Một số vấn đề định tính của phương trình sai phân và ứng dụng

' -^

'-

DAI HOC QU6C GIA HA N C I
TRirclNG DAI HOC KHOA HOC Tl/NHlfeN

DINH CONG HI/6NG

.^

A/

M O T SO VAN Dfi DINH TINH
CUA PHlTONG TRINH SAI PHAN VA UNG DUNG

Chuyen nganh: Toan Giai tich
Ma so: l.Ol.OI

LUAN AN TIEN SI TOAN HOC

TAP THE H U O N G D.AN KHOA HOC:
1. HDC: GS. TSKH Nguyen Van Mau
2. HDP:
TS. O^ng V u Giang

HA NOI - 2006


MUG LUC

M6t s6 kf hif u dung trong lu$n ^n

1

Ma dau

2

Chirong 1
LI

1.2

1.3

Ve m6t I6p phirong trinh sai phSn phi tuyen \6\ mot chdm

10

Tinh cha't cua nghiem phucmg trlnh sai phan phi tuy^n vcri m6t cham . .

11

Ll.l

H6i tu v6 0

11

1.1.2

Gidfi n6i ngat

13

1.1.3

Hoi tu tai trang thai can bang duang vai ta't ca cac cham . . . .

16

LL4

H6i tu tdi trang thai can bang ducmg vai chain nho

21

1.1.5

Dao d6ng cham va luan hoan kh6ng tam thuong

24

M6 hinh quan the' dan rcri rac phi tuye'n vcri mOt cham

28

1.2.1

Sir diet vong, trucmg t6n, phat trien ben NVng va tuan hoan . . .

28

1.2.2

M6 hlnh quan the chim cut a bang Wisconsin

29

1.2.3

M6 hlnh quSn the ru6i xanh Nicholson

34

M6'i lien he giua phucmg trinh vi phan va phucmg trlnh sai phan phi
tuyen c6 cham

35

1.3.1

Phucmg trinh vi phan phi tuyen c6 cham

36

1.3.2

M6i lien he ve tinh cha't cua nghiem phucmg trinh sai phan va
phucmg Irinh vi phan phi tuyen c6 cham

Chirong 2

Ve mot lap phirong trinh sai phan phi tuyen voi nhieu cham

43
48

2.1

Mot s6 khiii nicm

'^^

2.2

Tinh h6i tu, giai noi, tuan hoan

-^9

2.2.1

Tinh h6i tu

^^

2.2.2

Tinh giai noi

^^


2.3

2.2.3

Tinh tu5n hoan

54

2.2.4

Vi du

60

Tinh dao d6ng

Chirong 3

V^ mot 16p phirong trinh sai ph&n hum ty

62
70

3.1

Phuong trinh sai phSn huu ty bac mot

71

3.2

M6t s6 phuong trinh sai phan huu ty bac hai

75

Ket ludn

88

Danh muc cong trinh da cong bo cua tac gia lien quan den luSn an

90

Tai lieu tham khao

91


MOT SO Ki HIEU DUNG TRONG LUAN AN

N - tap cac s6 tu nhien.
Z - tap cdc s6 nguyen.
Ne = {n e Z : n ^ £}, a d&y e e Z.
No = NU{0}.
R, R+, R'^ - true s6 thuc, niia true s6 thuc duang, kh6ng gian vec to thuc A:- chieu
R!r -: R+ X R^ X • • • X R+.
^

^

^

[x, b]^ = [x, b]"" X [x, 6]"^ X • • • X [x, 6]"*.
m

Ax„ ^ x„+i - Xn,

(n G No) la loan tu sai phan tien.

i = ni,n2 nghia Ik i e {n : n e Z wh rii ^ TI ^ ns}, a day ni, n2 G Z.
int/ - phSn trong cua doan 7.
C{J) ^ {/ : R D J —^ J sao cho / lien tuc tren J}.

n L a A,. = A„ • • • A,, n L a An = 1 ncu a > b.
id - anh xa d6ng nha't.
liminfn-foo^n- gidi han duai cua day s6 {x„}n.
limsup,,_,^Xn- giai han tren cua day s6' {xn}n.
linnnfx-.a /(x)-giai han duai cua ham f \ X —>Y. X C R", n e N, 1^ C
limsup^_„ /(x)-gidi han tren cua ham / ; A^ - ^ Y. X C 7J\n e N, Y C


M6DAU

L^ thuy^t dinh tinh ciia phirong trinh sai phan 1^ m6t hirdfng nghien curu quan
trong trong giai tich toan hoc va ung dung. Nghi6n cun dinh tinh phirong trinh
sai phan la nghiSn cuii tinh ch^t va dang di6u cdc nghidm ciia chung ma khOng
nha't thi6't phai xay dung c6ng thiic nghiSm. Trudc day, ngucri ta thucmg nghien

cihi phuong trinh sai phan bang each tim c6ng thu:c nghiSm tucmg minh cua no.
Tuy nhien, kh6ng phai luc nao vice tim c6ng thuc nghiem tucmg minh cung thuc
hien duoc hoac neu tim duoc thi c6ng thu:c qua phiic tap, can tro vice nghien cuu
cac tinh cha't cua chiing. Cac va'n de tieu bi^u ma ly thuyet dinh tinh phucmg
trinh sai phan quan tam la tinh gioi n6i, tinh dao dong, ti'nh tudn hoan, tinh hAu
tuan hoan, tinh hut, ti'nh nhi phan, tinh On dinh nghiem, v.v...
Ly thuye't dinh tinh phucmg trinh sai phan tim duoc nhieu ung dung trong cac
ITnh vuc ciia toan hoc cung nhu cac khoa hoc khac, nhu trong giai tich s6', ly
thuyet dieu khi^n, ly thuyet tro choi, ly thuye't sO', khoa hoc may tinh, ly thuyet
mach, ly thuyet lugng tu, di truyen hoc, sinh thai hoc, kinh te hoc, tam ly hoc
va xa h6i hoc, v.v... Vi vay, viec nghien cihi ly thuyet nay la mot va'n de thai
su CLia toan hoc duoc nhi^u nha khoa hoc quan tam. Trong thai gian gan day da
CO nhieu tai lieu chuyen khao (xem [1], [2], [10], [14], [37]) va nhieu bai bao khoa
hoc (xcm [4], [7], [9], [11], [12], [13], [15], [16], [19], [25], [27], [28], [29], [33], [35],
[36], [38], [39], [40], [41], [43], [44], [46], [47], [48], [51], [52], [55]) de cap den ly
thuye't dinh tinh ciia phirong trinh sai phan va ung dung.
Nhieu bai toan dfm ve nghien ci'm dinh tinh phucmg trinh sai phan. Dien hinh
la bai toan nghien cuii su diet vong, truong ton, phat trie'n ben vung hay tuAn
hoan cua cac qiiAn the sinh hoc thOng qua viec nghien cuu tinh chat cua nghiem
cac phirong trinh sai phan mO ta chung hay cac phuong trlnh sai phan nhAn duoc
tir viec Tcf\ rac hoa cac phuong trinh vi phan (thucmg. c6 cham. dao ham ricng.
dai s6', ngau nhien. ...) da duoc dung de mO hinh hoa cac quAn thC nay Mot


trong nhOng bM toan khac din v^ viec nghien curu dinh tinh phuong trinh sai
phan 1^ bai todn yeu c^u phai xay dung cac thuat toan s6 h6i tu. M6t thuat toan
s6 quen bi^t la luge d6 lap Newton d^ tim nghiem ciia ham thuc. Nhung luge 66
lap Newton chi h6i tu dia phuong trong khi do chi nhung thuat toan h6i tu toan
cue thi mdi c6 y nghIa trong umg dung. Han che' nay cung xay ra dO'i vdi thuat
toan CO tinh chat tuin hoan vi trong trudng hgp nay may ti'nh khOng th^ cho ke't

qua xap xi t6t nhat khi thdi gian tie'n ra v6 ciing. Chang han nhu, di tim nghiem
(x^p xi) ciia phuong trinh f{x,x) - x trong tap hcrp s6' thuc duong ta cho tru6c
cac gia tri XQ.XI > 0 va tinh cac gia tri khac theo cOng thuc x„+i = /(i„,Xn-i)
vdi n G N. Dieu ma chung ta can o day la day {xn}n hOi tu nhanh toi nghiem
ciia phuong trinh f{x,x) = x. Tuy nhien trong thuc te lai c6 th^ xay ra trucmg
hgp day {x„}„ tuan hoan hoac hOi tu nhung tO'c dO h6i tu khOng cao.
Tren thuc te' nhieu quan th^ sinh hoc duoc mo hinh hoa boi phucmg trinh sai
phan phi tuye'n c6 cham dang
x„+i = Ai„+ F(x„_m),
trong 66 m la m6t s6 nguyen duong c6' dinh, n e No; x,,

(0.1)
(z = -m, 0) la cac s6'

duong cho tru6c; A e (0,1) va F G C([0,oo)) (xem [1], [7], [12], [41], [44], [45]).
Trong m6 hinh nay, m la khoang thoi gian tir liic sinh ra den luc trucmg thanh
cLia ca th^; x„ la s6' lugng thanh vien trucmg thanh cua quan the 6 thoi diem n;
Axn la s6' lugng thanh vien truong thanh sO'ng sot (a thai diem n) va F(x„_,„) la
.sO' lugng thanh vien trudng thanh (phat sinh bai x„_„.) bd sung vao quln the a
th6i diem n + 1. Hai m6 hinh tieu bieu c6 dang (0.1) la mo hinh quan the chim
cut o bang Wisconsin hgp chung quO'c Hoa Ky (xem [7], [41], [44])

A.M-A.r„ + -^f^^,

(/a->0)

va m6 hinh quan the ru6i xanh Nicholson (xem il], |45j)
J-„ + i = Ax„ + p x „ _ ^ c - ' " " — ,

{p.q>

0).


Mat khac, phuong trinh sai phan phi tuye'n c6 cham (0.1) chinh la ket qua ciia
viec rcfi rac hoa phuong trinh vi phan phi tuy^n c6 cham
x{t) = -nx{t) -f- f{x{t - r))

(0.2)

bang each thay dao ham bac nhat x{i) ciia x tai t boi ty sai phan ca'p 1 cda
no. Trong mOt sO' trucmg hgp cu thd ciia ham / , phucmg trinh (0.2) da dugc
diing d^ m6 hinh hoa m6t s6' quan th^ sinh hoc. Ching han, voi /(x) = pxe~'^'^
hay /(x) ^ pe-*?^ thi (0.2) la m6 hinh quan Xhi ru6i xanh Nicholson (1957) do
Gurney va mOt s6' tac gia khac khao sat nam 1980. Hoac la voi /(x) = -^^
/(x) = 0^^

hay

thi (0.2) la cac m6 hinh san xua't te bao mau do Mackey va Glass

khao sat nam 1977. Ti'nh cha't ciia nghiem phuong trinh dang (0.2) da dugc nhieu
tac gia nhu F. M. Atay, Y. Cao, S. Chow, W. S. C. Gurney, S. P. Blythe, R. M.
Nisbet, K. Gopalsamy, M. R. S. Kulenovic, G. Ladas, Jack K. Hale, K. P. 1 ladder,
J. Tomiuk, U. an der Heiden, Walther, M. Kot, Yang Kuang, 1. Kubiaczyk, S.
Saker, M. R. S. Kulenovic, Y. Sficas, M. C. Mackey, L. Glass, Jianhong Wu, v.v
..., quan tam nghien ci'm (xem [3], [6], [8], [20], [21], [22], [23], [24], [26], [30],
[31], [32], [34], [42], [49], [50], [54]). Can day, Y. Lenbury, Thomas I. Seidman
va Dang Vu Giang da khao sat ti'nh cha't cua nghiem phucmg trinh (0.2) va nhan
dugc mot s6' dieu kien de moi nghiem ciia phucmg trlnh nay la hoi tu ve 0, gidi

noi nggt hay hOi tu toi trang thai can bang duong duy nha't. Dac biet la ket qua
ve hieu suA't cua do tre doi voi sir hoi tu cua nghiem den trang thai can bang
duang va su tOn tai nghiem tuan hoan kh6ng tam thucmg (xem [17], ilS;). Nliom
tac gia nay cung ap dung cac ket qua cua ho dd xac dinh dieu kien diet vong.
truong t6n, phat tridn ben vung hay tuan hoan cua mot s6' qudn the sinh hoc dugc
rno hinh hoa boi phirong trlnh dang (0.2). 6 day ham phi tuyen / khong doi h6i
don dieu hay kha vi. Vi vAy, kCt qua nay la c6 y nghia sinh hoc. bai \i h:\u het
ciic m6 hinh phat triCn qudn the sinh hoc, ham / thuCmg khong dan dicii va kha
vi. Hon nua, nghiem tuctn hoan khOng tam thuong dong vai tro quan inMiLi irong
cac qua trinh sinh hgc. Nhom tac gia nay da su dung phucmg phap lap gun ium


uj Ai nghien cuu sir h6i tu cua nghiem den trang thai can bang duang duy nh^t
cua phirong trinh (0.2). Ngoai ra, ho con dung nguyen ly re nhanh Hopf va dinh
1^ di^m b^Tt d6ng Browder d^ chung minh t6n tai nghiem tu^n hoan kh6ng t^m
thucmg cua phuong trlnh nay.
Tinh ch^t cua nghiem phuong trinh sai phan phi tuye'n c6 cham (0.1) cung
da dugc nhieu nha khoa hoc quan tam nghien cuu (xem [1], [12], [27], [28], [45]).
M6t s6 tac gia da tim dugc mot so dieu kien dd moi nghiem cua (0.1) hOi tu toi
trang thai can bang duong duy nha't cua no (hieu suat do tre khong xua't hien).
Cu th^ la, nguoi ta da chung minh rang voi mot so dieu kien rang buoc ve tinh
don dieu, kha vi cho ham phi tuyen F, ihl moi nghiem hoi tu tai trang thai can
bang duong voi ta't ca cac chain.
Nam 1984, trong [12], Fischer va Gogh da su dung phuong phap phiem ham
Liapunov dd chiing minh sir 6n dinh tiem cAn toan cue cua trang thai cAn bang
duong duy nha't ciia phuong trinh dang (0.1). Trong [Ij, lac gia da ap dung ket
qua nay dd xac dinh dieu kien phat Irien ben vung trong hai mo hinh quan the
sau

va

' -t 71 — Til

-TTI+I — A T „ H"

1 + a'j„_,,i

Tuy nhien, trong nhieu truong hgp thi phuong phap nay mat lac dung.
Nam 1991, trong [28], nhom tac gia Karakoslas G.. Philos Ch. G., Sficas Y.
G. da sir dung phirong phap day gioi han day de khao sal tinh chat cua nghiem
phuong trinh (0.1) voi hai dang cua ham F, do \l\ F ^ f • g va F = f + g, trong
do / la m6t ham lien tuc, ducmg don dieu giam va g Mx moi ham lien tuc. khong
am, don dieu tang. Nhom tac gia tren nhan dugc moi so dieu kien du de moi
nghiem cua (0.1) hoi tu den trang thai can bang JiMne duy nhat va ho cung ap
dung cac ket qua llm dugc cho mot so plurong irinh nhu
•Tn+i = A.r„ -i-

^

•


_,

p

^n+1 — ^^n + T—

:

,

1 + ^n-m
X n + l = XXn +

OcXn-m^

•/3x,

Xn+1 = Xxn + ae ^^"—,
trong do 0 < A < 1, a,p,r,s,

la cac hang so duong va m la mot so nguyen duong

c6' dinh. Cac phuong trinh tren nhan dugc til viec rdi rac hoa mo hlnh san xua't
te bao mau Mackey - Glass va m6 hlnh quan the ruoi xanh Nicholson.
Nam 1994, trong [27], A. F. Ivanov da khao sal phuong trlnh sai phan dang

trong do n € No,/x la tham so duong, / e C{R) va m la mot so nguyen duong c6
dinh. Phuong trlnh nay co the dugc vict lai duoi dang (0.1) voi A = - ^ e (0,1)
va F{x) — -^f{x),

Vx e K. A. F. Ivanov da nhan dugc mot so ket qua \c tinh

cha't cua nghiem phuong trlnh nay nho vice nghien cuu ifnh chat cua anh xa /.
A. F Ivanov cung ap dung cac ket qua cua minh cho cac phien ban rai rac cua
m6 hlnh san xua't te bao mau Mackey - Glass va mo hlnh quan the ruoi xanh
Nicholson ma nhom tac gia Karakoslas G., Philos Ch. G., Sficas Y. G da khao
sat nam 1991.
Nhu da de cAp o tren, phuong Irlnh sai phan phi luycn c6 cham (0.1 ) c6 the
dugc dung de mo hlnh hoa mot so quan the sinh hoc. Trong mo hinh nay, he so

s6'ng sot A la mot so c6 dinh ihuoc khoang (0, 1 ) va su phat iricn cua quan the
phu thu6c m6t chAm m e N. Tuv nhien, iron rbirc le ibi he so song sol \-v bicn
thien theo thoi gian va su phai triOn cua quan the thuong phu ihuoc nhieu cham
bi chan, co trong s6'. Nhung quan the nhu va>- c6 the ^hhic mo la boi phujng
trlnh sai phAn sau
r

x „ 4 i - A,j-„ i ^ ( i . ( n ) r ( i - , , _ . , , ) .
t=i

f03)


