Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace

Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

CHƯƠNG I: HÀM GIẢI TÍCH
§ 1 SỚ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TRƯỜNG SỚ PHỨC
I. Dạng đại sớ:
1. Định nghĩa: Dạng đại số của số phức có dạng: z=x+iy
x=Rez: phần thực
y=Imz: phần ảo
i: đơn vị ảo, i 2 = −1
Tập tất cả các số phức gọi là Trường số phức: ký hiệu C.
2. 2 số phức bằng nhau:
x = x

x + iy = x + iy ⇔  1 2
1 1 2
2
 y1 = y2


3. Số phức liên hợp:
Số phức liên hợp của z=x+iy là z = x − iy
4. Các phép toán về sớ phức:
• Phép cợng:
z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) + i( y1 + y 2 )

• Phép trừ:

z1 − z 2 = ( x1 − x2 ) + i( y1 − y 2 )

• Phép nhân:

z1 z 2 = ( x1 x2 − y1 y 2 ) + i ( x 2 y1 + x1 y 2 )
zz = x 2 + y 2

• Phép chia:
z1
z z
= 1 2
z2 z2 z2
1

Ví dụ: Tính A = ( 2 − 3i )(1 + i ) =
Ví dụ : Rút gọn
B=

( 2 − 3i )(1 + i ) = 5 + i
26

26

i + i 2 + i 3 + i 4 + i 5 i − 1 − i + 1 + i i (1 − i ) i + 1
=
=
=
1+ i
1+ i
2
2

II.Biểu diễn hình học và dạng lượng giác
1. Mặt phẳng phức

Page 1


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

2. Dạng lượng giác:

z = x + iy = r ( cos ϕ + i sin ϕ)

r=

x2 + y2

ϕ = Argument ( z ) = Arg ( z ) = arg( z ) + k 2Π, ( k = 0,±1,±2,)

ϕ là hàm đa trị
arg(z) là giá trị chính ( − Π < arg(z ) < Π )
y

arctan

x

y
 Π + arctan

x


y
arg( z ) =  − Π + arctan
x

Π


2

Π
−


2

x>0
x < 0, y > 0
x < 0, y < 0
x = 0, y > 0
x = 0, y < 0

Ví dụ:
Biểu diễn số phức z=-1-I về dạng lượng giác:
r= 2
Π
3Π
=−

4
4
3Π
3Π 

⇒ z = 2  cos
− i sin

4
4 

arg z = −Π + arctan 1 = −Π +

Page 2


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

3. Phép nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:
z1 z 2 = r1 .r2 [ cos( ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin ( ϕ1 + ϕ 2 ) ]
z1 r1
= [ cos( ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin ( ϕ1 − ϕ 2 ) ]
z 2 r2

4. phép lũy thừa và phép khai căn
• z = r [cos( nϕ ) + i sin ( nϕ )]
n

•

n

n

  ϕ + k 2Π 
 ϕ + k 2Π 
 + i sin 
, k = 0; n − 1
z = n r cos




n
n



 

Vậy căn bậc n của số phức z gồm n giá trị
Ví dụ:
Tìm 3 1 + i = 6 2

•

5. Dạng mũ
Cơng thức Euler:

Ví dụ:
−i


Π

Π

+ k 2Π 
+ k 2Π 



4
4
 + i sin 
, k = 0; n −1
cos




3
3













e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
z = re iϕ

Π
4

z = −1 − i = 2e
5. Mợt sớ miền trong mặt phẳng phức:
• z − z : Khoảng cách giữa 2 sớ phức.
• z − z =r : Đường tròn tâm Z0, bán kính r.
• z − z < r : Hình tròn mở tâm Z0, bán kính r ( hình tròn khơng tính biên)
• z − z ≤r : Hình tròn đóng tâm Z0, bán kính r ( hình tròn có biên)
• z − z > r : Phần ngoài hình tròn mở tâm Z0, bán kính r.
BÀI TẬP
1. Viết dưới dạng mũ và dạng lượng giác các số phức sau:
a) z=-5 b) 1 −i 3 c)-2+2i
d) − 3 − i
2. Tính và viết dưới dạng đại số:
1

2

0

0

0

0

−2 +i
a)
4 − 3i

b)

(1 + i 3 )

4

5

6

c)

1 + i 


1 − i 

3.Tính và viết dưới dạng mũ:
a) 1 − i 3 b) 5 − 4 + i3

d)

1 + i 3 


 1 −i 



4

Page 3

e) 6 1


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

4. Tìm và biểu diễn hình học các số phức thỏa: z = z 2
GIẢI:
r=0

r =1


⇔ re iϕ = r 2 e i 2ϕ ⇔ re − iϕ = r 2 e i 2ϕ ⇔  re i 3ϕ = 1 ⇔  k 2Π
ϕ =
, k = 0;1;2



3



5. Vẽ tập điểm xác định bởi
a) z −1 +i =1 b) z +i ≤3 c) Re( z − i ) = 2 d) 2 z −i
6. Vẽ miền trong của mp phức xác định bởi:
a) 0 < Re z ≤ Im z b) z −1 ≤Re z .

