Nhị thức newton

Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm
QUY TẮC CỘNG
Ví dụ 1: Trong một cái hộp đựng 10 bi màu vàng, 5 viên bi màu đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một viên bi bất
kỳ trong hộp đó?
Ví dụ 2: Một học sinh có thể chọn bài thực hành máy tính từ một trong ba danh sách tương ứng có 20, 30, 50 bài
thực hành (các bài trong ba danh sanh này không trùng nhau). Hỏi học sinh đó có bao nhiêu cách chọn bài thực
hành?
Ví dụ 3: Một thư viện có 15 đầu sách toán, 14 đầu sách lý, 20 đầu sách hoá. Hỏi một học sinh có bao nhiêu cách
mượn một quyển sách trong thư viện?
Ví dụ 4: Một lớp học có 24 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một học sinh
làm lớp trưởng thì có bao nhiêu cách, biết rằng các học sinh đều có khả năng làm lớp trưởng?
Ví dụ 5. Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?
NGUYÊN LÍ BÙ TRỪ
Các quy tắc: a. Với hai tập hữu hạn A và B bất kì, ta có: N(A∪B) = N(A) + N(B) – N(A∩B)
b. Nếu X là tập hữu hạn bất kì và A là tập con của X thì: N(X\A) = N(X) – N(A).
Bài 1. Lớp 11A5 có 25 học sinh giỏi toán, 13 học sinh giỏi văn và 8 học sinh giỏi cả toán và văn. Hỏi trong lớp
11A5 có bao nhiêu học sinh, nếu mỗi sinh viên hoặc giỏi toán hoặc giỏi văn hoặc giỏi cả hai môn?
Bài 2. Bao nhiêu số nguyên không lớn hơn 1000 chia hết cho 7 và 11?
Bài 3. Giả sử khối lớp 10 có 1807 học sinh. Trong số này có 453 học sinh chọn học thêm môn toán, 567 chọn học
thêm môn văn và 299 học cả hai môn toán và văn. Có bao nhiêu học sinh không theo học toán cũng không học
văn?
QUY TẮC NHÂN
Ví dụ 1. Từ Thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ Thành phố B đến thành phố C có 4 con đường.
Hỏi có bao nhiêu cách đi:
a) Từ Thành phố A đến thành phố C, biết rằng để đến C thì phải qua B.
b) Từ Thành phố A đến thành phố C và quay ngược lại Thành phố A, biết rằng để đến C thì phải qua B.
Ví dụ 2. Một phòng đọc của một trường THPT có 3 đầu sách Toán, 2 đầu sách báo, 6 đầu sách Lý. Hỏi một học
sinh có bao nhiêu cách chọn ra một bộ gồm: 1 quyển toán, 1 quyển Lý, 1 quyển báo?
Ví dụ 3. Cho tập: E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Hỏi:
a) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau?c) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số và 3 số đó đều lẻ và khác nhau?

Ví dụ 4. Cho các số: 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có:
a) Một chữ số b) Hai số c) Hai số khác nhau d) Không quá 3 chữ số.
HOÁN VỊ
Bài 1. Cho A = {1, 2, 3, 4}. Số hoán vị của các phần tử của tập A là bao nhiêu?
Bài 2. Từ tập E =
{ }
7,6,5,4,3,2,1,0
lập các số gồm 7 chữ số khác nhau. Hỏi:
a) Có bao nhiêu số? c) Có bao nhiêu số nhỏ hơn : 432.000
b) Có bao nhiêu số chẵn, lẻ? d) Có bao nhiêu số trong đó 2, 3, 4 đứng cạnh nhau
e) Có bao nhiêu số bắt đầu bằng : 312 f) Có bao nhiêu số bắt đầu bằng số : 2.
HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN
Trang 1
Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm
Bài 3. a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 11 học sinh vào 11 chiếc ghế giống nhau xếp thành một dãy.
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 11 học sinh vào 11 chiếc ghế giống nhau xếp thành hình chữ C.
c) Có bao nhiêu cách sắp xếp 11 học sinh vào 11 chiếc ghế giống nhau xếp thành hình tròn.
Bài 4. 10 học sinh cùng ngồi trên một hàng ghế dài, chơi trò đổi chỗ. Cho rằng một lần đổi chỗ mất 1 phút. Hỏi
thời gian họ đổi chỗ hết cho nhau là bao nhiêu?
CHỈNG HỢP
Bài 1. Từ tập E =
{ }
7,6,5,4,3,2,1,0
, Hỏi có thể lập được bao nhiêu số:
a) Có 4 chữ số khác nhau. c) Chẵn (lẻ ) có 4 chữ số khác nhau.
b) Có 3 chữ số khác nhau và số tận cùng là 2 hoặc 5. d) Có 3 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 264
Bài 2. Một hộp bi có 7 viên bi có màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra:
a) 3 viên bi b) 4 viên bi c) 5 viên bi d) 6 viên bi.
Bài 3. Có 8 vận động viên chạy thi và đánh số từ 1 đến 8 . Ban tổ chức sẽ trao 3 huy chương Vàng, Bạc, Đồng
cho 3 người lần lượt về đích thứ nhất, thứ nhì, thứ ba. Hỏi Ban tổ chức có bao nhiêu cách trao:

a) Huy chương Vàng, Bạc, Đồng vận động viên đều có cơ hội như nhau?
b) Huy chương biết vận động viên số 5 sẽ cán đích trước; các vận động viên khác đều có cơ hội như nhau.
Bài 4. Có bao nhiêu cách chọn ra một lớp trưởng, một bí thư, một lớp phó học tập từ một lớp có 45 học sinh.
Biết tất cả các học sinh đều có khả năng đảm nhận được một trong 3 chức vụ trên?
Bài 5. Có bao nhiêu cách chọn và sắp thứ tự 5 cầu thủ đá bón luân lưu 11m, biết rằng cả 11 cầu thủ (kể cả thủ
môn) đều có khả năng như nhau?
Bài 6. Có bao nhiêu cách chọn bốn cầu thủ khác nhau trong mười cầu thủ của đội bóng quần vợt để chơi bốn trận
đấu đơn, các trận đấu là có thứ tự? ĐS: 5040 cách chọn.
Bài 7. Giả sử rằng có tám vận động viên chạy thi. Người thắng sẽ nhận được huy chương vàng, người về đích thứ
hai nhận huy chương bạc, người về đích thứ ba nhận huy chương đồng. Có bao nhiêu cách trao các huy chương
này nếu tất cả tám động viên này đều có khả năng như nhau? ĐS: 336 cách
Bài 8. Từ các chữ số 1, 2, 5, 7, 8 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 276?
Bài 9. Có bao nhiêu thứ tự có thể xảy ra trong cuộc thi chạy giữa năm vận động viên?
Bài 10. Bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với các vị trí thứ nhất, thứ nhì và ba trong cuộc đua có 12 con ngựa,
nếu mọi thứ tự tới đích đều có thể?
Bài 11. Có một trăm vé đánh số từ 1 đến 100 được bán cho 100 người khác nhau. Người ta sẽ trao 4 giải thưởng
kể cả giải đặc biệt. Hỏi
1. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng?
2. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu người giữ vé 47 trúng giải đặc biệt?
3. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu ngưởi giữ vé 47 không trúng thưởng?
4. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu người giữ vé 47 trúng một trong các giải?
5. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu ba người giữ vé 19, 47 và 73 trúng thưởng?
6. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu bốn người giữ vé 19, 47, 73 và 97 trúng thưởng?
7. Có bao nhiêu cách trao giải thưởng, nếu không ai trong bốn người giữ vé 19, 47, 73 và 97 trúng thưởng
8. 19, 47,73 và 97 trúng thưởng, nếu một trong bốn người giữ vé 19, 47, 73 và 97 trúng giải đặc biệt?
HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN
Trang 2
Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm
TỔ HỢP
Bài 1. Một lớp có 45 học sinh trong đó có 30 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm chọn 3 người đi lao động.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra:
a) Ba học sinh bất kỳ b) 1 nam, 2 nữ c) Ba học sinh và ít nhất phải có 1 học sinh nam.
Bài 2. Một lớp học có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra:
a) Sáu học sinh trong lớp b) 4 Nam, 2 Nữ c) 5 học sinh và ít nhất phải có 1 học sinh Nam
Bài 3. Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 3 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 người để tham gia đội
văn nghệ của trường biết rằng phải có ít nhất một cán bộ lớp.
Bài 4. Một hộp đựng4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng. Người ta chọn 4 viên bi trong hộp hỏi có bao nhiêu cách chọn
ra đủ cả ba màu?
Bài 5. Có 20 đội bóng đá tham gia thi đấu tính điểm. Thể lệ cuộc thi là bất kì 2 đội nào cũng chỉ gặp nhau một
lần. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?
Bài 6. Có bao nhiêu cách chọn 5 trong số 10 cầu thủ của một đội bóng đi thi đấu tại một trường khác? (252)
Bài 7. Trong một hộp có 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng, các cầu đều khác nhau. Chọn ngẫu
nhiên 4 quả trong hộp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong 4 quả cầu chọn ra có đủ 3 màu?
Bài 8. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 2 số nguyên dương nhỏ hơn 100?
Bài 9. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp 5 chữ từ bảng chữ cái tiếng Anh?
Bài 10. Một tập hợp 10 phần tử có bao nhiêu tập con với phần tử lẻ?
Bài 11. Một đội bóng có 13 cầu thủ: a. Có bao nhiêu cách chọn 10 cầu thủ để thi đấu?
b. Trong 13 cầu thủ có 3 là nữ. Có bao nhiêu cách chọn 10 cầu thủ để thi đấu nếu ít nhất có 1 cầu thủ là nữ
Bài 12. Một câu lạc bộ có 25 thành viên.
a) Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào uỷ ban thường trực?
b) Có bao nhiêu cách chọn chủ tich, phó chủ tịch , thư kí và thủ quỹ?
Bài 13. Tổ bộ môn toán học của một trường đại học có 7 cán bộ nữ và 9 cán bộ nam.
a) Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng có 5 thành viên, trong đó có ít nhất một cán bộ là nữ?
b) Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng có 5 thành viên, trong đó có ít nhất một nữ và một nam?
Bài 14. Giả sử một tổ bộ môn có 10 nam và 15 nữ.
a) Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng gồm 6 uỷ viên trong đó, số nam bằng số nữ?
b) Có bao nhiêu cách chọn một hội đồng gồm 6 hội viên trong đó, số nam ít hơn số nữ?
Bài 15. Có bao nhiêu cách chọn 12 nước trong liên hiệp quốc vào một hội đồng nếu 3 nước được bầu từ nhóm
45 nước, 4 nước được bầu từ 57 nước, các nước khác được bầu từ 69 nước còn lại?
HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN

Trang 3
Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm
BÀI TOÁN LẬP SỐ
1. Với 4 chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt? ĐS: 64 số
2. Với 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số phân biệt? (27216 số)
3. Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có năm chữ số khác nhau. ĐS: 60
4. Từ 7 chữ số 0, 1, … , 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau? (1260)
5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau? ĐS: 59049 số
6. Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số khác nhau?
7. Có 5 miếng bìa ghi một trong 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Lấy 3 miếng bìa từ 5 miếng bìa đặt lần lượt cạnh nhau từ
trái sang phải được số gồm 3 chữ số. Có thể lập được bao nhiêu số có nghĩa gồm 3 chữ số và trong đó có bao
nhiêu số chẵn?
8. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số, trong mỗi số có một chữ số xuất hiện hai
lần, còn các số còn lại xuất hiện một lần?
9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau?
10. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau?
11. Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu sau đó sắp xếp ngẫu nhiên thành một hàng.
a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành? b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
12. Có bao nhiêu chữ số chẵn có 6 chữ số khác nhau đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ?
13. Có 10000 chiếc vé xổ số được đánh dấu từ 00000 đến 99999. Có bao nhiêu vé gồm 5 chữ số khác nhau?
BÀI TOÁN LẬP SỐ CHIA HẾT
1. Chữ số 0,1, 3, 5,7, có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a) chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? b) có 3 chữ số khác nhau & chia hết cho 5
c) có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9? d) có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 3?
3. Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và không chia
hết cho 10?
4. Từ các chữ số1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ta lập tất cả các số gồm 9 chữ số khác nhau
a) Có bao nhiêu số được thành lập?b) có bao nhiêu số chia hết cho 5? C) Có bao nhiêu số chẵn
5. Với các chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hếtt cho 3?

