(Luận văn thạc sĩ) Một số bài toán số học trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

LÊ PHƢƠNG THẢO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

LÊ PHƢƠNG THẢO

MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC
TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

THÁI NGUYÊN - 2019

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

▲➯ P❤÷ì♥❣ ❚❤↔♦

▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❙➮ ❍➴❈
❚❘❖◆● ❍➐◆❍ ❍➴❈ P❍➃◆●

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✾


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

▲➯ P❤÷ì♥❣ ❚❤↔♦

▼❐❚ ❙➮ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❙➮ ❍➴❈
❚❘❖◆● ❍➐◆❍ ❍➴❈ P❍➃◆●
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t♦→♥ sì ❝➜♣
▼➣ sè✿ ✽✹✻✵✶✶✸

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿

P●❙✳❚❙ ◆●❯❨➍◆ ❱■➏❚ ❍❷■

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✾




ớ ỡ
t ữủ ởt tổ ổ ữủ
sỹ ữợ ú ù t t ừ P t
rữớ ồ Pỏ ổ t tọ ỏ
t ỡ s s t ỷ ớ tr t ừ tổ ố ợ ỳ
t tổ
ổ t ỡ ỏ t qỵ t
ổ ợ ồ rữớ ồ ồ
ồ t t tr t ỳ tự qỵ ụ
ữ t tổ t õ ồ
ổ ỷ ớ ỡ t t tợ ỳ
ữớ ổ ở ộ trủ t ồ tổ tr sốt
q tr ồ t tỹ
tr trồ ỡ
Pỏ t
ữớ t

Pữỡ


✐✐

❉❛♥❤ ♠ö❝ ❤➻♥❤

✶✳✶
✶✳✷
✶✳✸
✶✳✹
✶✳✺

❚❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡✿ BC 2 = AB 2 + AC 2 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ [c, e, b + d]✱ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ a ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ t❤❡♦ sü t➠♥❣ ❞➛♥ ❝õ❛ ❝↕♥❤ ❧î♥ ♥❤➜t ✳
❚❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ ❝→❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ r, ra , rb , rc
❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝→❝ ❝❡✈✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳ ✹
✳ ✽
✳ ✶✷
✳ ✶✸
✳ ✶✾

✷✳✶ ❍❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ✈î✐ m = 1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
✷✳✷ ❍❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ tò ✈î✐ m = 2 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾
✷✳✸ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❝↕♥❤ tü ♥❤✐➯♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶
✸✳✶
✸✳✷
✸✳✸
✸✳✹
✸✳✺
✸✳✻

❚ù ❣✐→❝ ❤ú✉ t✛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚ù ❣✐→❝ ❤ú✉ t✛ ❝õ❛ ❇r❛❤♠❛❣✉♣t❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✣ë ❞➔✐ ✷ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦✱ ❝❤✉ ✈✐✱ ❞✐➺♥ t➼❝❤ tù ❣✐→❝ ✳
❉ü♥❣ tù ❣✐→❝ ❇r❛❤♠❛❣✉♣t❛ tø t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥
❍❛✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ AB, BC ∈ P ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✭■▼❖ ✶✾✻✽✱ #1✮✱ ❈→❝❤ ❣✐↔✐ t❤ù ❜❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳

✳
✳
✳
✳
✳

✹✷
✹✹
✹✺
✹✼
✺✷
✺✹


✐✐✐

❉❛♥❤ ♠ö❝ ❜↔♥❣
✶✳✶ ❚r➼❝❤ ❞❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶
✶✳✷ ❍å t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ♣❤ö t❤✉ë❝ λ✱ ✈î✐ ✶✵ ❣✐→ trà λ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✷✳✶ ❇❛ ❝↕♥❤ ❧➔ ❝➜♣ sè ❝ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸
✷✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ P 2 = nS ✈î✐ n = 31 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽
✷✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ P 2 = nS ✈î✐ n = 42 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵


✐✈

▼ö❝ ❧ö❝
●✐î✐ t❤✐➺✉ ❧✉➟♥ ✈➠♥
✶ ❚❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡ ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥

✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ t❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡ ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥
✶✳✶✳✶ ❈→❝ ❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ HG✿ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✈î✐ r, ra , rb , rc ∈ N ✳ ✳
✶✳✸ ❍å ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ♣❤ö t❤✉ë❝ λ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✈î✐ ❤➺ t❤ù❝ ❣✐ú❛ S ✈➔ P
✷✳✶ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✈î✐ S = m.P, m ∈ N ✳ ✳
✷✳✶✳✶ ❚❤✉➟t t♦→♥ ●♦❡❤❧ ✈➔ t❤✉➟t t♦→♥ ▼❛r❦♦✈
✷✳✶✳✷ ❍❛✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ t❤❛♠ sè ♥❣✉②➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✈î✐ P 2 = nS, n ∈ N ✳ ✳
✷✳✷✳✶ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ n ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ n ❧➔ ❤ñ♣ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✸ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ r✐➯♥❣✿ ❚❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡ ✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✶
✹

✳ ✹
✳ ✹
✳ ✼
✳ ✶✵
✳ ✶✽
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳

✷✹

✷✹
✷✺
✸✷
✸✺
✸✻
✸✽
✸✾

✸ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥

✹✶

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✺✽

✸✳✶ ❚ù ❣✐→❝ ❝â ❝↕♥❤ ✈➔ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❤ú✉ t✛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶
✸✳✷ ❳→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ②➳✉ tè ❝õ❛ tù ❣✐→❝ ❇r❛❤♠❛❣✉♣t❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺
✸✳✸ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵




ợ t

ử ừ t
t tr ồ q số ồ t
õ ỳ t t tở ỹ số ồ ữ ở Ptr
t r qt ỳ t tữớ
ữỡ tr t ữỡ tr Ptr ữỡ tr P
tự s số tố õ r số ồ õ t
tr ừ số ồ ử ồ
ỳ t q s s t ồ tự số ồ
ử ừ t
r t t t Ptr t t
r tr trữớ ủ tờ qt r tt t t ừ
t t r trữớ ủ r t r
t HG t t r ợ r, ra , rb , rc N t õ
t số ở ữợ t r
ỷ ử tự ừ số ồ ữ ỵ tt t sỹ t
ởt số tỹ t số tố ữỡ tr t
số ồ õ ự ởt số trữớ ủ r
q trồ ừ t t t tọ ởt tr
s
S = mP ; P 2 = nS R/r = N N.