Page 4

=4

e)

z −1 = z +i


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

§2 HÀM 1 BIẾN PHỨC
I. Miền và biên trong mp phức:

Miền trong mp phức là tập D có tính chất sau:
1. D là tập mở ⇔ ∀z ∈ D, ∃S ( z , r ) ⊂ D
2. D liên thông ⇔ ∀z1 , z 2 ∈ D có thể nối z1, z2 bằng đường gấp khúc nằm trọn

trong D.
3. Biên của D là đường cong kín C: gồm các điểm của mp phức thỏa:
a) C ∩ D = Φ
b) ∃hình tròn nếu chứa 1 điểm của C thì nó sẽ chứa ít ra 1 điểm của D
4. D = D ∪ C gọi là miền đóng
II. Hàm biến phức
1. Định nghĩa: S ⊂ C , Hàm số f: S → C là 1 quy tắc cho mỗi z ∈ S tương ứng 1
phần tử duy nhất f ( z ) ∈C . Hàm biến phức này gọi là hàm đơn trị.
2. Trong lý thuyết hàm phức ta thường gặp các hàm đa trị nghĩa là ứng với mỗi z
có thể có nhiều f(z).
3. Phần thực và phần ảo của hàm biến phức:
z = x + iy ⇒ w = f ( z ) = u ( x; y ) + iv ( x; y )
Ví dụ:
Cho w = f ( z ) = x 2 − y 2 + i ( x + y 2 ) . Tính f(1+2i)
GIẢI:
Với x=1, y=2 ta có f(1+2i)=-3+5i.
Page 5


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

Ví dụ:
Cho w = f ( z ) = z . Tính u(x;y), v(x;y)
GIẢI:
2

u = x 2 − y 2
w = f ( x + iy ) = x 2 − y 2 + i ( 2 xy ) ⇔ 

.
  

 v = 2 xy
u
v

III. Giới hạn và liên tục
1. Giới hạn: w0 gọi là Giới hạn của hàm
cho khi z − z < δ ⇒ w − w < ε
lim f ( z ) = w
0
Ký hiệu: z → z0
0

w = f ( z)

khi z → z 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao

0

2. Liên tục: f(z) gọi là liên tục tại z0 ⇔

lim
z →z

f ( z ) = f ( z0 )
0

3. f ( z ) = u ( x; y ) + iv( x; y ) liên tục ⇔ Các hàm u(x;y), v(x;y) cũng liên tục.

IV. Các hàm sơ cấp cơ bản
1. Hàm mũ:
z
• e z : đơn trị và giải tích ∀
• e z : có thể âm.
• (e z )′ = e z
2.Hàm lượng giác

•

 eiz = cos z + isin z eiz + e− iz eiz − e− iz

⇒ cos z = ,sin z =

2i
 e− iz = cos z − isin z 2

• ( cos z )′ = −sin z, ( sin z )′ = cos z
3. Hàm Hypebolic:

e z + e− z
e z − e− z
sinh z
cosh z
chz =
, shz =
, tghz =
, coth z =
2
2

cosh z
sinh z

4. Hàm Logarit:

z = re iϕ ⇒ Lnz = Lnr + i (ϕ + k 2Π) , ( − Π < ϕ < Π)

• Vậy Lnz là hàm đa trị.
• Với k=0 ta được nhánh chính của Lnz.
BÀI TẬP:
1. Tính giá trị các hàm phức sau:
a) Ln(−

2 +i 2

) b)

(

Ln 1 − i 3



) c) Ln − 1 + i
 2

2. Viết các hàm sau về dạng đại số:



Page 6

3

2 



Toán chuyên ngành

a)ch(1-i) b)sin(1+i) c) (1 − i )

(

)

Π

+ iLn 4 + 15 



h) sin  2

2 +i

Hàm phức và Toán tử Laplace

1−i

d) i e) ( 2 + i )
i

Page 7

f) (1 − i ) 2i +1 g)

