Đề HSG toán 9 NH 07-08

PHNG GIẠO DỦC TP. HÚ

K THI CHN HC SINH GII THCS NÀM HC 2007 - 2008
MÄN TOẠN - LÅÏP 9
Thåìi gian: 120 phụt (khäng kãø thåìi gian giao âãư)
Bi 1 (2 âiãøm):
Cho biãøu thỉïc
1 3 2
A = - +
x +1 x x +1 x - x +1
a) Rụt gn biãøu thỉïc A
b) Tçm giạ trë nh nháút v giạ trë låïn nháút ca biãøu thỉïc A
Bi 2 (2 âiãøm):
Cho hm säú y = - 2x + 2 cọ âäư thë (D) v hm säú
-4
y =
x
cọ âäư
thë (H)
a) Tçm toả âäü giao âiãøm ca (D) v (H)
b) Tçm trãn (H) âiãøm A(x
A
, y
A
) v trãn (D) âiãøm B(x
B
, y
B
) tho
mn cạc âiãưu kiãûn: x
A

+ x
B
= 0 v 2y
A
- y
B
= 15
Bi 3 (2 âiãøm):
Tçm cạc càûp säú ngun (x , y) sao cho:
2
1
2 2 1
2
x x y x− − < < − −
Bi 4 (4 âiãøm):
Cho âỉåìng trn (O , R) v âiãøm A våïi OA = 2R. Tỉì A v 2
tiãúp tuún AE v AF âãún (O). (E, F l 2 tiãúp âiãøm). Âỉåìng thàóng
OA càõt (O) tải C v D (O nàòm giỉỵa A v C)
a) Tênh diãûn têch tỉï giạc AECF theo R.
b) Tỉì O v âỉåìng thàóng vng gọc våïi OE càõt AF tải M.
Tênh t säú diãûn têch hai tam giạc OAM v OFM.
c) Âỉåìng thàóng k tỉì D vng gọc våïi OE càõt EC tải Q. Chỉïng
minh cạc âỉåìng thàóng AC, EF v QM âäưng qui.
HỈÅÏNG DÁÙN CHÁÚM ÂÃƯ THI HC SINH GII NÀM 2007-
2008
Män: Toạn - Låïp 9
Bi 1(2 âiãøm)
a) (0,75 â)
Âiãưu kiãûn xạc âënh: x
≥

0 (0,25 â)
x - x +1-3+ 2 x + 2 x + x
A = =
x x +1 x x +1
(0,25 õ)
=
( )
( ) ( )
x x +1
x
=
x - x +1
x +1 x - x +1
(0,25 õ)
b) (1,25 õ)
Vồùi x

0 thỗ




2
x
A = 0
1 3
x - +
2 4
(0,5 õ)
Do õoù A

min
= 0 khi x = 0
( )




2
2 2
x -1
x - x + x -1
A -1= = - 0
1 3 1 3
x + + x - +
2 4 2 4
(0,75 õ)
Suy ra
1A
. Do où A
max
= 1 khi x = 1
Baỡi 2 (2 õióứm)
a) (0,75 õ)
Hoaỡnh õọỹ giao õióứm cuớa (D) vaỡ (H) laỡ nghióỷm cuớa phổồng trỗnh: -2x
+ 2 =
-4
x
hay -2x
2
+ 2x + 4 = 0 (x

0) (0,25 õ)
x
2
- x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0 (0,25 õ)
x = -1 ; x = 2
Vồùi x = -1

y = 4 ; vồùi x = 2

y = -2
Vỏỷy toaỷ õọỹ giao õióứm cuớa (D) vaỡ (H) laỡ (-1 ; 4) vaỡ (2 ; -2)(0,25 õ)
b) (1,25 õ)
A (x
A
, y
A
)

(H) nón y
A
=
A
-4
x
(1) (0,25 õ)
B (x
B
, y

B
)

(D) nón y
B
= -2x
B
+ 2 (2)
Do x
A
+ x
B
= 0

x
B
= -x
A
vaỡ 2y
A
- y
B
= 15

y
B
= 2y
A
-15 (0,25 õ)
Thay vaỡo (2)