r t q qt ú ự ỳ
t tự rt ỗ ữù ỹ õ
trữớ P õ t ồ s ổ ồ


✷

✷✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐✱ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ ❣✐↔✐ q✉②➳t
❉ü❛ ✈➔♦ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✷❪✱ ❬✸❪✱ ❬✹❪✱ ❬✻❪ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❜➔✐

t♦→♥ ❤❛② ✈➲ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ❝ô♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤â ❤❛② ❣➦♣ tr♦♥❣
❝→❝ ❦ý t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐→✐ ❚♦→♥ tr♦♥❣ ♥÷î❝ ✈➔ q✉è❝ t➳✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥
❝❤✐❛ ❧➔♠ ✸ ❝❤÷ì♥❣✿

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❚❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡ ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥
❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ sè ❤å❝ q✉❡♥ t❤✉ë❝✱ t✉②
♥❤✐➯♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ❦❤æ♥❣ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤➣ ❝â tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❝æ♥❣ tr➻♥❤✳
❱✐➺❝ ❧➔♠ ♥➔② ❝ô♥❣ ❝♦✐ ❧➔ ❜ê s✉♥❣ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ ❜➔✐
t♦→♥ ✤➦t r❛✳ ❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❞➝♥ tî✐ ♥❤✐➲✉ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ r✐➯♥❣
t❤ó ✈à ✈➔ ❦➳t t❤ó❝ ð ♠ët ❦➳t q✉↔ tê♥❣ q✉→t✿ ❍å ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ♣❤ö
t❤✉ë❝ t❤❛♠ sè✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❜❛♦ ❣ç♠✿
✶✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ t❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡ ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥
✶✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ HG✿ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✈î✐ r, ra , rb , rc ∈ N
✶✳✸✳ ❍å ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ♣❤ö t❤✉ë❝ λ✳

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✈î✐ ❤➺ t❤ù❝ ❣✐ú❛ S ✈➔ P
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ t➻♠ t❛♠ ❣✐→❝ ❝↕♥❤
♥❣✉②➯♥ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♣❤ö✿ ❚➻♠ t❛♠ ❣✐→❝ ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✈î✐ S = mP
✈➔ t➻♠ t❛♠ ❣✐→❝ ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✈î✐ P 2 = nS ✳ ❈→❝ ❦ÿ t❤✉➟t sè ❤å❝ ✤÷ñ❝ ✈➟♥
❞ö♥❣ ❣✐↔✐ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t✐♥❡ ❞↕♥❣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❞➝♥ tî✐ ❝→❝ t❤✉➟t
t♦→♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➡♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ ♠➲♠ t✐♥ ❤å❝✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❜❛♦ ❣ç♠ ❝→❝
♠ö❝ s❛✉✿
✷✳✶✳ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✈î✐ S = mP, m ∈ N
✷✳✷✳ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❝↕♥❤ ♥❣✉②➯♥ ✈î✐ P 2 = nS, n ∈ N✳

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ▼ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥
❈❤÷ì♥❣ ✸ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❣✉②➯♥ ♠ð rë♥❣ ❝❤♦ tù ❣✐→❝ ❤ú✉ t✛ ✈î✐
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐➳♣ ❝➟♥ t÷ì♥❣ tü ✷ ❝❤÷ì♥❣ ✶ ✈➔ ✷✳ P❤➨♣ ❞ü♥❣ tù ❣✐→❝ ❤ú✉

✸
t✛ ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ✭tù ❣✐→❝ ❇r❛❤♠❛❣✉♣t❛✮ ✤÷ñ❝ ❣✐↔✐ q✉②➳t trå♥ ✈➭♥✳ Ð
✤➙② ❝ô♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ✈➔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝â ♥ë✐ ❞✉♥❣ sè ❤å❝ ✤➣ ❣➦♣
tr♦♥❣ ❝→❝ ❦ý t❤✐ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐→✐✱ t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝ ❝→❝ ♥÷î❝✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ✸ ♣❤➛♥✿
✸✳✶✳ ❚ù ❣✐→❝ ❝â ❝↕♥❤ ✈➔ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❤ú✉ t✛
✸✳✷✳ ❳→❝ ✤à♥❤ ❝→❝ ②➳✉ tè ❝õ❛ tù ❣✐→❝ ❇r❛❤♠❛❣✉♣t❛
✸✳✸✳ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t❤✐ ❖❧②♠♣✐❝✳


✹

❈❤÷ì♥❣ ✶
❚❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡ ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝
❍❡r♦♥
✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ t❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡ ✈➔ t❛♠ ❣✐→❝
❍❡r♦♥

✶✳✶✳✶ ❈→❝ ❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡
❚r♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❝â ♠ët ✤à♥❤ ❧þ q✉❛♥ trå♥❣ ✈➔ q✉❡♥ t❤✉ë❝✿ ✤à♥❤ ❧þ
P②t❤❛❣♦r❡✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ❧➔ ✧tr♦♥❣ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ❜➻♥❤
♣❤÷ì♥❣ ❝↕♥❤ ❤✉②➲♥ ❜➡♥❣ tê♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❤❛✐ ❝↕♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣✧✱ ❤➻♥❤ ✶✳✶
❱➻ ✈➟② ♠➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 + y 2 = z 2 ✈î✐ x, y, z ❧➔ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥✱ ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ P②t❤❛❣♦r❡✳ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ tü ♥❤✐➯♥ (x, y, z) ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣

❍➻♥❤ ✶✳✶✿

❚❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡✿ BC 2 = AB 2 + AC 2

✺
tr➻♥❤ ♥➔② ❣å✐ ❧➔ ❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡✳
❚r♦♥❣ sè ❤å❝✱ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ①❡♠ ❧➔ ♠ët ❜ë ❣❡♥
❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ❞ò♥❣ ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣ t♦➔♥ ❜ë ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥✳ ●✐è♥❣ ♥❤÷ ♠é✐
❝♦♥ ♥❣÷í✐ ❝â ♥❤ú♥❣ ✤➦❝ ✤✐➸♠ r✐➯♥❣ ❜✐➺t ❞♦ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ♥❤ú♥❣ ❜ë ❣❡♥ ❦❤→❝
♥❤❛✉✱ ❝→❝ sè ❝ô♥❣ ✈➟② ♠é✐ ❝♦♥ sè ❦❤→❝ ♥❤❛✉ sð ❤ú✉ ♠ët ❜ë ❣❡♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳
❱➻ 12 = 2.2.3 = 22 .3 t❛ ❝â t❤➸ ♥â✐ sè ✶✷ ❝â ❤❛✐ ❣❡♥ sè ✷ ✈➔ ♠ët ❣❡♥ sè ✸✱
tr♦♥❣ ❦❤✐ ✤â 90 = 2.3.3.5 = 2.32 .5 ❝â ♠ët ❣❡♥ sè ✷✱ ❤❛✐ ❣❡♥ sè ✸ ✈➔ ♠ët
❣❡♥ sè ✺✳
▼ët ❝→❝❤ tê♥❣ q✉→t✱ ❦❤✐ sè tü ♥❤✐➯♥ n ✤÷ñ❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥
tè ♥❤÷ s❛✉
n = pα1 1 · pα2 2 . . . pαk k
t❤➻ t❛ ♥â✐ n ❝â α1 ❣❡♥ p1 , α2 ❣❡♥ p2 , . . . , αk ❣❡♥ pk ✳
❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët t➼♥❤ ❝❤➜t sè ❤å❝✱ ❝â t❤➸ ✤➦t t➯♥ ❧➔ t➼♥❤ ✧t→❝❤ ✤÷ñ❝✧✿♥➳✉
a.b = A2 ✭sè ❝❤➼♥❤ ♣❤÷ì♥❣✮✱ a, b ∈ N t❤➻ a ✈➔ b ♣❤↔✐ ❝â ❞↕♥❣ a = u2 ·w, b =
v 2 .w ✈î✐ u, v, w ∈ N✳ ❈â t❤➸ ❣✐↔✐ t❤➼❝❤ ♥❤÷ s❛✉✿ ♥➳✉ sè ❧÷ñ♥❣ ❣❡♥ p tr♦♥❣
a ❧➔ ❧➫ t❤➻ sè ❧÷ñ♥❣ ❣❡♥ p ❝â tr♦♥❣ b ❝ô♥❣ s➩ ❧➔ ❧➫✱ ✈➻ ✈➟② sè ❧÷ñ♥❣ ❣❡♥ tr♦♥❣
a, b ♣❤↔✐ ❧➔ sè ❝❤➤♥✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ❧♦↕✐ ❣❡♥ ❧➫ ♥➔② ❧↕✐ t❤➔♥❤ sè w
t❤➻ t❛ s➩ ❝â a = u2 w, b = v 2 w✳
●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ P②t❤❛❣♦r❡ x2 + y 2 = z 2 ✳
❚❛ ❝â x2 = z 2 − y 2 = (z − y)(z + y)✳ ❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t t→❝❤
t❤➻ z + y = u2 w, z − y = v 2 w ✈➔ x = uvw✳ ❱➟② ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❝❤➼♥❤ ❧➔


x = uvw





u2 − v 2 w
y=
2 2

2


u
+
v w

z=
2
❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ y, z ∈ N✳
❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ w = 2m + 1 t❤➻ z + y = u2 (2m + 1); z − y = v 2 (2m + 1)✳
❚ø ✷ ✤➥♥❣ t❤ù❝ s✉② r❛ 2z = u2 + v 2 (2m+1) ✈➔ 2y = u2 − v 2 (2m+1)✳
◆❤÷ ✈➟②✱ u2 + v 2 ✈➔ u2 − v 2 ✤➲✉ ❝❤➤♥✱ tù❝ y, z ❧➔ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥✳ ❈á♥
♥➳✉ w ❝❤➤♥ t❤➻ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ y, z ∈ N✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ w ❝❤➤♥ t❛ ✤➦t w = 2s✱
♥❣❤✐➯♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❧➔ x = 2uvs, y = u2 − v 2 s, z = u2 + v 2 s✳

❇÷î❝ ✶✳

❇÷î❝ ✷✳


✻
❑❤✐ u2 + v 2 ✈➔ u2 − v 2 ❧➔ ❝→❝ sè ❝❤➤♥ t❤➻ t❛ ✤➦t u = v + 2k ✱ s✉② r❛

2



x = (v + 2k)vw = v + 2kv w
y = 2kv + 2k 2 w


z = v 2 + 2kv + 2k 2 w
✈✐➳t ❧↕✐ t❤➔♥❤
x = (x + k)2 − k 2 w, y = 2(v + k)kw, z = (v + k)2 + k 2 w

❚r♦♥❣ ❝↔ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tr➯♥ t❛ ❝â ♥❣❤✐➺♠ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
P②t❤❛❣♦r❡ ❧➔✿


 x = c.(2ab)
y = c. a2 − b2 , a, b, c ∈ N, a > b

 z = c. a2 + b2
P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ P②t❤❛❣♦r❡ ❝â ✈æ sè ♥❣❤✐➺♠ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✸ t❤❛♠ sè✳ ❚✉②
♥❤✐➯♥ ✈î✐ n ≥ 3✱ ❋❡r♠❛t ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ xn + y n = z n
❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ♥❣✉②➯♥ ❦❤→❝ ✵✳
❱î✐ c = 1 t❛ ❝â ❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡ x = 2ab, y = a2 − b2 , z = a2 + b2
❞♦ ❊✉❝❧✐❞❡ t➻♠ r❛ ✭❦❤♦↔♥❣ ✸✵✵ ♥➠♠ tr÷î❝ ❈æ♥❣ ♥❣✉②➯♥✮✳ ❇ë ❜❛ ♥➔② ❧➔
✈➼ ❞ö ✈➲ ♠ët ❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡ ❝ì ❜↔♥ ✭❝→❝ ❝❛♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ ❧➔
a = 2mn, b = m2 − n2 , c = m2 + n2 tr♦♥❣ ✤â m, n ❧➔ ♥❣✉②➯♥ tè ❝ò♥❣
♥❤❛✉✱ ❝❤➾ ❝â ♠æt sè ❧➫✮✳ ❚❛ ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ❝õ❛ ❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡ ❝ì
❜↔♥ (a, b, c) ✭①❡♠ tr♦♥❣ ❬✶❪✮✿
✭✐✮ ❍❛✐ ❝❛♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣ m2 −n2 ✈➔ 2mn✱ ❝↕♥❤ 2mn ❣å✐ ❧➔ ❝↕♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣
(c − a)(c − b)
❝❤➤♥❀ c = m2 + n2 ❧➔ ❝↕♥❤ ❤✉②➲♥✳
❧➔ sè ❝❤➼♥❤ ♣❤÷ì♥❣✳

