TS247 DT thi online khoang cach giua 2 duong thang cheo nhau bang phuong phap dung mat phang song song co loi giai chi tiet 18311 1561430763

ĐỀ THI ONLINE – TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG
PHƯƠNG PHÁP DỰNG MẶT PHẲNG SONG SONG – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB  BC  a , cạnh bên SA  2a và vuông
góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC là:
A.

a
17

B.

2a
17

C.

3a
17

D.

4a
17

Câu 2: Cho hình chóp đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, SC theo a là:
A.

a 2
4

B.

a 2
2

C.

a 2
3

D.

a 3
2

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA vuông góc với đáy; góc tạo bởi
SC và (SAB) là 300 . Gọi E, F là trung điểm của BC và SD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DE
và CF là:
A.

a 13
13

B.

2a 13
13

C.

3a 13
13

D.

3a 13
13

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Khoảng cách giữa A ' C và MN là:
A. a 2

B.

a 2
2

C.

a 2
3

D.

a 2
4

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC, H
là giao điểm của AF và DE. Biết SH vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SH và
DF là?

A.

12a 5
25

B.

6a 5
25

C.

12a 5
5

D.

12a
25

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC  2a 2 . Hai mặt phẳng (SAB)
và (SAC) cùng vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600 . Gọi M là trung điểm AC
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM là:
A.

a 39
39

B.

a 39
26

C.

a 39
13

D.

2a 39
13

Câu 7: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB  a; AC  a 3; DA  DB  DC . Biết tam giác
DBC vuông. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC là:
A.

a 21
3

B.

a 21
7

C.

a 21
21

D.

3a 21
7

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Câu 8: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và BD
là:
A.

a 3
3

B.

a 3
2

C.

a 3
6

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, BAD  600 ; SO 

D.

a 2
3

a
và vuông góc với đáy.
4

Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB là:
A.

a 3
4

B.

a 3
2

C.

a 3
3

D.

a 3
8

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB  BC  a; AD  2a . Cạnh
bên SA  a 2 và vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa AC và SD là:

A. a

B. a 2

C.

a 2
2

D.

a
2

Câu 11: Cho lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA ' . Khoảng cách
giữa hai đường thẳng BM và B ' C là:
A.

a 30
15

B.

a 30
5

C.

a 30
2

D.

a 30
10

Câu 12: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB  AC  a . Biết rằng
AA '  AB '  AC '  a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC’ là:
A.

a 6
2

B.

a 6
3

C.

a 6
4

D.

a 6
6

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi I ' là tâm của mặt đáy A ' B ' C ' D ' , điểm
M thuộc đoạn BD sao cho MB  3MD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và I’D là:

A.

a 14
2

B.

a 14
7

C.

a 14
14

D.

a 7
7

Câu 14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  a; BC  2a; AA '  a . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB ' và A ' C ' là:
A. a

B. 2a

C.

a
2

D.

2a
3

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  3a, BC  2a . Hình chiếu vuông góc
của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác BCD, góc giữa mặt phẳng (SBC) và
(ABCD) bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC là:
A.

2a 3
3

B.

a 3
2

C.

3a 3
2

D.

3a
2

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa

tốt nhất!


Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a và AA ' 

a 2
.Khoảng cách giữa
2

hai đường thẳng AB và B ' C là:
A.

a 30
10

B.

a 3
2

C.

a 2
2

D.

a 30
5

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),
góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là:
A.

a 10
2

B.

a 5
2

C.

a 5
5

D.

a 10
5

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB  BC  2a ; hai mặt phẳng (SAB)
và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song
với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và SN là:
A.

2a 39
39

B.

2a 39
13

C.

a 39
13

D.

a 39
39

Câu 19: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C, AB  2a, AC  a 2 và BB '  b
Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC ' và B ' C là:
A.

ab
a b
2

2

ab

B.

b a
2

C.

2

ab
a b
2

D.

