Dáng điệu nghiệm của hệ động lực tuyến tính và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

THÂN THU PHƯƠNG

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC
TUYẾN TÍNH VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

THÂN THU PHƯƠNG

DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC
TUYẾN TÍNH VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

Chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - 2015


Mục lục
1 Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử sinh của nửa nhóm liên tục
mạnh
1.1 Khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất sơ cấp
của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Một số tính chất sơ cấp của nửa nhóm liên tục mạnh . . .
1.2 Khái niệm về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh và các
tính chất của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Khái niệm về toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Các tính chất của toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Một vài biểu thức liên quan đến giải của toán tử sinh . . .
1.3 Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . .
1.4 Một số dạng đặc biệt của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . .
1.4.1 Nửa nhóm liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Nửa nhóm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Bài toán nhiễu của nửa nhóm liên tục mạnh
2.1 Khái niệm về họ các toán tử tiến hóa và một số tính chất nghiệm
của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . .
2.2 Phương trình vi phân tuyến tính bị nhiễu trên đường thẳng thực
và một số mô hình đơn loài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Mô hình quần thể tăng trưởng theo hàm mũ (Malthus, 1798)

2.2.2 Mô hình quần thể tăng trưởng Logistic (Verhulst, 1838) .
2.3 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra đơn giản . . . . . . . . . . . .
2.4 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra với loài mồi tăng trưởng Logistic
2.5 Nhiễu bị chặn của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . .
2.6 Phương trình tiến hóa với nhiễu Lipschitz . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Nhiễu tuyến tính của phương trình tiến hoá và họ toán tử tiến
hóa liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

4
4
4
5
7
7
8
12
15
21
21
25
28
28
38
38
39

40
43
45
48
54
56
56
58


Mở Đầu
Lý thuyết hệ động lực được khởi xướng bởi nhà toán học Pháp Henri Poincare
cách đây hơn 1 thế kỷ. Ngày nay, nó đã được phát triển mạnh mẽ và đã trở thành
một lĩnh vực quan trọng trong toán học. Lý thuyết hệ động lực liên quan tới hầu
hết các ngành khoa học khác và được ứng dụng rộng rãi trong đời sống hằng
ngày. Để có thể có một khái niệm sơ lược nhất về hệ động lực ta sẽ bắt đầu
làm quen với định nghĩa sau. Ký hiệu R là đường thẳng thực, M là một không
gian Metric, giả sử S là tập mở trong M. Ta thường ký hiệu φ : R × S → M bởi
φ = φ(t, x) (hay φ = φt x ) khi đó ánh xạ φ là nhóm phụ thuộc một tham số tức
là:
(a) φt=0 : S → S là ánh xạ đồng nhất.
(b) φt .φs = φt+s , với mọi s, t ∈ R.
Như chúng ta đã biết hầu hết các vấn đề liên quan tới toán học trừu tượng
mà có thể ứng dụng trong các ngành khoa học tự nhiên đều đi đến nghiên cứu
tính chất của một hệ động lực nào đó hoặc tập nghiệm của các phương trình vi
phân thường và phương trình đạo hàm riêng. Bài toán mà chúng tôi sẽ đề cập
đến trong bản Luận văn "Dáng điệu nghiệm của hệ phương trình động lực tuyến
tính và một số ứng dụng" chủ yếu là tìm hiểu và trình bày lại một vài vấn đề
cơ bản của phương pháp hệ động lực tuyến tính và khả năng ứng dụng của nó
trong thực tế. Cụ thể hơn đó là phương pháp nửa nhóm bị nhiễu để nghiên cứu

các phương trình tiến hóa. Tuy nhiên đây là một lĩnh vực khá trừu tượng và đa
dạng vì vậy trong khuôn khổ của một bản luận văn thạc sĩ chúng tôi sẽ dành sự
quan tâm nhiều hơn cho việc xây dựng ví dụ minh họa cho phương pháp nửa
nhóm và một vài ứng dụng của lý thuyết nhiễu trong một số mô hình quần thể
sinh học quen thuộc.
Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục
tài liệu tham khảo.
Chương một trình bày định nghĩa, tính chất của nửa nhóm liên tục mạnh
và một số định lý quan trọng về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh. Để
2