2
✭✐✐✮ ❚r♦♥❣ ✸ sè a, b, c ❝â ♥❤✐➲✉ ♥❤➜t ♠ët sè ❝❤➼♥❤ ♣❤÷ì♥❣✳ ❚ç♥ t↕✐ ✈æ sè
❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡ ❝ì ❜↔♥ ♠➔ ❝↕♥❤ ❤✉②➲♥ ✭❤♦➦❝ ❝↕♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣✮ ❧➔ ❝❤➼♥❤
♣❤÷ì♥❣✳ ❚ê♥❣ ❝õ❛ ❝↕♥❤ ❤✉②➲♥ ✈➔ ❝↕♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣ ❝❤➤♥ ❝õ❛ ❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡
❝ì ❜↔♥ ❧✉æ♥ ❧➔ sè ❝❤➼♥❤ ♣❤÷ì♥❣✳
ab
✭✐✐✐✮ ❉✐➺♥ t➼❝❤ S =
❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥ ❝❤➤♥✳ ❚r♦♥❣ ❤❛✐ sè a, b ❝â ✤ó♥❣
2
♠ët sè ❧➫❀ ✈➔ c ❧➔ sè ❧➫✳
✭✐✈✮ ❚r♦♥❣ ✸ sè a, b, c ❝â ✤ó♥❣ ♠ët sè ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✺✳


✼
✭✈✮ ❚r♦♥❣ ✹ sè a, b, a + b, b − a ❝â ✤ó♥❣ ♠ët sè ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✼❀ tr♦♥❣ ✹
sè a + c, b + c, c − a, c − b ❝â ✤ó♥❣ ♠ët sè ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✽ ✭❝❤♦ ✾✮❀ tr♦♥❣ ✻
sè a, b, 2a + b, 2a − b, 2b + a, 2b − a ❝â ✤ó♥❣ ♠ët sè ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ ✶✶✳

✶✳✶✳✷ ❈→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥
❈â ♠ët sè ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✧t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥✧✳ ❚r♦♥❣ ✤➲ t➔✐ ♥➔②
t❛ ❝❤å♥ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ s❛✉✿

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ♠➔ ✤ë ❞➔✐ ❜❛ ❝↕♥❤ a, b, c

✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❙ ❝õ❛ ♥â ❧➔ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥✳

❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✤÷ñ❝ ❦þ ❤✐➺✉ ❜ð✐ ❝❤ú ❍❚✳ ❑þ ❤✐➺✉ HT [x, y, z; S] ✤÷ñ❝
❤✐➸✉ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❝↕♥❤ x, y, z ✱ ❞✐➺♥ t➼❝❤ S ✳ HT [x, y, z; S] ✤÷ñ❝ ❣å✐
❧➔ ❝ì ❜↔♥ ✭❤❛② ♥❣✉②➯♥ t❤õ②✮ ♥➳✉ (x, y, z) = 1✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ t➻♠ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝
❍❡r♦♥ ❝â t❤➸ ❝❤♦ ❦➳t q✉↔ ❝↕♥❤ ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❧➔ sè ❤ú✉ t✛✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ♥❤➙♥

t➜t ❝↔ ✈î✐ ❜ë✐ sè ❝❤✉♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ♠➝✉ t❛ ✈➝♥ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➺♠ tü ♥❤✐➯♥✳
❚➜t ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❤ú✉ t✛✱ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ RT ✱ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✤÷ñ❝
t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✭♥❣✉②➯♥✮ ✈➔ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✳ ❱✐➺❝ t➻♠ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❝❤♦ t❛♠ ❣✐→❝
❍❡r♦♥ ❝ì ❜↔♥ ❜➡♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ t❤✉➛♥ tó② ❣➦♣ ♥❤✐➲✉ ❦❤â ❦❤➠♥✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥
❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ö♥❣ ✧❧þ t❤✉②➳t sè✧ t❛ ❦❤æ♥❣ ♥❤ú♥❣ tr→♥❤ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ❦❤â
❦❤➠♥ ✤â ♠➔ ❝á♥ t➻♠ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥✳
❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✤÷ñ❝ ✤➦t t❤❡♦ t➯♥ ❝õ❛ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❍② ▲↕♣ ✧❍❡r♦♥ ♦❢
❆❧❡①❛♥❞r✐❛✧ ✈➻ ♥â ❝â ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼♥❤ ❞✐➺♥ t➼❝❤
S=

s(s − a)(s − b)(s − c),

✈î✐ s =

a+b+c
2

❱î✐ ❝→❝❤ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ ✈➟② t❛ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t
❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥✱ ❝â t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ tr♦♥❣ ❬✸❪✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳✶✳ ❇➜t ❦➻ ♠ët t❛♠ ❣✐→❝ ♥➔♦ ❝â ✤ë ❞➔✐ ❜❛ ❝↕♥❤ t↕♦ t❤➔♥❤
♠ët ❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡ ✤➲✉ ❧➔ ♠ët HT [x, y, z; S]✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ ❜ë ❜❛ sè P②t❤❛❣♦r❡ ❧➔ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝õ❛ ♥â

❜➡♥❣ ♠ët ♥û❛ t➼❝❤ ❤❛✐ ❝↕♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣✱ tr♦♥❣ ✤â ✶ ❝↕♥❤ ❣â❝ ✈✉æ♥❣ ♣❤↔✐ ❧➔
sè ❝❤➤♥✳

