng chiều dài
lên N
– DFT của N điểm của h(n) được tính một lần duy nhất

Input
Add M-1 zeros
x1(n)

M-1

L

M-1

L
M-1

x2(n)
x3(n)
Output

L

M-1

DSP – Biến đổi DFT

L
M-1

L

M-1

L

L
M-1

Discard

L

L
©2011, Đinh Đức Anh Vũ

29

dce

2011

Lọc tuyến tính – Overlap-Add
• Đệm thêm (M-1) số 0 vào mỗi block dữ liệu đầu vào
Input
x1(n)

L

L

x2(n)
x3(n)
Output

zeros

M-1

L

M-1
L

M-1

L

M-1

M-1
+
L

M-1
+

Phương pháp hiệu quả hơn dùng để xác định bộ lọc tuyến tính
được trình bày trong chương 6
DSP – Biến đổi DFT

©2011, Đinh Đức Anh Vũ

30


dce

2011

DFT – Phân tích tần số
•

T/h ngắn
– Tính DFT từ x(n)

•

T/h dài
– Cửa sổ hoá

x(n): t/h cần phân tích
Giới hạn chiều dài chuỗi một khoảng L mẫu
⇔ Nhân chuỗi với cửa sổ chiều dài L
xw(n) = x(n)w(n)
w(n): hàm cửa sổ
Cửa sổ chữ nhật

1
w(n) = 
0
DSP – Biến đổi DFT

Hàm cửa sổ có chiều dài L
chỉ phân biệt được
nếu các tần số cách nhau
ít nhất một đoạn

∆ω =

2π
L

Cửa sổ Hanning

0 ≤ n ≤ L −1

otherwise

 12 (1 − cos L2−π1 n) 0 ≤ n ≤ L − 1
w(n) = 
otherwise
0
©2011, Đinh Đức Anh Vũ

31