hoàn thành nội dung của chương này chúng tôi đã tham khảo tài liêu [1], [2],[6],
[7], [8], [9], [10], [12], [14].
Chương hai trình bày về bài toán nhiễu của nửa nhóm, định nghĩa và tính
chất của họ toán tử tiến hóa liên tục mạnh đủ tốt và ứng dụng của bài toán
nhiễu trong các mô hình quần thể đa loài. Để hoàn thành nội dung của chương
này chúng tôi đã tham khảo tài liêu [11], [17], [18], [19], [23], [25], [26].
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đặng
Đình Châu. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã
dành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc
hoàn thành bản luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về các kiến thức và những
điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn
tới phòng Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ
tục học tập và bảo vệ luận văn.
Cám ơn các thầy và các bạn trong seminar Phương trình vi phân về những
sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bản thân tôi trong thời
gian qua.
Cuối cùng tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinh

thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Thân Thu Phương

3


Chương 1

Nửa nhóm liên tục mạnh và toán tử
sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
1.1

Khái niệm về nửa nhóm liên tục mạnh và một số tính chất
sơ cấp của nửa nhóm liên tục mạnh

1.1.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Một họ (T (t))t≥0 các toán tử tuyến tính bị chặn trên không
gian Banach X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (hoặc C0 − nửa nhóm ) nếu
nó thỏa mãn các điều kiện sau:
1. T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s ≥ 0.
2. T (0) = I .
3. lim T (t)x = T (t0 )x với mọi x ∈ X, t ≥ 0.

t→t0

Ví dụ 1.1.
Xét nửa nhóm (T (t))t≥0 trong không gian C0 = C0 (R), xác định bởi
C0 (R) = {f ∈ C(R) : lim f (s) = 0}.
s→±∞

Với chuẩn ||f || = sup |f (s)|. Ta có (C0 , ||.||) là một không gian Banach.
s∈R

∀t ≥ 0, ta định nghĩa:
(Tl (t)f )(s) = f (t + s)

∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R.

(Tr (t))f (s) = f (s − t)

∀f ∈ C0 , ∀s ∈ R.

Và

4


Khi đó (Tr (t))t≥0 và (Tl (t))t≥0 là các nửa nhóm liên tục mạnh trên C0 , được gọi
tương ứng là nửa nhóm dịch chuyển phải và trái của C0 .
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp nửa nhóm dịch chuyển trái, trường
hợp nửa nhóm dịch chuyển phải được chứng minh tương tự.
• Ta chứng minh (Tl (t)) là một nửa nhóm.

Thật vậy: ∀t, h ≥ 0, ∀f ∈ C0 , s ∈ R, ta có
(Tl (t + h)f )(s) = f (t + h + s) = (Tl (t)f )(h + s) = (Tl (t)Tl (h))f (s)

suy ra Tl (t + h) = Tl (t)Tl (h).
• Ta chứng minh (Tl (t))t≥0 liên tục mạnh. Thật vậy, ta cần chỉ ra rằng, ∀f ∈ C0

thì
lim ||Tl (t)f − f || = lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0.

t→0+

t→0+ s∈R

Vì f ∈ C0 suy ra f liên tục trên R và tồn tại các giới hạn lim f (s) = 0,
s→±∞

nên f liên tục đều trên R.
Do đó
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho: ∀s1 , s2 : |s1 − s2 | < δ

Khi đó

∀t : 0 ≤ t < δ, |t + s − s| < δ,

∀s ∈ R, ta có

|f (t + s) − f (s)| <

Suy ra

sup |f (t + s) − f (s)| ≤

suy ra : |f (s1 ) − f (s2 )| < .

∀s ∈ R.

∀t : 0 ≤ t < δ.

s∈R

Vậy theo định nghĩa giới hạn ta có
lim sup |f (t + s) − f (s)| = 0.

t→0+ s∈R

Vậy (Tl (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.