ởt ử ởt t r ổ t ổ
t õ a = 5, b = 5, c = 6 ợ t 12 t t ữủ
t õ ở ồ t õ
ở Pữỡ tờ qt ữủ ồ
ởt t ợ ở ởt ở Ptr
a, b, c c số ợ t ởt t õ ở ởt ở
số Ptr a, d, e e số ợ t ú ồ t
õ ở ữủ ởt t õ ở số tỹ
1
c, e, b + d õ t ởt số ỳ t S = (b + d) ã a ởt ỷ
2
ợ ởt ọ tú t r tt



r [c, e, b + d] ữớ a

t r õ t ữủ t r t ổ
ợ ở số tỹ ở Ptr ữ tr
tr ổ tr ớ ổ t ởt t r ợ
ở t ró r õ ổ t ữủ tứ
t ợ ở tỹ ởt ử tữớ
ỡ ởt t ợ ở ợ t
t s ổ õ ữớ ừ õ ởt số tỹ

t õ t ởt t r t t
ổ ở ừ ú t t ỳ ở Ptr ỳ


✾

t➾ ✭✸ ❝↕♥❤ ❧➔ ❝→❝ sè ❤ú✉ t✛ t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ P②t❤❛❣♦r❡✮✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳➨t ❤➻♥❤ ✶✳✷ ✈î✐ c, e, b + d ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ S ❧➔ ♥❤ú♥❣

sè ❤ú✉ t➾✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ❝→❝❤ ❦þ ❤✐➺✉ s❛♦ ❝❤♦ ✤ë ❞➔✐ ❝↕♥❤ b + d
❧➔ ❧î♥ ♥❤➜t✱ ❦❤✐ ✤â ✤÷í♥❣ ✈✉æ♥❣ ❣â❝ ❤↕ tø ✤➾♥❤ ✤è✐ ❞✐➺♥ ①✉è♥❣ ❝↕♥❤ ♥➔②
♥➡♠ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❝↕♥❤✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❜ë ❜❛ (a, b, c) ✈➔ (a, d, e) ❧➔ ❝→❝
❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡✱ t❛ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ a, b ✈➔ d ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ❤ú✉ t➾✳ ❚❤➟t
1
2S
✈➟②✱ ✈➻ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔✿ S = (b + d)ad✳ ❘ót a t❛ ✤÷ñ❝ a =
2
b+d
❧➔ ♠ët sè ❤ú✉ t➾✱ ✈➻ S ✈➔ b + d ✤➲✉ ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ❤ú✉ t➾✳ P❤➛♥ ❝á♥ ❧↕✐ ❝➛♥
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ b ✈➔ d ❤ú✉ t➾✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ P②t❤❛❣♦r❡ ✤è✐ ✈î✐ ❤❛✐ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣✱ t❛ ❝â a2 +b2 = c2
✈➔ a2 + d2 = e2 ✳ ❚rø ✈➳ t❤❡♦ ✈➳ ❤❛✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝
b2 − d2 = c2 − e2
⇔(b − d)(b + d) = c2 − e2
c2 − e2
⇔b − d =
b+d

❱➳ ♣❤↔✐ ❧➔ ❤ú✉ t➾✱ ❜ð✐ ✈➻ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t c, e ✈➔ b + d ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè ❤ú✉ t➾✳
❉♦ ✤â✱ b − d ❧➔ ❤ú✉ t➾✳ ❚❛ ❧↕✐ ❝â (b + d) ❧➔ ❤ú✉ t➾ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✱ s✉② r❛
(b + d) + (b − d) ❧➔ ❤ú✉ t➾✳ ❍❛② 2b ❧➔ ❤ú✉ t➾✳ ❙✉② r❛ b ❤ú✉ t➾ ✈➔ d ❝ô♥❣ ♣❤↔✐
❧➔ sè ❤ú✉ t➾✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✳✸✳ ❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ❜➔✐
t♦→♥ ❣✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t✐♥❡✱ tr♦♥❣ ✤â✱ S, s ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤✱ ❝❤✉ ✈✐ t❛♠
❣✐→❝ ABC

S 2 = s(s − a)(s − b)(s − c)

❈æ♥❣ t❤ù❝ tê♥❣ q✉→t ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è ❜ð✐ ❇r❛❤✲
♠❛❣✉♣t❛ ✈➔ ❈❛r♠✐❝❤❛❡❧ ♥➠♠ ✶✾✺✷ ✭t❤❡♦ ❉✐❝❦s♦♥ ✷✵✵✺✱ ♣✳ ✶✾✸✮✱ ✤â ❧➔
a = n m2 + k 2

✭✶✳✶✮

b = m n2 + k 2

✭✶✳✷✮

c = (m + n) m.n − k 2

✭✶✳✸✮

s = m.n(m + n)

✭✶✳✹✮


✶✵
S = kmn(m + n) mn − k 2

✭✶✳✺✮

✣➙② ❧➔ ♠ët ❦✐➸✉ tr♦♥❣ ❧î♣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✈î✐ ♠å✐ m, n, k ∈ N s❛♦ ❝❤♦
m2 · n
(m, n, k) = 1, m.n > k ≥

✈➔ m ≤ n ≤ 1.
(2m + n)
2

❚❤❡♦ ✤â t❛ ❝â t❤➸ ❧✐➺t ❦➯ ♠ët sè t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ s➢♣ ①➳♣ t❤❡♦ sü t➠♥❣
❝õ❛ ❝↕♥❤ ❧î♥ ♥❤➜t tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝✿
(3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8),
(6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13),
(9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15),
(10, 13, 13), (10, 10, 16), ...

❝â ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❧➛♥ ❧÷ñt 6, 12, 12, 24, 48, 30, 60, 54, ....