R6 r^ng, phirong trinh (0.3) la mdt md rOng cua phuong trinh (0.1). Hon niia, n6
cung \k mb rdng cua phuong tnnh

da dugc L. H. Erbe va B. G. Zhang d6 cap trong [11].
Tir nhimg m6 hinh thuc te' va viec red rac hoa phuong trlnh vi phan phi tuye'n
c6 cham (0.2), ciing nhu nhung ke't qua \6 tinh ch^t ciia nghiem phuong trinh
nay, dSc biet la hieu sua^t ciia d6 tre dG'i voi su hOi tu cua nghiem de'n trang thai
can bang duong va su t6n tai nghiem tudn hoan kh6ng tdm thucmg, cho ta tha'y
viec nghien cuu tinh chSft ciia nghiem hai lop phuong trlnh sai phan phi tuyen co
cham (0.1), (0.3) va ung diing cua n6 trong ITnh vuc sinh hoc la m6t va'n de co
tfnh cha't thoi su.
Ngoai ra, viec nghien cuu tinh cha't cua nghiem phuong trlnh sai phan huu ty
a + PXn + 7Xn_i
trong do n 6 N, xo.xj la 2 so thuc khOng am cho truoc va
a,p,j,A,D,Ce[0,oo),

Q + /i + -7,S + CG (0,oo),

cung la vStn de dang dugc nhieu nguoi quan tam (xem [4], [9], [13], [19], [29],
[35], [36], [38], [39]). Trong nhung nam gan day, G. Ladas va mOt so' tac gia khac
nhu M. R. S. Kulenovic, W. Sizer, A. M. Amleh, E. A. Grove, D. A. Georgiou,
C. Gibbons, N. R. Prokup, da nhan dugc m6t so ket qua ve ti'nh chat cua nghiem
phuong trinh (0.4) voi m6t s6' han che' tren cac tham so Q. 3.-...4, B.C. Hon nua,
G. Ladas con dua ra nhieu du doan ve tinh chat hoi tu va tuan hoan cua nghiem
phuong trinh nay.
Luan an tap trung nghien ciru mdt s6' va'n de dinh ti'nh cua phucmg trinh sai
phan va ung dung. NhiJng van de dugc nghien curu trong luan an bao g6m:
I. Tfnh cha't ciJa nghiem m6t lop phuong trinh sai phan phi tuyen v(ti m(M
cham (0.1) va m6t \dp phucmg trinh sai phan phi tuyCn vai nhieu cham


8
(0.3). TCf do xac dinh dilu kien d^ cac qudn th^ sinh hoc dugc m6 hinh
hod boi cac phuong trinh dang nay la diet vong, trucmg t6n, phat tri^n ben
vung hay tuSn hoan.
2. Tinh ch^t cua nghiSm m6t lop phuong trlnh sai phan huu ty dang (0.4) vdi
mdt s6 han che' tren cac tham s6' a, p, 7, A, B, C.
Trong ban luan an nay, chung I6i su dung phucmg phap tap gi&i han UJ d^
xdc dinh su h6i tu cua moi nghiem phuong trlnh sai phan phi tuyen voi mOt
cham (0.1) de'n trang thai can bang duong duy nha't ciia no. Phuong phap cd dien
la phie'm ham Liapunov khOng hieu qua dC'i voi nhieu phuong trlnh dang (0.1).
Ngoai ra, chiing tdi dung dinh ly didm bat d6ng khdng cue bien cua Browder
va nguyen ly re nhanh Hopf dd chi ra su t6n tai nghiem tuan hoan kh6ng tam
thuong cua phuong trlnh (0.1) va diing dinh ly diem ba't d6ng Krasnosel'skii dd
chung minh su t6n tai nghiem t u ^ hoan duong cua phuong trlnh
•,, + 1 = XnXn + y ^ Q t F ( j n - t

N6i dung cua luan an, ngoai phiin mo d^u, phln ket luAn gom co 3 chuong.
Chuong 1 nham trlnh bay m6t s6' dieu kien dd moi nghiem cua phuong trlnh
(0.1) hci til ve 0, gi&i noi nggt, h&'\ tu toi trang thai can bang duong duy nha't vcd
ta't ca cac cham hay voi cham nho; dac biet la dieu kien de t6n tai nghiem tuln
hoan khOng tfim thucmg. Xac dinh dieu kien diet vong. irucmg ion, phat men
b6n vung va tudn hoan cua cac quiin the sinh hoc dugc mo hlnh hoa boi phuong
irlnh nay. Ngoai ra, Chuong 1 con chi ro sir tuong thich ve iinh cha't cua nghiem
phuong trinh sai phan phi tuyen co cham (0 1) va phucmg trlnh v: oha- phi tuyen
CO cham (0.2), Cac ke't qua dat dugc trong Chuong 1 la moi va mang ii'nh thoi
su. Day cung la chuong co nhieu ket qua moi nha't irong luAn an nay.
Trong Chuong 2, chiing tdi xac dinh dieu kien de nghiem cua phucmg irinh
sai phan phi tuye'n voi nhieu cham bi chan dang (0.3) la h6\ tu, gioi n6i. tuAn


h o ^ hay dao d6ng. Cac k^t qua \6 tinh hOi tu, gidi n6i, t u ^ hokn xac dinh
di6u kien diet vong, trucmg t6n hay tufe h o ^ cho cac q u ^ thi sinh hoc dugc
m6 hinh hod bcri phuong trinh (0.3). Ngoai ra, cdc k^t qua v6 tinh dao d6ng cua
nghiem phuong trinh (0.3) (trong trudng hgp An = 1,

Vn € No) la mo rOng v6

mat toan hoc cho m6t s6' k^t qua ciia L. H. Erbe va B. G. Zhang ve tinh dao
d6ng cua nghiem phuong trinh

Chuong 3 danh di nghien ciiu tfnh ch^t ciia nghiem mOt s6' Idrp phucmg trinh
sai phan huu ty dang (0.4). Cii th^ la, chiing tOi chung minh mOt phin du doan
cua Ladas va xac dinh mOt s6' dieu kien dii de' moi nghiem ciia mot s6' lap phuong
trlnh sai phan huu ty dang (0.4) hOi tu toi trang thai can bang ducmg duy nha't
cCia chiing.
N6i dung chinh ciia luan an dugc cOng b6' trong cac cOng trlnh [1-4] cua tac

gia va da dugc bao cao o cac hOi nghi khoa hoc va xemina sau:
- Xemina "Giai tich - Dai s6'" ctia Trucmg Dai hoc Khoa hoc Tu nhien, Dai
hgc QuO'c gia Ha nOi.
- Xemina "Phuong phap giai phuong trinh vi phan" cua Khoa Toan-Ca-Tin
hgc, Truong Dai hgc Khoa hoc Tu nhien, Dai hoc Qu6'c gia Ha nOi.
- Xemina "Phuong trinh vi phan" ciia Khoa Toan-Co-Tin hoc, Trucmg Dai hoc
Khoa hgc Tu nhien, Dai hgc QuO'c gia Ha nOi.
- HOi thao lien trucmg - Vien ve phucmg trinh vi tich phan va ung dung (15 16 thang 05 nam 2004 - Ba Vi).
- H6i thao Toan sinh thai n^^i tmcmg (27 - 2Q tha-.g 09 nan-i 2004 - Ha Long).
- H6i nghi qu6'c te' lan thii II ve giai tich truu tugng va ung dung (04 - 09
thang 06 nam 2005 - Quy Nhcm).


CHTJDNG 1

VE MOT L 6 P PHUONG TRINH SAI PHAN PHI TUYEN V6l
MOT CHAM

Xet phuong trinh sai phan phi tuye'n voi mOt cham dang
X„+i = AXn + F(x„_„),
trong do m la m6t sO' nguyen duong cO' dinh, n e No; x,,

(1.1)
{i = -Tn,0) la cac s6'

duong cho trudc; A e (0,1) va F e C((0,oo)). Phuong trlnh (1.1) xua't hien trong
nhi^u ling dung va co thi duac xem nhu la ke't qua cua su rcri rac hoa phuong
trlnh vi phan phi tuye'n co cham
i{t) = -lix{t) + f{x{t-T)).
trong d6 t>0,f

(1.2)

e C([0,oo)), ;x va r la cac tham s6' duang.

Trong chuong nay, 6 muc thu nha't, chiing ta nghien cuu mOt s6 tinh cha't ciia
nghiem phuong trlnh sai phan phi tuyen voi m6t cham (1.1). Cu the la, ta se xac
dinh mOt sO dieu kien de moi nghiem ciia phucmg trinh tren la hoi tu ve 0, gidi
npi nggt hay hoi tu toi trang thai can bang ducmg duy nhat. Dac biet la dieu kien
de ton lai nghiem tuan hoan khOng tam thucmg ciia (1.1). Muc thu hai danh de
trlnh bay ung dung cua viec nghien cuu dinh tinh phucmg trlnh sai phan co cham
(1.1) dO'i voi bai loan khao sat su diet vong. trucmg ton. phat trie'n ben vung va
tudn hoan ciia cac quan the sinh hgc dugc mO hlnh hoa bai phuitng irinh dang
nay. Trong muc cuo'i cung la se nghien cuu moi Hen he ve linh chat cua nghiem
phuong trlnh sai phan phi tuyen co cham (1.1) va phucmg trinh vi phan phi tuyen
CO cham (1.2).
10


11

1.1 Tinh chat cua nghiem phirong trinh sai phan phi tuyen vdi mot
cham
Dinh nghla l.L MOt day s6 duong {xn}nGN_^ dugc goi la mdt nghiem cua (1.1)
n^u no thoa man (1.1) vdi ta't ca n e NQ.
Neu cho trudc m + 1 s6 duong a^,

(i = - m , 0) thi (1.1) co nghiem duy nha't

{xn}n^N-m Ihoa man di6u kien ban dSu

Xn = cin

vdi n — —m, 0.

Dinh nghla 1.2. MOt nghiem {xn]n cua (1.1) dugc goi la gi&i noi ngat neu
0 < Hminfxn ^ HmsupTn < oc.
n ->oo

Xet phuong trlnh sai phan phi tuyen co cham (1.1). Ta co cOng thuc bien
thien hang s6' nhu sau
n

x„+i = A"+ixo + 5 ] ; A"-'F(x._..)

vai n e NQ.

(1.3)

1=0

C6ng thuc (1.3) dugc chung minh de dang bang each sir dung phucmg phap quy
nap theo n.

1.1.1

Hoi tu ve 0

Dinh ly sau se cho ta mot dieu kien can va du de moi nghiem cua (1.1) hoi
tu toi 0.
Djnh ly 1.1. Dieu kien can vii dii dc moi nghiem {x,,},, ciu (/./) hoi iii idi 0 khi

n lien ra vo cung la F{u) < (1 - A)u vin moi u > 0.
Chifng minh. Truoc het gia su rang /-'(u) < (1 - A);/ vai moi u > 0. Goi {x,,}., la
mOt nghiem cua (1.1) va .M : - max_„.^,^o-f- Ta chung minh rang x,. -^ .\I vai


12
moi n. That vSy, dung phuong phap quy nap gia su ring xjt ^ M vcfi moi

k^n.

Ta CO

^

XM + {l-X)M

= M.

Vi vay Xn ^ M vdri moi n. Dat
ii

= limsupXn < +00,
n—•oo

£2 = limsupF(xn-m) < +00.
n-+oo

Lafy f > 0 la m6t s6' nho tuy y. Dat TV = yV(e) sao cho F(x„__^) < ^2 + -^ vdi
moi 71 > A^. Vdi n > A'' ta co

< XXn +£2+ ^•
La'y gioi han tren hai ve ta nhan dugc

Vi e la s6 nho bao nhieu tuy y nen dieu nay cho ta

Mat khac, {.r,}„ va {F(x,,_nO}„ la cac day bi chan nen ta co the chon m6t day
con {ilk} cua tap so tu nhien sao cho

Ta cung co the gia su rang day con {x„, .,„} hoi tu toi giai han /,. Vi F la
ham lien luc nen la co ^2 = ^(^s)- Neu ^3 > 0. thi
/'2 = F ( 6 ) < ( 1 - A ) ^ 3 .


