Thi tinh hsg toan 9 kha hay

đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh bắc ninh
Thời gian : 150 phút
Năm học : 2002-2003
Bài 1 : ( 2.5 diểm )
1) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn :
x
2
+ 3
y
= 3026
2) Tìm các số nguyên x , y thoả mãn :
1989
=+
yx
Bài 2 : ( 3.5 điểm)
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt đều lớn hơn m :
x
2
+ x + m = 0
2) Tìm các giá trị của a để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
4x |x| + (a-7)x + 1 = 0
3) Tìm x thoả mãn :
xxxxx 21081087
22
=+++
Bài 3 : ( 3 điểm )
Cho (O,R) và dây cung AB cố định trơng cung 120
0
. Lấy C thay đổi trên cung
lớn AB ( C không trùng với A và B ) . M trên cung nhỏ AB ( M

A, B ) .
Hạ ME, MF thứ tự vuông góc với AC và BC
1) Cho M cố định , hãy chứng minh : EF luôn đi qua điểm cố định khi C thay đổi
2) Cho M cố định , hãy chứng minh giá trị
MF
BC
ME
AC
+
không thay đổi khi thay đổi
3) Khi M thay đổi , hạ MK

AB . Hãy xác định vị trí của M sao cho

MK
AB
MF
BC
ME
AC
++
Đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4 : ( 1 điểm )
Cho tam giác ABC đều . Lấy M ngoài tam giác sao cho : MA =
2
, MB =2


AMC = 15
0

. ( Các tia CM nằm giữa CA và CB ) .
Tính độ dài CM và số đo

BMC ?
Đề thi học sinh giỏi Toán 9 tỉnh bắc ninh
Năm học : 2004 - 2005
Ngày thi : 02/04/2005
Bài 1(2 điểm)
Tìm các giá trị nguyên x,y thoả mãn
x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
+ x + 7 = y
2
Bài 2(2,5 điểm)
1) Tìm x thoả mãn: (2x + 3)
2
2

x
= 2x
2
+ 3x - 4
2)Giải hệ phơng trình :

=+++
=+++
22242224
22
208
18
yxxyxyyx
xyyxyxyx
Bài 3(1,5 điểm)
Tìm GTNN của : P =
xyzt
yxzyx ))((
+++
với x, y, z, t > 0
và x + y + z + t = 2
Bài 4(2,5 điểm)
Cho tam giác OMN đều ,cạnh a không đổi, đỉnh 0 cố định nằm trên đờng
thẳng xy cố định (M,N nằm trên cùng 1 nửa mp xy và M,N không nằm trên
x, y Qua M kẻ đờng thẳng // ON đờng thẳng này cắt xy tại E
Qua N kẻ đờng thẳng // OM cắt xy tại F
a) Chứng minh rằng:
MNE

và

NFM đồng dạng với nhau
b) Gọi I là giao điểm của EN và FM xác định vị trí của MN để

INM có
chu vi lớn nhất
Bài 5(1,5 điểm)
Cho

ABC có góc C =120
0
, góc A =15 kéo dài BC lấy CD =2CB
Tính số đo góc BDA=?
`
Đề thi học sinh giỏi Toán 9 Quận : Phú Nhuận
Thành phố : HCM
Năm học : 2004 - 2005
Thời gian : 90 phút
Bài 1 : ( 2 điểm )
Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phơng
x
4
- x
2
+ 2x + 2
Bài 2 : ( 2 điểm)
Giải phơng trình và hẹ phơng trình sau :
a.
42147
2
+=++
xxx
b.

=+
=+
35
30
yyxx
xyyx
Bài 3 : ( 2 điểm)
Cho 3 số dơng a, b, c thoả mãn : a
2
+ b
2
+ c
2
=
3
5
Chứng minh rằng :
abccba
1111
<++
Bài 4 : ( 2 điểm)
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB . Trên đờng thẳng AB lấy điểm C nằm ngoài
đoạn AB .Từ C kẻ 2 tiếp tuyến CE, CF với (O) Gọi I = AB EF , qua C kẻ 1 cát
tuyến bất kì cắt (O) tại M và N ( M nằm giữa C và N ) . Chứng minh :
a. 4 điểm O, I, M, N nằm trên 1 đờng tròn
b. Góc AIM = Góc BIN

Bài 5 : ( 2 điểm)
Cho (O) đờng kính BC và điểm A (O) . Kẻ đờng cao AH của tam giác ABC .
Gọi I , K theo thứ tự là giao điểm của các đờng phân giác của tam giác AHB ,
AHC . Đờng thẳng IK cắt AB, AC tại M, N .
Chứng minh rằng :
ABCAMN
SS
2
1

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 tỉnh hải D NGƯƠ
Năm học : 2003 - 2004
Thời gian : 150 phút
Bài 1 : ( 2,5 điểm)
Giải phơng trình :
| xy - x - y + a | + | x
2
y
2
+ x
2
y + xy
2
+ xy - 4b | = 0
a =
)6386357)(6386357(
++++
b =
22322321217(
+++

Bài 2 : ( 2 điểm)
Hai phơng trình : x
2
+ (a - 1).x + 1 = 0
x
2
+ (b + 1).x + c = 0
Có nghiệm chung , đồng thời 2 phơng trình : x
2
+ x + a - 1 = 0
x
2
+ c.x + b + 1 = 0
cũng có nghiệm chung . Tính giá trị của biểu thức :
cb
a
+
2004
Bài 3 : ( 3 điểm)
Cho 2 đờng tròn tâm
1
O
và
2
O
cắt nhau tại a, B . Đờng thẳng
1
O
A cắt (
2

O
)
tại D , đờng thẳng
2
O
A cắt (
1
O
) tại C . Qua A kẻ đờng thẳng // CD tại M và cắt (
1
O
)
tại M và cắt (
2
O
) tại N
Chứng minh rằng :
1) 5 điểm B, C,
1
O
,
2
O
nằm trên một đờng tròn
2) BC + BD = MN
Bài 4 : ( 2 điểm)
Tìm các số thực x và y thoả mãn : x
2
+ y
2

= 3
và x + y là một số nguyên
Đề thi học sinh giỏi Toán 9 tp. hải phòng
Năm học : 2004 - 2005
Ngày thi : 02/04/2005
Bài 1 : ( 2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức : P =











+
y
y
x
x
yx
yx
xy
yx
2
2
222

.
)(
b) Giải phơng trình :
2
22
2
22
2
=


+
++
+
x
x
x
x
Bài 2 : ( 3 điểm)
a) Số đo 2 cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông
là nghiệm của phơng trình bậc II : ( m - 2 ).x
2
- 2 ( m - 1).x + m = 0
Hãy xác định giá trị của m để độ dài đờng cao ứng với cạnh huyền
của tam giác là
5
2

b) Vẽ các đờng thẳng : y = 2 ; y = 17 ; x = 6 ; x = 42 trên cùng một hệ trục toạ độ
CMR : Ttong hình chữ nhật giới hạn bởi các đờng thẳng trên không có điểm nào

nguyên thuộc đờng thẳng : 3x + 5y = 7
(Điểm M( x,y) đợc gọi là điểm nguyên nếu x, y cùng là số nguyên )
Bài 3 : ( 2 điểm)
Cho ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và AB cắt CD tại F
CMR : Điều kiện cần và đủ để Tứ giác ABCD nội tiếp đợc trong đờng tròn là :
EA.ED + FA. FB = EF
2

Bài 4 : ( 2,5 điểm)
Cho
ABC

cân ở A ,
BCAB .
3
2
=
, Đờng AE đờng tròn tâm O nội tiếp
ABC

tiếp xúc với AC tại F
a. CMR : BF là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp
ECF

b. Gọi M là giao điểm của BF với (O)
CMR : BMOC là tứ giác nội tiếp