Chuyên đề hình 9.k1.2

Trang 1
ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRÒN
1. Định nghiã : Đường tròn tâm O bán kính R, (
0R >
) là hình gồm các điểm cách điểm O
một khoảng bằng R.
Vị trí tương đối giữa đường tròn (O;R) với điểm M.
1)
OM R
=
⇔ điểm M nằm trên đường tròn (O,R).
2)
OM R<
⇔ điểm M nằm phía trong đường tròn (O,R).
3)
OM R
>
⇔ điểm M nằm phía ngoài đường tròn (O,R).
Định lý 1: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng
có một và chỉ một đường tròn. ( Đường tròn ngoại
tiếp tam giác ), tâm của đường tròn này là giao điểm của ba đường trung
trực của ba đoạn thẳng AB, BC, CA.
Hệ quả : Qua ba điểm thẳng hàng không có đường tròn nào.
Định lý 1: Đường tròn là một hình tự đối xứng, tâm của nó chính là tâm
đối xứng.
Bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng là trục đối xứng của đ.tròn.
Hệ quả 1 : Qua hai điểm bất kỳ có vô số đường tròn, tâm của những đường
tròn này nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
Hệ quả 2 : Một đường tròn hoàn toàn được xác định nếu biết tâm và bán
kính của đường tròn hoặc biết đường kính của đường tròn.
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng qua ba điểm thẳng hàng không có đ.tròn nào.

Bài giải
Giả sử có đường tròn (O) qua ba điểm thẳng hàng A, B, C.
Thế thì tâm O của đường tròn (O) thuộc về đường trung trực
1
d
của đoạn AB
và thuộc về đường trung trực
2
d
của đoạn BC. Vì A, B, C thẳng hàng nên
1 2
//d d
, làm gì có giao điểm !
Ví dụ 2 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí tương đối của mỗi điểm
( )
1; 1A −
,
( )
2; 2B −
và
( )
1;2C
đối với đường tròn
( )
;2O
.
Bài giải
Gọi R là bán kính của đường tròn
( )
;2O

thì
2R =
.
( )
2
2 2 2
1 1 2 2
A A
OA x y R= + = + − = < =
⇔ A nằm trong (O).
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
B B
OB x y R= + = − + = =
⇔B nằm trên (O).
2 2 2 2
1 2 5 2
C C
OC x y R= + = + = > =
⇔C nằm ngoài đ.tròn (O).
Ví dụ 3 : Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh
huyền.
Bài giải
Giả sử ∆ABC có
µ
0
90A =
, gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC thế

thì
2
BC
OA OB OC= = =
⇔ O cách đều A, B, C ⇔ O là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác.
Trang 2
Ghi nhớ : Tập hợp những điểm A nhìn hai điểm cố định B, C dưới một góc vuông là đường
tròn tâm O, ( trung điểm của đoạn BC) bán kính
2
BC
R =
.
Ví dụ 4 : Hình chữ nhật ABCD có hai kích thước là
12a m=
,
5b m=
. Chứng minh rằng bốn
điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Bài giải
Giả sử có hình chữ nhật ABCD có hai kích thước
12a m=
,
5b m=
.
Xét
µ
0
: 90 , 12, 5ABC B AB BC∆ = = =
nên

2 2 2 2 2
12 5 13 13AC AB BC= + = + = =
.
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD thế thì :
( )
13
2
OA OB OC OD m= = = =
⇔ O cách đều bốn điểm A, B, C, D.
⇔ O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.
Ví dụ 5 : a) Tại sao khi mở rộng thêm khẩu độ compa thì khooảng cách giữa mũi kim và đầu
chì của compa đó tăng lên ?
b) Cho đường tròn (O,R) với dây
2AB R<
, một điểm M tuỳ ý trên cung nhỏ
»
AB
. Goị I là
trung điểm của AB, chứng minh rằng :
IM IA≤
.
Bài giải
a) Xét ∆AOB, ∆COD ta có :
OA OB OC OD
= = =
,
·
·
COD AOB<
thì

CD AB
<
.
b) Xét ∆OMI, ∆OAI ta có :
IM OM OI OA OI IA
≤ − = − ≤
.
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi M ≡ A hoặc M ≡ B.
Ví dụ 6 :a) Tìm tập hợp tâm O của các đường tròn có bán kính
0R
>
cho trước và đi qua
điểm A cho trước.
b) Cho đoạn thẳng
AB l=
chuyển động sao cho hai đầu mút của nó chạy trên hai đường thẳng
vuông góc với nhau. Tìm tập hợp trung điểm N của đoạn AB.
Bài giải
a) Đường tròn tâm O bán kính
0R
>
qua điểm A ⇔
OA R
=
.
Do A cố định, cho trước, khoảng cách
OA R=
không đổi ⇔ tập hợp
tâm O của các đường tròn (O,R) là đường tròn (A,R).
b) Giả sử