32 +i


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

§3 ĐẠO HÀM
1. Định nghĩa: Đạo hàm của hàm biến phức f(z) tại z nếu giới hạn sau tồn tại
f ( z + ∆z ) − f ( z )
∆z
∆z → 0

f ′( z ) = lim

2. Quy tắc:
′
′
a) ( w1 ± w2 ) ′ = w1 ± w2
′
′
b) ( w1w2 ) ′ = w1w2 ± w2 w1
c)

′

′
′
 = w1w2 − w2 w1

2
w2

′
1
w n = nw n − .w′

w
 1
w
 2

d) ( )
3. Điều kiện để hàm biến phức khả vi tại 1 điểm:
Định lý: Cho hàm f ( z ) = u ( x; y ) + iv( x; y ) , nếu các hàm 2 biến u(x;y), v(x;y) có các
đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann:
 ∂u ∂v
 ∂x = ∂y

∂u
∂v

=−

∂y
∂x


Tại điểm z=x+iy thì f(z) khả vi tại điểm này.
4. Điều kiện để hàm biến phức giải tích tại 1 điểm:
Định lý: Nếu hàm f ( z ) = u ( x; y ) + iv ( x; y ) khả vi tại mọi điểm trong lân cận nào đó
của điểm z0 thì f(z) giải tích tại z0.
NHẬN XÉT:
• Trong 1 miền thì tính khả vi và giải tích là tương đương nhau.
• Nhưng tại 1 điểm thì tính giải tích đòi hỏi điều kiện nhiều hơn tính khả vi.
Định lý: Cho hàm f ( z ) = u ( x; y ) + iv( x; y ) , nếu các hàm 2 biến u(x;y), v(x;y) có các
đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiện Cauchy-Riemann:
 ∂u ∂v
 ∂x = ∂y

∂u
∂v

=−
∂y
∂x


Trong miền D là điều kiện cần và đủ để hàm f(z) giải tích trong miền D và khi đó
đạo hàm của f(z) cho bởi công thức:
f ′( z ) =

∂
u

∂
v ∂
v
∂
u
+i
=
−i
∂
x
∂
x ∂
y
∂
y

5. Liên hệ giữa hàm giải tích và hàm điều hòa
5.1 Hàm u(x;y) gọi là hàm điều hòa trên miền D nếu nó thỏa pt LPLACE:
2
∇ =
u

∂2 v
∂x 2

+

∂2 v
∂y 2

=0

Page 8


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

5.2 Định lý: hàm f ( z ) = u ( x; y ) + iv( x; y ) giải tích trên D ⇔ phần thực và phần ảo là
những hàm điều hòa trên D và thỏa điều kiện C-RVí dụ: xét tính giải tích và tính
đạo hàm của các hàm sau:
a) f ( z ) = x 2 − y 2 + 2ixy b) f ( z ) = e x ( cos y + i sin y )
GIẢI:
a)

∂u
∂v
∂v
∂u
= 2 x,
= 2 y,
= 2 x,
=− y
2
∂x
∂x
∂y
∂y

Các đạo hàm riêng thỏa điều kiện C-R ⇒ f ′( z ) =

(z 2 )′ =2 z
∂u

b) ∂x

= cos ye x ,

∂u
∂v
+i
= 2 x + 2iy = 2 z . Vậy
∂x
∂x

∂v
∂v
∂u
= sin ye x ,
= cos ye x ,
= −sin ye x
∂x
∂y
∂y

Các đạo hàm riêng thỏa điều kiện C-R ⇒
f ′( z ) =

∂u

∂v
+i
= e x (cos y + i sin y ) = e z . Vậy e z ′ = e z
∂x
∂x

( )

Ví dụ: xét tính khả vi của các hàm sau:
a) f ( z ) = x 2 − 3 y 3 + 9ixy b) f ( z ) = ( z ) 2 c) f ( z ) =z 2
GIẢI:
a)

−iz +izz

∂u
∂v
∂v
∂u
= 2 x,
= 9 y,
= 9 x,
= −9 y 2
∂x
∂x
∂y
∂y

Để hàm số khả vi khi và chỉ khi điều kiện C-R được thỏa ta có hệ pt:


 x=0
 2x = 9x

⇔   y = 0 ⇔ ( 0;0) ∨ ( 0;1)

