toan to hop nhi thuc niu ton

CHƯƠNG ĐẠI SỐ TỔ HP
I/ TÓM TẮT GIÁO KHOA
1. Quy tắc đếm: Nếu có a cách chọn hành động A và có b cách chọn hành động
B, thì có: (a+b) cách chọn hành động A hoặc B
(a.b) cách chọn hành động A và B
2. Giai thừa:
Đònh nghóa: 0! =1; n!=1.2.3…n
Tính chất: n!=n(n-1)!

n)n)...(k)(k(
k!
n!
121
−++=
(k < n)
3. Hoán vò :
- Đònh nghóa : Cho tập hợp A gồm n phân tử ( n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự n phân
tử của A được gọi là 1 hoán vò của n phân tử đó.
- Số hoán vò của n phân tử là : P
n
= n!.
4. Chỉnh hợp.
- Đònh nghóa : Cho 1 ≤ k ≤ n và một tập hợp gồm n phần tử. Mỗi cách sắp thứ tự
k phần tử (từ n phần tử của A) được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của
A.
- Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là :
)kn)...(n)(n(n
)!kn(
!n
A
k

n
121
+−−−=
−
=

5. Tổ hợp:
- Đònh nghóa : Cho 0 ≤ k ≤ n và một tập hợp A gồm n phân tử. Một tổ hợp chập k
của n phần tử là 1 tập con gồm k phần tử của n phần tử đó.
- Số tổ hợp chập k của n phần tử là :
)!kn(!k
!n
C
k
n
−
=
- Tính chất :
kn
n
n
nn
C;CC
−
==
1
0
(0 ≤ k ≤ n)
k
n

k
n
k
n
CCC
=+
−
−
−
1
1
1
(0 ≤ k ≤ n)
6. Nhò thức Newton :
an
n
n
n
i
n
n
n
a
n
n
n
n
n
bCabC...baCaCbaC)ba(
++++==+

−
=
−−−
∑
1
0
1110111
Đặc biệt :
nn
nnnn
n
xC...xCxCC)x(
++++=+
2210
1
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Vấn đề 1 : Vận dụng quy tắc đếm
Thí dụ 1 : Có 5 con đường đi từ TPHCM đến Đà Lạt và 3 con đường đi từ Đà Lạt
đến Nha Trang. Một đoàn du lòch từ TPHCM đến Nha Trang qua ngã Đà Lạt.
Hỏi có bao nhiêu cách đi ?
Giải :
Đi từ TPHCM đến Đà Lạt, đoàn du lòch có 5 cách đi.
Đi từ Đà Lạt đến Nha Trang, đoàn du lòch có 3 cách đi.
Vậy đoàn du lòch đi từ TPHCM đến Nha Trang qua ngã Đà Lạt sẽ có 5 x 3
= 15 cách đi.
Thí dụ 2 : Cho 4 chữ số 1, 3, 5, 7
1. Có bao nhiêu chữ số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau tạo thành từ 4
chữ số trên.
2. Trong các số tự nhiện nói trên có bao nhiêu số bắt đầu bởi chữ số 3 ?
3. Trong các số tự nhiên nói trên có bao nhiêu số bắt đầu bởi 15 ?

Giải :
1. Các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau đã cho, bằng số hoán vò của 4
phần tử : P
4
= 4! = 24
2. Mỗi hoán vò của 3 chữ số : 1, 5, 7 ghép với chữ số 3 đứng đầu sẽ cho
một số tự nhiên cần tìm. Số các số như thế là : P
3
= 3! = 6
3. Tươngtự số các số tự nhiên bắt đầu bởi 15 là : P
2
= 2
Thí dụ 3 : Cho tập hợp A = (0, 1, 3, 6, 9)
1. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lấy từ tập
hợp A ?
2. Trong các số trên, có bao nhiêu chữ số chẵn ?
3. Trong các số trên, có bao nhiêu số chia hết cho 3 ?
Giải :
1. Đặt số phải tìm là : x = abcd.
Có 4 cách chọn a từ tập A\{0}.
Vì : bcd là 1 chỉnh hợp chập 3 lấy từ A\{a}, có
24
3
4
=A
cách chọn. Vậy có tất
cả : 4 x 24 = 96 số x thỏa đề bài.
2. Với x là số chẵn
- Nếu d = 0,abc là 1 chỉnh hợp chập 3 của tập A\{0} : có 24 cách chọn. Vậy số
các số x tận cùng bằng 0 là : 24