,A a B b∈ ∈
với
a b⊥
tại O và
AB l=
.
Xét ∆OAB có
µ
0
90 ,O NA NB= =
thế thì
2 2
AB l
ON = =
.
Do a, b cho trước nên giao điểm O của a, b cố định, mà
2
l
ON =
không đổi ⇔
tập hợp trung điểm N là đường tròn
,
2
l
O
 
 ÷
 
.
Ví dụ 7 : Hình thang cân ABCD có ba đỉnh A, B, C nằm trên đường tròn (O). Đỉnh D có nằm

trên đường tròn (O) hay không, tại sao ?
Bài giải
Trang 3
Giả sử hình thang cân ABCD có 3 đỉnh A, B, C nằm trên đường tròn (O)
Gọi d là trục đối xứng của hình thang ABCD thế thì d phải là trục đối
xứng của đường tròn (O).
Nếu
( )
A O∈
và D đối xứng với A qua d thì
( )
D O∈
.
Vì D đối xứng với A qua trục d.
Ví dụ 8 : Cho tam giác nhọn ABC, vẽ đường tròn (O) đường kính BC, đường tròn này cắt
cạnh AB, AC lần lượt tại D, E.
a) Chứng minh
CD AB⊥
,
BE AC⊥
.
b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng AK vuông góc
với BC.
Bài giải
a) E là giao điểm của AC với đường tròn (O) nên E thuộc đường tròn
(O) ⇒
OE OB OC
= =
⇒ ∆BCE vuông ở E ⇒
BE AC

⊥
.
Tương tự ta có :
CD AB⊥
.
b) Vì K là giao điểm của CD và BE kết hợp với câu (a) thì ta có K là
trực tâm của ∆ABC, suy ra :
AK BC⊥
.
Ví dụ 9 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy C, D trên nửa đường tròn này. Từ A và
B dựng AP và BS vuông góc với CD. Chứng minh :
a) Các điểm P, S nằm ngoài đường tròn (O).
b)
PC DS=
.
Bài giải
a) Giả sử có nửa đường tròn đường kính AB, C, D trên
»
AB
…
Nối O với P, xét ∆OPA ta có :
OP OA>
⇔ điểm P nằm phiá ngoài đường tròn (O).
Tương tự ta có điểm S cũng nằm phía ngoài đường tròn (O).
b) Gọi M là trung điểm của PS thế thì OM là đường trung bình của
hình thang vuông APSB ⇒
MP MS
=
và
OM PS

⊥
, (1).
Mặt khác ∆OCD cân đỉnh O,
OM PS OM CD⊥ ⇒ ⊥
nên OM vừa là
đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác cân.
Suy ra :
MC MD=
, (2). Từ (1) và (2) ta được :
PC DS=
.
Ví dụ 10 : Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây cung AC và BD song
song với nhau.
a) So sánh AC và BD.
b) Chứng minh 3 điểm C, O, D thẳng hàng.
c) Kẻ CC’ và DD’ vuông góc với AB. Chứng minh tứ giác CC’DD’ là
hình bình hành.
Bài giải
a) Do AB là đường kính nên
·
·
0 0
90 , 90ACB ADB= =
.
AC // BD nên
·
·
CAB DAB=
, ( so le ) , cạnh AB chung nên ∆ACB = ∆ADB ⇒ AC = BD.
b) Từ (a) ta có ACBD là hình chữ nhật mà O là trung điểm của AB thì O cũng là trung điểm

của CD ⇔ C, O, D thẳng hàng.
c) Vì
' , ' '// 'CC AB DD AB CC DD⊥ ⊥ ⇒
,(1).
Mà
' 'ACB ADB CC DD∆ = ∆ ⇒ =
, (2) suy ra CC’DD’ là hình bình hành.
Trang 4
Ví dụ 11 : Cho đường tròn tâm O và một số
0l >
. Tập hợp các trung điểm M của tất cả các
dây cung
AB l=
của đường tròn (O).
Bài giải
Cho đường tròn (O) và
, 0AB l l= >
.
Do M là trung điểm của AB nên
2 2
AB l
MA MB= = =
, không đổi.
Vì ∆AOB cân, (OA = OB) nên
OM AB
⊥
.
Xét
¶
0