2
− 9 y = −9 y   y = 1



b) f ( z ) = x 2 − y 2 − 2ixy

∂
u
∂
v
∂
v
∂
u
= 2 x,
= − y,
2
= − x,
2
=− y
2
∂
x
∂

x
∂
y
∂
y

Để hàm số khả vi khi và chỉ khi điều kiện C-R được thỏa ta có hệ pt:
 2 x = −2 x
x = 0
⇔
⇔ ( 0;0)


− 2 y = 2 y

c) f ( z ) = x 2 − y 2 − y + i ( x 2 + y 2 + 2 xy − x )

∂u
∂v
∂v
∂u
= 2 x,
= 2 x + 2 y −1,
= 2 y + 2 x,
= −2 y −1
∂x
∂x
∂y
∂y

Để hàm số khả vi khi và chỉ khi điều kiện C-R được thỏa ta có hệ pt:
2x = 2 y + 2x

y = 0
⇔
⇔ (1;0 )

2 x + 2 y − 1 = 2 y + 1  x = 1

Ví dụ: Tìm hàm giải tích f(z)=u(x;y)+iv(x;y) biết
v = 3 x 2 y + 2 x 2 − y 3 − 2 y 2 ; f ( 0 ) =1 b) u =e x cos y , f (0) =1 c) u = ln( x 2 + y 2 )
GỈAI:
a)
• Kiểm tra v là hàm điều hòa

Page 9


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace
2

∂v
∂ v
∂v
∂2 v
= 6 xy + 4 x ⇒
= 4 + 6 y −1,
= −3 y 2 + 3 x 2 − 4 y ,

= −6 y − 4
∂x
∂y
∂x 2
∂y 2
⇒

∂2 v
∂x 2

+

∂2 v
∂y 2

=0

Ta có V là hàm điều hòa

 ∂u ∂v
2
2
 ∂x = ∂y = 3 x − 3 y − 4 y

Từ điều kiện C-R ta có hệ pt:  ∂u
∂v

= − = −6 xy − 4 x
 ∂y
∂x



•

u = ∫ ( − 6 xy − 4 x ) dy + g ( x ) = −3 xy 2 − 4 xy + g ( x ) ⇒

Ta có:

∂u
= −3 y 2 − 4 y + g ′( x )
dx

= 3 x 2 − 3 y 2 − 4 y ⇒ g ′( x) = 3 x 2 ⇒ g ( x ) = x 3 + C

(

)

⇒ f ( z ) = −3 xy 2 − 4 xy + x 3 + C + 3 x 2 y + 2 x 2 − y 3 − 2 y 2 i
2

(

)

Because : f (0) = C =1, so : f ( z ) = −3 xy − 4 xy + x +1 + 3 x 2 y + 2 x 2 − y 3 − 2 y 2 i

GỈAI:
a)

3

• Kiểm tra v là hàm điều hòa

∂u
∂2 v
∂v
∂2 v
= e x cos y ⇒
= e x cos y ,
= −sin ye x ,
= −cos ye x
∂x
∂y
∂x 2
∂y 2
∂2 v
∂2 v
⇒
+
=0
2
∂x
∂y 2

Ta có V là hàm điều hòa

 ∂u ∂v
x
 ∂x = ∂y = e cos y


Từ điều kiện C-R ta có hệ pt:  ∂u
∂v
 = − = −e x sin y
 ∂y
∂x


•

v = ∫ e x sin ydx + g ( y ) = e x sin y + g ( y ) ⇒

Ta có:

∂v
= e x cos y + g ′( y )
dy

= e x cos y ⇒ g ′( y ) = o ⇒ g ( y ) = C

(

)

⇒ f ( z ) = e x cos y + e x sin y + C i

(

)

Because : f (0) = iC +1 =1 ⇒C = 0, so : f ( z ) = e x cos y + e x sin y i

c)

• Kiểm tra v là hàm điều hòa

(

)

(
(

∂u
2x
∂2u 2 y 2 − x 2 ∂u
2y
∂2 u 2 − y 2 + x 2
=
⇒
=
,
=
,
=
2 ∂y
2
∂x x 2 + y 2
∂x 2
x 2 + y 2 ∂y 2

x2 + y2
x2 + y2

(

⇒

2

∂ v
∂x

2

+

2

∂ v
∂y 2

)

=0

Ta có v là hàm điều hòa

Page 10

)

)


Toán chuyên ngành
•

Hàm phức và Toán tử Laplace
2x
 ∂u ∂v
 ∂x = ∂y = 2

x + y2
Từ điều kiện C-R ta có hệ pt:  ∂u
∂v
2y
 =− =
2
∂x x + y 2
 ∂y

x
∂v
2x
 
dx + g ( y ) = −2acrtg   + g ( y ) ⇒
=
+ g ′( y )
y
dy x 2 + y 2

x +y

2x
=
⇒ g ′( y ) = 0 ⇒ g ( y ) = C
2
x + y2

v = −∫

Ta có:

2y

2

2



x
⇒ f ( z ) = ln( x 2 + y 2 ) +  − 2arctg   + C i
y


 



Page 11

Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

BÀI TẬP: HÀM GIẢI TÍCH- HÀM KHẢ VI-TÍNH ĐẠO HÀM
1. Viết mỗi hàm sau đây thành 1 đa thức theo z=x+iy

(
)
(
) (
) 2.
c) f ( z ) = (− x 2 + y 2 − y + 2 ) + i ( x − 2 xy ), d ) f ( z ) = ( 2 xy + 2 x −1) − i ( x 2 − y 2 − 2 y )
a) f ( z ) = x 2 − y 2 − 2 y + 1 + 2i ( xy + x ), b) f ( z ) = x 3 − 3 xy 2 − y + + i 3x 2 y − y 3 + x

đạo hàm:

a ) w = − z 2 + 3 z + 4, b) w = 5 z 2 − 4 z + 2, c ) w = z 3 , d ) w = z z , e) w = ( z ) 2
2

3. Tìm các điểm mà tại đó hàm f(z) thỏa điều kiện C-R
f ( z ) = xy 2 + ix 2 y

4. Chứng minh rằng các hàm sau thỏa PT: LAPLACE:
a ) Re z 2 & Im z 2 , b) Re z 3 & Im z 3 , c) Re z 4 & Im z 4

5. Tìm hàm giải tích: f(z)=u(x;y)+iv(x;y) biết
a)u = 2 x − 2 xy −

x
2

x + y2

(

)

, f (i ) = i, b)v = ln x 2 + y 2 + x − 2 y

Page 12

Tính


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

§4 PHÉP BIẾN HÌNH PHÂN TUYẾN TÍNH
I. Định nghĩa:
1.Ánh xạ phân tuyến tính có dạng:
ω=

az + b
cz + d

, ad − bc ≠ 0

1
b
a
bc 

⇒ ω = ( az + b ) z 2 = a z +  z 2 =  cz +  z 2
z1
a
c
a

a
bc
a
bc − ad
a bc − ad

=  cz + d +
− d  z 2 = z1 z 2 +
z2 = +
z2
c
a
c
a
c
a

z1 = cz + d , z 2 =

2.Vậy phép biến hình phân tuyến tính là hợp của 3 phép:
1). z1 = cz + d là phép co và phép tịnh tiến.
2).
3).

1
z1 là phép nghịch đảo.
ω = a + bc − ad z 2 là phép co
c
a
z2 =

và phép tịnh tiến.

3. Ánh xạ phân tuyến tính có tính chất:
a) Ánh xạ phân tuyến tính có tính chất bảo giác.
b) Ánh xạ phân tuyến tính biến đường tròn thành đường tròn.
c) Ánh xạ phân tuyến tính biến miền thành miền.
d) Ánh xạ phân tuyến tính biến các điểm đối xứng thành điểm đối xứng.
4. Ánh xạ phân tuyến tính biến 3 điểm tương ứng thành 3 điểm:
w= f ( z )

z1 , z 2 , z3  →ω1 , ω2 , ω3


ω − ω1 ω3 − ω2
z − z1 z3 − z 2
.
=

.
ω3 − ω1 ω − ω2
z3 − z1 z − z 2

ví dụ:
1) Tìm PBHPTT biến 3 điểm -1, 0, 1→ 0, i, 3i

z + 1 1 − 0 ω 3i − i
z + 1 2ω
z +1
.
= .
⇔
=
⇔ ω = 3i
1 + 1 z − 0 3i ω − i
2z
3 ω −i
3− z

2) Tìm PBHPTT biến 3 điểm 1, 0, -1→ i,

∞,1

z −1 −1 ω − i 1 − ∞
1 − i z −1
(1 + i ) z + i − 1
.
=
.