2

ab
a 2  b2

Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là H nằm
trên AB sao cho AH  2 HB . Góc giữa SC và (ABC) bằng 600 . Khoảng cách giữa SA và BC là:
A.

a 42
12

B.

a 42
8

C.

a 42
24

D.

a 42
16

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

1B

2A

3A

4D

5B

6D

7B

8A

9A

10A

11D

12B

13C

14D

15C

16A

17D

18B

19C

20B

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Câu 1: Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi N là trug điểm của AB ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC.  MN / / BC  BC / /  SMN 

 d  SM ; BC   d  BC ;  SMN    d  B;  SMN  
Ta có: BA   AMN   N 

d  B;  SMN  
d  A;  SMN  



NB
 1  d  B;  SMN    d  A;  SMN  
NA

Trong (SAN) kẻ AK  SN ta có:

MN / / BC  MN  AB 
  MN   SAN   MN  AK
MN  SA  SA   ABC   
AK  MN 
  AK   SMN   d  A;  SMN    AK
AK  SN 
Xét tam giác vuông SAN có:
Vậy d  SM ; BC  

1
1
1
1
4
17

2a
 2
 2  2  2  AK 
2
2
AK
SA AN
4a a
4a
17

2a
17

Chọn B.
Câu 2: Hướng dẫn giải chi tiết

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Gọi O  AC  BD  SO   ABCD 
Gọi P là trung điểm của AB; H  NP  BD
Vì ADSE là hình bình hành nên

SE / / AD / / BC 
  SEBC là hình bình hành  SC / / BE
SE  AD  BC 

Mà MP là đường trung bình của tam giác ABE  MP / / BE  MP / / SC

Mà NP / / AC   MNP  / /  SAC 

 MNP   MN ;  SAC   SC  d  MN ; SC   d   MNP  ;  SAC    d  H ;  SAC  
Ta có:

OH  AC


1
1
a 2

  OH   SAC   d (H;  SAC   OH  BD  a 2 
OH  SO  SO   ABCD  
4
4
4


Vậy d  MN ; SC  

a 2
.
4

Chọn A.
Câu 3: Hướng dẫn giải chi tiết

Kẻ CI / / DE  DE / /  CFI   CF  d  DE; CF   d  DE;  CFI    d  D;  CFI  
Dễ thấy DECI là hình bình hành nên DI  CE 

1
AD
2

Trong (SAD) kẻ FH   AD   FH / / SA  FH   ABCD 
Trong (ABCD) kẻ HM  CI  M  CI  , trong (FHM) kẻ HK  FM
Ta có:

CI  HM



  CI   FHM   CI  HK
CI  FH  FH   ABCD  


5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


HK  CI 
  HK   CFI   d  H ;  CFI    HK
HK  FM 

Ta có: HD   CFI   I 

d  D;  CFI  

d  H ;  CFI  

Dễ thấy HMI ∽ CDI g .g  

Ta có:

DI 1
1
1
  d  D;  CFI    d  H ;  CFI    HK
HI 2
2
2

HM HI
CD .HI

 HM 
CD CI
CI

HI  a; CI  CD 2  DI 2  a 2 

 HM 



a2 a 5

4
2

a.a
2a

a 5
5
2

CB  AB



  CB   SAB 
CB  SA  SA   ABCD  


 SB là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB)   SC;  SAB     SC; SB   300
 SB  BC.cot 30  a 3

Xét tam giác vuông SAB có: SA  SB 2  AB 2  3a 2  a 2  a 2  HF 

1
a 2
SA 
2
2

Vì FH   ABCD   FH  HM  FHM vuông tại H
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông FHM ta có:
1

1
1
2
5
13
2a 13


 2  2  2  HK 
2
2
2
HK
FH
HM
a
4a
4a
13
1
a 13
Vậy d  CF ; DE   HK 
2
13

Chọn A.
Câu 4: Hướng dẫn giải chi tiết

6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!

Ta thấy MN / / BC  MN / /  A ' BC   A 'C  d A 'C ;MN  d MN ; A 'BC
Ta có: MA   A ' BC   B 

Ta có:

d  M ;  A ' BC  
d  A;  A ' BC  



  d M
 ; A 'BC  

MB 1
1
  d  M ;  A ' BC    d  A;  A ' BC  
AB 2
2

BC  AB 
  BC   ABB ' A '  BC  AI
BC  BB '
AI  BC 
1
a 2
  AI   A ' BC   d  A;  A ' BC    AI  AB ' 
AI  A ' B 
2

2

Vậy d  A ' C ; MN  

1
a 2
AI 
2
4

Chọn D.
Câu 5.
Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi G  HC  DF
Trong (SHC) qua G kẻ GI / / SH  I  SC   GI   ABCD 