2y
A
- 15 = 2x
A
+ 2 hay y
A
= x
A
+
17
2
(3)
Tổỡ (1) vaỡ (3)

x
A
+
17
2
=
A
-4
x
2x
A
2
+ 17x
A
+ 8 = 0 (0,25 õ)

(2x
A
+ 1) (x
A
+ 8) = 0
x
A
=
1
2

; x
A
= -8
Vồùi x
A
=
1
2



y
A
= 8 ; x
B
=
1
2

y
B
= 1 (0,25 õ)
Vồùi x
A
= -8

y
A
=
1
2
; x
B
= 8

y
B
= -14
Vỏỷy A (
1
2

; 8) vaỡ B (
1
2
; 1) (0,25 õ)
hoỷc A (-8 ;
1

2
) vaỡ B (8 ; -14)
Veợ hỗnh chờnh xaùc (0,25 õ)

I
M
Q
O
C
D
G
E
F

Baỡi 3 (2 õióứm):
Tổỡ
2
1
x - 2x - < y < 2- x -1
2
Suy ra

1 1
y + > 0 y > -
2 2
vaỡ
y - 2 < 0 y < 2
(0,75 õ)
Do y nguyón nón y = 0 ; 1
Vồùi y = 0 ta coù 0 < 2 -

x -1 x -1 < 2 -2 < x -1< 2

-1 < x < 3 Do õoù x = 0 ; 1 ; 2 (vỗ x nguyón)
x = 0

1 1
0 2.0
2 2
=
< 0 (nhỏỷn) (0,5 õ)
x = 1


2
1 1
1 2.1 0
2 2
= >
(loaỷi)
x = 2


2
1 1
2 2.2 0
2 2
= <
(nhỏỷn)
Vồùi y = 1 ta coù
1< 2- x -1 x -1 <1 -1< x -1<1

0 < x < 2 Do õoù x = 1 (0,5 õ)
x = 1


2
1 1
1 1.2 1
2 2
= <
(nhỏỷn)
Vỏỷy caùc cỷp sọỳ phaới tỗm laỡ (0 ; 0); (2 ; 0) vaỡ (1 , 1) (0,25 õ)
Baỡi 4 (4 õióứm)
a) (1,25 õ)
Ta coù AE = AF (t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ OE = OF = R nón OA laỡ õổồỡng trung
trổỷc cuớa õoaỷn thúng EF. Goỹi I laỡ giao õióứm cuớa AC vaỡ EF taỷi I thỗ OA
EF vaỡ IE = IF
OEA coù
ã
OEA
= 90
0
(t/c tióỳp tuyóỳn) vaỡ EI OA
nón OE
2
= OI . OA

2 2
OE R R
ịOI = = =

OA 2R 2
OIE (
ã
OIE
= 90
0
) nón EI
2
= OE
2
- OI
2
= R
2
-
2 2
R 3R 3.R
= ị EI =
4 4 2
EF = 2EI =
3
.R vaỡ AC = AO + OC = 2R + R = 3R
S
AECF
=
1
2
. AC . EF =
1
2

. 3R .
3
. R =
2
3 3
R
2
b) (1,25 õ)
Ta coù OM // AE ( OE) nón
ã
ã
MOA = OAE
maỡ
ã
ã
OAE = OAM
Do õoù
ã
ã
MOA = OAM
Suy ra OMA cỏn taỷi M

MO = MA
OAM
OFM
S
AM OM
= =
S FM FM
=

ã
1
cos OMF
maỡ
ã
ã
ã
OMF = EAF = 2EAO
sin
ã
EAO
=
ã
EAO
0
OE R 1
= = ị = 30
OA 2R 2
Do õoù
ã
OMF
= 60
0
nón
OAM
OFM
S
S
=
0

1
cos 60
=
1
2
1
2
=
c) (1,25 õ)
- Chổùng minh DEQ = OFM
Suy ra: QD = OM
- Chổùng minh QDMO laỡ hỗnh bỗnh haỡnh
Suy ra QM vaỡ DO giao nhau taỷi trung õióứm cuớa mọựi õổồỡng
Maỡ I laỡ trung õióứm cuớa OD (OI = ID =
R
2
)
nón I laỡ trung õióứm cuớa QM
Vỏỷy AC, EF vaỡ QM õọửng quy taỷi I.