⇔ω =
+i=
−2 z
1− i ω − ∞
2
z
2z

BÀI TẬP:
Tìm các PBHPTT sau:

1
a )0,1, i → − ,0,−1 + i,
2

1
b)0, i,−i → i,1, i
2

c)0,1, i → i,

Page 13

i +1
,∞
2

d ) − 1,0,1 → −1,−i,1

Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

CHƯƠNG II TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC
§1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM PHỨC
I. Định nghĩa và công thức:
1. Định nghĩa: Cho đường cong C định hướng, trơn từng khúc và trên C cho
hàm phức f(z). Tích phân đường của f(z) dọc theo C được tính theo công thức:
1. ∫ f ( z ) dz = ∫ ( udx − vdy ) + i ∫ ( vdx + udy )
C

C

C

 x = x( t )

2. Nếu C cho dưới dạng tham số:  y = y ( t ) với α ≤ t ≤ β , khi đó z(t)=x(t)+iy(t).

β

Ta có ∫ f ( z )dz = ∫ f [ z (t )]z ′(t )dt
α

C

II. Tính chất: Các tính chất của tích phân đường loại II của hàm thực vẫn còn
đúng cho hàm phức:
a ) ∫[ af ( z ) + bg ( z ) ]dz = a ∫ f ( z ) dz + b ∫ g ( z ) dz

C

∫

b)

f ( z ) dz =

C1 ∪C 2

c)

C1

∫ f ( z ) dz = − ∫ f ( z ) dz

AB

d)

C

∫ f ( z ) dz +

C

∫ f ( z ) dz , withC1 ∩C2 = Φ

C2

BA

∫ f ( z ) dz

C

≤ ∫ f ( z ) dz ≤ ML
C

L: độ dài của C, M = max{ f ( z ) , z ∈C}
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a) I k =

∫( z )

2

dz , k =1,2

Ck

trong đó C1 là đoạn thẳng nối O→1+i
C2 là đường gấp khúc nối O→1&1→1+i.

GIẢI:

y = x = t

Tham số hóa đường thẳng C1: y=x ⇔  0 ≤ t ≤ 1


Z(t)=x(t)+iy(t)=t(1+i)
1

1

0

0

I1 = ∫t 2 (1 −i ) 2 (1 +i )dt = ∫t 2 ( 2 − 2i )dt =

2(1 −i )t 3
3

Page 14

1

=
0

2(1 −i )
3


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

 x = t ,0 ≤ t ≤ 1
0 →1 ⇔ 
⇔ z( t ) = t
y =0

x = 1,0 ≤ t ≤ 1
1 →1 + i ⇔ 
⇔ z ( t ) = 1 + it
y =t

1

1

0

0

I 2 = ∫t 2 t ′ + ∫(1 −it ) 2 idt =
dt

t3
3

1
0

1

(

)

+ ∫ 1 − 2it −t 2 dt =
0

1


1
t3 
2i
4
+it −it 2 −  =
+

3
3 
3
3

0

Ví dụ

Tính các tích phân sau

Ik =

∫ z dz Trong đó C1 là đường thẳng AB

Ck

C2, C3 là các nửa cung tròn đơn vị (
chiều như hình vẽ.
GIẢI:

z = )
1

Page 15

có cùng điểm đầu và điểm cuối và


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

Tham số hóa đường thẳng C1:

 x =0

⇔ y =t
AB
− 1 ≤ t ≤ 1


Z(t)=x(t)+iy(t)=ti
1

1
0

x 2 + y 2 idt = i ∫ t dt = i  ∫ − tdt + ∫ tdt + = i
∫
−1

−1
−1
0


 z = reit = eit


⇔ r = 1
Tham số hóa nửa đường tròn C2:
 Π ≤ t ≤ 3Π
 2

2

I1 =

I2 =

1

3Π
2

3Π

3Π
3Π  
Π
Π

it
it 2
∫ ie dt = e Π = cos 2 + i sin 2  − cos 2 + i sin 2  = −i − i = −2i

 

Π
2

 z = re it = e it


⇔  r =1
− 3Π ≤ t ≤ − Π
 2

2

nửa đường tròn C3:
−

I3 =

Π
2

∫i e

3Π
−
2

Tham số hóa

2

it

dt = e

it

Π
2 =  cos − Π + i sin − Π  −  cos − 3Π + i sin − 3Π  = −i − i = −2i
 

3Π 
2
2  
2
2 


−
2
−

ví dụ: Tính tích phân sau với C là biên nửa trên hình vành khăn
z
I = ∫ dz
z
C

C = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4

GIẢI:
z

z

z

z

I = I1 + I 2 + I 3 + I 4 = ∫ z dz + ∫ z dz + ∫ z dz + ∫ z dz
C
C
C3
C
1

2

4

Page 16


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

Tham số hóa đường thẳng C2:

 x =t

⇔ y =0
BC
1 ≤ t ≤ 2


Z(t)=x(t)+iy(t)=t
1
t
1
I 2 = ∫ dt = t 2 = −1
t
2

Tham số hóa đường thẳng C4:

 x =t


DA ⇔  y = 0
− 2 ≤ t ≤ −1


Z(t)=x(t)+iy(t)=t
I2 =

−2

t

−2

∫ t dt = t −1

= −1

−1

Tham số hóa nửa đường tròn C1:
I1 =

2Π

2e it

∫

−it
Π 2e

2ie it dt =

(

Vậy

Π it

∫

e

0e

−it

ie it dt =

I = −1 − 1 −

)

