Chuyên đề hình 9.k1.1

Trang 1
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. Định lý : Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
µ µ
µ
0 0
, 90 90ABC A B C
∆ = ⇔ + =
2. Định lý Pitago : Trong một tam giác vuông bình phương
cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Định lý đảo : Nếu một tam giác có một cạnh nào đó bằng tổng
các bình phương của hai cạnh góc vuông thì góc đối diện với
cạnh đó bằng 90
0
.
µ
0 2 2 2
, 90ABC A BC AB AC
∆ = ⇔ = +
3. Định lý trung tuyến : Trong một tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa
cạnh huyền.
µ
0
, 90
2
BC
ABC A AM MB MC
∆ = ⇒ = = =
4. Định lý hình chiếu : Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân
giữa cạnh huyền và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.
µ

0 2 2
, 90 . ; .ABC A AB BC HB AC BC HC
∆ = ⇔ = =
5. Định lý liên quan đường cao : Trong một tam giác vuông đường cao ứng với cạnh huyền
là trung bình nhân giữa hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
µ
0 2
, 90 .ABC A AH HB HC
∆ = ⇔ =
Trong một tam giác vuông tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao
ứng với cạnh huyền.
µ
0
, 90 . .ABC A BC AH AB AC
∆ = ⇔ =
Trong một tam giác vuông nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng
tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
µ
0
2 2 2
1 1 1
, 90ABC A
AH AB AC
∆ = ⇔ = +
6. Định lý liên quan tỷ số lượng giác :
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng :
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề;
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cotang góc kề.
µ
0

.sin .cos . .cot
, 90
.sin .cos . .cot
AB BC C BC B AC tgB AC gC
ABC A
AC BC B BC C AB tgC AB gB
= = = =

∆ = ⇒

= = = =

7. Các hệ quả :
1) Đường chéo hình vuông cạnh a :
2d a=
.
2) Đường cao của tam giác đều cạnh a :
3
2
a
h =
.
Ví dụ 1 : Cho
µ
0
: 90 , , , , , , ', 'ABC A BC a CA b AB c AM m AH h HB c HC b∆ = = = = = = = =
Hãy viết các hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với ∆ABC ?
Bài giải
Trang 2
Tam gác ABC vuông ở A ta có :

1)
µ
µ
0
90B C+ =
2)
2 2 2
a b c= +
, định lý Pitago.
3)
2
a
m =
.
4)
2 2
. '; . 'b a b c a c= =
.
5)
2
'. 'h b c=
.
6)
. .a h b c=
.
7)
2 2 2
1 1 1
h b c
= +

.
8)
.sin .cos . .cotb a B a C c tgB c gC= = = =
;

.sin .cos . .cotc a C a B b tgC b gB= = = =
.
Ví dụ 2 : Tính
x
,
y
trong mỗi hình vẽ sau :

a) b) c)

d) e) f)
Bài giải
a) Vì
x
,
y
là độ dài các đoạn thẳng nên
0x
≥
,
0y ≥
.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
2
2

.
.
AB BC HB
AC BC HC

=


=


⇒
( )
( )
2
2
6
8
x y x
x y y

= +


= +


⇔
2 2
2 2

6
8
x xy
xy y

= +


= +


⇔
2 2 2 2
6 8x y− = −
⇔
( ) ( )
28x y x y+ − = −
, (1).
Mặt khác ta có :
2 2 2
BC AB AC= +
⇒
( )
2
2 2 2
6 8 10x y+ = + =
⇔
10
10
x y

x y
+ =


+ = −

.
Nếu
10x y+ =
, thay vào (1) ta được :
( )
10 28x y− = −
⇔
14
5
x y− = −
.
Ta có hệ phương trình :
10
14
5
x y
x y
+ =



− = −



⇔
18 32
;
5 5
x y= =
.
Trang 3
Nếu
10x y+ = −
, thay vào (1) ta được :
( )
10 28x y− − = −
⇔
14
5
x y− =
.
Ta có hệ phương trình :
10
14
5
x y
x y
+ = −



− =



⇔
18
5
32
5
x
y

= −




= −


, (loại). Vậy :
18 32
;
5 5
x y= =
.
b) Vì
x
,
y
là độ dài các đoạn thẳng nên
0x
≥
,

0y ≥
.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
2
.AB BC HB=
⇔
2
12 20.x=
⇔
36
5
x =
.
BC HB HC= +
⇔
20x y+ =
⇔
36 64
20
5 5
y = − =
.
Vậy :
36 64
;
5 5
x y= =
.
c) Vì
x

,
y
là độ dài các đoạn thẳng nên
0x ≥
,
0y ≥
.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
2
.AB BC HB=
⇒
( )
2
1 4 .1x = + ⇒
2
5x =
⇒
5x =
;
2
.AC BC HC=
⇒
( )
2
1 4 .4y = + ⇒
2
5.4y =
⇒
2 5y =
.