- Nếu d = 6,
- Có 3 cách chọn a từ tập A\{0, 6}.
- bc là chỉnh hợp chập 2 của tập A\{a; 6} : có 6 cách chọn.
Vậy số các số x tận cùng bằng 6 là 3 x 6 = 18
Vậy các số x chẵn tìm được là : 24 + 18 = 42.
3. Vì các số 0, 3, 6, 9 là bội của 3. Nên các số x là bội số của 3 thì không chứa số
1. Lập luận tương tự câu 1, ta có 18 số.
Thí dụ 4 : Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ, chúng chỉ khác nhau về
màu. Lấy ra hai viên bi. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra được 2 viên bi xanh ? 2
viên bi đỏ ? 2 viên bi khác màu nhau.
Giải
Lấy ra 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh, có
10
2
3
=
C
cách.
Lấy ra 2 viên bi đỏ từ 3 vi6n bi đỏ, có :
3
2
3
=
C
cách
Lấy ra 2 viên bi khác màu nhau, có
15
1
3
1

5
=
C.C
cách.
BÀI TẬP
A. QUY TẮC ĐẾM.
1. a Một số quan đểm 4 cổng ra vào. Hỏi 1 người khách có thể chọn bao
nhiêu cách vào ra cơ quan đó.
b. Có thể chọn bao nhiêu cách vào ra cơ quan đó bằng 2 cổng khác nhau.
2. Một cô gái có 8 áo sơ mi và 6 quần tây.
a. Hỏi cô gái có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo để mặc ?
b. Cô gái có 3 đôi dép, hỏi cô gái có thể “diện” bằng bao nhiêu cách
thông qua áo quần để mặc và dép để mang ?
3. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu.
a. Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau.
b. số chẵn sồm 4 chữ số bất kỳ ?
4. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số đầu
tiên là số lẻ.
B. HOÁN VỊ, CHỈNH HP, TỔ HP.
Bài 1 : Xếp 3 quyển sách toán, 4 quyển lý, 2 quyển hóa, 5 quyển sinh vào kệ
theo từng môn (14 quyền này khác nhau) hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ?
Bài 2 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và khác 0, biết rằng
tổng 3 chữ số này bằng 8.
Bài 3 : Trong một phòng họp có 2 bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp
chỗ cho 10 họ sinh, gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ, biết :
a. Tất cả học sinh ngồi tùy ý.
b. Tất cả học sinh nam ngồi một bàn và học sinh nữ ngồi một bàn.
Bài 4 : Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc
ghế dài sao cho :
a. Bạn C ngồi chính giữa ?

b. Hai bạn A, E ngồi hai đầu ghế.
Bài 5 : Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ). Có bao nhiều số tự nhiên gồm 6 cữ số
khác nhau lấy từ X, trong các trường hợp.
a. Số đó bắt đầu là số 5 b. Số đó không bắt đầu là 1
c. Số đó bắt đầu bằng 56 d. Số đó không bắt đầu bằng 456
Bài 6 : Thường vụ đoàn có 15 người. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban chấp
hành gồm 1 bí thư, 1 phó bí thư và 1 ủy viên ?
Bài 7 : Một cuộc đua ngựa có 10 đường chạy. Hỏi có thể nhiều nhất bao nhiêu
cặp nhất – nhì xãy ra trong một cuộc đua đó.
Bài 8 : Cho tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Có thể lập được bao nhiêu số
a. Gồm 3 chữ số đều khác nhau ?
b. Gồm 3 chữ số không nhất thiết khác nhau ?
c. Trong các số ở câu a, có bao nhiêu số chẵn ? bao nhiêu số lẻ ?
Bài 9 : Với các chữ số : 1, 2, 3, 4, 5 . Có thể lập được bao nhiều số lẻ
a. Là số chẵn và có ba chữ số khác nhau.
b. Gồm 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 345 ?
bài 10 : Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số
khác nhau.
a. Trong đó phải có chữ số 5 ?
b. Số đó phải là số chẵn.
Bài 11 : Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số
khác nhau sao cho :
a. Số tạo thành là số chẵn ?
b. Số tạo thành không có chữ số 7 ?
c. Số tạo thành nhỏ hơn 278 ?
Bài 12 : Trong một kỳ thi vấn đáp, một học sinh phải trả lời 6 trong 10 câu hỏi.
Có bao nhiêu cách chọn, nếu học sinh đó :
a. Chọn câu nào cũng được ?
b. Phải chọn 3 câu đầu ?
c. Phải chọn hai trong bốn câu đầu ?