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✳ ❚r➼❝❤ ❞❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❝ì ❜↔♥ ①➳♣ t❤❡♦ ❞✐➺♥

t➼❝❤ t➠♥❣ ❞➛♥✱ ♥➳✉ ❝ò♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❤➻ ①➳♣ t❤❡♦ ❝❤✉ ✈✐ t➠♥❣ ❞➛♥✳

◆➠♠ ✶✾✾✹✱ tr♦♥❣ ▼❛t❤♠❛t✐❝❛❧ ◆♦t❡s✱ ❱♦❧✳ ✺✺✱ ◆✵ ✷✱ ❙✳ ❙❤✳ ❑♦③❤❡❣❡❧✬❞✐♥♦✈
✭◆❣❛✮ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❦➳t q✉↔ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❝ì ❜↔♥ ✈î✐ ✻
❦✐➸✉ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✈➔ ✈✐➺❝ t➻♠ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❝ì ❜↔♥ ✤÷ñ❝ ❝♦✐ ❧➔
❤♦➔♥ t❤➔♥❤✳ ❙❛✉ ✤➙② t❛ ①➨t ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❦➧♠ t❤❡♦
♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➦❝ ❜✐➺t✳

✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ HG✿ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✈î✐ r, ra, rb, rc ∈ N
❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ HT [a, b, c, S]✱ ♥❣♦➔✐ t➯♥ ❣å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❝ì ❜↔♥✱ ❝á♥
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ ♥➳✉ ✸ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ha , hb , hc ∈
/ N✱ tr÷í♥❣
❤ñ♣ tr→✐ ❧↕✐ t❛♠ ❣✐→❝ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝✱ tù❝ ❧➔ ➼t ♥❤➜t ✶ ✤÷í♥❣
❝❛♦ ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ❦þ ❤✐➺✉ t➙♠ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔
❜➔♥❣ t✐➳♣ ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ I, Ia , Ib , Ic ✳ Ð ✤➙② t❛ ①➨t ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ t❛♠ ❣✐→❝

❍❡r♦♥ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➦t ❤ì♥ ✈➲ ❜→♥ ❦➼♥❤ r, ra , rb , rc ✿
HG ❚➻♠ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ s❛♦ ❝❤♦ r, ra , rb , rc ∈ N✱ tr♦♥❣ ✤â

❇➔✐ t♦→♥

✿


✶✶

❉✐➺♥ t➼❝❤ ❚● ❈❤✉ ✈✐ ❚● ✣ë ❞➔✐ b + d ✣ë ❞➔✐ e ✣ë ❞➔✐ c
✻
✶✷
✺
✹
✸
✶✷
✶✻
✻
✺
✺
✶✷
✶✽
✽
✺
✺
✷✹
✸✷
✶✺
✶✸

✹
✸✵
✸✵
✶✸
✶✷
✺
✸✻
✸✻
✶✼
✶✵
✾
✸✻
✺✹
✷✻
✷✺
✸
✹✷
✹✷
✷✵
✶✺
✼
✻✵
✸✻
✶✸
✶✸
✶✵
✻✵
✹✵
✶✼
✶✺

✽
✻✵
✺✵
✷✹
✶✸
✶✸
✻✵
✻✵
✷✾
✷✺
✻
✻✻
✹✹
✷✵
✶✸
✶✶
✼✷
✻✹
✸✵
✷✾
✺
✽✹
✹✷
✶✺
✶✹
✶✸
✽✹
✹✽
✷✶
✶✼

✶✵
✽✹
✺✻
✷✺
✷✹
✼
✽✹
✼✷
✸✺
✷✾
✽
✾✵
✺✹
✷✺
✶✼
✶✷
✾✵
✶✵✽
✺✸
✺✶
✹
✶✶✹
✼✻
✸✼
✷✵
✶✾
✶✷✵
✺✵
✶✼
✶✼

✶✻
✶✷✵
✻✹
✸✵
✶✼
✶✼
✶✷✵
✽✵
✸✾
✷✺
✶✻
✶✷✻
✺✹
✷✶
✷✵
✶✸
✶✷✻
✽✹
✹✶
✷✽
✶✺
✶✷✻
✶✵✽
✺✷
✺✶
✺
✶✸✷
✻✻
✸✵
✷✺

✶✶
❇↔♥❣ ✶✳✶✿ ❚r➼❝❤ ❞❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❝ì ❜↔♥


✶✷

❍➻♥❤ ✶✳✸✿ ❚❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ t❤❡♦ sü t➠♥❣ ❞➛♥ ❝õ❛ ❝↕♥❤ ❧î♥ ♥❤➜t

r, ra , rb , rc ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣
t✐➳♣ ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝✳

●✐↔✐ ✤➛② ✤õ ✈➔ ✤÷❛ r❛ t❤✉➟t t♦→♥ t➻♠ ❤➳t ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❍●
❧➔ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ ❦❤æ♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤➾ ❞ø♥❣ ❧↕✐ ð ✈✐➺❝ ✤÷❛ r❛ ❦➳t ❧✉➟♥
t÷í♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ♠ët sè tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝ö t❤➸✳
• ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡✳
●✐↔ sû ABC ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡ ❝ì ❜↔♥ ✈î✐ a2 + b2 = c2 ✳ ❚❛ t❤➜②
tr♦♥❣ ❤❛✐ sè a, b ♣❤↔✐ ❝â ♠ët sè ❧➫✱ c ❝ô♥❣ ❝➛♥ ♣❤↔✐ ❧➫✳ ❉♦ ✤â✱ ♥û❛ ❝❤✉
1
1
✈✐ P = (a + b + c) ∈ N ✈➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ S = ab ∈ N✳ ❈→❝ ❝↕♥❤ t❛♠ ❣✐→❝
2
2
P②t❤❛❣♦r❡ ❝ì ❜↔♥ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ✤÷ñ❝ ❞↕♥❣ m2 − n2 ✈➔ 2mn ❧➔ ❤❛✐ ❝↕♥❤
❣â❝ ✈✉æ♥❣✱ m2 + n2 ❧➔ ❝↕♥❤ ❤✉②➲♥ ✈î✐ m, n ∈ N✳ ●å✐ r, ra , rb , rc ❧➔ ❜→♥
❦➼♥❤ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔ ❜➔♥❣ t✐➳♣ ✤è✐ ❞✐➺♥ ❝→❝ ❣â❝ A, B, C ✱ t÷ì♥❣
ù♥❣✳ ❚r♦♥❣ ♠é✐ ❜ë ❜❛ P②t❤❛❣♦r❡ ❝ì ❜↔♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔ ✸
❜→♥ ❦➼♥❤ ❝õ❛ ❜❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥✱ ❤➻♥❤ ✶✳✹✳ ◆❣÷ñ❝ ❧↕✐
♥➳✉ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ABC ❝â ❜➜t ❦ý ✸ tr♦♥❣ ✹ sè r, ra , rb , rc ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥
t❤➻ ❞➵ t❤➜② ❜❛ sè ❛✱❜✱❝ ❧➔ sè tü ♥❤✐➯♥ ✈➻
a = r + ra = rc − rb ∈ N

b = r + rb = rc − ra ∈ N


✶✸

❍➻♥❤ ✶✳✹✿ ❚❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ ❝→❝ ❜→♥ ❦➼♥❤ r, ra , rb , rc

c = ra + rb = rc − r ∈ N

♥➯♥ ABC ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡✳ ❚ø ✤â t❛ ❝â✿

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳ ▼å✐ t❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡ ❝ì ❜↔♥ ✤➲✉ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

❍●✳

• ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❝➙♥
❱î✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❝➙♥✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥✱ (a, b, c) = (5, 5, 6) t❤➻ (S, r, ra , rb , rc ) =
3
10
15
12, , 4, 4, 6 ; (a, b, c) = (13, 13, 10) t❤➻ (S, r, ra , rb , rc ) = 60, , 12, 12,
✳
2
3
2
❚❛ ❝â ❦➳t q✉↔ tê♥❣ q✉→t s❛✉✿

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳ ❆❇❈ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❝ì ❜↔♥ ✈î✐ a = b t❤➻ ra = rb ∈ N

❝á♥ r ✈➔ rc ❦❤æ♥❣ ✤ç♥❣ t❤í✐ ♥❣✉②➯♥✳

c
c
c
, P − c = a − ♥➯♥
2
2
2
r√ 2
2
2
2
S =
4a − c2 ✱ ❦➨♦ t❤❡♦ 4a − c = m ✈î✐ m ∈ N ♥➔♦ ✤â✳ ❉♦ ✤â✱
4
−c2 ≡ m2 (mod4)✱ ♥❤÷ ✈➟② c = 2d, m = 2n ✈î✐ d, n ∈ N ♥➔♦ ✤â t❤ä❛

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝â P = a + , P − a = s − b =



(d, n) = 1 ứ õ s r S = dn ra = rb =
r=

S
dn
=
;
s
a+d

rc =

S
= n ữỡ tỹ
P a

dn
ỗ tớ õ r, rc N t
ad

2d2
2d2 n
=
N
rc r = 2
a d2
n

tự n {1, 2} n2 = (a + d)(a d) ổ õ n = 1 n = 2
d N
ự ữủ ồ t r ỡ ổ
ừ t
rữớ ủ t õ t số ở rữớ
ủ t r ợ t số ở tữớ ữủ t
t q ụ t ữủ ởt ợ t r t

t r số ở t õ

t (a, b, c) = (3, 4, 5)

3b
b
b
b
, s a = + d, s b = , s c = d
2
2
2
2
3 (b2 4d2 ) t b2 4d2 = 3m2 ợ m N õ

ự õ s =

b
4
2
õ b 3m2 (mod4) ữ b = 2e, m = 2n ợ e, n N õ tọ
S
S
= 3n rb =
= 3n
(e, n) = 1 ứ õ s r S = 3en rb =
sb
sb
S
3en
S
3en
ữỡ tỹ ra =

=
; rc =
=
sa c+d
sc cd
2
2
sỷ ra , rc N õ c d = 3n2

S =

ra + rc =

2e2
6e2 n
=
N
c2 d2
n

tự s r n {1, 2} n = 1 t 3 = 3n2 = (e + d)(e d)
e = 2, d = 1 tự (a, b, c) = (3, 4, 5) n = 2 t 12 = (e + d)(e d)
(e, d) = 1 ổ t õ (e + d, e d) = (6, 2) ỏ
(e + d, e d) = (12, 1) ổ t d N
ồ ừ t
ợ t r ỡ ổ t Ptr õ t õ tt
r, ra , rb , rc N (a, b, c) = (7, 15, 20) t (S, r, ra , rb, rc ) =


✶✺

2S
= 12 ♥➯♥ ♥â ♣❤➙♥
a
t➼❝❤ ✤÷ñ❝✳ ❚❛ s➩ ❝❤➾ r❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❍● ❝â ✈æ sè ♥❣❤✐➺♠ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝✿
(42, 2, 3, 7, 42)✳ ❈❤ó þ r➡♥❣ ✈î✐ t❛♠ ❣✐→❝ ♥➔②✱ ha =

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✹✳ ✭ ①❡♠ ❬✶❪✱ ❬✸❪✮ ❈â ♠ët ❤å ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✭❦❤æ♥❣ ❧➔

t❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡✮ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❍●✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱î✐ n > 1✱ ❧➜②

a = 4n2
b = 4n3 − 2n2 + 1 = (2n + 1) 2n2 − 2n + 1 .
c = 4n3 + 2n2 − 1 = (2n − 1) 2n2 + 2n + 1

❱➻ b ❧➫ ✈➔ a + b − c = 2 ♥➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ❝ì ❜↔♥ ✈î✐ ♠å✐ n > 1✳ ❈ô♥❣
✈➟②✱ tø c + 2 = a + b t❛ ❝â
c2 − a2 − b2 = 2(ab − 2c − 2) = 2(ab − 2a − 2b + 2) ≥ 0

