Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 6 (Lecture 10) - Trần Quang Việt

Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace

Lecture-10
6.1. Biến đổi Laplace

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6.1. Biến đổi Laplace
6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng
6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace
6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

1


6.1.1. Biến đổi Laplace thuận
Biến đổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng của các
thành phần tần số phân tích hệ thống đơn giản & trực quan hơn
trong miền tần số.

Biến đổi Fourier là công cụ chủ yếu để phân tích TH & HT trong
nhiều lĩnh vực (viễn thông, xử lý ảnh, …)
Muốn áp dụng biến đổi Fourier thì tín hiệu phải suy giảm & HT
với đáp ứng xung h(t) phải ổn định.

∫

∞

−∞

| f (t ) | dt < ∞ &

∫

∞

−∞

| h(t ) | dt < ∞

Để phân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,…) và hệ
thống không ổn định dùng biến đổi Laplace (là dạng tổng quát
của biến đổi Fourier)
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6.1.1. Biến đổi Laplace thuận

Xét tín hiệu f(t) là hàm tăng theo thời gian tạo hàm mới φ(t) từ
f(t) sao cho tồn tại biến đổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R
Biến đổi Fourier của φ(t) như sau:
Φ (ω ) = F [φ (t )] = ∫

∞

−∞

f (t )e −σ t e − jωt dt = ∫

Đặt s=σ+jω: Φ (ω ) =
∫

∞

−∞

Hay:

∞

−∞

f (t )e − st dt

f (t )e − (σ + jω )t dt
F(s)=Φ(ω)

∞

F(s)= ∫ f(t)e − st dt (Biến đổi Laplace thuận)
−∞

Ký hiệu: F ( s) = L[ f (t )]

f (t )

φ (t ) = f (t )e −σ t
t

t

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

2


6.1.1. Biến đổi Laplace thuận

Miền hội tụ (ROC) của biến đổi Laplace: tập hợp các biến s trong
mặt phẳng phức có σ=Re{s} làm cho φ(t) tồn tại biến đổi Fourier
Ví dụ: tìm ROC để tồn tại F(s) của các tín hiệu f(t) sau:
(a ) f (t ) = e − at u (t ); a > 0 (b) f (t ) = e− at u (−t ); a > 0 (c) f (t ) = u (t )

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6.1.2. Biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng
(a) f(t)=δ(t) ⇒ F ( s ) = 1; ROC: s-plane

1
; ROC : Re{s} > −a
s+a
1
; ROC : Re{s} < −a
(c) f(t)=-e-at u(-t); a>0 ⇒ F ( s ) =
s+a
1
(d) f(t)=u(t) ⇒ F ( s ) = ; ROC : Re{s} > 0
s

(b) f(t)=e-at u(t); a>0 ⇒ F ( s ) =

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

3


6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace

Tính chất tuyến tính:
f1 (t ) ↔ F1 ( s )
f 2 (t ) ↔ F2 ( s )

⇒

a1 f1(t) + a2 f2 (t) ↔ a1F1(s) + a2 F2 (s)

Ex : 2e− t u (t ) + e−2t u (t ) ↔

2
1
+
; ROC : Re{s} > −1
s +1 s + 2

Dịch chuyển trong miền thời gian:

f (t − t0 ) ↔ F(s)e−st0

f (t ) ↔ F ( s ) ⇒

1 −3 s −5 s
t −4
Ex : rect 
 = u (t − 3) − u (t − 5) ↔ ( e − e )
s
 2 

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace

Dịch chuyển trong miền tần số:
f (t ) ↔ F ( s ) ⇒

f (t)es0t ↔ F(s − s0 )

Ex : cos ( bt ) u (t ) ↔

s
s+a
− at
cos ( bt ) u (t ) ↔
2 ⇒e
s +b
(s + a)2 + b 2
2

Đạo hàm trong miền thời gian:
f (t ) ↔ F ( s )

⇒

d n f (t )
↔ s n F ( s ) − s n −1 f (0 − ) − s n − 2 f
n
dt

(1)

(0 − ) − ... − f

( n −1)

(0 − )

δ (t ) ↔ 1 ⇒ δ (1) (t ) ↔ s ⇒ δ ( n ) (t ) ↔ s n
d 2 f (t )
t −4
f (t ) = rect 
⇒
↔?

 2 
dt 2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

4

6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace

Tích phân miền thời gian:
t

f (t ) ↔ F ( s ) ⇒

∫

t

∫ − f (τ )dτ ↔
0

∫
f (τ )dτ ↔

0−

−∞

−∞

F(s)
s

f (τ )dτ F(s)
+
s
s

Tỷ lệ thời gian:
f (t ) ↔ F ( s ) ⇒

1 s
f (at) ↔ F  ; a > 0
a a

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6.1.3. Các tính chất của biến đổi Laplace

Tích chập miền thời gian:
f1 (t ) ↔ F1 ( s); f 2 (t ) ↔ F2 ( s) ⇒

f1(t) ∗ f2 (t) ↔ F1(s)F2 (s)

Tích chập miền tần số:
f1 (t ) ↔ F1 ( s); f 2 (t ) ↔ F2 ( s) ⇒ f1 (t ) f2 (t ) ↔ 2π j
1

[ F1(s) ∗ F2 (s)]

Đạo hàm trong miền tần số:
f (t ) ↔ F ( s ) ⇒

e −t u (t ) ↔

tf (t) ↔−

dF(s)
ds

1
1
⇒ te− t u (t ) ↔
2
s +1
( s + 1)

t 2u (t ) ↔ ?