: 90 , ,
2
l
OMA M OA R OM∆ = = =
⇒
2
2
2
l
OM OA
 
= −
 ÷
 
.
O cố định,
2
2
2
l
OM OA
 
= −
 ÷
 
không đổi ⇔ M nằm trên đường tròn tâm O bán kính OM.
Ví dụ 12 : Cho ∆ABC cân tại A,
12BC cm=
, đường cao
4AH cm=

. Tính bán kính đường
tròn ngoại tiếp ∆ABC.
Bài giải
Đường cao AH cắt đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC tại D.
Tam giác ACD có trung tuyến CO ứng với cạnh AD và bằng nửa cạnh
AD nên
·
0
90ACD =
, do đó :
2
.CH HA HD=
⇒
( )
2
6.6
9
4
CH
HD cm
HA
= = =
.
( )
4 9 13AD AH HD cm= + = + =
.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC :
( )
: 2 13: 2 6,5R AD cm= = =
.

LUYỆN TẬP
Bài tập 01: Hình chữ nhật ABCD có hai kích thước là a, b. Chứng minh rằng bốn điểm A, B,
C, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Hướng dẫn
Bài tập 02: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Gọi M là trung điểm của đoạn OB, N là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh
·
0
90AMN =
.
Từ đó suy ra 4 điểm A, M, N, D thuộc một đường tròn và
AN MD
>
.
b) Trên hai cạnh AB và AD lấy theo thứ tự hai điểm I và K sao cho
AI AK=
. Từ A hạ
AP DI⊥
và cắt cạnh BC ở Q. Chứng minh 5 điểm C, D, K, P, Q nằm trên
cùng một đ tròn.
Hướng dẫn
a) Hạ
NH BD
⊥
chứng minh hai tam vuông OMA, HNM bằng nhau.
Trang 5
Gọi O’ là trung điểm của AN chứng tỏ O’ là tâm đường tròn qua 4 …
b) Chứng minh ∆AID = ∆BQA từ đó suy ra CDKQ là hình chữ nhật.
Vì ∆ PQD vuông ở P…
Gọi O’’ là giao điểm của CK và DQ. Chứng minh O’’ cách đều 5 điểm …

Bài tập 03 : a) Trên hai cạnh AB, BC của hình vuông ABCD lấy lần lượt hai điểm P, Q sao
cho
BP BQ=
. Từ B hạ BH vuông góc với CP. Chứng minh rằng Q, H, D, C cùng nằm trên
một đường tròn.
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, I, J lần lượt là trung điểm của OB, CD.
Chứng minh rằng 4 điểm A, I, J, D cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn
a) Kéo dài BH cắt AD tại B’, chứng minh AB’ = BP = BQ.
CDB’Q là hình chữ nhật và
·
0
' 90CHB =
⇒ Q, H, D, C cùng nằm trên
một đường tròn.
b) Nối A với J ta có
·
0
90ADJ =
.
Ta chứng minh :
·
0
90AIJ =
, ( xem bài tập 02).
Thế thì A, I, I, D cùng nằm trên đường tròn đường kính AJ.
DÂY CUNG VÀ ĐƯỜNG KÍNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN
1. Định lý : Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn.
Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung
điểm của dây cung ấy. Ngược lại đường kính đi qua trung điểm

của một dây cung không đi qua tâm thì nó vuông góc với dây
cung ấy.
2. Định lý : Trong một đường tròn :
a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
3. Định lý : Trong hai dây của một đường tròn :
a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b) Dây nào gần tâm hơn thì dây ấy lớn hơn.
Ví dụ 1 : Cho hai dây AB, CD khác đường kính của đường tròn (O,R).
Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ tâm O đến các dây AB, CD.
Chứng minh rằng :
2 2 2 2
OH HA OK KC+ = +
.
Bài giải
Giải sử có (O,R) và hai dâyAB, CD khác đường kính, xét hai tam giác
vuông OHA, OKC, ta có
2 2 2 2 2 2 2
OH HA OA R OC OK KC+ = = = = +
.
Ví dụ 2 : Cho đường tròn (O,R) gọi d là khoảng cách từ tâm O đến dây
, 0AB a a= >
. Chứng minh rằng :
2
2 2
4
a
d R= −
.
Bài giải

Giải sử có đường tròn (O,R) có
, 0AB a a= >
.
Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến AB.Gọi H là trung điểm của AB.