 SH / /  IDF   DF  d  SH ; DF   d  SH ;  IDF    d  H ;  IDF  
Trong (ABCD) kẻ HK  DF ta có :
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


HK  DF



  HK   IDF   d  H ;  IDF    HK
HK  GI  GI   ABCD  


Ta có: ADE  BAF  c.g .c   ADE  BAF
Mà ADE  AED  900  BAF  AED  900  AHE  900  AF  DE
Xét tam giác vuông ADE có: DE  AD 2  DE 2  4a 2  a 2  a 5

AD2  HD.DE  HD 

AD2 4a 2 4a


DE a 5
5

AH .DE  AE. AD  AH 

AE. AD a.2a 2a


DE
a 5
5

Xét tam giác vuông ABF có: AF  AB 2  BF 2  4a 2  a 2  a 5  HF  AF  AH  a 5 

Xét tam giác vuông HDF có:

Vậy d  SH ; DF  

2a 3a

5

5

1
1
1
1
1
5
5
125
12a 5



 2 
 2 
 HK 
2
2
2
2
2
2
16a
9a
HK
HD
HF
16a 9a 144a
25

5
5

12a 5
25

Chọn A.
Câu 6: Hướng dẫn giải chi tiết

Do hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cắt nhau theo giao tuyến SA cùng vuông góc với đáy (ABC) nên
SA   ABC 
Ta có:

BC  AB 
  BC   SAB   BC  SB
BC  SA 

8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


 SBC    ABC   BC 

Do SB   SBC  ; SB  BC     SBC  ;  ABC     SB; AB   SBA  600

AB   ABC  ; AB  BC 
Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên AB  BC 

AC
 2a

2

Tam giác vuông SAB, ta có: SA  AB.tan SBA  2a 3
Gọi N là trung điểm của BC  AB / / MN  AB / /  SMN 
Do đó d  AB; SM   d  AB;  SMN    d  A;  SMN  
Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng MN.  ABNE là hình chữ nhật nên AE  BN 

BC
a
2

Kẻ AK  SE  K  SE  1
 MN  AE
 MN   SAE   MN  AK  2 
Ta có: 
 MN  SA

Từ (1) và (2) suy ra AK   SMN   d  A;  SMN    AK
Trong tam giác vuông SAE ta có: AK 
Vậy d  AB; SM   d  A;  SMN    AK 

SA. AE
SA2  AE 2



2a 39
13

2a 39

13

Chọn D.
Câu 7: Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của BC suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên HA  HB  HC
Mặt khác DA  DB  DC  DH   ABC 
9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Trong (ABC) kẻ Ax / / BC
Khi đó d  AD; BC   d  BC ;  ADx    d  H ;  ADx  
Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên Ax  HE  Ax
Kẻ HK  DE  K  DE  1
 Ax  HE
 Ax   DHE   Ax  HK  2 
Ta có: 
 Ax  DH

Từ (1) và (2) suy ra HK   ADx  .d  H ;  ADx    HK
Ta có: BC  AB2  AC 2  a 2  3a 2  2a  DH 

1
BC  a
2

Gọi F là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC suy ra HE  AF 
Trong tam giác vuông DHE ta có HK 
Vậy d  AD; BC   d  H ;  ADx    HK 

DH .HE
DH 2  HE 2



AB. AC a 3
.

BC
2

a 21
7

a 21
7

Chọn B.
Câu 8: Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: BD / / B ' D '  BD / /  AB ' D '   AD '  d  BD; AD '   d  BD;  AB ' D '    d  B;  AB ' D '  
Gọi H  A ' B  AB ' ta có:

A ' B   AB ' D '  H 

d  B;  AB ' D ' 

d  A ';  AB ' D ' 



BH
 1  d  B;  AB ' D '    d  A ';  AB ' D '    h
A' H

Xét tứ diện A’AB’D’ có các cặp cạnh A ' A; A ' B '; A ' D ' đôi một vuông góc nên

10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


1
1
1
1
1
1
1
3
a 3



 2  2  2  2 h
2
2
2
2
h

A' A
A' B '
A' D '
a
a
a
a
3

Vậy d  AD '; BD  

a 3
3

Chọn A.
Câu 9: Hướng dẫn giải chi tiết

Từ giả thiết ta suy ra ABD đều nên BCD đều
Gọi H là trung điểm của CD, M là trung điểm của DH
 BH  CD; OM / / BH

