057 đề HSG toán 7 trường thanh văn 2017 2018

PHÒNG GD & ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH VĂN

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 7
Năm học 2017-2018

Câu 1. (5 điểm)
1) Cho c 2  ab. Chứng minh rằng:
a2  c2 a
a) 2

b  c2 b
b2  a 2 b  a
b) 2

a  c2
a
213
2) Ba phân số có tổng bằng
, các tử của chúng tỉ lệ với 3;4;5 , các mẫu của
70
chúng tỉ lệ với 5;1;2 . Tìm ba phân số đó.
Câu 2. (6 điểm)
1. Cho đa thức: f  x   x17  2000 x16  2000 x15  2000 x14  .....  2000 x  1
Tính giá trị của đa thức tại x  1999
2. Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số:
A   5m  n  1 3m  n  4  là số chẵn
Câu 3. (2 điểm)
Tìm số tự nhiên x đê phân số

7x  8

có giá trị lớn nhất.
2x  3

Câu 4. (7 điểm)
1. Cho tam giác ABC cân tại A, B  500. Gọi K là điểm trong tam giác sao cho
KBC  100 , KCB  300.
a) Chứng minh BA  BK
b) Tính số đo BAK
2. Cho xAy  600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với
Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C.
Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh:
a) K là trung điểm của AC
b) KMC là tam giác đều
c) Cho BK  2cm. Tính các cạnh AKM


ĐÁP ÁN
Câu 1.
1.
a)
Từ c 2  ab
a c
a 2 c 2 a 2  c 2 a 2  ab a  a  b  a
   2  2 2



c b
c
b

c  b 2 ab  b 2 b  a  b  b

a2  c2 a
b2  c 2 b
b) Theo câu a ta có: 2
  2 2
c  b2 b
a c
a
2
2
2
2
2
2
b c
b
b c
b
b a
ba
  2 2  1   1  .....  2 2 
2
2
a c
a
a c
a
a c
a

213
70
3 4 5
9
12
15
Và a : b : c  : :  6 : 40 : 25  a  ; b  ; c 
5 1 2
35
7
14
Câu 2.
1.
f  x   x17  1999 x16  x16  1995 x15  x15  1999 x14  x14  .....  1999 x  x  1

2. Gọi các phân số phải tìm là : a, b, c , ta có: a  b  c 

f 1999   199917  199917  199916  199916  199915  199915  ....  19992  1999  1
 1999  1  1998
2. Ta xét hiệu  5m  n  1   3m  n  4  ...  2m  2n  3
Với m, n thì 2m  2n  3 là một số lẻ. Do đó trong hai số 5m  n  1và
3m  n  4 phải có một số chẵn. Suy ra tích của chúng là một số chẵn. Vậy A là số
chẵn
Câu 3.
7 x  8 2  7 x  8 7  2 x  3  5 7
5


 
Đặt A 

2 x  3 2  2 x  3
2  2 x  3
2 2 2x  3
5
Đặt B 
thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất
2  2 x  3
…… GTLN của A  6  x  2


Câu 4.
1.

A
I

K

B

C

a) Vẽ tia phân giác ABK cắt CK ở I , ta có: IBC cân nên IB  IC
 .....  BIA  CIA(c.c.c)  BIA  CIA  1200 ,
do đó BIA  BIK ( gcg )  BA  BK
b) Từ phần a ta tính được BAK  700.


2)

x
z
B
K
A

y
M

H




a) ABC cân tại B do CAB  ACB  MAC và BK là đường cao nên BK là
đường trung tuyến  K là trung điểm của AC.
b) ABH  BAK (cạnh huyền –góc nhọn)  BH  AK mà
1
1
AK  AC  BH  AC
2
2
Ta có: BH  CM (tính chất đoạn chắn) mà
1
CK  BH  AC  CM  CK  MKC là tam giác cân (1)
2
(2)
Mặt khác: MCB  900 và ACB  300  MCK  600
Từ (1) và (2)  MKC là tam giác đều
c) Vì ABK vuông tại K mà KAB  300  AB  2BK  2.2  4cm

Vì ABK vuông tại K nên theo Pytago ta có: AK  AB2  BK 2  16  4  12
1
Mà KC  AC  KC  AC  12
2
1
Mà KC  AC  KC  AK  12
2
Theo phần b) AB  BC  4; AH  BK  2; HM  BC (HBCM là hình chữ nhật)
 AM  AH  HM  6