1.1.2

Một số tính chất sơ cấp của nửa nhóm liên tục mạnh

Bổ đề 1.1. Giả sử X là một không gian Banach và F là một hàm từ một tập
compact K ⊂ R vào L(X). Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
(a) F là toán tử tôpô liên tục mạnh; tức là, ánh xạ K t → F (t)x ∈ X là liên
5


tục ∀x ∈ X.
(b) F là bị chặn đều trên K, và ánh xạ K t → F (t)x ∈ X là liên tục ∀x ∈ D ⊂ X,
D trù mật trong X .

(c) F là liên tục đối với tôpô hội tụ đều trên tập con compact của X ; tức là, ánh
xạ K × C (t, x) → F (t)x ∈ X là liên tục đều đối với tập compact C trong X .
Định lý 1.1. Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X. Khi
đó các tính chất sau là tương đương.
(a) (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh.
(b) lim+ T (t)x = x ∀x ∈ X.
t→0

(c) Có một số δ > 0, M ≥ 1 và một tập con trù mật D ⊂ X thỏa mãn
i. ||T (t)|| ≤ M ∀t ∈ [0, δ],
ii. lim+ T (t)x = x ∀x ∈ D.
t→0

Chứng minh.
+) Chứng minh (a) ⇒ (c.ii).
Vì (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian Banach, nên
lim T (t)x = T (0)x = x

t→0+

∀x ∈ D (D trù mật trong X ).

+) Chứng minh (a) ⇒ (c.i).
Giả sử ngược lại, tức là tồn tại một dãy (δn )n∈N ⊂ R+ hội tụ đến 0 thỏa mãn
||T (δn )|| → ∞ khi n → ∞. Theo nguyên lý bị chặn đều, tồn tại x ∈ X thỏa mãn
(||T (δn )x||)n∈N không bị chặn. Điều này mâu thuẫn với T (.)x liên tục tại t = 0
(do (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh).
+) Chứng minh (c) ⇒ (b).
Đặt K = {tn : n ∈ N} ∪ {0} với mọi dãy bất kì (tn )n∈N ⊂ [0, ∞) hội tụ đến 0. Khi
đó K ⊂ [0, ∞) là compact, T (.)|K x là liên tục ∀x ∈ D.

Do đó áp dụng bổ đề 1.1 (b) ta được T (.)|K x liên tục ∀x ∈ X, tức là:
lim T (tn )x = x

n→∞

∀x ∈ X.

Vì (tn )n∈N được chọn tùy ý nên (b) được chứng minh.
+) Chứng minh (b) ⇒ (a).
Giả sử t0 > 0 và x ∈ X . Khi đó
lim ||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 )||.|| lim ||T (h)x − x|| = 0,

h→0+

h→0+

suy ra (T (t))t≥0 liên tục phải. Nếu h < 0
||T (t0 + h)x − T (t0 )x|| ≤ ||T (t0 + h)||.||x − T (−h)x||
6


dẫn đến tính liên tục trái, trong đó ||T (t)|| bị chặn đều ∀t ∈ [0, t0 ]. Vậy (T (t))t≥0
là nửa nhóm liên tục mạnh.
Định lý 1.2. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 . Khi đó có một hằng
số w ∈ R và M ≥ 1 thỏa mãn:
||T (t)|| ≤ M ewt

∀t > 0.

(1.1)

Chứng minh. Chọn M ≥ 1 thỏa mãn ||T (s)|| ≤ M ∀0 ≤ s ≤ 1.
Với t ≥ 0 lấy t = s + n, ∀n ∈ N và 0 ≤ s < 1. Khi đó:
||T (t)|| = ||T (s + n)|| = ||T (s).T (n)|| ≤ ||T (s)||.||T (n)||
≤ ||T (s)||.||T (1)||n
≤ M n+1 = M en ln M ≤ M ewt

với w = ln M và t ≥ 0.
Ví dụ 1.2. Theo đinh lý (1.2) ta luôn có ω < +∞ nhưng có thể ω0 = −∞. Chẳng
hạn: Trong không gian L1[0;1] , ta xét nửa nhóm tịnh tiến trái xác định bởi:
T (t)f (s) =

f (t + s) nếu s + t ≤ 1

nếu s + t > 1

0

Ta có: T (t) = 0, ∀t > 1.
1
Với mọi t thỏa mãn 0 ≤ t ≤ 1, ||T (t)|| ≤ 1 do ||T (t)f || = || 0 T (t)f (s)ds|| ≤ ||f ||.
Suy ra ||T (t)|| ≤ 1 Với ω < 0 cố định, chọn M sao cho M ≤ e−ω . Khi đó:
||T (t)|| < 1 ≤ M.eω ≤ M.eωt ,

∀t ≥ 0.

Vậy ω0 = −∞.

1.2

Khái niệm về toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
và các tính chất của nó

1.2.1

Khái niệm về toán tử sinh

Để xây dựng khái niệm toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh, trước hết
ta chứng minh bổ đề sau:

7


Bổ đề 1.2. Cho một nửa nhóm (T (t))t≥0 liên tục mạnh và một phần tử x ∈ X.
Đối với quỹ đạo ánh xạ ξx : t → T (t)x, các tính chất sau là tương đương.
(a) ξx (.) là khả vi trên R+ .
(b) ξx (.) khả vi bên phải tại t = 0.
Định nghĩa 1.2. Toán tử sinh A : D(A) ⊂ X → X của một nửa nhóm liên tục
mạnh (T (t))t≥0 trên một không gian Banach X là một toán tử
1
Ax = ξ˙x (0) = lim+ (T (h)x − x),
h→0 h

(1.2)

xác định với mọi x trong miền xác định của nó
D(A) = {x ∈ X : ξx là khả vi trên R+ }.

(1.3)

Theo bổ đề 1.2, ta thấy miền xác định D(A) là tập tất cả các phần tử x ∈ X
mà ξx (.) là khả vi bên phải tại t = 0. Do đó
1
D(A) = {x ∈ X : lim+ (T (h)x − x) tồn tại}.
h→0 h

(1.4)

Miền D(A) là một không gian vector và chúng ta ký hiệu toán tử sinh của nó là
(A, D(A)). Chúng ta thường chỉ viết A và coi miền xác định của nó là cho bởi
(1.4).
1.2.2

Các tính chất của toán tử sinh

Giả sử T (t)t≥0 là toán tử liên tục mạnh của toán tử sinh (A, D(A)), ta đặt:
t

1
y(t) =
t

t

1
ξx (s)ds =
t
0

T (s)xds,

∀x ∈ X,

t > 0.

0

Do lim+ T (t)x = x nên với mọi ε > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho với 0 < t < δ thì ta
t→0

có

ε
||T (t)x − x|| < .
2

Mặt khác theo định nghĩa tích phân xác định với mọi ε > 0 tồn tại một phân
hoạch của đoạn [0, t] sao cho:
t

n

T (s)xds −
0

T (αi )x∆si
i=1

ε
< t,

2

8

αi ∈ [si−1 , si ]

(i = 1, n).


Với 0 < t < δ ta có
t

1
t

t

1
T (s)xds − x ≤
t
0

1
T (s)xds −
t
0

ε
< +
2

n

i=1

n

T (αi )x∆si
i=1

1
+
t

n

T (αi )x∆si − x
i=1

1
||T (αi )x − x||∆si
t

< ε.

Vậy ta có:
t

1
lim y(t) = lim

+
+
t→0
t→0 t

T (s)xds = x.

(1.5)

0

Định lý 1.3. Cho toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 ,
ta có các tính chất sau là đúng.
(i) A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính.
(ii) Nếu x ∈ D(A) thì T (t)x ∈ D(A) và
d
T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x
dt

∀t ≥ 0.

(1.6)

x ∈ X,

(1.7)

(iii) ∀t ≥ 0 và x ∈ X, ta có
t

T (s)xds ∈ D(A).
0

(iv) ∀t ≥ 0, ta có:
t

T (t)x − x = A

T (s)xds

nếu

0
t

=

T (s)Axds

nếu x ∈ D(A).

0

Chứng minh.
(i) ∀α, β ∈ R và x, y ∈ X, ta có
A(αx + βy) = lim

h→0+

1

[(T (h)(αx + βy) − (αx + βy)] = αAx + βAy.
h

Vậy A : D(A) ⊆ X → X là toán tử tuyến tính.
(ii) Lấy x ∈ D(A), từ ξ˙x (t) = T (t)ξ˙x (0), ∀t ≥ 0 ta thấy
˙ = lim T (t + h)x − T (t)x = T (t)ξ(0)
˙
ξ(t)
= T (t)Ax.
h
h→0+
9

(1.8)


Do đó
lim+

h→0

T (t + h)x − T (t)x
1
(T (h)T (t)x − T (t)x) = lim
= T (t)Ax,
h
h
h→0

T (t)x ∈ D(A) (do (1.4))

suy ra

và AT (t)x = T (t)Ax.

(iii) ∀x ∈ X, t ≥ 0 ta có


1
T (h)
h

0
t

t+h

1
T (s)xds −
h

t

1
T (s + h)xds −
h
0

T (s)xds
0

t+h

1
T (s)xds =
h

h

1
T (s)xds −
h
t

0

h

t

1
T (s)xds =
h

T (s)xds −
0

1
=
h



t

t

T (s)xds
0

hội tụ đến T (t)x − x khi h → 0+ . Do đó
t

T (s)xds ∈ D(A)
0

(iv) Theo chứng minh trong (iii) khi h → 0+ , ∀x ∈ X ta có (1.7) đúng.

Nếu x ∈ D(A) thì hàm
s → T (s)

hội tụ đều trên [0, t] đến hàm
Do đó

(T (h)x − x)
h

s → T (s)Ax
t

t

1
lim+ (T (h) − I)
h→0 h

khi h → 0+ .
t

1
T (s) (T (h) − I)xds =
h

T (s)xds = lim+
h→0

0

0

Axds.
0

Định lý 1.4. Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh là toán tử tuyến tính
đóng, xác định trù mật và xác định một nửa nhóm duy nhất.
Chứng minh. Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên một không gian
Banach X. Theo bổ đề 1.3 toán tử sinh (A, D(A)) là một toán tử tuyến tính.
+) Chứng minh A đóng.
Lấy một dãy (xn )n∈N ⊂ D(A) sao cho lim xn = x và lim Axn = y tồn tại.
n→∞

n→∞

Do (1.8) trong bổ đề 1.3 ta có:
t

T (t)xn − xn =

T (s)Axn ds,
0

10

∀t ≥ 0.


Do tính hội tụ đều của T (.)Axn trên [0, t] khi n → ∞ dẫn đến:
t

T (t)x − x =

T (s)yds.
0

Nhân cả hai vế với

1
và lấy giới hạn khi t → 0+ ta được:
t
t

lim

t→0+

T (t)x − x
t

1
= lim
t→0+ t

T (s)yds,
0

suy ra x ∈ D(A) và Ax = y, tức là A đóng.
+) Chứng minh D(A) trù mật trong X.
Theo bổ đề 1.3(iii) ta có

1
t

t

T (s)xds ∈ D(A).
0

Do tính liên tục mạnh của (T (t))t≥0 nên lim+
t→0

1
t

t

T (s)xds = x

∀x ∈ X.

0

Suy ra D(A) trù mật trong X.
+) Chứng minh tính duy nhất.
Giả sử (S(t))t≥0 là nửa nhóm khác liên tục mạnh có toán tử sinh (A, D(A)).
∀x ∈ D(A) và t > 0, xét ánh xạ:
s → ηx (s) = T (t − s)S(s)x

Ta có với s cố định tập

∀0 ≤ s ≤ t.

S(s + h)x − S(s)x
: h ∈ (0, 1) ∪ {AS(s)x} là compact.
h

Xét tỷ số sai phân:
1
1
(ηx (s + h) − ηx (s)) = T (t − s − h) (S(s + h)x − S(s)x)
h

h
1
+ (T (t − s − h) − T (t − s)) S(s)x.
h

Khi đó:

d
ηx (s) = T (t − s)AS(s)x − AT (t − s)S(s)x = 0.
dt

Suy ra ηx (s) là một hằng số.
Ta có ηx (0) = T (t)x và ηx (t) = S(t)x.
Suy ra: T (t)x = S(t)x với mọi x trong miền trù mật D(A).
Do đó:
T (t) = S(t) ∀t ≥ 0.

11


1.2.3

Một vài biểu thức liên quan đến giải của toán tử sinh

Định lý 1.5. Giả sử (A, D(A)) là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0 . Khi đó với mọi λ ∈ C và t > 0, ta có các đẳng thức sau:

t



(A − λI) e−λs T (s)xds nếu x ∈ X (∗)
e−λt T (t)x − x =

0

t


 e−λs T (s)(A − λI)xds

nếu x ∈ D(A). (∗∗)

0

Chứng minh. Áp dụng định lý 1.3 đối với nửa nhóm điều chỉnh S(t) = e−λt T (t),
t ≥ 0. Ta có:
lim+

t→0

T (t) − I
e−λt − I
e−λt T (t) − I
x = lim+ e−λt
x+
x
t
t
t
t→0

= Ax − λx,

∀x ∈ D(A)

Miền xác định D(B) của toán tử sinh B của nửa nhóm (S(t))t≥0 là D(B) = D(A)
và Bx = Ax − λx với mọi x ∈ D(A). Áp dụng định lý 1.3, ta suy ra:
 t


B S(s)xds nếu x ∈ X
0

S(t)x − x =

t



 S(s)Bxds

nếu x ∈ D(B)

0

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Sau đây ta nêu ra một công thức quan trọng liên hệ nửa nhóm với giải thức
của toán tử sinh.
Định lý 1.6. Giả sử T (t)t≥0 là nửa nhóm liên tục mạnh trên không gian Banach
X có toán tử sinh (A, D(A)) và lấy một hằng số w ∈ R, M ≥ 1 thỏa mãn
||T (t)|| ≤ M ewt

∀t ≥ 0.

(1.9)

Khi đó các tính chất sau là đúng.
∞
(i) Nếu λ ∈ C thỏa mãn R(λ)x = 0 e−λs T (s)xds tồn tại ∀x ∈ X , thì λ ∈ ρ(A) và
R(λ, A) = R(λ).
(ii) Nếu Reλ > w thì λ ∈ ρ(A), và giải thức được cho bởi tích phân trong (i).
M
, ∀Reλ > w.
Reλ − w
Công thức R(λ, A) trong (i) gọi là biểu diễn tích phân của giải thức. Tích

(iii) ||R(λ, A)|| ≤

phân này được hiểu là tích phân Riemann suy rộng, tức là:
t

e−λs T (s)xds

R(λ, A)x = lim

t→∞
0

12

∀x ∈ X.

(1.10)


Ta thường viết

∞

e−λs T (s)ds.

R(λ, A) =

(1.11)

0

Chứng minh. (định lý 1.6)
(i) Xét trường hợp λ = 0. Khi đó với mọi x tùy ý ∈ X và h > 0, ta có
∞

T (h) − I
T (h) − I
R(0)x =
h
h

T (s)xds
0

∞

∞

1
T (s + h)xds −
h

1
=
h
0
∞

1
=
h

T (s)xds
0

∞

1
T (s)xds −
h

h

1
T (s)xds = −

h
0

h

T (s)xds.
0

Lấy giới hạn khi h → 0+ suy ra vế phải tiến đến -x nên R(0)x ∈ D(A) và
AR(0) = −I .
Mặt khác với x ∈ D(A), ta có
t

lim

t→∞ 0
t

t

và

T (s)xds = lim

lim A

t→∞

T (s)xds = R(0)x,

t→∞ 0

0

T (s)Axds = R(0)Ax(theo bổ đề 1.3(iv)). Vì theo

định lý 1.4 toán tử A đóng dẫn tới R(0)Ax = AR(0)x = −x, do đó
R(0) = (−A)−1 .

+ Phần (ii) và (iii) được suy ra từ (i). Vì
t

t

e−λs T (s)ds|| ≤ M

||
0

Với Reλ > w vế phải hội tụ đến

e(w−Reλ)s ds.
0

M
khi t → ∞.
(Reλ − w)

Hệ quả 1.1. Đối với toán tử sinh (A, D(A)) của nửa nhóm liên tục mạnh
(T (t))t≥0 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ M ewt với mọi t ≥ 0, với Reλ > w và n ∈ N ta

có:
(−1)n−1 dn−1
1
R(λ, A)n x =
R(λ, A)x =
n−1
(n − 1)! dλ
(n − 1)!

+∞

sn−1 e−λs T (s)xds,

∀x ∈ X.