2i 3it 2Π 2 6Πi
4
e
= e
− e 3Πi =
3i
3

3
Π

Tham số hóa nửa đường tròn C3:
I3 =

 z = re it = 2e it

⇔ r = 2
 Π ≤ t ≤ 2Π


(

 z = reit = e it

⇔ r = 1
 0≤t ≤Π


)

i 3it Π 1 3Πi
2
e
= e
− e0 = −
3i
3
3

0

2 4
4
+ =−
3 3
3

Page 17


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

ví dụ: Tính tích phân sau với C là biên nửa trên đường tròn đơn vị
I = ∫ z z dz
C

Tham số hóa nửa đường tròn C3:
Π

 z = reit = e it

⇔ r = 1
 0≤t ≤Π


Π

I 3 = ∫ ie it e −it dt = it 0 = iΠ
0

ví dụ: Tính tích phân

I = ∫ z dz
C

với C là đường nối từ z=0→z=4+2i trong

các trường hợp sau:
a) C1 là đường x = y 2
b) C2 là đường gấp khúc từ 0→2i & 2i→4+2i

GIẢI:
a) Tham số hóa đường cong

 x =t2

C1 ⇔  y = t
0 ≤ t ≤ 2


Z(t)=x(t)+iy(t)= t 2 + it
2

(

)

I = ∫ t 2 − it ( 2t + i ) dt =
0

t4
it 3
t2
−
+
2
3
2

2

=10 −
0

b) Tham số hóa đường thẳng C2:

8i
3

 x=0

⇔ y =t
AB
0 ≤ t ≤ 2


Page 18

Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

Z(t)=x(t)+iy(t)=it
2

I1 = ∫−itidt =
0

t2
2

2

=2
0

Tham số hóa đường thẳng C2:

 x =t

⇔ y =2
BC
0 ≤ t ≤ 4


Z(t)=x(t)+iy(t)=t+2i

4

I 2 = ∫( t − 2i ) dt =
0

BÀITẬP:
1.Tính

Ik =

t2
− 2it
2

4

=8 −8i ⇒I = 2 +8 −8i =10 −8i
0

∫ ( x + y ) dz

Ck

với a) C1 :0→i& i→1+i
b) C2: 0→1+i theo đường thẳng: y=x
c) C3: 0→1+i theo đường thẳng: y =x 2

Page 19

Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

§2 TÍCH PHÂN CAUCHY CHO MIỀN ĐƠN LIÊN& ĐA LIÊN
I. Các định lý
1. Định lý 1

∫
f(z) giải tích trong miền đơn liên D, thì C f ( z )dz đối với mọi đường cong trong

miền này có cùng điểm đầu và điểm cuối sẽ có cùng giá trị:
b

∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz

C1

C2

a

2. Định lý 2
f(z) giải tích trong miền đơn liên D và C là đường cong kín trơn từng khúc bất kỳ
trong D thì ∫ f ( z )dz = 0
C

3. Mở rộng của định lý 2:

∫ f ( z )dz = 0

C

Nếu D là miền giới nội với biên C thì
3. Nguyên hàm và tích phân bất định
∫ f ( z ) dz = F ( z ) + C
Ví dụ:

Page 20


Toán chuyên ngành

a ) ∫ ( 2 z + 4 cos z ) dz =z

b) ∫ a x dz =

Hàm phức và Toán tử Laplace
2

+ 4 sin z + C

ax
+C
ln a

4. Công thức Newtons-Leibnitz:
f(z) giải tích trong miền đơn liên D,

b

∀a, b ∈D, ∫ f ( z ) dz = F ( z ) a = F ( b ) − F ( a )
b

a

5. Các phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần vẫn đúng cho tích phân hàm
phức.
Ví dụ: Tính
a) I =

1+i

iz
∫ ( z + 2) e dz

0

u = z + 2 ⇒ du = dz

e iz

v = ∫ e iz dz =

i


5.

e iz

I = ( z + 2)
i
b) I =

1+i

−
0

11+i iz
e i −1 2
iz 1+i
i −1
∫ e d = ( i + 3) i − i + e 0 = ( 2 − 3i ) e + 2i − 1
i 0

1+i

20
∫ ( z − 1) zdz

1

i

t = z − 1 ⇒ dt = dz ⇒ I = ∫ t
0

20

i

( t + 1) dz = ∫ t
0

Page 21

i

21

+t

20

t 22 t 21 
1
i
dz = 
+
+
 =−
21 
22 21
 22

0


Toán chuyên ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

5. Tích phân Cauchy cho miền đa liên:
Định lý: D là miền đa liên, bị chặn có biên là các đường cong C0, C1, …, Cn, trong
đó C0 bao các đường cong kín C1, …, Cn.
f(z) là hàm giải tích trên D ta có:
∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz + ∫ f ( z ) dz +  + ∫ f ( z ) dz
C0

C1

C2

Cn

Page 22


Toán chun ngành

Hàm phức và Toán tử Laplace

§3 CƠNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY
I. Các định lý:
1. Định lý 1: Gỉa sử f(z) giải tích trên miền đơn liên D( giới nội và bị chặn), liên
z
D
tục trên D , ∀ ∈ , ta có:
1

f ( t ) dt
f ( z) =
∫
2Πi C t − z

• Hệ quả:
Gỉa sử f(z) giải tích trên miền đơn liên D( giới nội và bị chặn), liên tục trên
D , ∀ 0 ∈D, ta có:
z
f ( z ) dz
∫ z − z = 2Πif ( z0 )

C

0

2. Định lý 2: Gỉa sử f(z) giải tích trên D , với biên C trơn từng khúc ∀a ∈ D ,f(z)
có đạo hàm moi cấp ta có:
n!
f ( z ) dz
f ( n) ( a) =
∫
2Πi C ( z − a ) n +1
• Hệ quả:
Gỉa sử f(z) giải tích trên miền đơn liên D( giới nội và bị chặn), liên tục trên
D , ∀ ∈ , ta có:
a
D
f ( z ) dz
2Πi ( n )

=
f ( a ) , with : n = 0,1,2
∫
n +1
n!
C ( z − a)
CHÚ Ý:

∫

(

dz

C z − z0

Ví dụ: Tính tích phân

Ik =

)

n

2Πi
=
 0

if : n = 1

if : n ≠ 1

z2
∫ z − 2i dz,With : a)C1 : z = 3, b)C2 : z =1
Ck

Page 23


Toán chuyên ngành

z2
dz ,With : f ( z ) = z 2
z − 2i
C1

∫

a ) I1 =
I1 =

Hàm phức và Toán tử Laplace

giải tích trong hình tròn C 1, z0 = 2i ∈ D1 ⇒

z2
dz = 2Πif ( 2i ) = 2Πi ( 2i ) 2 = −8Πi
z − 2i
C1

∫

b) I 2 =
I2 =

z2
z2
dz ,With : f ( z ) =
z − 2i
z − 2i
C2

∫

giải

tích

trong

hình

z2
dz = 0
z − 2i
C2

∫

Vídụ: Tính tích phân

Ik =

∫

1

Ck z

2

+9

dz,With : a )C1 : z − 2i = 2, b)C2 : z + 2i = 2, c)C3 : z + 2i =

1
2

GIẢI:
1
1
a ) I1 = ∫ z + 3i dz ,With : f ( z ) =
z + 3i
C1 z − 3i
I1 =

f ( z)

∫

C1 z − 3i

dz = 2Πif ( 3i ) =

giải tích trong C1, z0 = 3i ∈ D1 ⇒

2Πi Π
=
6i
3

1
1
giải
b) I 2 = ∫ z − 3i dz ,With : f ( z ) =
z − 3i
z + 3i
C2
f ( z)
2Πi
Π
I2 = ∫
dz = 2Πif ( − 3i ) =
=−
− 6i
3
C z + 3i

tích trong C2, z0 = −3i ∈ D2 ⇒

2

Page 24

tròn

C 2,


Toán chuyên ngành

c) I 3 =

I3 =

∫

C2 z

1
2

+9

Hàm phức và Toán tử Laplace

dz ,With : f ( z ) =

1

giải

2

z +9

tích

trong

∫ f ( z ) dz = 0

C3

Vídụ: Tính tích phân

I =

∫

C z

2

(z

ez
2

− 2z + 2

) dz,With : C

Page 25

: z −i = 2

hình

tròn

C3,