Kéo dài OM cắt AB tại N  O là trung điểm của MN
Vì AB / / CD  AB / /  SCD   d  AB; SD   d  AB;  SCD    d  N ;  SCD    2d  O;  SCD  
Gọi K là hình chiếu của O trên SM  OK  SM 1
CD  SO
 CD   SOM   CD  OK  2 
Ta có: 
CD  OM

Từ (1) và (2) suy ra OK   SCD   d  O;  SCD    OK

Ta có: BH 

a 3
BH a 3

, suy ra OM 
2
4
2

Trong tam giác vuông SOM ta có: OK 
Vậy d  AB; SD   2OK 

SO.OM
SO 2  OM 2



a 3
8

a 3
4

Chọn A.
Câu 10: Hướng dẫn giải chi tiết
11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!

Gọi M là trung điểm của AD suy ra ABCM là hình vuông nên CM  AB  a 

AD
 ACD vuông tại C
2

Trong (ABCD) lấy điểm E sao cho ACDE là hình bình hành  AC / / DE  AC / /  SDE 
Do đó d  AC; SD   d  AC ;  SDE    d  A;  SDE  
Tứ giác ACDE là hình bình hành có ACD  900 nên ACDE là hình chữ nhật suy ra AE  DE
Gọi K là hình chiếu của A trên SE, suy ra AK  SE 1
 DE  AE
 DE   SAE   DE  AK  2 
Ta có: 
 DE  SA

Từ (1) và (2) suy ra AK   SDE   d  A;  SDE    AK
Do ACDE là hình chữ nhật nên AE  CD  BM  AB2  AM 2  a 2
Trong tam giác vuông SAE ta có: AK 

SA. AE
SA2  AE 2

a

Vậy d  AC ; SD   AK  a
Chọn A.
Câu 11: Hướng dẫn giải chi tiết

12 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!

Gọi N là điểm đối xứng với M qua A’, ta có: BB '/ / MN ; BB '  MN  BB ' NM là hình bình hành

 BM / / B ' N  BM / /  CB ' N   B ' N
 d  BM ; B' C   d  BM ;  B ' CN    d  M ;  B ' CN  
Lại có: MA '  B ' CN   N 

d  M ;  B ' CN  
d  A ';  B ' CN  



MN
 2  d  M ;  B ' CN    2d  A;  B ' CN  
A' N

Gọi P  A ' C '  B ' CN 
Ta có:

A' P A' N 1 A' P
A' P 1

 


AC
AN 3 A ' C ' C ' P 2

d  A ';  B ' CN  

d  C ';  B ' CN  



A' P 1
1
  d  A ';  B ' CN    d  C ';  B ' CN  
C'P 2
2

 d  M;  B ' CN    d  C ';  B ' CN    d  BM ; B ' C   d  C ';  B ' CN  
Gọi E là hình chiếu của C’ lên B’P suy ra C ' E  B ' P
Trong (CC’E) kẻ C ' K  CE 1
Ta có:

B'P  C 'E



  B ' P   CC ' E   B ' P  C ' K  2 
B ' P  CC '  CC '   A ' B ' C '  


Từ (1) và (2)  C ' K   B ' CN   d  C ';  B ' CN    C ' K
Ta có: C ' P 

2
2a
A'C ' 

3
3

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác B’C’P ta có:
B ' P  B ' C '2  C ' P 2  2 B ' C '.C ' P.c os60  a 2 

4a 2
2a 1 a 7
 2a.

9
3 2
3

13 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Ta có: SB 'C ' P

1
1
B ' C '.C ' P.sin 60
 B ' C '.C ' P.sin 60  C ' E.B ' P  C ' E 

2
2
B'P

a.