13
R6 rang, 4 < ^i- Vi vay ^2 < (1 - A)^i. Tiif (1.4) ta co

Tiic la £2 < £2 (v6 1^). v a y ^3 = 0 do do
h = F{£3) = F(0) = 0 suy ra £1 = 0.
Nhu vay,
lim Xn = 0.
n—¥oo

Ngugc lai, gia sii rang F{u) < (1 - X)u kh6ng thoa man vcri moi u > 0. Hai
trucmg hgp sau co Ih^ xay ra:
(i) T6n tai a > 0 sao cho F{a) = (1 - X)a.
(ii) F{u) > (1 - X)u vdi moi u > 0.
Trong trucmg hgp thu nha't day {x„}„ vcri x^ = a,

Vn la m6t nghiem duong

nen khdng h6i tu den 0. Ta xet trucmg hgp thu hai. Dat x, = 2,

i = - m , 0 . Ta

chung minh rang Xn > 1 vdi moi n. Bang quy nap, gia su rang x^ > 1 vdi k ^^n.
The' thi
Xn+l

^

'^^n

I -^

\Xn-m)

>

A + ( 1 - A ) = l.

VI vay x„ > 1 vcfi mgi n, do do Xn khong hoi tu toi 0. Dinh ly duoc chung
minh.

LJ

Nhan xet 1.1. De iha'y rang neu F(x) = c (hang so") thi lim^^^^ x„ = yf^. That
vay, phuong trlnh X,H i = Ax„ + c co nghiem tOng quat la x„ = aA" + j ^ .

Do

A e (0,1) nen la co ngay lim„_,3c J'u = jzx-

1.1.2

Gidi noi ngiit

Dinh ly sau la mOl dieu kien du de mgi nghiem cua (1.1) la gicn n6i ngat.


14
Dinh ly 1.2. Gia su rang F{x) = H{x,x),

trong do H : [0,oo) x [0,oo) -^ [0,oo)

Id ham lien tuc, dong bien theo bien thii nhat nhUng nghich bien theo bien thu
hai va H{x,y) > 0 neu x,y > 0. Gia thiet them rang
limsup : ^ A ^ < 1 - A ,
(x,y)-¥{co,oo)

(1.5)

X

Uminf : ^ ^ M ) > i _ A .
(x,v)-+(0.0)

(1.6)

X

Khi do mgi nghiem {xn}„ ciia (LI) Id gi&i noi nggt.
Chiing minh. Trudc het ta chihig minh rang {xn}n la bi chan tren. Bang phuong
phap chung minh phan chumg, gia su limsup^_,^x„ = oo. Vdi mdi sd nguyen
n ^ - m , ta dinh nghla
kn '= inax{p : —m ^ p K n,Xp — max x^}.
Nhan xet rang A;_^ ^ fc.^+i ^ • • • ^ A:„ ^ oo va do do
lim x^-, = oo.
n—>oo

Chgn no > 0 sao cho kn^ > 0. Vdi n > no ta cd

^

Ax^-„ + //(xjt„_i_^,0)

va VI vay
lim //(xfc„_i_„,,0) - oo
n—KXJ

Dieu nay keo theo
lim

XA.-

_i_,n = oc

Mat khac

^

XXk^ + / / ( X i t „ , X f c ^ _ l _ m )


15
(vi Xkn > ^kn-i-m v^ H{x,y) la ham d6ng bie'n theo bi^n x) nen ta cd
hm sup
(3:,v)->(oo.oo)

^ hm sup —^-—^
X

n-^oo

^ 1 — A.
Xfc^

Di6u nay mau thuSn vdi (1.5). Do dd, {xn}n bi chan tren.
Tiep theo, ta chung minh rang Uminf„_,ooXn > 0. Bang phuong phap chung
minh phan chung, gia su rang hm inf^-^oo 2:n = 0. Vdi m6i so nguyen n ^ - m , ta
dinh nghla
Sn := max{p : —m ^ p ^ n,Xp = min

xj.

R6 rang, 5_,n ^ s..m^i ^ • • • ^ 5„ -)• oo va do dd
lim x^„ = 0.
n-*oo

Goi C la m6t can tren ciia {x„}„ va no > 0 sao cho .s^ > 0. Vdi n > no ta cd

^

AX,„ + / / ( x , „ _ i _ m , C )

va do dd
lim //(x,^_i_m,C) = 0

Dieu nay dan den
h m Xs^-\~r7, = 0,

n—>oo

Mat khac,
X^,^

(l-A)x,,^

^

A X , „ _ 1 -f / / ( x , ^ _ i _ , . i , X , , - l - m )

>

//(x,^,x,,^_i_.,)

(VI x.,„ ^ x,„^i „, va //(x,j/) la hmn ddng bien ihco bicn s) nen ta nhAn duoc
.
//(x,y)
. ^//(x,,,x,^ ^ - ' < 1 \
hm mf —

^ Inn mt •
^ 1- A
(j.y)->(0.0)

X

"->>^

x,^

dieu nay trai vdi (1.6). Dinh ly dugc chung mnih.

•


16
Dinh nghla 1.3. Vdi m6t nghiem gidi ndi ngat {xn}n cua (1.1) ta goi tap tSft ca
cdc di^m tu cua day cac vec to {v^ = (x„_^, Xn-m+i, * • • , Xn)}n la tap gidi han 6
me ga ciia {xn}n va ki hieu la u{x),
Nhan x^t 1.2. Tap gidi han a;(x) compact va b^t bie'n ddi vdi anh xa

xac dinh boi Tv^ = v^_^^, Neu mdt nghiem {xn}n la tuin hoan thi tap hgp gidi
han uj{x) g6m hiJu han didm. Ngugc lai. neu tap hgp gidi han a;(x) g6m him han
didm, thi ban than nd la mdt nghiem tu^n hoan (xem [53]). Hon niia, anh xa
T : uj{x) —> u{x) la toan anh. Vi vay, t6n tai hai nghiem cd ngu6n gdc {PnlnGZ
va {Qn}n€Z (gia tri ban dau dugc chon trong tap gidi han a;(x)) cua phuong trinh
(1.1) vdi mgi n sao cho
lim sup Xn = PQ,
n-^oc

liminfxn = Qo
"^-^^

va
Qo^Pn^

PO.

Qo ^ Qn < PO^

^n G Z ,

Ta cd
Po = AP_i + F(P-m-i),

Qo - AQ_i ^ F(Q-.n-l)

va he qua la.
FjP.m-.)
1-A '

^ ^ F((?_._.)
""
1-A

Tit cOng thuc nay ta co
—^
1-A

1.1.3

• iuf F(x) ^ liminfx,, ^ lim sup x„ ^
i>0

n-.c»

„_>^

r -supFlx).
i - A

j>0

Hoi tu t6\ t r a n g thai can bang duong vdi tat ca cac cham

TCr day ta luon gia su rang phuong trlnh x --^ Ax - F(x) co nghiem duy nhat
X = X € (0, oo). Tit se xac dinh dieu kien de moi nghiem ciia (1.1) hoi tu tai trang
th^i can bang duy nhat x voi tat ca cac cham.


17
Dinh ly 1.3. Gia si( F Id hdm dcm dieu tang vd
< 1 -A

(1.7)

liminf^^""^ > 1 --A.

(1.8)

limsup
X—•oo

X

Khi do mgi nghiem {xn}n ciia (LI) hoi tu den x.
Chimg minh. Vdi m6i x e [0,oo) dat H{x,y) = F(x),Vy 6 [0,oo), the'thi dieu kien
(1.5) va (1.6) la thoa man va dinh 1^^ 1.2 dugc ap dung. Dieu nay cd nghla rang
mgi nghiem cua (1.1) la gidi nOi ngat. Vi vay, vdi mdi nghiem {xn}n cua (1.1),
t6n tai hai nghiem cd ngudn gdc {Pn}ncz va {Qn}n€Z cua (1.1) sao cho
.imsupXn

(1.9)

liminf Xn = Qo

= Po,

n—>oo

n—*oo

va

Qo ^ Pn ^ -^0

Qo ^ Qn ^ Po.

Vn e Z.

Hon nua,
_ ^ F(P-^^i) ^ F(Po)
" ^
1-A
1 -A

1.10)

Xn ^

va tuong tu
F(Q_^-i)
1-A

F(C?o)
1 -A

(1.11)

Dat
^(x) = ^ - ( l - A )
TCr (1.10) va (1.11) ta thu dugc ^(Po) > 0 va a^o^ ^ 0. Mat khac. tu (1.7j suy
ra limsup^_^C(x) < 0, va tCr (1.8) ta nhan dugc hminf^_o^(j) > 0. Do do, hai
irucmg hgp sau co the xay ra: Hoac la trong (0, Qo] va \PQ. oc) co hai die'm A'', A'"
khac nhau sao cho i{K') = i{K") - 0, hoac l\ = Qo = ^- Theo gia thiet thi
tru5ng hgp thu hai xay ra. Dinh ly dirge chung minh.

•

Dinh ly 1.4. Gia si( F la ham chm dieu gidm. Dat

/(x) =

F(x)
1_A

I

CAIHO.
" . & i,r.

V L(

/M:L

'HI

( •• I


18
Gia thiet them rang he hai phucmg trinh sau
a = f{P).

P = f{a)

CO nghiem duy nha't a = p. Khi do mgi nghiem {xn}n ciia (LI) hoi tu den x,
Chimg minh. Vdi mdi y G [0,oo) dat H{x,y) = F(y),Vx G [0,oo), the thi dieu kien
(1.5) va (1.6) la thoa man va dinh ly 1.2 dugc ap dung. Do vay, vdi mdi nghiem
{xn}n cua (1.1), ton tai hai nghiem cd ngudn gd'c {Pn}nez va {Qn}nez cua (1.1)
sao cho

hmsupxn " Po,

liminfxn = Qo

va
Qo ^ Pn ^ Fo,

Qo ^ Qn < Po.

Vn G Z.

Vi vay,

P„,n^,^.,^0)^:5.
va tuong tu

Qo ^ ^^^f^ ^ f{^) =: a,
Xet he cac phuong trlnh sai phan sau
fln+i = fibn),

5„+i = /(a„)

vai n e N.

The' Ihl ca Po va Qo cijng thugc vao doan [a„,6„) vai moi n € N. Day {a.Jn la
don dieu tang va day {fe,.},. la dcm dieu giam. Vi vay ton tai hai giai han tuong
ung la a va p. Hon nija, cac gioi han nay thoa man he
a = /(/?),

^ = /(a).

Theo gia thiet cua ta thi a ^ p = x. VI vay, liin„_.>: a,. - liiii„-.:x. b„ - 7 va do
do, Fo = Qo = ^- Dinh ly dugc chung minh.

^


19
Ti6p theo, ta gia s i rang vdi yo > 0, ta cd
F{yo) = raaxF(x)
x^O

va F la ham don dieu tang trong [0,yo]i don dieu giam trong (yo>oo). Trong
trudng hgp nay F dugc goi la ham hinh chuong. Dat

Gia thi^t them rang {xn}n la mdt nghiem gidi ndi ngat cua (1.1). Goi {Pn}n^z
va {Qn}n€Z la hai nghiem cd ngudn gd'c cua phuong trinh (1.1) sao cho
limsupx„ - Po,

Qo ^ P„ ^ Po,

Vn G Z.

(1.12)

n—•oo

Vi vay,
n ^ P{P-m-\)

. F{yo)

Po ^ —. _ .

^ T^

.,

,

/I Tj\

^ ^^^^^''

^

'

Dinh !y 1.5, Gia sH rang /(yo) ^ yo va (J.8) cung dugc gia thiet la diuig. did sir
{xn}n i^ ^g^ nghiem gi&i noi nggt cua (LI). The thi {xn)n hoi tu den x.
Ciiirng minh. Tir (1.12) va (1.13) ta cd Pn ^ Po ^ yo>

Vn G Z. Nhung F la ham

tang trong [0,yo] nen ta thu dugc
F(P_„.-0 , F(Po)
Po^
1-A
^ 1-A

^^ ^

va tuong tu
Q„^^'W-"-'^g%l.
1-A
1-A

(11.5

Dat
X

Tu(1.14) va (1.1-^) suy ra

a n ) ^ 0, s^(Qo) ^ 0.
Mat khac, ro rang limsup^_.^{(x) < 0 va tu (1.8) ta co Hminf,

.„C(J-)

> 0. Do

66, hai irucmg hgp sau co the xay ra: Hoac la trong [O.Qo] va [/'o.oc) c6 hai


20
dlim K\K"

khac nhau sao cho ^{K') = ^{K") = 0, hoac PQ = Qo = x. Do gia

thieft cua ta trudng hop thur hai xay ra. Dinh If dugc chumg minh.