Vậy :
5x =
,
2 5y =
.
d) Vì
x
,
y
là độ dài các đoạn thẳng nên
0x
≥
,
0y ≥
.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
2 2 2
BC AB AC= +
⇔
2 2 2
5 7y = +
⇔
2
74y =
⇔
74y =
;
. .HB BC AB AC
=
⇔

. 5.7x y =
⇔
35
x
y
=
⇔
35 74
74
x =
Vậy :
35 74
; 74
74
x y= =
.
e) Vì
x
,
y
là độ dài các đoạn thẳng nên
0x
≥
,
0y ≥
.
Ta có :
2
.AH HB HC=
⇒

2
2 1.x=
⇒
4x
=
;
2 2 2
AC AH HC= +
⇒
2 2 2
2y x= +
⇒
2 2 2
2 4y = +
⇒
2 5y =
.
Vậy :
4x =
,
2 5y =
.
f) Vì
x
,
y
là độ dài các đoạn thẳng nên
0x
≥
,

0y ≥
.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
2
.AH HB HC=
⇒
2
12 16x=
⇒
9x
=
;
2
.AB BC HB=
⇒
( )
2
16y x x= + ⇒
( )
2
16 9 .9y = +
⇒
2
25.9y =
⇒
15y =
.
Trang 4
Vậy :
9; 15x y= =

.
Ví dụ 3 : Trong tam giác vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy
tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Bài giải
a) Giải sử có tam giác ABC thỏa mãn
3, 4AB AC= =
.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
2 2 2
BC AB AC= +
⇔
2 2 2
3 4BC = +
⇔
2 2
5BC =
⇔
5BC
=
.
Ta có :
2
.AB BC HB=
⇔
2
3 5.HB=
⇔
9
5
HB =

.
Tương tự :
2
.AC BC HC=
⇔
2
4 5.HC=
⇔
16
5
HC =
.
Ví dụ 4 : Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn có độ dài là 3
và 4. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Bài giải
Giải sử ∆ABC vuông ở A thỏa mãn
3, 4HB HC= =
.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
2
.AH HB HC=
⇔
2
3.4 12AH = =
⇔
3.4 2 3AH = =
Xét tam giác vuông AHB có :
2 2 2
AB AH HB= +
⇔

2
12 9 21AB = + =
⇔
21AB =
.
Tương tự :
2 2 2
AC AH HC= +
⇔
2
12 16 28AC = + =
⇔
2 7AC =
.
Ví dụ 5 : Cho một tam giác vuông biết tỷ số hai cạnh góc vuông là
3: 4
và cạnh huyền bằng
125cm
. Hãy tính các cạnh góc vuông và hình chiếu của chúng trên cạnh huyền.
Bài giải
Giải sử ∆ABC vuông ở A có tỷ số hai cạnh góc vuông là
3: 4
nếu cạnh AB có độ dài là 3a thì cạnh AC có độ dài 4a.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
2 2 2
AB AC BC+ =
⇔
( ) ( )
2 2
2

3 4 125a a+ =
⇔
2 2
25 125a =
⇔
25a
=
. Suy ra hai cạnh góc vuông là :
( )
3 3.25 75AB a cm= = =
,
( )
4 4.25 100AC a cm= = =
.
Mặt khác :
2
.AB HB BC=
⇔
2
75 125.HB=
⇔
( )
45HB cm=
. Tương tự :
( )
80HC cm=
.
Ví dụ 6 : Cho ∆ABC vuông ở A biết
5
6

AB
AC
=
và đường cao
30AH cm=
. Tính HB, HC.
Bài giải
Hai tam giác vuông ∆ABH, ∆CAH đồng dạng nên :

AB AH
AC HC
=
⇔
5 30
6 HC
=
⇔
( )
36HC cm=
.
Mặt khác
2
.AH HB HC=
⇔
2
30 .36HB=
⇔
( )
25HB cm=
.

