Tiet 29-31 Bài toán đếm-Nhị thức New-ton

Tiết: 29

BÀI TOÁN ĐẾM

NS: ……….
NG: ………
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức: Học sinh nhớ được
- Quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton
2. Về kỹ năng
2.1. HS xét TN.
- Biết làm các bài toán đếm đơn giản mức đô NB-TH
2.2. HS xét ĐH.
Biết làm các bài toán đếm tổng hợp mức độ NB-TH-VDT
3. Về tư duy thái độ
- Rèn luyện tư duy logic
- Thái độ nghiêm túc trong học tập
II. Chuẩn bị
III. Phương pháp: Phát vấn, gợi mở.
IV. Tiến trình lên lớp :
1. Ôn định tổ chức
2. Kiểm tra bài cũ – khởi động vào bài mới:
- Giáo viên kiểm tra tình hình ôn tập kiến thức cơ bản và hoàn thành các phiếu học tập của học
sinh.
3. Bài mới :
Hoạt động 1: Ôn tập các kiến thức cơ bản (10’)
Mục tiêu: Học sinh nhớ các quy tắc đếm đã được học
Cách thức thực hiện: GV tổ chức cho học sinh điều hành phát vấn và tổng hợp các quy tắc đếm cơ
bản, GV chốt chính xác hóa kiến thức, rút ra các nhận xét.
1. Quy tắc cộng
a) Định nghĩa: Xét một công việc H .

Giả sử H có k phương án H 1 , H 2 ,..., H k thực hiện công việc H . Nếu có m1 cách thực hiện
phương án H 1 , có m2 cách thực hiện phương án H 2 ,.., có mk cách thực hiện phương án H k và
mỗi cách thực hiện phương án H i không trùng với bất kì cách thực hiện phương án H j (
i �j ; i , j � 1,2,..., k ) thì có m1  m2  ...  mk cách thực hiện công việc H .
b) Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập A1 , A 2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó:
A1 �A 2 �... �A n  A1  A2  ...  An
2. Quy tắc nhân.
a) Định nghĩa: Giả sử một công việc H bao gồm k công đoạn H 1 , H 2 ,..., H k . Công đoạn H 1 có
m1 cách thực hiện, công đoạn H 2 có m2 cách thực hiện,…, công đoạn H k có mk cách thực hiện.
Khi đó công việc H có thể thực hiện theo m1.m2...mk cách.
b) Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập A1 , A 2 ,..., An đôi một rời nhau. Khi đó:
A1 �A 2 �... �An  A1 . A 2 ..... An .


Nhận xét:
NX1. Ta thường gặp bài toán đếm số phương án thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất
T . Để giải bài toán này ta thường giải theo hai cách sau
Cách 1: Đếm trực tiếp
�Nhận xét đề bài để phân chia các trường hợp xảy ra đối với bài toán cần đếm.
�Đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp đó
�Kết quả của bài toán là tổng số phương án đếm trong cách trường hợp trên
Chú ý: * Để đếm số phương án thực hiện trong mỗi trường hợp ta phải chia hành động trong mỗi
trường hợp đó thành phương án hành động nhỏ liên tiếp nhau
Và sử dụng quy tắc nhân, các khái niệm hoán ví, chỉnh hợp và tổ hợp để đếm số phương án thực
hiện các hành các hành động nhỏ đó.
* Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:
+) Tất cả n phần tử đều phải có mặt
+) Mỗi phần tử xuất hiện một lần.

+) Có thứ tự giữa các phần tử.
* Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi
+) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
+) k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.
* Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi
+) Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
+) Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.
Phương án 2: Đếm gián tiếp (đếm phần bù)
Trong trường hợp hành động H chia nhiều trường hợp thì ta đi đếm phần bù của bài toán như sau:
�Đếm số phương án thực hiện hành động H (không cần quan tâm đến có thỏa tính chất T hay
không) ta được aphương án.
�Đếm số phương án thực hiện hành động H không thỏa tính chất T ta được b phương án.
Khi đó số phương án thỏa yêu cầu bài toán là: a b.
NX2. Ta thường gặp ba bài toán đếm cơ bản
Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
Khi lập một số tự nhiên x  a1...an ta cần lưu ý:
* ai � 0,1,2,...,9 và a1 �0.
* x là số chẵn � an là số chẵn
* x là số lẻ � an là số lẻ
* x chia hết cho 3 � a1  a2  ...  an chia hết cho 3
* x chia hết cho 4 � an1an chia hết cho 4
* x chia hết cho 5 � an � 0,5

* x chia hết cho 11� tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia
hết cho 11.
Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học
Hoạt động 2: Thảo luận-Luyện tập bài toán đếm (30’)
Mục tiêu: Học sinh xét TN hoàn thành được các bài mức độ NB-TH, biết phân biệt cách sử dụng
quy tắc đếm nào cho từng bài toán cụ thể, HS xét ĐH hoàn thành thêm các bài mức độ vận dụng

thấp, mức độ tổng hợp.


Cách thức thực hiện: GV tổ chức cho học sinh thảo luận theo các nhóm và trình bày kết quả, GV
chính xác đáp án và giải thích các thắc mắc thêm của HS.
Phương pháp: Dựa vào hai quy tắc cộng, quy tắc nhân và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ
hợp.
Một số dấu hiệu giúp chúng ta nhận biết được hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp.
1) Hoán vị: Các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một hoán vị của n phần tử là:
�Tất cả n phần tử đều phải có mặt
�Mỗi phần tử xuất hiện một lần.
�Có thứ tự giữa các phần tử.
2) Chỉnh hợp: Ta sẽ sử dụng khái niệm chỉnh hợp khi
�Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
�k phần tử đã cho được sắp xếp thứ tự.
3) Tổ hợp: Ta sử dụng khái niệm tổ hợp khi
�Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần
�Không quan tâm đến thứ tự k phần tử đã chọn.
Loại 1: Đếm số
Các ví dụ
Ví dụ 1. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác
nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đứng cạnh nhau?
A.360
B.280
C.310
D.290
Ví dụ 2. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên
1. Gồm 4 chữ số
A.1296
B.2019

C.2110
D.1297
2. Gồm 3 chữ số đôi một khác nhau
A.110
B.121
C.120
D.125
3. Gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là chữ số tự nhiên chẵn
A.182
B.180
C.190
D. 192
Loại 2: Xếp đồ vật – Phân công công việc
Các ví dụ
Ví dụ 1. Đội tuyển HSG của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 HS khối 12, 6 HS khối 11 và 5
HS khối10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 cách cử 8 HS đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 HS
được chọn
A.41811
B.42802
C.41822
D.32023
Ví dụ 2 Một cuộc họp có 13 người, lúc ra về mỗi người đều bắt tay người khác một lần, riêng chủ
tọa chỉ bắt tay ba người. Hỏi có bao nhiêu cái bắt tay?
A.69
B.80
C.82
D.70
Ví dụ 6. Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập
thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách lập tổ công tác

A.111300
B.233355
C.125777
D.112342
Ví dụ 7. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách.
A.46
B.69
C.48
D.40
Loại 3: Đếm tổ hợp liến quan đến hình học


Ví dụ : Cho hai đường thẳng song song d1 ,d2 . Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, trên d2
lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 vừa nói trên.
2
1
C15
A. C10

1
2
C15
B. C10

2
1
1
2
C15

 C10
C15
C. C10

2
1
1
2
C15
.C10
C15
D. C10

4. Củng cố. (3’)
- GV cho HS phân biệt một lần nữa cách sử dụng quy tắc đếm cho từng bài toán cụ thể: Số,đồ vật,
hình học
5. Hướng dẫn học bài. (2’)
- HS về ôn tập hoán vị-chỉnh hợp-tổ hợp
Bổ sung – Rút kinh nghiệm.
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
----------------------------------------------------------------------Duyệt của tổ chuyên môn


Tiết: 30-31

BIỂU THỨC TỔ HỢP-NHỊ THỨC NEWTON

NS: ……

I.NG:
Mục
…..tiêu
1. Về kiến thức: Học sinh nhớ được
- Quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton
2. Về kỹ năng
2.1. HS xét TN.
- Biết tìm số hạng trong biểu thức khai triển Niu Tơn
- Tìm hệ số của số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Niu – tơn
2.2. HS xét ĐH.
- Biết tìm số hạng trong biểu thức khai triển Niu Tơn
- Tìm hệ số của số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Niu – tơn
- Biết tính tổng các biểu thức tổ hợp
3. Về tư duy thái độ
- Rèn luyện tư duy logic
- Thái độ nghiêm túc trong học tập
II. Chuẩn bị
III. Phương pháp: Phát vấn, gợi mở.
IV. Tiến trình lên lớp :
1. Ôn định tổ chức
2. Kiểm tra bài cũ – khởi động vào bài mới:
- Giáo viên kiểm tra tình hình làm bài tập và kiểm tra các thắc mắc cần giải đáp của học sinh sau
khi đã nghiên cứu tài liệu và làm bài tập ở nhà.
3. Bài mới :
Hoạt động 1: Ôn tập các kiến thức cơ bản (15’)
Mục tiêu: Học sinh nhớ các công thức hoán vị-chỉnh hợp-tổ hợp
Cách thức thực hiện: GV tổ chức cho học sinh điều hành phát vấn và tổng hợp, GV chốt chính xác
hóa kiến thức.
1. Giai thừa
a) Định nghĩa: Với mọi số tự nhiên dương n , tích 1.2.3....n được gọi là n - giai thừa và kí hiệu n!

. Vậy n!  1.2.3...n .
Ta quy ước 0!  1.
b) Tính chất:
* n!  n(n -1)!
.
* n!  n(n  1)(n  2)...(n  k  1).k!
2. Hoán vị
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử ( n �1). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự ta
được một hoán vị các phần tử của tập A.
Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn .
b) Số hoán vị của tập n phần tử:
Định lí: Ta có Pn  n!
3. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1�k �n . Khi lấy k phần tử của A và
sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
b) Số chỉnh hợp


Kí hiệu Ank là số chỉnh hợp chập k của n phần tử
k
Định lí: Ta có An 

n!
.
(n  k)!

4. Tổ hợp
a) Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1�k �n . Mỗi tập con của A có k phần
tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.
b) Số tổ hợp

Kí hiệu Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử.
k
Định lí: Ta có: Cn 

n!
.
(n  k)!k!

Hoạt động 2: Thảo luận-Luyện tập bài toán đếm (60’)
Mục tiêu: Học sinh xét TN hoàn thành được các bài mức độ NB-TH, HS xét ĐH hoàn thành thêm
các bài mức độ vận dụng thấp.
Cách thức thực hiện: GV tổ chức cho học sinh thảo luận theo các nhóm và trình bày kết quả, GV
chính xác đáp án và giải thích các thắc mắc thêm của HS.
1. Mức độ nhận biết
Câu 1. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn 0 �k �n , mệnh đề nào dưới đây đúng?
n!
Cnk 
n!
n!
k ! n  k  !
k
k
C

k ! n  k  !
C

Cnk 
n
A.

.
B. n k ! .
C.
.
D.
 nk!
n!
Câu 2.Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn 1 �k �n , mệnh đề nào dưới đây đúng?
n!
n!
n!
k
k
k
k
A. An 
.
B. An  .
C. An  n ! .
D. An 
.
k ! n  k  !
 nk!
k!
Câu 3. Công thức tính số hoán vị Pn là:
A. Pn = (n - 1)!

B. Pn = (n + 1)!

C. Pn =

n!
(n - 1)

D. Pn = n !

Câu 4.Cho n, k là những số nguyên thỏa mãn 0 �k �n và n �1 . Tìm khẳng định sai.
n!
n
k
nk
k
k
k
A. Pn  An .
B. Cn  Cn .
C. An  .
D. Pk .Cn  An .
k!
n
Câu 5. Cho phép khai triển (a b) , ta được bao nhiêu số hạng?
A. n
B. 2n + 1
C. 2n
D. n + 1
n6
Câu 6. Trong khai triển nhị thức  a  2  ,  n �N  . Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:
A. 17 .

B. 11.

C. 10 .

Câu 7. Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (3  2 x)
A. 2019 .
B. 2018 .

2019

có bao nhiêu số hạng?
C. 2020 .

D. 12 .
D. 2021 .

2
Câu 8. Tìm số tự nhiên n thỏa An = 210 .

A. 15

B. 12

C. 21

D. 18

Câu 9. Giá trị của số tự nhiên n thỏa mãn C + A = 9n là:
2
n

A. 7

B. 6

2
n

C. 9

D. 8

Câu 10. Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton  x  y  .
5

A. x 5  5 x 4 y  10 x 3 y 2  10 x 2 y 3  5 xy 4  y 5 .

B. x 5  5 x 4 y  10 x 3 y 2  10 x 2 y 3  5 xy 4  y 5 .


C. x 5  5 x 4 y  10 x 3 y 2  10 x 2 y 3  5xy 4  y 5 .
2. Mức độ thông hiểu

D. x 5  5 x 4 y  10 x 3 y 2  10 x 2 y 3  5 xy 4  y 5 .
10

� 2�
Câu 11.Số hạng không chứa x trong khai triển �x  � là
� x�
5
5

5
A. C10 .
B. C10 .2 .

5
C. C10 .

5
5
D. C10 .2 .

10

� 2�
Câu 12.Hệ số của x 2 trong khai triển của biểu thức �x 2  � bằng
� x�
A. 3124 .
B. 2268 .
C. 13440 .

D. 210 .

18

1 

Câu 13: Số hạng không chứa x trong khai triển  x 3  3  là:
x 

10

9
8
A. C18 .
B. C18 .
C. C18 .

3
D. C18 .

9

� 8 �
Câu 14: Trong khai triển �x  2 �, số hạng không chứa x là:
� x �
A. 4308 .
B. 86016 .
C. 84 .

D. 43008 .

8

�2
�
Câu 15: Xác định hệ số của x8 trong khai triển �  5x 3 �
�x
�
A. 1312317
B. 76424
C. 427700

D. 700000

1
2
3
Câu 16: Giá trị của n �� thỏa mãn C n+1 + 3C n+2 = C n+1 là:

A. n = 12

B. n = 9

Câu 17: Giá trị của n �� thỏa mãn

C. n = 16

D. n = 2

1
1
7
- 2 =
là:
1
C n C n+1 6C n1+4

A. n = 3
C. n = 5 hoặc n = 7

B. n = 8

D. n = 3 hoặc n = 8
2 12
(x �0)
Câu 18: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ( x  )
x
A. 59136
B. 213012
C. 12373
11

D. 139412
7

� 1 � � 1�
Câu 19: Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức: A  �x  2 �  �x 2  �
� x � � x�
A. -90
B. 90
C. 60
D. -60
1
4 3 17
( x  0)
Câu 20: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển sau: g ( x)  ( 3 2  x )
x
A. 24310
B. 213012
C. 12373
D. 139412
3. Vận dụng thấp

Câu 21.Hệ số của x5 trong khai triển nhị thức x  2 x  1   3 x  1 bằng
6

8

A. 13368 .
B. 13368 .
C. 13848 .
D. 13848 .
1
2
Câu 22. Với n là số nguyên dương thỏa mãn Cn  Cn  55 , số hạng không chứa x trong khai triển của
n

2�
�
biểu thức �x3  2 � bằng:
� x �
A. 322560 .

B. 3360 .

C. 80640 .

D. 13440 .


2 n
3

n 1
n2
Câu 23: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau ( x  ) , biết rằng Cn  Cn  78 với
x
x0
A. 112640
B. 112640
C. 112643
D. 112643
0
2 2
2010
2010
Câu 24: Tính tổng S  C2011  2 C2011  ...  2 C2011
A.

32011  1
2

B.

3211  1
2

32011  12
2

C.

D.

32011  1
2

n

�1
�
Câu 25: Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của � 3  x 5 � biết
�x
�
8

Cnn41  Cnn3  7  n  3 .

A. 495

B. 313

C. 1303
n
n
Câu 26: Tìm số nguyên dương n sao cho: C  2C  4C  ...  2 Cn  243
0
n

A. 4

1
n

B. 11

C. 12

Câu 27: Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết:
A. -280
6

 x �C6k .  2 x  .  1
k



8C2n

D. 5
 C1n

49. Điều kiện n  4

 x �C6k .  2 x  .  1
k

D. -8

8
8

 �C8l .  3x  .  1

6k

k 0
6

A 3n

B. 280
C. 8
Hướng dẫn giải các câu mức độ vận dụng thấp:

Câu 21: x  2 x  1   3 x  1
6

D. 13129

2
n

l

8 l

l 0
8

 �C8l .  3x  .  1

6k

k 0

l

8 l

l 0

Suy ra hệ số của x5 trong khai triển nhị thức là: C64 .  2  .  1
4

Câu 22: Điều kiện: n  N * ; n

6 4

 C85 .  3 .  1
5

6 5

 13368 .