2a 3
.
3 2  a 21
7
a 7
3

Vì CC '   A ' B ' C '  CC '  C ' E  CC ' E vuông tại C’
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CC’E ta có:
1
1
1
1
7
10
a 30


 2  2  2  C 'K 
2
2
2
C 'K
CC ' C ' E
a 3a
3a
10

Vậy d  BM ; B ' C  

a 30
10

Chọn D.
Câu 12: Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của B’C’. Vì tam giác A’B’C’ vuông cân tại A’ nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác A’B’C’.
Vì AA '  AB '  AC '  a nên AH   A ' B ' C ' 
Ta có: BB '/ / AA '  BB '/ /  AA 'C'  AC '  d  BB '; AC '   d  BB ';  AA 'C'   d  B ';  AA 'C' 
Lại có:

B ' H   AA 'C'  C ' 

d  B;  AA 'C' 

d  H ;  AA 'C' 



B 'C '
2
HC '

 d  B ';  AA 'C'   2d  H ;  AA 'C'  
 d  BB '; AC '  2d  H ;  AA 'C'  
Trong  A ' B ' C ' kẻ HD  A ' C ' , trong  AHD  kẻ HE  AD 1 ta có:

HD  A ' C '



  A ' C '   AHD   A ' C '  HE  2 
AH  A ' C '  AH   A ' B ' C ' 

14 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Từ (1) và (2) suy ra HE   AA 'C'  d  H ;  AA 'C'    HE  d  BB '; AC ' 
 HD  A ' C '
1
a
 HD / / A ' B '  HD  A ' B ' 
Có: 
2
2
 A' B '  A'C '

Tam giác vuông cân A’B’C’ có: A ' C '  A ' B ' 2  a 2  A ' H 

1
a 2
(trung tuyến ứng với cạnh
A 'C ' 
2
2

huyền trong tam giác vuông)

AH   A ' B ' C '  AH  A ' H  AHA ' vuông tại H
 AH  AA '2  A ' H 2  a 2 

a2 a 2

2
2

AH   A ' B ' C '  AH  HD  AHD vuông tại H
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHD ta có:
1
1
1
2
4
6
a 6


 2  2  2  HE 
2
2
2
HE
AH
HD
a
a
a

6

Vậy d  BB '; AC '   2HE 

a 6
3

Chọn B.
Câu 13: Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi I  AC  BD . Từ hệ thức MB  3MD suy ra M là trung điểm của ID nên IM 

BD a 2

4
4

Kẻ Dx / / AM . Khi đó AM / /  I ' Dx   I ' D  d  AM '; I ' D   d  AM ;  I ' Dx    d  M ;  I ' Dx  
Lại có:

15 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


IM   I ' Dx   D 

d  M ;  I ' Dx  
d  I ;  I ' Dx  



MD 1
1
  d  M ;  I ' Dx    d  I ;  I ' Dx  
ID 2
2

1
 d  AM ; I ' D   d  I ;  I ' Dx  
2
Trong (ABCD) kẻ IH  Dx ; trong  I ' HI  kẻ IK  I ' H 1
Ta có:

Dx  IH



  Dx   I ' IH   Dx  IK  2 
Dx  I ' I  I ' I   ABCD  


Từ (1) và (2) suy ra IK   I ' Dx   d  I ;  I ' Dx    IK
Gọi E  IH  AM
Ta có: AM / / Dx; IM  MD  IE  EH  IH  2IE
Xét tam giác vuông AIM có:

IA.IM  IE. AM  IE 

 IH  2 IE 

IA.IM

AM

a 2 a 2
a2
.
IA.IM
4  4  a 10
 2
2
2
2
10
a 10
IA  IM
a a2

4
2 8

a 10
5

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông I’IH có:

1
1
1
1

5
7
a 14


 2  2  2  IK 
2
2
2
IK
I 'I
IH
a
2a
2a
7

1
a 14
Vậy d  AM '; I ' D   IK 
2
14

Chọn C.
Câu 14: Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: AC / / A ' C '  A ' C '/ /  AB ' C   AB '  d  A ' C '; AB '   d  A ' C ';  AB ' C    d  A ';  AB ' C  
Lại có:
16 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!