BÀI TOÁN LẬP SỐ NHỎ HƠN HAY LỚN HƠN
1. Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau có bốn chữ số < 10000 được thành lập từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4?
2. Từ các chữ số 1, 3, 4, 7 người ta thành lập số n. Hỏi có bao nhiêu số n:
a) n gồm 3 chữ số? b) n gồm 3 chữ số khác nhau c) n là một số thuộc khoảng (100, 400)
3. (Y’97) Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600.000? ĐS: 36960
4. Có bao nhiêu số nguyên, dương với các chữ số phân biệt, nhỏ hơn 10000? ĐS: 5274 số
5. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt thoả mãn điều kiện:
a) Mỗi số nhỏ hơn 40000 b) Mỗi số nhỏ hơn 45000 ĐS: a. 72 số b. 90 số
6. Với 5 chữ số 1, 2, 5, 7, 8. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số phân biệt thoả mãn điều kiện:
HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN
Trang 4
Chuyên đề: Đại số tổ hợp – Bài toán đếm
a) Là một số chẵn b) Là một số nhỏ hơn hoặc bằng 278 c) Là một số chẵn và nhỏ hơn hoặc bằng 278
BÀI TOÁN TÍNH TỔNG
1. Cho 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau. Tính tổng các số đó?
2. Tìm tổng của các số được tạo bởi hoán vị 5 số: {1, 3, 5, 6, 7}?
3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau. Hãy tính tổng của
tất cả các số tự nhiên nói trên?
BÀI TOÁN LẬP SỐ - TỔNG CÁC CHỮ SỐ LÀ CHẴN HOẶC LẺ
1. Có bao nhiêu chữ số chẵn có 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ?
2. (SP Vinh’00) Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi là một số chẵn?
3. Có bao nhiêu số khác nhau có 7 chữ số mà tổng các chữ số là số chẵn?
4. (TN’00) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ? (45000)
5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau mà tổng của các chữ số của mỗi số bằng 12?
BÀI TOÁN BẮT ĐẦU BẰNG CHỮ SỐ
6. Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Hỏi: a) Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?
b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi chữ số 5?
7. các số gồm 5 chữ số khác nhau, lập lên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số.
a) Bắt đầu bởi chữ số 5. b) Bắt đầu bởi 23 c) Không bắt đầu bởi 345.
8. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được:

a) Bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
b) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 3?
9. Cho tập E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Tìm số các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 chữ số trên sao cho:
a) Các chữ số đều khác nhau b) Chữ số đầu tiên là chữ số 3 c) Không tận cùng bằng chữ số 4
10. Tìm các số tự nhiên có 5 chữ số được lấy từ tập E =
{ }
7,6,5,4,3,2,1,0
, thoả mãn điều kiện:
a) Các chữ số khác nhau b) Chữ số đầu tiên là 4 c) Không tận cùng là 5 d) Phân biệt chẵn và lẻ.
BÀI TOÁN ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN
11. Có 10 tem thư khác nhau và 8 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn ra 4 tem thư và 4 bì thư để dán 4
tem thư đó lên 4 bì thư đã chọn. Biết rằng mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách như vậy
12. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư để dán 3 tem thư
đó lên 3 bì thư đã chọn. Biết rằng mỗi bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách? C
3
5
.C
6
3
.3!
13. Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, chọn thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?
14. Trong 100 vé số có 2 vé trúng thưởng. Nếu mua 12 vé số thì có bao nhiêu trường hợp:
a) Không vé nào trúng thưởng? b) Có ít nhất một vé trúng thưởng?
c) Có đúng một vé trúng thưởng? ĐS: a. C
98
12
b.
12
98

12
100
CC −
c.
11
98
1
2
.CC
HÀ QUANG HUY·- THPT NGÔ SỸ LIÊN
Trang 5