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

5


6.1.4. Biến đổi Laplace ngược
σt
Tín hiệu f(t) được tổng hợp như sau: f (t ) = φ (t ).e
∞
f (t ) = F −1[Φ (ω )].eσ t =  21π ∫ F ( s )e jωt dω  .eσ t
 −∞


f (t ) = 2π1 j ∫

σ + j∞

σ − j∞

F ( s )e st ds (Biến đổi Laplace ngược)

Ký hiệu: f(t) = L-1 [ F ( s )]
Chúng ta không tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!!
Mô tả F(s) về các hàm đơn giản mà đã có kết quả trong bảng các cặp
biến đổi Laplace. Thực tế ta quan tâm tới các hàm hữu tỷ!!!
Zero của F(s): các giá trị của s để F(s)=0
Pole của F(s): các giá trị của s để F(s)→∞
Nếu F(s)=P(s)/Q(s) Nghiệm của P(s)=0 là các zero & nghiệm
của Q(s)=0 là các pole
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

Ví dụ:

s2 − 2
1
1
1
=− +
+
3
2
s + 3s + 2s
s s +1 s + 2

Dùng ?

 s2 − 2 
1
1 
 1
⇒ L-1  3
= L-1  − +
+
= ( −1 + e− t + e −2t ) u (t )
2


s
+
3
s
+
2
s
s
s
+
1
s
+
2





Dùng bảng

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6


6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

Xét hàm hữu tỷ sau:
F ( s) =

bm s m + bm−1s m−1 + ... + b1s + b0 P( s )
=
s n + an−1s n−1 + ... + a1s + a0
Q( s)

m≥n: improper; mm
start
m≥
≥n

Polynomical
dividing;
in case m=n
F(s)/s

Expend

the proper.
The result
depends on
n unknown
coefficients
(k1, k2,…)

Find unknown
coefficients
by using:
[1] Clearing func
[2] Heaviside
[3] Mixing boths

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

Khai triển các hàm proper: F ( s) = P ( s ) / Q ( s)
Xác định zero & pole của F(s); zero & pole phải khác nhau
Giả sử các pole là: s=λ1,λ2,λ3,…
Khai triển F(s) dùng quy luật sau:
• Các pole không lặp lại:
F ( s) =

k3
k1
k2
+
+

+ ...
( s − λ1 ) ( s − λ2 ) ( s − λ3 )

• Các pole lặp lại, giả sử λ2 lặp lại r lần
F ( s) =

r −1
k2 j
k3
k1
+∑
+
+ ...
r− j
( s − λ1 ) j =0 ( s − λ2 )
( s − λ3 )

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

7


6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

Phương pháp hàm tường minh xác định các hệ số:
• Nhân 2 vế với Q(s); sau đó cân bằng thu được hệ phương trình
theo các hệ số cần tìm
• Giải hệ phương trình tìm các hệ số
It’s easy to understand and perform, but it needs so much work and time!!!

• ví dụ:

k
s2 − 2
k
k
= 1+ 2 + 3
3
2
s + 3s + 2s s s + 1 s + 2

⇒ s 2 − 2 = k1 ( s + 1)( s + 2) + k2 s( s + 2) + k3 s ( s + 1)
k1 + k2 + k3 = 1

⇒

k1 = −1

3k1 + 2k2 + k3 = 0

⇒

k2 = 1
k3 = 1

2k1 = −2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

Phương Heaviside xác định các hệ số:
• Các pole không lặp lại:

k i = ( s − λi ) F ( s ) s = λ

ki 0 = (s − λi )r F ( s)
• Các pole lặp lại:

• Ví dụ: F ( s ) =

i

s =λi

1 dj
( s − λi )r F (s) ; j ≠ 0
kij =
j 
s =λi
j ! ds
k20
8s + 10
k
k21
k
= 1 +
+
+ 22
3

3
2
( s + 1)( s + 2)
( s + 1) ( s + 2) ( s + 2) ( s + 2)

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

8


6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

Phương hổn hợp: phương pháp nhanh nhất!!!
• Ví dụ: F ( s ) =
k1 =

k20
8s + 10
k
k21
k
= 1 +
+
+ 22
3
3
2
( s + 1)( s + 2)
( s + 1) ( s + 2) ( s + 2) ( s + 2)

8s + 10
=2
3
( s + 2 ) s=−1

k20 =

8s + 10
=6
( s + 1) s=−2

sF ( s ); s → ∞ : k1 + k22 = 0 ⇒ k22 = −2

s = 0 : k1 +
⇒ k21 =

k20 k21 k22 5
10 − 8k1 − k20 − 4k22
+
+
=
⇒ k21 =
8
4
2 4
2

10 − 16 − 6 + 8
= −2
2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6.1.4. Biến đổi Laplace ngược

Ví dụ: tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm sau:
(a ) F(s)=

7s - 6
s −s−6

(b) F(s)=

2s 2 + 5
s 2 + 3s + 2

(c) F(s)=

6( s + 34)
s ( s + 10 s + 34)

2

2

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

9