A ' B   AB ' C   E 

d  A ';  AB ' C  
d  B;  AB ' C  



A' E
 1  d  A ';  AB ' C    d  B;  AB ' C  
BE

 d  AB '; A ' C '  d  B;  AB ' C  
Chóp tam giác B '. ABC có các cạnh BB '; BA; BC đôi mội vuông góc nên

1
d  B;  AB ' C  

2



1
1
1
1 1
1
9
2a



 2  2  2  2  d  B;  AB ' C   
2
2
2
BB ' BA BC
a a 4a
4a
3

Vậy d  AB '; A 'C '  

2a
3

Chọn D.
Câu 15: Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD  SG   ABCD 
Kẻ GI  BC  I  BC 


 BC  GI
Ta có: 
 BC   SGI   BC  SI

 BC  SG  SG   ABCD  

 SAB    ABCD   BC 


0
Do  SAB   SI  BC
    SAB  ;  ABCD     SI ; GI   SIG  60
 ABCD   GI  BC 
Do AD / / BC  AD / /  SBC   SC  d  AD; SC   d  AD;  SBC    d  A;  SBC  
Lại có: AG   SBC   C 

d  A;  SBC  

d  G;  SBC  



AC 2OC

 3  d  A;  SBC    3d  G;  SBC  
GC 2 OC
3

 d  AD; SC   3d  G;  SBC  
17 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Trong (SGI) kẻ GK  SI 1 ta có: BC   SGI   GK  GK  SI  2 
Từ (1) và (2) suy ra GK   SBC   d  G;  SBC    GK
GI  BC
GI GC 1
1

1
 GI / / AB 

  GI  AB  3a  a
Ta có: 
AB AC 3
3
3
 AB  BC

Xét tam giác vuông GIK có: GK  GI .sin SIG  a.sin 60 
Vậy d  AD; SC  

3
a
2

3a 3
2

Chọn C.
Câu 16: Hướng dẫn giải chi tiết

Vì A ' B '/ / AB  AB / /  A ' B ' C   B ' C  d  AB; B ' C   d  AB;  A ' B ' C    d  A;  A ' B ' C  
Lại có: AC '  A ' B ' C   O 

d  A;  A ' B ' C  

d  C ';  A ' B ' C  



AO
 1  d  A;  A ' B ' C    d  C ';  A ' B ' C  
C 'O

 d  AB; B ' C   d  C ';  A ' B ' C  
Gọi E là trung điểm của A’B’
Vì tam giác A ' B ' C ' đều nên C ' E  A ' B '
Ta có:

A' B '  C ' E



  A ' B '   CC ' E 
A ' B '  CC '  CC '   A ' B ' C '  


Trong (CC’E) kẻ C ' H  CE 1 ta có:

A ' B '   CC ' E   C ' H  C ' H  A ' B '  2 
Từ (1) và (2) suy ra C ' H   A ' B ' C   d  C ';  A ' B ' C    C ' H
18 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Vì tam giác A ' B ' C ' đều nên C ' E 

a 3

2

CC '   A ' B ' C '  CC '  C ' E  CC ' E vuông tại C’
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CC ' E có:
1
1
1
2
4
10
a 30


 2  2  2  C 'H 
2
2
2
10
C 'H
CC '
C 'E
a
3a
3a

Vậy d  AB; B ' C  

a 30
10

Chọn A.
Câu 17: Hướng dẫn giải chi tiết

Vì SA   ABCD   AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)

  SC;  ABCD     SC; AC   SCA  450
Trong (ABCD) dựng hình chữ nhật OAEB
Ta có: BE / / AC  AC / /  SBE   SB  d  AC ; SB   d  AC ;  SBE    d  A;  SBE  
Ta có:

BE  AE



  BE   SAE 
BE  SA  SA   ABCD  


Trong (SAE) kẻ AH  SE 1 ta có: BE   SAE   AH  AH  BE  2 
Từ (1) và (2) suy ra AH   SBE   d  A;  SBE    AH
Ta có: AC  BD  a 2
AE  BO 

1
a 2
BD 
2
2

19 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa

tốt nhất!


Tam giác SAC vuông tại A  SA   ABCD   SA  AC  có SCA  450  SAC vuông cân tại A

 SA  AC  a 2
SA   ABCD   SA  AE  SAE vuông tại A 
Vậy d  SB; AC  

1
1
1
1
2
5
a 10
 2
 2  2  2  AH 
2
2
AH
SA
AE
2a
a
2a
5

a 10
5

Chọn D.
Câu 18: Hướng dẫn giải chi tiết

 SAB    ABC  

 SAC    ABC    SA   ABC 
 SAB    SAC   SA
Ta có:

BC  AB



  BC   SAB   BC  SB
BC  SA  SA   ABC  


 SBC    ABC   BC 

 SBC   SB  BC     SBC  ;  ABC     SB; AB   SBA  600
 ABC   AB  BC 
Trong (ABC) kẻ MN / / BC  N  AC 
Dựng hình chữ nhật AMND
Ta có: AB / / DN  AB / /  SDN   SN  d  AB; SN   d  AN ;  SDN    d  A;  SDN  
Ta có:

DN  AD




  DN   SAD 
DN  SA  SA   ABC  


20 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Trong (SAD) kẻ AH  SD 1 ta có:

DN   SAD   AH  AH   2 
Từ (1) và (2) suy ra AH   SDN   d  A;  SDN    AH
Có AD  MN 

1
BC  a
2

SA   ABC   SA  AB  SAB vuông tại A  SA  AB.tan 60  2a. 3
SA   ABC   SA  AD  SAD vuông tại A


1
1
1
1
1
13
2a 39

 2 

 2 
 AH 
2
2
2
2
13
AH
SA
AD
12a
a
12a

Vậy d  AB; SN  

2a 39
13

Chọn B.
Câu 19: Hướng dẫn giải chi tiết

Dựng hình bình hành ACDC’
Ta có: AC '/ / CD  AC '/ /  B ' CD   B ' C  d  AC '; B ' C   d  AC ';  B ' CD    d C ';  B ' CD  
Trong (A’B’C’) kẻ C ' E  B ' D; C ' H  CE 1
Ta có:

B'D  C'E



  B ' D   CC ' E   B ' D  C ' H  2 
B ' D  CC '  CC '   A ' B ' C ' 


Từ (1) và (2) suy ra C ' H   B ' CD   d  C ';  B ' CD    C ' H
21 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


Xét tam giác A’B’C’ ta có: A ' C '2  B ' C '2  2a 2  2a 2  4a 2  A ' B '2  A ' B ' C ' vuông cân tại C’

Ta có: A ' C '  B ' C '  C ' D  A ' B ' D vuông tại B’  A ' B  B ' D
Mà C ' E  B ' D  A ' B '/ /C ' E
Suy ra C ' E là đường trung bình của tam giác A ' B ' D  C ' E 

1
1
A ' B '  2a  a
2
2

Ta có: CC '   A ' B ' C '  CC '  C ' E  CC ' E vuông cân tại C’
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CC ' E ta có:
1
1
1
1

1 a 2  b2




 2 2  C'H 
C ' H 2 CC '2 C ' E 2 a 2 b 2
ab

Vậy d  AC '; B ' C  

ab
a 2  b2

ab
a 2  b2

Chọn C.
Câu 20: Hướng dẫn giải chi tiết

Dựng hình bình hành ABCD như hình vẽ ta có:
AD / / BC  BC / /  SAD   SA  d  SA; BC   d  BC;  SAD    d  B;  SAD  
Lại có: BH   SAD   A 

d  B;  SAD  

d  H ;  SAD  



BA 3
3
  d  B;  SAD    d  H ;  SAD  
HA 2
2

22 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!


3
 d  SA; BC   d  H ;  SAD  
2
Trong (ABCD) kẻ HF  AD , trong (SHF) kẻ HK  SF 1 ta có:
AD  HF 
  AD   SHF   AD  HK  2 
AD  SH 

Từ (1) và (2) suy ra HK   SAD   d  H ;  SAD    HK

Gọi G  HF  BC
Ta có: AF / / BG 

HF AH

 2  HF  2HG
HG BH

Mà HF  HG  FG  AE  HF 

2
2a 3 a 3
AE 

3
3 2
3

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác BHC ta có:
HC  BH 2  BC 2  2 BH .BC.cos HBC 

a2
a 1 a 7
 a 2  2. .a. 
9
3 2
3

Vì HC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD) nên  SC;  ABC     SC; HC   SCH  600

SH   ABCD   SH  HC  SHC vuông tại H  SH  HC.tan SCH 

a 7
a 21
. 3
3
3

SH   ABCD   SH  HF  SHF vuông tại H
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHF ta có:

1
1
1
3
3
24
a 42


 2  2  2  HK 
2
2
2
HK
SH
HF
7a
a
7a
12

Vậy d  SA; BC  

3
a 42
HK 
2
8

Chọn B.

23 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa
tốt nhất!