Bài 13 : Tìm số đường chéo của một đa giác lồi sau :
a. Ngũ giác b. Lục giác
c. Đa giác có 12 cạnh d. Đa giác có n cạnh (n .3)
e. Đa giác lồi nào có số cạnh bằng với số đường chéo ?
Bài 14 : Một lớp có 30 nam và 18 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một bạn cán bộ
lớp gồm 3 người, trong đó :
a. Số nam, nữ tùy ý b. Phải có 1 nam và 2 nữ .
c. Phải có 2 nam và 1 nữ d. Có ít nhất 1 nam
Bài 15 : Một bình đựng 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi, tìm số khả
năng lấy được.
a. 3 bi đỏ b. 3 bi xanh c. có ít nhất 2 bi xanh
Bài 16 : Từ 15 bông hồng và 12 bông cúc. Có bao nhiêu cách chọn 5 bông để có
ít nhất:
a. hai bông hồng b. hai bông hồng và hai bông cúc
c. Một hồng và một cúc
Bài 17: Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó, chữ
số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước?
Bài 18: Có 3 đường thẳng song song, cắt 4 đường thẳng song song. Hỏi có bao
nhiêu hình bình hành được tạo thành?
C) BÀI TẬP LÀM THÊM:
Bài 1. Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số,
trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Bài 2. Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy ghế gồm 6 ghế. Người
ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn
nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong các trường hợp sau:
a) Bất cứ học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác
trường nhau?
b) Bất cứ học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường?
Bài 3: Xét các số gồm 9 chữ so,á trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại
2,3,4,5. hỏi có bao nhiêu số nư thế, nếu:

a) Năm chữ số 1 được xếp cạnh nhau?
b) Các chữ số được xếp tùy ý?
Bài 4: Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng ba chữ
số lẻ và ba chữ số chẵn? (chữ số đầu tiên phải khác 0).
Vấn đề 2: Các bài toán liên quan đến A
K
n ;
C
k
n ;
P
n
.
Thí dụ 1: Giải phương trình:
C
1
x +
C
2
x
+ C
3
x =
2
7x
(1)
Giải
Điều kiện: x ∈N và x≥3
(1) ⇔
)!1(!1

!
−
x
x
+
)!2(!2
!
−
x
x
+
)!3(!3
!
−
x
x
=
2
7x
⇔ x+
2
)1( xx
−
+
6
)1)(2( xxx
−−
-
2
7x

=0
⇔ (x-2)(x-1)+ 3(x-1) -15 =0
⇔ x
2
=16 ⇔ x=4
Thí dụ 2: Chứng minh rằng: A
k
n =
A
k
n-1
+k.A
k-1
n-1
(1<k <n).
Giải
A
k
n-1 +
k. .A
k-1
n-1
=
)!1(
)!1(
−−
−
kn
n
+k

)!(
)!1(
kn
n
−
−
=
)!(
)()!1(
kn
kknn
−
+−−
=
)!(
!
kn
n
−
=A
k
n
BÀI TẬP:
Bài 1. Giải phương trình:
a) A
3
n
20n b) A
2
n

–A
1
n
=3 c) 3.A
2
n
+42 = A
2
2n
d) A
3
n
+ 3.A
2
n =
2
1
P
n+1
e) P
n+3
=720. A
5
n
.P
n-5
f) A
2
x
.C

x-1
x
=48 g)
23
24
43
1
4
=
−
−
+
x
xx
x
CA
A