D

Xet trudng hgp /(yo) > yo. Trudc tifin, ta nhic lai dinh ly sau ciia Ivanov da
dugc trinh bay trong [27]:
Dinh ly 1.6. [27\ Gia sic tSn tai mdt doan I trong R la bat bien doi v&i anh xg
/ G C(R), ti(c Id / ( / ) C /. Gia thiet them rang, co duy nhat mdt diem x G int/ la
diem hiit todn cue ciia / , ti(c Id /(x) = xvd linin-^oo f'ix)
The thi, mgi nghiem {x^jneN-^^^i G int/,
Xn + l =

—rXn +

fl+ 1

= x v&i mgi x G int/.

i = - m , 0 ciia phuong trinh

—-/(Xn_m),

M > 0

/i + 1

hdi tu t&i X.

Dat / la doan [0,/(yo)]. Ro rang ham / dua / vao chinh nd. Tu (1.13) ta cd
x„ G / vdi ta't ca n trir mdt sd huu han chi sd n. Mat khac. vi x la nghiem duong
duy nha't ciia phuong trinh x = Xx + F{x) nen nd cung la nghiem duong duy nha't

cua phuong trinh /(x) = x. Di6u nay cd nghla x G int/ la diem cd dinh duy nhat
cua / . Ta cd bo de sau:
Bo de 1.1. Gia silt rang limn-.oo/"(x) = ^ ^'cri tat cd x G / . The thi mgi nghiem
gi&i ndi nggt ciia (LI) hoi tu t&i x.
Chimg minh. Nhu da de cap 0 tren vdi mdt nghiem gidi noi ngat {x^Jn ta phai
cd Xn G / vdi ta't ca n trir mot sd huu han chi sd n. VI vay khong mat tinh tong
quat ta gia su rang x^ G / vdi mgi n. Theo dinh ly 1.6 ta cd dieu phai chung
minh.

'-'

Bo d^ 1.2. Gia su hdm f co dgo hdm de'n cap 3 tren L \f'[s)\ ^ 1 vd dao ham
Schwarzian

,

cua f dm trong I \ {x}. The thi liin„^oo /"(x) = x v(n idi cd x G /.


21
Ph6p chumg minh ciia bd d6 1.2 cd thi tim th^y d [27], [51]. B 6 di 1.1 va 1.2
cho ta dinh ly sau:
Dinh ly 1.7. Gia sUt hdm f co dgo hdm den cap 3 tren /, |/'(x)| ^ 1 vd dgo hdm
Schwarzian

^'^^> - m

2 (/'(x))

ciia f dm trong I \ {x}. The thi mgi nghiem gi&i noi nggt cua (LI) hoi tu t&i x.

1.1.4

Hoi tu tdri t r a n g thai can bang dirorng vdi c h a m nho

Bay gid chiing ta nghien cihi hieu sua't cua cham m dd'i vdi sir hdi tu cua nghiem
phuong trinh (1.1) tdi trang thai can bang duong x. Ta gia thiet /(yo) > yo Dieu
nay keo theo x > yo.
Menh dd 1.1. V&i moi nghiem gi&i noi nggt {xn}n ciia (LI) ta co
A'^"*"^x < Hminf Xn ^ x ^ HmsupXn ^ /(yo)n—>cc

n—•oo

Chiaig minh. Ggi {P„}n^z va {Q„}„gz la cac nghiem co nguOn goc cua phuong
trinh (1.1) vdri Po = limsup„_^^x„ va QQ = liminf„^3c ^n- Ta co
Qo = AQ_i + F((?_i_„0 ^ AQo + F(C_i-m),
do do Qo ^ /(Q-i-m). Nhung Qo ^ Q-i-m, vi vay Q_i_„, ^ / ( Q - i - ^ ) - Mat
khac, la co y < f{y) voi moi y e (0,x). Vi vSy. (?_!_„, ^ x. Tu day suy ra
Po ^ J^- Hon nira, lir cong thuc bien thien hang so ta co
Qo -

XQ-i I F{Q.i.,„)

=

A(AQ_2 + F ( Q - 2 - r n ) ) + P ( Q - l - r n )

=

A'^Q , + A F ( Q , „.) + F ( Q - : - . n )

TTl

j=0


22
Mat khac,
Po = AP.i + F{P_,_m) ^ APo + F ( P - i - ^ ) ,
nen Po ^ /(P-i-m) < /(yo). Nhimg Po ^ P-i-m. do dd P.^^m ^ /(P-i-m). Mat
khac, ta cd y > /(y) vdi mgi y G (x,oo). Vi vay, P-i-m ^ x. Tir day suy ra
Qo ^ X. Menh d^ dugc chumg minh.

D

Dinh ly 1.8. Gid silt ton tgi cac hang so duang Li,L2 sao cho hdm / thoa man
dieu kien
0 ^ /(x) — X ^ Li(x — x)
0 ^ X - /(x) ^ L2(x - x)

v&i mgi x G [A"^'^^x,x],
V(77' W(?/ X G [x,/(yo)].

(1-lG)

/LA/* Jd mgi nghiem gi&i noi ngiit {x„}n ciia (LI) hoi tu den x neu
A"*^^ > 1
Chimg minh. Ggi {Pn}nGZ va {Qn}nez la cac nghiem cd ngudn gdc cua phuong
trinh (1.1) vdi Po = nmsupn_,oo^n va Qo - liminfn^oc :Cn. Tu menh de 1.1 ta cd
A"^+'X < Q o ^ P - m - l ^ X ^

Q_n.-1 ^

P o ^ f iVo) •

Tijr cdng thuc bie'n thien hang sd ta cd
m

x-Qo

= x-A'"+^Q_i_,„-^A^F(Q_,_„-,)
m

^ x(l - A-^^) - (1 - A) 5^ AV(Q-i^^.-;)
m

=r

(l-A)^A^(x-/(Q-i-„.-j))

^ (1-A)
^

Yl
{\-y')(Po-x)L2.

V(x-/(Q_i_^^,))