Trang 5
Ví dụ 7 : Cho ∆ABC từ một điểm M bất kỳ trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông
góc với các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
BD CE AF DC EA FB+ + = + +
.
Bài giải
Do MD vuông góc BC nên
·
0
90MDB =
.
Xét ∆BDM có
µ
0
90D =
nên
2 2 2
BD BM MD= −
.
Tương tự ta có :
2 2 2
CE CM ME= −
,
2 2 2
AF AM MF= −
.
⇒
2 2 2 2 2 2 2 2 2
BD CE AF BM MD CM ME AM MF+ + = − + − + −

⇔
2 2 2 2 2 2 2 2 2
BD CE AF CM MD AM ME BM MF+ + = − + − + −
;
⇔
2 2 2 2 2 2
BD CE AF DC EA FB+ + = + +
.
Định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn Cho tam giác ABC vuông ở A
_
sin
_
canh doi di
canh huyen hoc
α
= =

_
s
_
canh ke khong
co
canh huyen hoc
α
= =
_
tan
_
canh doi doan
canh ke ket

α
= =

_
cot
_
canh ke ket
canh doi doan
α
= =
Ví dụ 8 : a) Dựng góc
α
biết
2
sin
3
α
=
; b) Dựng góc
β
biết
3
tan
7
β
=
.
Bài giải
a) Dựng góc vuông
·

xOy
, lấy một đoạn thẳng bất kỳ làm đơn vị đo.
Trên tia Oy lấy điểm M sao cho
2OM
=
, lấy M làm tâm vẽ đường tròn
tâm M bán kính
3R =
; đường tròn này cắt trục Ox tại điểm N.
Thế thì :
·
ONM
α
=
!
b) Dựng góc vuông
·
xOy
, lấy một đoạn thẳng bất kỳ làm đơn vị đo.
Trên tia Oy lấy điểm M sao cho
3OM
=
, trên tia Ox lấy N sao cho
7ON
=
.
Thế thì :
·
ONM
β

=
!
Ví dụ 9 : Cho ∆ABC vuông ở A,
( )
6,AB cm=
và
µ
B
α
=
. Biết
5
tan
12
α
=
, hãy tính
a) cạnh AC; b) cạnh BC.
Bài giải
Ta có :
( )
5 5
. 6. 2,5
12 2
AC AB tgC ABtg cm
α
= = = = =
;
Theo Pitago ta có :
( )

2 2 2 2
6 2,5 6,5BC AB AC cm= + = + =
.
Ví dụ 10 : Tính các tỷ số lượng giác của góc
0
30
,
0
45
,
0
60
. So sánh các kết quả tìm được có
thể rút ra tính chất gì ?
Bài giải
Giải sử có tam giác ABC thỏa mãn
µ µ
0 0
90 , 30A B= =
thì có ngay
µ
0
60C =
. Trên tia đối của tia AC lấy C’ đối xứng với C qua A.
Thế thì ∆BCC’ là tam giác đều, cạnh a.
Trang 6
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
3
, ,
2 2

a a
BC a AC AB= = =
.
Tỷ số lượng giác góc B Tỷ số lượng giác góc C
0
1
2
sin30
2
a
AC
BC a
= = =
.
0
3
3
2
s30
2
a
AB
co
BC a
= = =
.
0
1
2
tan30

3 3
2
a
AC
AB
a
= = =
.
0
3
2
cot30 3
2
a
AB
a
AC
= = =
.
0
3
3
2
sin 60
2
a
AB
BC a
= = =
.

0
1
2
s60
2
a
AC
co
BC a
= = =
.
0
3
2
tan 60 3
2
a
AB
a
AC
= = =
.
0
1
2
cot 60
3 3
2
a
AC

AB
a
= = =
.
Giải sử có tam giác ABC thỏa mãn
µ µ
0 0
90 , 45A B= =
thì có ngay
µ
0
45C =
.
Thế thì ∆ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, cạnh a thì cạnh huyền
2a
.
0
2
sin 45
2
2
AC a
BC
a
= = =

0
2
cos45
2

2
AB a
BC
a
= = =
.
0
tan 45 1
AC a
AB a
= = =

0
cot 45 1
AB a
AC a
= = =
.

0 0
0 90
α
≤ ≤
⇔
0 sin 1
α
≤ ≤
;
0 cos 1
α

≤ ≤
.
 Hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia;
và ngược lại.
Ví dụ 11 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết
6AB =
,
8AC =
. Tính tỷ số lượng giác của góc
B, từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc C.
Bài giải
a) Ta có :
2 2 2 2 2
8 6 10 10BC AB AC= + = + = =
.
6 3
sin
10 5
AC
B
BC
= = =
;
8 4
s
10 5
AB
co B
BC
= = =

;
6 3
tan
8 4
AC
B
AB
= = =
;
8 4
cot
6 3
AB
B
AC
= = =
.
Vì hai góc B, C phụ nhau nên
4
sin cos
5
C B= =
;
3
cos sin
5
C B= =
; ...
Ví dụ 12 : Cho tam giác ABC vuông ở A kẻ đường cao AH. Tính
sin B

,
sin C
trong mỗi
trường hợp sau ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư ):