trắc nghiệm chương 3 dãy số cấp số NHÂN cấp số CỘNG 4 mức độ có đáp án chi tiết từng câu (file word)

Câu 1: (THPT Sơn Tây-Hà Nội-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −2 và
công sai d = 3 . Tìm số hạng u10 .
9
A. u10 = −2.3 .

B. u10 = 25 .

C. u10 = 28 .

D. u10 = −29 .

Lời giải
Chọn B
Ta có u10 = u1 + 9d = −2 + 9.3 = 25 .
Câu 2: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho một cấp số cộng ( un ) có
1
u1 = , u8 = 26. Tìm công sai d
3
11
10
A. d = .
B. d = .
3
3

C. d =

3
.
10

D. d =

3
.
11

Lời giải
Chọn A
1
11
u8 = u1 + 7d ⇔ 26 = + 7d ⇔ d = .
3
3

Câu 3: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-đề 2-năm 2017-2018) Cho một cấp số cộng ( un )
1
có u1 = , u8 = 26. Tìm công sai d
3
11
10
A. d = .
B. d = .
3
3

C. d =

3
.
10

D. d =

3
.
11

Lời giải
Chọn A
1
11
u8 = u1 + 7d ⇔ 26 = + 7d ⇔ d = .
3
3
n
Câu 4: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho dãy số ( un ) với un = 3 . Tính

un +1 ?
n
A. un +1 = 3 + 3.

n
B. un +1 = 3.3 .

n
C. un +1 = 3 + 1.

D. un +1 = 3 ( n + 1) .

Lời giải

Chọn B
n +1
n
Ta có un +1 = 3 = 3.3 .
Câu 5: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) : 2, a, 6, b.
Tích ab bằng?
A. 32 .

B. 40 .

C. 12 .
Lời giải

D. 22 .

Chọn A
 2 + 6 = 2a
a = 4
⇔
⇒ ab = 32.
Ta có 
 a + b = 2.6
b = 8
Câu 6: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Trong các dãy số sau đây
dãy số nào là cấp số nhân?
A. Dãy số −2 , 2 , −2 , 2 , …, −2 , 2 , −2 , 2 , …
n
B. Dãy số ( un ) , xác định bởi công thức un = 3 + 1 với n ∈ ¥ * .

u1 = 1
C. Dãy số ( un ) , xác định bởi hệ: 
.
*
un = un −1 + 2 ( n ∈ ¥ : n ≥ 2 )
D. Dãy số các số tự nhiên 1, 2 , 3 , ….
Lời giải
Chọn A
Dãy số −2 , 2 , −2 , 2 , …, −2 , 2 , −2 , 2 , …. là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = −2 , công
bội q = −1 .
Dãy số

( un )

n
1
2
xác định bởi công thức un = 3 + 1 có u1 = 3 + 1 = 4 , u2 = 3 + 1 = 10 ,

u3 = 33 + 1 = 28 . Nhận xét:

u3 u2
≠
nên ( un ) không là cấp số nhân.
u2 u1

u1 = 1
Dãy số ( un ) , xác định bởi hệ: 
có u1 = 1 , u1 = 3 , u3 = 5 . Nhận
*

un = un −1 + 2 ( n ∈ ¥ : n ≥ 2 )
xét:

u3 u2
≠
nên ( un ) không là cấp số nhân.
u2 u1

Dãy số các số tự nhiên 1, 2 , 3 , …. có u1 = 1 , u1 = 2 , u3 = 3 . Nhận xét:

u3 u2
≠
nên không là
u2 u1

cấp số nhân.
Câu 7: (THPT Lê Văn Thịnh-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn I = lim
A. I =

1
.
2

B. I = +∞ .

C. I = 2 .

2n + 1
n +1

D. I = 1 .

Lời giải
Chọn C
1
2+
2n + 1
n = 2.
= lim
Ta có I = lim
1
n +1
1+
n
Câu 8: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho một cấp số cộng có u4 = 2 ,
u2 = 4 . Hỏi u1 bằng bao nhiêu?
A. u1 = 6 .

B. u1 = 1 .

Chọn C
Theo giả thiết ta có
u4 = 2
u + 3d = 2
u = 5
.
⇔ 1
⇔ 1

 d = −1

u2 = 4
u1 + d = 4

C. u1 = 5 .
Lời giải

D. u1 = −1 .


Câu 1: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có số
hạng tổng quát là un = 3n − 2 . Tìm công sai d của cấp số cộng.
A. d = 3 .
B. d = 2 .
C. d = −2 .
Lời giải
Chọn A
Ta có un +1 − un = 3 ( n + 1) − 2 − 3n + 2 = 3

D. d = −3 .

Suy ra d = 3 là công sai của cấp số cộng.
1 1
1
Câu 2: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Tổng S = + 2 + ×××+ n + ××× có giá
3 3
3
trị là:
1
1
1

1
A. .
B. .
C. .
D. .
9
4
3
2
Lời giải
Chọn D
1 1
1
1
Ta có S = + 2 + ×××+ n + ××× là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( un ) với un = n có số hạng
3 3
3
3
1
1
đầu u1 = , công sai q = .
3
3
1
u1
1
= 3 = .
Do đó S =
1− q 1− 1 2
3

Câu 3: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Trong các phát biểu
sau, phát biểu nào là sai?
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
B. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.
C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.
D. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
Lời giải
Chọn B
Một phản ví dụ: dãy số ( un ) , với un = n − 2 là cấp số cộng có công sai d = 1 > 0 .
Nhưng dạng khai triển của nó là −1 ; 0 ; 1… không phải là một dãy số dương.
Câu 4: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có
 u1 = 11 và công sai d = 4 . Hãy tính u99 .
A. 401 .
B. 403 .
C. 402 .
Lời giải
Chọn B
Ta có : u99 = u1 + 98d = 11 + 98.4 = 403 .

D. 404 .

Câu 5: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây là một cấp số
cộng ?
u1 = 1
u1 = 3


A. ( un ) : 
.
B. ( un ) : 

.
un +1 = un + 2, ∀n ≥ 1
un +1 = 2un + 1, ∀n ≥ 1


C. ( un ) : 1; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; K .

D. ( un ) : −1 ; 1; −1 ; 1; −1 ; K .
Lời giải

Chọn A
Dãy số ở đáp án A thỏa un +1 − un = 2 với mọi n ≥ 1 nên là cấp số cộng.
Câu 6: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho tứ diện ABCD , các
điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB , CD . Không thể kết luận G là
trọng tâm tứ diện ABCD trong trường hợp
uuuu
r uuur r
A. GM + GN = 0 .
B. GM = GN .
uuu
r uuur uuur uuur r
C. GA + GB + GC + GD = 0 .
uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
D. 4PG = PA + PB + PC + PD với P là điểm bất kỳ.
Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết ta có GM = GN thì chưa thể kết luận ngay được G là trung
điểm MN .

uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
GV GIẢI đã đề xuất sửa đáp án D của đề gốc, từ 4PG = PA + PB + PC + PC
uuur uuu
r uuu
r uuur uuur
thành 4PG = PA + PB + PC + PD với P là điểm bất kỳ.
Các phương án còn lại ta kết luận được ngay G là trọng tâm của tứ diện
ABCD .
Câu 7: (THPT Yên Định-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Một cấp số nhân có số hạng
đầu u1 = 3 , công bội q = 2 . Biết S n = 765 . Tìm n ?
A. n = 7 .

B. n = 6 .

C. n = 8 .

D. n = 9 .

Hướng dẫn giải
Chọn C
Áp dụng công thức của cấp số nhân ta có: S n =

u1 ( 1 − q n )
1− q

=

3. ( 1 − 2n )

1− 2

= 765 ⇔ n = 8 .

Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD
là hình vuông tâm O , SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi I là trung điểm của SC . Khoảng cách từ I đến
mặt phẳng ( ABCD ) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
A. IO .

B. IA .

C. IC .
Lời giải

D. IB .

Chọn A
Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO //SA . Do SA ⊥ ( ABCD ) nên
IO ⊥ ( ABCD ) , hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( ABCD ) bằng độ dài đoạn thẳng IO .


Câu 2: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho I = lim

4n 2 + 5 + n
4n − n 2 + 1

. Khi

đó giá trị của I là
B. I =

A. I = 1 .

5
.
3

C. I = −1 .

D. I =

3
.
4

Lời giải
Chọn A
5
+1
2
4n + 5 + n
n
= lim
Ta có I = lim
=1
1
4n − n 2 + 1
4 − 1+ 2
n
2

4+

Câu 3: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng có u1 = −3 , d = 4 .
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. u5 = 15 .
B. u4 = 8 .
C. u3 = 5 .
D. u2 = 2 .
Lời giải
Chọn C
Ta có u3 = u1 + 2d = −3 + 2.4 = 5 .
Câu 4: (THPT Can Lộc-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 8
lập được bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 2 và 3 .
A. 35 số.
B. 52 số.
C. 32 số.
D. 48 số.
Lời giải
Chọn A
Số chia hết cho 2 và 3 là số chẵn và có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 .
Gọi a1a2 a3 là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 2 và 3 được lập từ các
chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 8 .
• Trường hợp 1: a3 = 0
Khi đó các chữ số a1 , a2 được lập từ các tập { 1; 2} , { 1;5} , { 1;8} , { 2; 4} , { 4;5} , { 4;8} .


Trường hợp này có 6.2! = 12 số.
• Trường hợp 2: a3 = 2
Khi đó các chữ số a1 , a2 được lập từ các tập { 1;0} , { 4;0} , { 1;3} , { 3; 4} , { 5;8} .

Trường hợp này có 2 + 3.2! = 8 số.
• Trường hợp 3: a3 = 4
Khi đó các chữ số a1 , a2 được lập từ các tập { 2; 0} , { 2;3} , { 3;5} , { 3;8} .
Trường hợp này có 1 + 3.2! = 7 số.
• Trường hợp 4: a3 = 8
Khi đó các chữ số a1 , a2 được lập từ các tập { 0;1} , { 0; 4} , { 1;3} , { 2;5} , { 3; 4} .
Trường hợp này có 2 + 3.2! = 8 số.
Vậy có tất cả 12 + 8 + 7 + 8 = 35 số cần tìm.
Câu 5: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = −2
và công bội q = 3 . Số hạng u2 là
A. u2 = −6 .

B. u2 = 6 .

C. u2 = 1 .
Lời giải

D. u2 = −18 .

Chọn A
Số hạng u2 là u2 = u1.q = −6
Câu 6: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số ( un ) thỏa mãn
un =

2n −1 + 1
. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.
n

A. 51, 2 .

B. 51,3 .

C. 51,1 .
Lời giải

D. 102,3 .

Chọn B
210−1 + 1
= 51,3 .
Ta có: u10 =
10
Câu 7: (THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số
u1 = 4
. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số.

un +1 = un + n
A. 16 .
B. 12 .
C. 15 .
D. 14 .
Lời giải
Chọn D
Ta có u2 = u1 + 1 = 5 ; u3 = u2 + 2 = 7 ; u4 = u3 + 3 = 10 . Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là
u5 = u4 + 4 = 14 .
Câu 8: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Tính lim

x →+∞

A. −1 .

Chọn D

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

x +1
.
x −1
2018

D. 0 .


1 1
+ 2
x +1
1
x
x =0.
lim
= lim 2017 .
x →+∞ x 2018 − 1
x →+∞ x
1
1 − 2017
x
Câu 9: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018) lim
A.

2
.
11

B.

1
.
2

2 n 4 − 2n + 2
bằng
4n 4 + 2n + 5

C. +∞ .

D. 0 .

Lời giải
Chọn B
2 2
2− 3 + 4
2 n 4 − 2n + 2
n n =1.
= lim
Ta có lim 4
2 5
4n + 2n + 5
4+ 3 + 4 2

n n
Câu 10: (THPT Tây Thụy Anh – Thái Bình – lần 1 - năm 2017 – 2018) Trong các dãy
số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
2n + 1
2
3
A. un = n .
B. un = 2n .
C. un = n − 1 .
D. un =
.
n −1
Lời giải
Chọn D
2
3
∀n ∈ ¥ * ta có: n < ( n + 1) nên A sai; 2n < 2 ( n + 1) nên B sai; n − 1 < ( n + 1) − 1 nên C sai.
2

Với un =

3

−3
2n + 1
< 0 nên dãy un = 2n + 1 giảm.
thì un +1 − un =
( n − 1) .n
n −1
n −1

Câu 11: (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Cấp số cộng ( un ) có
số hạng đầu u1 = 3 , công sai d = −2 thì số hạng thứ 5 là
A. u5 = 8 .

B. u5 = 1 .

C. u5 = −5 .
Lời giải

D. u5 = −7 .

Chọn C
Ta có: u5 = u1 + 4d = 3 + 4. ( −2 ) = −5 .
Câu 12: (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho dãy số ( un ) là
một cấp số cộng có u1 = 3 và công sai d = 4 . Biết tổng n số hạng đầu của
dãy số ( un ) là S n = 253 . Tìm n .
A. 9 .
Chọn B
Ta có S n =

B. 11 .

n ( 2u1 + ( n − 1) d )
2

⇔

C. 12 .
Lời giải

n ( 2.3 + ( n − 1) .4 )

 n = 11
⇔ 4n 2 + 2n − 506 = 0 ⇔ 
.
 n = − 23 ( L )

2

2

= 253

D. 10 .


Câu 1: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Có bao nhiêu tập con
gồm 3 phần tử của tập hợp X = { 1; 2;3; 4;7;8;9} ?
3
A. A7 .

3
B. C9 .

3

C. C7 .
Lời giải

3
D. A9 .

Chọn C
Số tập con gồm 3 phần tử của tập hợp X = { 1; 2;3; 4;7;8;9} là số tổ hợp chập 3
của 7 phần tử.
3
Vậy có C7 tập hợp.
Câu 2: lim

x →−∞

3x + 2
bằng
2x − 4

1
A. − .
2

3
B. − .
4

C.1 .

D.

3
B. − .

4

C.1 .

D.

3
.
2

3x + 2
bằng
x →−∞ 2 x − 4

Câu 3: lim

1
A. − .
2

3
.
2

Lời giải
Chọn D
2
3+
3x + 2
x =3 .

= lim
Ta có: lim
x →−∞
x →−∞ 2 x − 4
4 2
2−
x
u4 = 10
Câu 4: Cho cấp số cộng ( un ) thỏa mãn 
có công sai là
u4 + u6 = 26
A. d = −3 .
B. d = 3 .
C. d = 5 .
D. d = 6 .
Câu 5: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. 1; 2; 3; 4; 5 .
B. 1; 2; 4; 8; 16 .
C. 1; − 1; 1; − 1; 1 .
D. 1; − 2; 4; − 8; 16 .
u4 = 10
Câu 6: Cho cấp số cộng ( un ) thỏa mãn 
có công sai là
u4 + u6 = 26
A. d = −3 .
B. d = 3 .
C. d = 5 .
D. d = 6 .
Lời giải
Chọn B

Gọi d là công sai.
u4 = 10
u + 3d = 10
u = 1
⇔ 1
⇔ 1
Ta có: 
.
d = 3
2u1 + 8d = 26
u4 + u6 = 26
Vậy công sai d = 3 .
Câu 7: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?
A. 1; 2; 3; 4; 5 .
B. 1; 2; 4; 8; 16 .
C. 1; − 1; 1; − 1; 1 .
Lời giải
Chọn A
Dãy 1; 2; 4; 8; 16 là cấp số nhân với công bội q = 2 .

D. 1; − 2; 4; − 8; 16 .


Dãy 1; − 1; 1; − 1; 1 là cấp số nhân với công bội q = −1 .
Dãy 1; − 2; 4; − 8; 16 là cấp số nhân với công bội q = −2 .
Dãy 1; 2; 3; 4; 5 là cấp số cộng với công sai d = 1 .
Câu 8: Cho dãy số ( un ) với un = 2n − 1 . Dãy số ( un ) là dãy số
A.Bị chặn trên bởi 1.
C. Bị chặn dưới bởi 2.

B. Giảm.
D. Tăng.

Câu 9: Cho dãy số ( un ) với un = 2n − 1 . Dãy số ( un ) là dãy số
A.Bị chặn trên bởi 1.

B. Giảm.

C. Bị chặn dưới bởi 2.

D. Tăng.
Lời giải

Chọn D
∀n ∈ ¥ * ta có: un +1 − un = 2 ( n + 1) − 1 − ( 2n − 1) = 2 > 0 nên un +1 > un vậy dãy số ( un ) tăng.
Câu 10: Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = 5 và công bội q = −2 . Số hạng thứ sáu của ( un ) là:
A. u6 = 160 .

B. u6 = −320 .

C. u6 = −160 .

D. u6 = 320 .

Câu 11: Biết bốn số 5 ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3 x + 2 y bằng.
A. 50 .

B. 70 .

C. 30 .

D. 80 .

Câu 12: Cho cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = 5 và công bội q = −2 . Số hạng thứ sáu của ( un ) là:
A. u6 = 160 .
B. u6 = −320 .
C. u6 = −160 .
D. u6 = 320 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có u6 = u1q 5 = 5. ( −2 ) = −160 .
Câu 13: Biết bốn số 5 ; x ; 15 ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3 x + 2 y bằng.
A. 50 .
B. 70 .
C. 30 .
D. 80 .
5

Hướng dẫn giải
Chọn B
5 + 15
= 10 ⇒ y = 20 . Vậy 3 x + 2 y = 70 .
2
Câu 14: Số cách sắp xếp 6 học sinh vào một bàn dài có 10 chỗ ngồi là:
Ta có: x =

6
A. 6.A10 .

6

B. C10 .

6
C. A10 .

D. 10P6 .

Câu 15: Số cách sắp xếp 6 học sinh vào một bàn dài có 10 chỗ ngồi là:
6
A. 6.A10 .

6
B. C10 .

6
C. A10 .

D. 10P6 .

Lời giải
Chọn C
Số cách sắp xếp 6 học sinh vào một bàn dài có 10 chỗ ngồi là số chỉnh hợp
chập 6 của 10 phần tử. Vậy số cách sắp xếp là: A106 .


Câu 16: Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 4; u2 = 1 . Giá trị của u10 bằng
A. u10 = 31 .

B. u10 = −23 .

C. u10 = −20 .

D. u10 = 15.

Câu 17: Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 4; u2 = 1 . Giá trị của u10 bằng
A. u10 = 31 .

B. u10 = −23 .

C. u10 = −20 .
Hướng dẫn giải

D. u10 = 15.

Chọn B
u1 = 4; u2 = 1 ⇒ d = −3 . Vậy u10 = u1 + 9d = 4 + 9. ( −3) = −23

Câu 18: Cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 3 , công sai d = 5 , số hạng thứ tư là
A. u4 = 23 .

B. u4 = 18 .

C. u4 = 8 .

D. u4 = 14 .

Câu 19: Cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 3 , công sai d = 5 , số hạng thứ tư là
A. u4 = 23 .

B. u4 = 18 .

C. u4 = 8 .
Lời giải

D. u4 = 14 .

Chọn B
u4 = u1 + 3d = 3 + 5.3 = 18 .
Câu 20: Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân ( un ) là un = u1 .q n −1 , với công bội q và
số hạng đầu u1 .
B. Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( un ) là un = u1 + ( n − 1) d , với công sai d
và số hạng đầu u1 .
C. Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( un ) là un = u1 + nd , với công sai d và
số hạng đầu u1 .
D. Nếu dãy số ( un ) là một cấp số cộng thì un +1 =

un + un + 2
∀n ∈ ¥ * .
2

Câu 21: Khẳng định nào dưới đây sai?
n −1
A. Số hạng tổng quát của cấp số nhân ( un ) là un = u1 .q , với công bội q và

số hạng đầu u1 .
B. Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( un ) là un = u1 + ( n − 1) d , với công sai d
và số hạng đầu u1 .
C. Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( un ) là un = u1 + nd , với công sai d và
số hạng đầu u1 .

D. Nếu dãy số ( un ) là một cấp số cộng thì un +1 =

u n + un + 2
∀n ∈ ¥ * .
2

Lời giải
Chọn C
Câu 22: Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 2 . Tính u5 .


A. 11 .

B. 15 .

C. 12 .

D. 14 .

Câu 23: Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với
( ABCD ) và H là hình chiếu vuông góc của A lên SB . Khẳng định nào sau
đây là sai?
A. AH ⊥ BC .

B. AH ⊥ SC .

C. BD ⊥ SC .

D. AC ⊥ SB .

Câu 24: Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 2 . Tính u5 .
A. 11 .

B. 15 .

C. 12 .
Lời giải

D. 14 .

Chọn A
Ta có u5 = u1 + 4d = 3 + 4.2 = 11 .
Câu 25: Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với

( ABCD ) và H là hình chiếu vuông góc của A lên SB . Khẳng định nào sau
đây là sai?
A. AH ⊥ BC .

B. AH ⊥ SC .

C. BD ⊥ SC .
Lời giải

D. AC ⊥ SB .

Chọn D

Đáp án A đúng do BC ⊥ ( SAB ) nên AH ⊥ BC .
Đáp án B đúng do AH ⊥ ( SBC ) nên AH ⊥ SC .
Đáp án C đúng do BD ⊥ ( SAC ) nên BD ⊥ SC .

Câu 26: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
A. 1 − 4n .

B.

n3 − 3n
.
n +1

C.

n +1
.
n2

D.

1 − 2n 3
.
n3 + 5n

D.

1 − 2n 3
.
n3 + 5n

Câu 27: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?
A. 1 − 4n .

B.

n3 − 3n
.
n +1

Chọn C
Ta có lim

n +1
1 1 
= lim  + 2 ÷ = 0 .
2
n
n n 

n +1
.
n2
Lời giải
C.


Câu 28: Cho dãy số ( un ) là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q . Đẳng thức nào sau đây
sai?
n −1
A. un +1 = u n q , ( n ≥ 1) . B. un = u1q , ( n ≥ 2 ) .
n
C. un = u1q , ( n ≥ 2 ) .

2
D. uk = uk −1uk +1 , ( k ≥ 2 ) .

Câu 29: Cho dãy số ( un ) là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q . Đẳng thức nào sau đây
sai?
A. un +1 = un q , ( n ≥ 1) .

n −1
B. un = u1q , ( n ≥ 2 ) .

n
C. un = u1q , ( n ≥ 2 ) .

2
D. uk = uk −1uk +1 , ( k ≥ 2 ) .

Lời giải
Chọn C .
Cho dãy số ( un ) là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q .
Từ định nghĩa của cấp số nhân ta có các kết quả sau:
un +1 = un q , ( n ≥ 1) ,
un = u1q n −1 , ( n ≥ 2 ) ,
uk2 = uk −1uk +1 , ( k ≥ 2 ) .
Kết quả của đáp án C là sai.
Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Trong các phát biểu
sau, phát biểu nào là sai?
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
B. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.
D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.

Lời giải.
Chọn D
A. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 1 .
B. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 0 .
C. Đúng vì dãy số đã cho là cấp số cộng có công sai dương nên: un +1 − un = d > 0 ⇒ un +1 > un .
D. Sai. Ví dụ dãy −5 ; −2 ; 1; 3 ; … là dãy số có d = 3 > 0 nhưng không phải là dãy số dương.
Câu 2: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) và gọi S n là tổng
n số hạng đầu tiên của nó. Biết S7 = 77 và S12 = 192 . Tìm số hạng tổng quát un của cấp số
cộng đó
A. un = 5 + 4n .
B. un = 3 + 2n .
C. un = 2 + 3n .
D. un = 4 + 5n .
Lời giải
Chọn B
Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u1 và công sai d .
7.6.d

7u1 + 2 = 77
 S7 = 77
7u + 21d = 77
u = 5
⇔
⇔ 1
⇔ 1
Ta có: 
.
d = 2
 S12 = 192
12u1 + 66d = 192

12u + 12.11.d = 192
 1
2
Khi đó: un = u1 + ( n − 1) d = 5 + 2 ( n − 1) = 3 + 2n .


Câu 3: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số nhân ( un ) ; u1 = 1, q = 2 .
Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?
A. 11.
B. 9 .

C. 8 .
Lời giải

D. 10 .

Chọn A
n −1
n −1
n −1
10
Ta có un = u1.q ⇔ 1.2 = 1024 ⇔ 2 = 2 ⇔ n − 1 = 10 ⇔ n = 11 .
Câu 4: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Trong các dãy số sau, dãy nào là
cấp số nhân?
n
n
2
n
A. un = ( −1) n .
B. un = n .

C. un = 2 .
D. un = n .
3
Lời giải
Chọn C
un +1
Lập tỉ số
un
u
( −1) . ( n + 1) = − n + 1 ⇒ u
( n ) không phải cấp số nhân.
A: n+1 =
n
un
n
( −1) .n
n +1

u
( n + 1) ⇒ ( u ) không phải là cấp số nhân.
B: n +1 =
n
un
n2
2

un +1 2n +1
= n = 2 ⇒ un +1 = 2un ⇒ ( un ) là cấp số nhân có công bội bằng 2 .
C:
un

2
D:

un +1 n + 1
=
⇒ ( un ) không phải là cấp số nhân.
un
3n

Câu 5: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Xác định số hạng đầu và công bội của
cấp số nhân ( un ) có u4 − u2 = 54 và u5 − u3 = 108 .
A. u1 = 3 và q = 2 .

B. u1 = 9 và q = 2 .
C. u1 = 9 và q = –2 .
Lời giải

D. u1 = 3 và q = –2 .

Chọn B
Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u1 và công bội là q .
Theo giả thiết, ta có

3
q ( q 2 − 1)
u4 − u2 = 54
54 1
u1.q − u1.q = 54
⇔
⇒ 2 2

=
= ⇔ q=2.

4
2
q ( q − 1) 108 2
u1.q − u1.q = 108
u5 − u3 = 108

Với q = 2 , ta có 8u1 − 2u1 = 54 ⇔ 6u1 = 54 ⇔ u1 = 9 .
Câu 6: (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Xác định số hàng đầu u1 và công sai
d của cấp số cộng ( un ) có u9 = 5u2 và u13 = 2u6 + 5 .

A. u1 = 3 và d = 4 .

B. u1 = 3 và d = 5 .
C. u1 = 4 và d = 5 .
Lời giải

D. u1 = 4 và d = 3 .

Chọn A
u1 + 8d = 5 ( u1 + d )
Ta có: un = u1 + ( n − 1) d . Theo đầu bài ta có hpt: 
u1 + 12d = 2 ( u1 + 5d ) + 5


4u − 3d = 0
u = 3
⇔ 1

⇔ 1
.
d = 4
u1 − 2d = −5
Câu 7: (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Với mọi n ∈ ¥ * , dãy số ( un ) nào
sau đây không phải là cấp số cộng hay cấp số nhân?
n

A. un = 2017 n + 2018 .

n  2017 
B. un = ( −1) 
÷.
 2018 

u1 = 1

C. 
.
un
un +1 = 2018 , n = 1, 2,3,...

u1 = 1
D. 
.
un +1 = 2017un + 2018
Lời giải

Chọn D
• Xét dãy số ( un ) trong phương án A, ta có

un +1 − un =  2017 ( n + 1) + 2018 − ( 2017n + 2018 ) = 2017 với mọi n ∈ ¥ * . Vậy dãy số này là
một cấp số cộng.
• Xét dãy số ( un ) trong phương án B, ta có
un +1
un

n +1

 2017 

÷
 2018  = − 2017
=
với mọi n ∈ ¥ * . Vậy dãy số này là một cấp số nhân.
n
2018
n  2017 
( −1) 
÷
 2018 

( −1)

n +1

• Xét dãy số ( un ) trong phương án C, ta có
un +1
un

un

1 với mọi n ∈ ¥ * . Vậy dãy số này là một cấp số nhân.
= 2018 =
un
2018

• Xét dãy số ( un ) trong phương án D, ta có
un +1 − un = ( 2017un + 2018 ) − ( 2017un −1 + 2018 ) = 2017 ( un − un−1 )
= 2017 2 ( un −1 − un− 2 )
= 20173 ( un − 2 − un −3 )
= ...
= 2017 n −1 ( u2 − u1 ) = 2017 n −1 ( 2017 + 2018 ) − 1 = 2.2017 n
Vậy dãy số này không phải là cấp số cộng.
Mặt khác, ta có
un +1 2017un + 2018
2018
=
= 2017 +
.
un
un
un
Tỷ số này thay đổi khi un thay đổi nên dãy ( un ) không là cấp số nhân.
Câu 8: (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Cho ba số a, b, c theo thứ tự đó
vừa lập thành cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi
A. a = 1; b = 2; c = 3 .
B. a = d ; b = 2d ; c = 3d với d ≠ 0 cho trước.
2
3
C. a = q; b = q ; c = q với q ≠ 0 cho trước. D. a = b = c .
Lời giải

Chọn D
Gọi d và q lần lượt là công sai của cấp số cộng và công bội của cấp số nhân.
b = a + d = aq
⇒ d = aq 2 − aq ⇒ a + aq 2 − aq = aq ⇔ q 2 − 2q + 1 = 0
Ta có: 
2
c = a + 2d = aq
⇔ q =1⇒ d = 0 ⇒ a = b = c .
Câu 9: (THPT Quãng Xương-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho chuyển động xác
định bởi phương trình S = t 3 − 3t 2 − 9t , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng
mét. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.
A. 12 m/s 2 .
B. −21 m/s .
C. −12 m/s 2 .
D. −12 m/s .
Lời giải
Chọn D
2
Ta có v ( t ) = S ' ( t ) = 3t − 6t − 9 và a ( t ) = v ' ( t ) = 6t − 6.
Tại thời điểm gia tốc triệt tiêu thì 6t − 6 = 0 ⇔ t = 1 .
2
Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là v ( 1) = −12 m/s .
Câu 10: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có
u1 = 123 , u3 − u15 = 84 . Số hạng u17 bằng
A. 235 .

C. 96000cm3 .

B. 11.

D. 81000cm3 .

Lời giải
Chọn B
Giả sử cấp số cộng ( un ) có công sai d .
Theo giả thiết ta có: u3 − u15 = 84 ⇔ u1 + 2d − u1 − 14d = 84 ⇔ −12d = 84 ⇔ d = −7 .
Vậy u17 = u1 + 16d = 123 + 16. ( −7 ) = 11 .
Câu 11: (THPT Ngô Sĩ Liên-Bắc Giang-lần 1-năm 2017-2018) Cho cấp số nhân ( un ) có
S 2 = 4; S3 = 13 . Biết u2 < 0 , giá trị S5 bằng
A.

35
.
16

B.

181
.
16

C. 2 .

D. 121.

Lời giải
Chọn B


u1 ( 1 − q 2 )
4
 1+ q
 S2 =
=4
=
( 1)
2


u
1
+
q
=
4
)
1− q
13

 1(
1 + q + q
⇔
⇔
Ta có: 
2
3
u
1
+

q
+
q
=
13
(
)
u
1
−
q
1
(
)

u = 4
1

( 2)
 S3 = 1 − q = 13
 1 1 + q

 q = 3 ⇒ u1 = 1
1+ q
4

2
= ⇔ 4 q − 9q − 9 = 0 ⇔ 
Xét ( 1) :
3

2
1 + q + q 13
q = − 4 ⇒ u1 = 16
Với q = 3; u1 = 1 ⇒ u2 = u1.q = 3 > 0 (loại)
3
Với q = − ; u1 = 16 ⇒ u2 = u1 .q = −12 < 0 (Thỏa mãn).
4


Vậy S =
5

u1 ( 1 − q 5 )
1− q

  3 5 
16  1 −  − ÷ ÷
  4  ÷ 181
=
.
= 
3
16
1+
4

Câu 12: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Một cấp số
cộng có số hạng đầu u1 = 2018 công sai d = −5 . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó
thì nó nhận giá trị âm.
A. u406 .

B. u403 .

C. u405 .
Lời giải

D. u404 .

Chọn C
Ta có un = ( n − 1) d + u1 ( n ∈ ¥ ) .
Theo đề ra un = 2018 − 5 ( n − 1) < 0
⇔ 2018 < 5 ( n − 1)
⇔ 2023 < 5n ⇔ n >

2023
⇒ n = 405
5

PP trắc nghiệm:
Vì un = ( n − 1) d + u1 = 2018 − 5 ( n − 1)
Thay từng giá trị vào ta có:
u403 = 2018 − 5.402 = 8
u404 = 2018 − 5.403 = 3
u405 = 2018 − 5.404 = −2 .
Câu 13: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Một cấp số

*
2
cộng có tổng của n số hạng đầu S n tính theo công thức S n = 5n + 3n , ( n ∈ ¥ ) . Tìm số hạng

đầu u1 và công sai d của cấp số cộng đó.
A. u1 = −8; d = 10 .

B. u1 = −8; d = −10 . C. . u1 = 8; d = 10 ..
Lời giải

D. u1 = 8; d = −10 .

Chọn C
2
Ta có S1 = 5.1 + 3.1 = 8 = u1
Lại có S 2 = u1 + u2 ⇔ 2u1 + d = 26 ⇒ d = 10.
Câu 14: (THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Chọn phát
biểu sai trong các phát biểu sau
A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.
B. Một cấp số nhân có công bội q > 1 là một dãy tăng.
C. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.
D. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy tăng.
Lời giải
Chọn B
Xét cấp số nhân ( un ) với u1 = −2 và công bội q = 3 > 1 . Ta có:
u2 = ( −2 ) .3 = −6 < u1 ; u3 = ( −2 ) . ( −6 ) = 12 > u2 ; u4 = ( −2 ) .12 = −24 < u3 ; … là dãy số không
tăng, không giảm.


Câu 15: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho { un } là cấp số cộng
có công sai là d , { vn } là cấp số nhân có công bội là q và các khẳng định.
I) un = d + un −1 ∀n ≥ 2, n ∈ ¥ .
III) un =

un −1 + un +1
2

n
II) vn = q v1 ∀n ≥ 2, n ∈ ¥ .

∀n ≥ 2, n ∈ ¥ .

2
IV) vn −1.vn = vn +1 ∀n ≥ 2, n ∈ ¥ .

n ( v1 + vn )
∀n ≥ 2, n ∈ ¥ .
2
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn B
I) ĐÚNG : theo định nghĩa cấp số cộng.
n −1
II) SAI: do vn = q v1 , ∀n ≥ 2, n ∈ ¥ theo công thức tổng quát của cấp số nhân.
V) v1 + v2 + ... + vn =

III) ĐÚNG: theo tính chất cấp số cộng.
2
IV) SAI: do vn −1.vn +1 = vn , ∀n ≥ 2, n ∈ ¥ theo tính chất cấp số nhân.
V) SAI: do đây là công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.

Số câu đúng là: 2 .
Câu 16: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = −3 ,
công bội q = −2 . Hỏi −192 là số hạng thứ mấy của ( un ) ?
A. Số hạng thứ 6 .

B. Số hạng thứ 7 .

C. Số hạng thứ 5 .

D. Số hạng thứ 8 .

Lời giải
Chọn B
Giả sử −192 là số hạng thứ n của ( un ) với n ∈ ¥ * .
n −1
Ta có −192 = u1.q ⇔ −192 = ( −3) . ( −2 )

n−1

⇔ 64 = ( −2 )

n−1

⇔ ( −2 ) = ( −2 )
6

n−1

⇔ 6 = n −1

⇔ 7 = n . Do đó −192 là số hạng thứ 7 của ( un ) .

Câu 17: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u5 = −15 ,
u20 = 60 . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:
A. S10 = −125 .

B. S10 = −250 .

C. S10 = 200 .
Lời giải

Chọn A
Gọi u1 , d lần lượt là số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
u5 = −15
u + 4d = −15
u = −35
⇔ 1
⇔ 1
Ta có: 
.
d = 5
u1 + 19d = 60
u20 = 60
10
Vậy S10 = . ( 2u1 + 9d ) = 5.  2. ( −35 ) + 9.5 = −125 .
2

D. S10 = −200 .

Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Xác định x dương để
2 x − 3 ; x ; 2 x + 3 lập thành cấp số nhân.
A. x = 3 .
C. x = ± 3 .

B. x = 3 .
D. không có giá trị nào của x .
Lời giải

Chọn B

2
2 x − 3 ; x ; 2 x + 3 lập thành cấp số nhân ⇔ x = ( 2 x − 3) ( 2 x + 3 ) ⇔ x 2 = 4 x 2 − 9 ⇔ x 2 = 3

⇔ x=± 3.
Vì x dương nên x = 3 .
Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho dãy số ( un ) xác
u1 = 1
định bởi 
. Giá trị của n để −un + 2017n + 2018 = 0 là
u
=
u
+
2
n
+
1,
n
≥

1
n
 n +1
n
A. Không có .
B. 1009 .
C. 2018 .
D. 2017 .

Lời giải
Chọn C
Cách 1 :
2
Với n = 1 ta có: u2 = u1 + 3 = 4 = 2 .
2
Với n = 2 ta có: u3 = u2 + 2.2 + 1 = 9 = 3 .
2
Với n = 3 ta có: u4 = u3 + 2.3 + 1 = 16 = 4 .
2
Từ đó ta có: un = n .

 n = −1( L )
Suy ra −un + 2017 n + 2018 = 0 ⇔ −n 2 + 2017 n + 2018 = 0 ⇔ 
.
 n = 2018 ( N )
Cách 2 :
Ta có :
u2 = u1 + 2.1 + 1
u3 = u2 + 2.2 + 1
u4 = u3 + 2.3 + 1

……………….
un = un −1 + 2. ( n − 1) + 1
Cộng các vế tương ứng ta được :
un = u1 + 2. ( 1 + 2 + 3 + .....n − 1) + n − 1
un = 1 + 2.

n −1
( 1 + n − 1) + n − 1
2

 n = −1( L )
un = n 2 . Suy ra −un + 2017n + 2018 = 0 ⇔ −n 2 + 2017n + 2018 = 0 ⇔ 
.
 n = 2018 ( N )
Câu 3: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cấp số nhân ( un ) có
công bội âm, biết u3 = 12 , u7 = 192 . Tìm u10 .


A. u10 = 1536 .

B. u10 = −1536 .

C. u10 = 3072 .
Lời giải

D. u10 = −3072 .

Chọn B
Gọi q là công bội của cấp số nhân đề bài cho ( q < 0 ) .
2


u1q 6 192
u3 = 12 = u1q
⇒
=
⇒ q 4 = 16 .
Ta có 
2
6
u
q
12
u
=
192
=
u
q

1
1
 7
12
Mà q < 0 ⇒ q = −2 ⇒ u1 = 2 = 3 .
q

Do đó u10 = u1q 9 = 3. ( −2 ) = −1536 .
9

Câu 4: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho dãy số ( un ) xác

u1 = cos α ( 0 < α < π )

định bởi 
. Số hạng thứ 2017 của dãy số đã cho là
1 + un
, ∀n ≥ 1
un +1 =
2

 α 
A. u2017 = sin  2017 ÷ .
2 

 α 
 α 
 α 
B. u2017 = cos  2017 ÷ . C. u2017 = cos  2016 ÷ . D. u2017 = sin  2016 ÷ .
2 
2 
2 

Lời giải
Chọn C
Do 0 < α < π nên
Ta có u2 =

1 + cos α
α
α

= cos 2 = cos .
2
2
2

α
2 = cos 2 α = cos α
u3 =
2
4
4
 α 
Vậy un = cos  n −1 ÷ với mọi n ∈¥ * . Ta sẽ chứng mình bằng quy nạp.
2 
1 + cos

Với n = 1 đúng.
 α 
 α 
Giả sử với n = k ∈¥ * ta có uk = cos  k −1 ÷ . Ta chứng minh uk +1 = cos  k −1 ÷ .
2 
2 

 α 
1 + cos  k −1 ÷
2 
1 + uk
Thật vậy
α
α.

uk +1 =
=
= cos 2  k ÷ = cos  k ÷
2 
2 
2
2
 α 
Từ đó ta có u2017 = cos  2016 ÷ .
2 

Câu 5: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cấp số nhân
u20 = 8u17
. Tìm u1 , biết rằng u1 ≤ 100 .

u1 + u5 = 272
A. u1 = 16.

B. u1 = 2.

C. u1 = −16.
Lời giải

D. u1 = −2.

( un )

có

Chọn A
Ta có:

 16 3
u1.q19 = 8u1q16
u20 = 8u17
u1q ( q − 8 ) = 0( 1)
⇔
⇔
.

4
4
u1 + u5 = 272
u1 ( 1 + q ) = 272( 2 )
u1 + u1.q = 272
q = 0
Từ ( 2 ) suy ra u1 ≠ 0 do đó: ( 1) ⇔ 
.
q = 2

Nếu q = 0 thì ( 2 ) ⇔ u1 = 272 không thõa điều kiện u1 ≤ 100 .
Nếu q = 2 thì ( 2 ) ⇔ u1 = 16 thõa điều kiện u1 ≤ 100 .
Câu 6: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = 1 và
công sai d = 2 . Tổng S10 = u1 + u2 + u3 ..... + u10 bằng:
A. S10 = 110 .

B. S10 = 100 .

C. S10 = 21 .

Lời giải

D. S10 = 19 .

Chọn B
* Áp dụng công thức S n =

n ( un + u1 )
2

n  2u1 + ( n − 1) d 
ta được:
= 
2

S10 =

10  2 + ( 10 − 1) 2 
2

= 100 .

Câu 7: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Tổng của n số hạng đầu tiên
2
của một dãy số ( an ) , n ≥ 1 là S n = 2n + 3n . Khi đó

A. ( an ) là một cấp số cộng với công sai bằng 4 .
B. ( an ) là một cấp số nhân với công bội bằng 4 .
C. ( an ) là một cấp số cộng với công sai bằng 1.
D. ( an ) là một cấp số nhân với công bội bằng 1.

Lời giải
Chọn A
2
Ta có S n = 2n + 3n ⇒ u1 = S1 = 5 , u1 + u2 = S 2 = 14 ⇒ u2 = 9 , u1 + u2 + u3 = S3 = 27 ⇒ u3 = 13
K
Dựa vào nội dung các đáp án ta chọn được đáp án A.
Câu 8: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −3 ,
u6 = 27 . Tính công sai d .
A. d = 7 .
B. d = 5 .

C. d = 8 .
Lời giải

D. d = 6 .

Chọn D
Ta có u6 = u1 + 5d = 27 ⇒ d = 6 .
Câu 9: (SGD Ninh Bình năm 2017-2018) Cho cấp số nhân ( un ) , biết u1 = 1 ; u4 = 64 . Tính công
bội q của cấp số nhân.
A. q = 21 .

B. q = ±4 .

C. q = 4 .
Lời giải

D. q = 2 2 .

Chọn C
3
Theo công thức tổng quát của cấp số nhân u4 = u1q ⇔ 64 = 1.q 3 ⇔ q = 4 .
Câu 10: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) ,
biết u2 = 3 và u4 = 7 . Giá trị của u15 bằng
A. 27 .

B. 31 .

C. 35 .
Lời giải

D. 29 .

Chọn D
u1 + d = 3
u = 1
⇒ 1
Từ giả thiết u2 = 3 và u4 = 7 suy ra ta có hệ phương trình: 
.
d = 2
u1 + 3d = 7
Vậy u15 = u1 + 14d = 29 .
Câu 11: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Dãy số nào sau
đây là dãy số giảm?
5 − 3n
n −5
, ( n ∈ ¥ *) .
, ( n ∈ ¥ *) .
A. un =

B. un =
2n + 3
4n + 1
3
C. un = 2n + 3, ( n ∈ ¥ *) .
D. un = cos ( 2n + 1) , ( n ∈ ¥ *) .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét un =

5 − 3 ( n + 1) 5 − 3n
5 − 3n
2 − 3n 5 − 3n
−
, ( n ∈ ¥ *) , ta có un +1 − un =
=
−
2 ( n + 1) + 3 2n + 3 2n + 5 2n + 3
2n + 3

=

( 2 − 3n ) ( 2n + 3) − ( 2n + 5 ) ( 5 − 3n )
( 2n + 5 ) ( 2n + 3 )

=

−19
< 0, ∀n ∈ ¥ * .
( 2n + 5 ) ( 2n + 3)

Vậy un =

=

4n − 6n 2 + 6 − 9n − 10n + 6n 2 − 25 + 15n
( 2n + 5 ) ( 2 n + 3 )

5 − 3n
, ( n ∈ ¥ *) là dãy giảm.
2n + 3

Câu 12: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Cho cấp số nhân ( un ) có
u1 = −1, công bội q = −
A. Số hạng thứ 2018.

1
1
. Hỏi 2017 là số hạng thứ mấy của ( un ) ?
10
10
B. Số hạng thứ 2017. C. Số hạng thứ 2019. D. Số hạng thứ 2016.
Lời giải

Chọn A
n −1

Ta có un = u1q

n −1

 1
= −− ÷ .
 10 
n −1

1
1
 1
Khi đó un = 2017 ⇔ −  − ÷ = 2017 ⇔ n = 2018 .
10
10
 10 
1
Do đó 2017 là số hạng thứ 2018 của ( un ) .
10
Câu 13: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) có
u4 = −12 , u14 = 18 . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.


A. S16 = −24 .

B. S16 = 26 .

C. S16 = −25 .
Lời giải

D. S16 = 24 .

Chọn D

u1 + 3d = −12
u = −21
⇔ 1
Gọi d là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có 
.
d = 3
u1 + 13d = 18
( 2u1 + 15d ) .16 = 8 ( −42 + 45) = 24 .
Khi đó, S16 =
2
Câu 14: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Viết ba số xen
giữa 2 và 22 để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng?
A. 6 , 12 , 18 .
B. 8 , 13 , 18 .
C. 7 , 12 , 17 .
D. 6 , 10 , 14 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
u1 = 2
Xem cấp số cộng cần tìm là ( un ) có: 
. Suy ra:
u5 = 22

u1 = 2
.

d = 5

Vậy cấp số cộng cần tìm là ( un ) : 2 , 7 , 12 , 17 , 22 .
Câu 15: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Cho cấp số nhân

un có u2 =
A. q =

1
, u5 = 16 . Tìm công bội q và số hạng đầu u1 .
4

1
1
, u1 = .
2
2

1
1
1
1
B. q = − , u1 = − . C. q = −4 , u1 = − . D. q = 4 , u1 = .
2
2
16
16
Hướng dẫn giải

Chọn D
1

1

u2 =

u1.q =
4
4 ⇔
Ta có 
u5 = 16
u1.q 4 = 16


( 1)
( 2)

.

1
.
16
Câu 16: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Xác định x để
bộ ba số 2 x − 1 , x , 2 x + 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
1
1
A. x = ± .
B. x = ±
.
3
3
C. x = ± 3 .
D. Không có giá trị nào của x .
Hướng dẫn giải
Chọn B
2

Bộ ba số 2 x − 1 , x , 2 x + 1 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên ta có ( 2 x − 1) ( 2 x + 1) = x
Chia hai vế của ( 2 ) cho ( 1) ta được q 3 = 64 ⇔ q = 4 ⇒ u1 =

⇔ 4x2 −1 = x2 ⇔ x = ±
Câu

17:
lim
x→0

(THPT

Hoài

1 .
3
Ân-Hải

4 x2 − 2x + 1 − 1 − 2 x
.
x

Phòng

năm

2017-2018)

Tính

giới

hạn


C. −2 .
Lời giải

B. −1 .

A. 2 .

D. 0 .

Chọn D
Ta có:
4 x 2 − 2 x + 1 − 1 − 2 x = lim
lim
x→0
x
x→0
x
= lim
x→0

(

4x
4x2 − 2 x + 1 + 1 − 2 x

)

4 x2

(

=0

4 x2 − 2 x + 1 + 1 − 2 x

)

.

Câu 18: (THPT Hồng Quang-Hải Dương năm 2017-2018) Trong các dãy số ( un )
cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là dãy số giảm ?
A. un =

1
.
2n

B. un =

3n − 1
.
n +1

2
C. un = n .

D. un = n + 2 .

Lời giải
Chọn A
Ta có un =

1
1
< n +1 = un +1 ∀n ∈ ¥ * .
n
2
2

Câu 19: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Tính tổng tất cả các số
hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu là
hạng cuối là 2048 ?
1365
5416
A.
.
B.
.
2
2

1
, số hạng thứ tư là 32 và số
2

5461
.
2
Lời giải
C.

D.

21845
.
2

Chọn C
Theo bài ra ta có u1 =

1
, u4 = 32 và un = 2048 .
2

1
u4 = u1.q 3 ⇒ 32 = .q 3 ⇒ q = 4
2
n −1
un = 2048 ⇒ u1. q = 2048 ⇒ 4n−1 = 46 ⇒ n = 7

Khi đó tổng của cấp số nhân này là S =
7

u1 ( 1 − q 7 )
1− q

1
( 1 − 47 ) 5461 .
2
=
=
1− 4
2

Câu 20: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) ,
biết: u1 = 3 u2 = −1 . Chọn đáp án đúng.
,
A. u3 = 4 .

B. u3 = 7 .

C. u3 = 2 .

D. u3 = −5 .

Lời giải
Chọn D
Ta có ( un ) là cấp số cộng nên 2u2 = u1 + u3 suy ra u3 = 2u2 − u1 = −5 .


Câu 21: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Cho cấp số nhân ( un ) thỏa mãn:
u1 + u2 + u3 = 13
. Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân ( un ) là

u4 − u1 = 26

A. S8 = 3280 .

B. S8 = 9841 .
C. S8 = 3820 .
Lời giải

D. S8 = 1093 .

Chọn A

u1 ( 1 + q + q 2 ) = 13
q 3 − 1)
(
u1 + u2 + u3 = 13
26

⇔
⇒
=
⇒ q −1 = 2 ⇒ q = 3
Ta có : 
2
3
( 1 + q + q ) 13
u4 − u1 = 26
u1 ( q − 1) = 26
⇒ u1 = 1 .

1( 1 − 38 )

= 3280 .
1− 3
Câu 22: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Xen giữa số 3 và số 768 là 7
số để được một cấp số nhân có u1 = 3 . Khi đó u5 là:
A. 72 .
B. −48 .
C. ±48 .
D. 48 .
Lời giải
Chọn D
Ta có u1 = 3 và u9 = 768 nên 768 = 3.q8 ⇒ q8 = 256 ⇒ q = ±2 .
4
4
Do đó u5 = u1.q = 3.2 = 48 .
S8 =

Câu 23: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng ( un ) , biết
u1 = −5 , d = 2 . Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?
A. 100 .
B. 50 .
C. 75 .

D. 44 .

Lời giải
Chọn D
Ta có un = u1 + ( n − 1) d ⇔ 81 = −5 + ( n − 1) 2 ⇔ n = 44 .
Vậy 81 là số hạng thứ 44 .
Câu 24: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S . ABC có
SA ⊥ ( ABC ) , góc giữa SB và ( ABC ) là 60° , ∆ABC đều cạnh a . Thể tích khối chóp bằng

A. a 3 .

B.

a3
.
4

C.

a3
.
2

D. a 3 .

Lời giải
Chọn B
S

A

C

B

Diện tích ∆ABC là S ∆ABC =

a2 3
.

4


SA ⊥ ( ABC ) nên AB là hình chiếu của SB lên ( ABC ) .
·
⇒ ·SB, ABC = ·SB, AB = SBA
= 60° .

(

(

)) (

)

·
·
∆SAB vuông tại A có SBA
=a 3.
= 60° , ta có SA = AB.tan SBA
1
1 a2 3
a3
Thể tích khối chóp là V = .S∆ABC .SA = .
.a 3 = .
3
3 4
4
Câu 25: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Trong các dãy số

sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng ?
a) Dãy số ( un ) với un = 4n . b) Dãy số ( vn ) với vn = 2n 2 + 1 .

n
−7.
3
B. 2 .

b) Dãy số ( wn ) với wn =

d) Dãy số ( tn ) với tn = 5 − 5n .

A. 4 .

C. 1.
Lời giải

D. 3 .

Chọn D
Dãy số ( un ) với un = 4n có un +1 = 4 ( n + 1) = 4n + 4 ⇒ un +1 = un + 4 , ∀n ∈ ¥ * ⇒ dãy số

( un )

là cấp số cộng với công sai d = 4 .

Dãy số ( vn ) với vn = 2n 2 + 1 có v1 = 3 , v2 = 9 , v3 = 19 nên dãy số ( vn ) không là
cấp số cộng.
Dãy số ( wn ) với wn =

n
n +1
n
1
1
− 7 có wn+1 =
− 7 = − 7 + ⇒ un+1 = un + , ∀n ∈ ¥ * ⇒
3
3
3
3
3

dãy số ( wn ) là cấp số cộng với công sai d =

1
.
3

Dãy số ( tn ) với tn = 5 − 5n có tn +1 = 5 − 5n − 5 ⇒ un +1 = un − 5 , ∀n ∈ ¥ * ⇒ dãy số

( wn )

là cấp số cộng với công sai d = −5 .

Vậy có 3 dãy số là cấp số cộng.
Câu 26: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Cho dãy số vô hạn { un } là cấp số cộng có
công sai d , số hạng đầu u1 . Hãy chọn khẳng định sai?
u +u
A. u5 = 1 9 .

B. un = un −1 + d , n ≥ 2 .
2
n
C. S12 = ( 2u1 + 11d ) . D. un = u1 + (n − 1).d , ∀n ∈ ¥ * .
2
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: S n = nu1 +
12.11.d
n
= 6 ( 2u1 + 11d ) ≠ ( 2u1 + 11d ) .
Suy ra S12 = 12u1 +
2
2

n ( n − 1) d
2