❉➜✉ ❜➡♥❣ ①↔② r❛ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ n = 1✳ ❉♦ ✤â ✈î✐ ♠å✐ n > 1 ❝→❝ t❛♠
❣✐→❝ ❧➔ ♥❤å♥ ♥❤÷ ✈➟② ❦❤æ♥❣ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡✳ ❱î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ✤â✱
P = 4n3 + 2n2 = 2n2 (2n + 1)
P − a = 4n3 − 2n2 = 2n2 (2n − 1)
P − b = 4n2 − 1 = (2n − 1)(2n + 1)
P − c = 4n3 + 2n2 − 4n3 + 2n2 − 1 = 1
S = 2n2 (2n − 1)(2n + 1)
S
r = = 2n − 1
P
S

ra =
= 2n + 1
P −b
S
rb =
= 2n + 1
P −b
S
rc =
= 2n2 (2n − 1)(2n + 1) = S
P −c

▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✺✳ ❈â ♠ët ❤å ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ✭❦❤æ♥❣ ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ P②t❤❛❣♦r❡✮
❝ì ❜↔♥ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❍●✳


✶✻
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱î✐ n > 1✱ ❣✐↔ sû

a = 25n2 + 5n − 5 = 5 5n2 + n − 1
b = 25n3 + 20n2 − 7n + 3 = (5n + 3) 5n2 − 4n + 1
c = 25n3 + 20n2 − 2n − 4 = (5n − 2) 5n2 + 6n + 2

❱➻ a ❧➫ ✈➔ a + b − c = 2 ♥➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❧➔ ❝ì ❜↔♥ ✈î✐ ♠å✐ n > 1✳ ❈ô♥❣
✈➟②✱ tø c + 2 = a + b t❛ ❝â c2 − a2 − b2 > 0✳ ❍ì♥ ♥ú❛✳
P = 25n3 + 20n2 − 2n − 3 = (5n + 3) 5n2 + n − 1
P − a = 25n3 − 5n2 − 7n + 2 = (5n − 2) 5n2 + n − 1

❉➵ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷ñ❝✿
ha =

2S
2(5n − 2)(5n + 3)
=
∈
/N
a
5

2(5n − 2) 5n2 + n − 1
2S
2
hb =
=
=
10n
+
6
−
∈
/N
b
5n2 − 4n + 1
5n2 − 4n + 1
2(5n + 3) 5n2 + n − 1
2S
2
hc =

=
=
10n
−
4
+
∈
/N
c
5n2 + 6n + 2
5n2 + 6n + 2
♥➯♥ t❛♠ ❣✐→❝ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝✳
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➛✉ t✐➯♥✱ n = 2 t❤➻ (a, b, c) = (105, 169, 172)✳ ❙✉② r❛✿
S = 2184, ha = 15, r = 8, ra = 13, rb = 21, rc = 2184
❑➳t ❧✉➟♥✿ ❚❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ ❤❛✐ ❤å ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❍●✿ ❝â ✈æ sè t❛♠
❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❝ì ❜↔♥ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ ✈➔ ✈æ sè t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❝ì ❜↔♥ ❦❤æ♥❣
♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❝ò♥❣ ✸ ❜→♥ ❦➼♥❤
✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ ❧➔ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥✳

▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ♠ð✿

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❍● ❝â t❤➸ ❝â ✈æ sè ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ♥❤å♥
❤❛② ❦❤æ♥❣❄ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❇➔✐ t♦→♥ ✶✳✷✳ ❚❤✉➟t t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❍●❄✳
• ▲÷î✐ ♥❣✉②➯♥ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍●✳
●å✐ I, Ia , Ib , Ic ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ t➙♠ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✱ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣
t✐➳♣ tr♦♥❣ ❝→❝ ❣â❝ ❆✱❇✱❈✳ ❉ü❛ ✈➔♦ ❦➳t q✉↔ ✭✶✳✹✮ ✈➔ ✭✶✳✺✮ t❛ t❤û ①→❝ ✤à♥❤
tå❛ ✤ë ❝→❝ t➙♠ ❝õ❛ ✹ ✤÷í♥❣ trá♥✳

✶✼
❛✮ ✣è✐ ✈î✐ ❤å ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ t❤❡♦ ❦➳t q✉↔ ✭✶✳✹✮✿
a = 4n2 , b = (2n + 1) 2n2 − 2n + 1 , c = (2n − 1) 2n2 + 2n + 1 .

❚❛ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ tå❛ ✤ë
C = (0, 0), A = (−2n(n − 1)(2n + 1), (2n − 1)(2n + 1); B = 4n2 , 0 ).

❑❤✐ ✤â tå❛ ✤ë ❝→❝ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥✿
I = (s − c, r) = (1, 2n − 1)
Ia = (s − b, ra ) = ((2n − 1)(2n + 1), 2n + 1)
Ib = (a − s, rb ) = −2n2 (2n − 1), 2n2
Ic = (s, r) = 2n2 (2n + 1), 2n2 (2n − 1)(2n + 1)

❘ã r➔♥❣ ✹ t➙♠ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤➲✉ ❧➔ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♥❣✉②➯♥✳ ●✐→ trà ✤➛✉
n = 2 ❝❤♦ t❛ t❛♠ ❣✐→❝ ❆❇❈ ✈➔ ❝→❝ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥✿
A = (−20, 15), B(16, 0), C(0, 0)
I = (1, 3), Ia = (15, 5), Ib = (−24, 8), Ic = (40, 120)

❜✮ ❍å ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❍❡r♦♥ ❦❤æ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤÷ñ❝ t❤❡♦ ✭✶✳✺✮✿
a = 5 5n2 + n − 1
b = (5n + 3) 5n2 − 4n + 1
c = (5n − 2) 5n2 + 6n + 2

❚❛ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ❣è❝ tå❛ ✤ë✿ C = (0, 0) ✈➔
B = (−4(5n2 + n − 1), −3(5n2 + n − 1) = (−4rb , −3rb )
A = (2n(2n − 1)(5n + 3), (n − 1)(3n − 1)(5n + 3)
= (2n(2n − 1)ra , (n − 1)(3n − 1)ra

❑❤✐ ✤â t➼♥❤ ✤÷ñ❝ tå❛ ✤ë ❝→❝ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥✿

aA + bB + cC
= (3n − 1, 4n + 1)
I=
a+b+c
−aA + bB + cC
Ia =
= (−4n + 1)ra , (−3n + 2)ra
−a + b + c
aA − bB + cC
Ib =
= ((4n − 1)rb , (3n − 2)rb )
a−b+c
aA + bB − cC
Ic =
= ((3n − 2)ra rb , (−4n + 1)ra rb )
a+b−c