2.

Theo đề bài ta có: C  C  55
1
n

�

2
n

n  n  1 ! n  n  1  n  2  !
n!
n!

 55 �

 55
1!.  n  1 ! 2!.  n  2  !
2  n  2 !
 n  1 !

�
n  10  tm 
� 2n  n  n  1  110 � n 2  n  110  0 � �
n  11  ktm  .
�
10

10
10  k
2 � 10
�
Ta có khai triển: �x 3  2 �  �C10k x 3k .210 k .  x 2 
 �C10k 210  k .x 5 k 20 .
� x � k 0
k 0

4
6
Để có hệ số không chứa x thì: 5k  20  0 � k  4. Hệ số không chứa x là C10 .2  13440.
n 1
n 2
Câu 23:Ta có: Cn  Cn  78 �

n!
n!

 78
(n  1)!1! (n  2)!2!

12
n( n  1)
2 � 12 k
�
2
3
� n
 78 � n  n  156  0 � n  12 .Khi đó: f ( x)  �x  �  �C12 (2) k x36 4 k
2
� x � k 0

Số hạng không chứa x ứng với k : 36  4k  0 � k  9 . Số hạng không chứa x là:
(2)9 C129  112640

Câu 24: Xét khai triển:
0
1

2
2010
2011
(1  x)2011  C2011
 xC2011
 x 2C2011
 ...  x 2010C2011
 x 2011C2011


Cho x  2 ta có được:
0
1
2
2010
2011
32011  C2011
 2.C2011
 22 C2011
 ...  22010 C2011
 22011 C2011
(1)
Cho x  2 ta có được:
0
1
2
2010
2011
1  C2011
 2.C2011

 22 C2011
 ...  22010 C2011
 22011 C2011
(2)
Lấy (1) + (2) ta có:

0
2
2010
2  C2011
 22 C2011
 ...  2 2010 C2011
  32011  1

0
2
2010
Suy ra: S 2  C2011
 22 C2011
 ...  22010 C2011


32011  1
.
2

n 1
n
n
n 1

n
Câu 25:Ta có: Cn  4  Cn3  7  n  3 �  Cn3  Cn3   Cn3  7  n  3

� Cnn31  7  n  3 �

 n  2   n  3
2!

 7  n  3 � n  2  7.2!  14 � n  12 .
12  k

n

5
60 11k
12
k � �
�1
� 12
Khi đó: � 3  x 5 � �C12k  x 3  . �x 2 �  �C12k x 2 .
�x
� k 0
k 0
� �

60  11k
8 � k  4.
2
12!
4

 495 .
Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là: C12 
4! 12  4  !
Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa:

n
0
1
2 2
n n
Câu 26: Xét khai triển: (1  x)  Cn  xCn  x Cn  ...  x Cn
0
1
2
n
n
n
Cho x  2 ta có: Cn  2Cn  4Cn  ...  2 Cn  3

Do vậy ta suy ra 3n  243  35 � n  5 .
Câu 27: Ta có: x

2

n

 C x
n

2 

k 2k n k
2
n

. Hệ số của số hạng chứa x8 là C4n2n 4

k0

Ta có: A  8C  C  49  (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
3
n

2
n

1
n

 n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n2 + 7) = 0  n = 7. Nên hệ số của x8 là C4723 280
4. Củng cố kiến thức: (5’)
- GV nhấn mạnh các dạng bài và cách nhận dạng cách giải đã ôn trong buổi học
5. Hướng dẫn bài tập về nhà (5’)
- HS về nhà nghiên cứu tài liệu và làm bài tập trong chuyên đề xác suất theo phiếu giao của giáo
viên.
Bổ sung – Rút kinh nghiệm.
...............................................................................................................................................................
...............................................................................................................................................................
Duyệt của tổ chuyên môn

-----------------------------------------------------------------------