0

(1.12)
13


Đặc biệt, ta có:
||R(λ, A)n || ≤

M
,
(Reλ − w)n

∀n ∈ N và Reλ > w.

Chứng minh. Đẳng thức (1.12) tương đương với:
dn−1
R(λ, A)x = (−1)n−1 (n − 1)!R(λ, A)n x
dλn−1
+∞

sn−1 e−λs T (s)xds

= (−1)n−1
0

Với mọi λ, µ ∈ ρ(A), ta có (λI − A)R(λ, A) = I . Do vậy, ta suy ra:
[λIR(λ, A) − AR(λ, A)]R(µ, A) = R(µ, A),

và
R(λ, A)[µR(µ, A) − AR(µ, A)] = R(λ, A).

Do A và R(λ, A) giao hoán với nhau nên trừ từng vế hai phương trình trên, ta
được:
R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).

Suy ra:
R(λ, A) − R(µ, A)
= −R(λ, A)R(µ, A)
λ−µ

với µ = λ.

Cho µ → λ, ta có:
d

R(λ, A) = −R(λ, A)2
dλ

Mặt khác, ta cũng có:
+∞

d
d
R(λ, A) =
dλ
dλ

+∞

e−λs T (s)xds = −
0

se−λs T (s)xds
0

Vậy (1.12) đúng với n = 2.
Trường hợp tổng quát ta suy ra bằng quy nạp. Thật vậy giả sử (1.12) đúng
với n, tức là:
dn−1 R(λ, A)
= (−1)n−1 (n − 1)!(R(λ, A))n .
n−1
dλ
Ta chứng minh cho trường hợp n + 1. Ta có:
dn R(λ, A)
d

= (−1)n−1 (n − 1)! (R(λ, A))n
n
dλ
dλ
d
= (−1)n−1 n!R(λ, A)n−1 R(λ, A)
dλ
n
n+1
= (−1) n!R(λ, A) .
14


tức là đẳng thức thứ nhất trong (1.12) đúng với n + 1. Mặt khác từ đẳng thức:
+∞

dn−1
R(λ, A)x = (−1)n−1
dλn−1

sn−1 e−λs T (s)xds.
0

⇒

dn R(λ, A)
= (−1)n
dλn

+∞

sn e−λs T (s)xds.
0

Vậy (1.12) đúng cho n + 1.
Nhận xét 1.1. Tính chất 2. của định lý 1.6 cho thấy phổ của toán tử sinh của
nửa nhóm luôn chứa trong nửa bên trái của mặt phẳng phức. Số xác định nửa
bên trái nhỏ nhất trong các số đó là một đặc trưng quan trọng của toán tử sinh
và được xác định như sau:
Định nghĩa 1.3. Cho một nửa nhóm liên tục mạnh T = (T (t))t≥0 , chúng ta gọi
ω0 là cận tăng trưởng nếu
ω0 = ω0 (T ) = inf{w ∈ R : tồn tại Mw ≥ 1 thỏa mãn ||T (t)|| ≤ Mw ewt ,

∀t ≥ 0}.

Xét trong trường hợp đặc biệt.
- Nếu w = 0, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm bị chặn.
- Nếu w = 0 và M = 1, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là là nửa nhóm co.
- Nếu ||T (t)x|| = ||x||, ∀t ≥ 0 và x ∈ X, nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm
đẳng cự.
Định nghĩa 1.4. Đối với toán tử bất kỳ A, ta gọi cận phổ của A là số s(A) xác
định bởi:
s(A) = sup{Reλ : λ ∈ σ(A)}.

Hệ quả 1.2. Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tứ sinh A, ta
có −∞ ≤ s(A) ≤ w0 ≤ +∞, w0 là cận tăng trưởng của nửa nhóm:
w0 = inf{w ∈ R : ∃M, ||T (t)|| ≤ M ewt , ∀t > 0}.

1.3

Các định lý về toán tử sinh của nửa nhóm

Bây giờ ta trở lại vấn đề cơ bản của nửa nhóm là hãy tìm đặc trưng của toán
tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh. Ta nhớ lại rằng các toán tử sinh của nửa
nhóm là các toán tử đóng có miền xác định trù mật và có phổ chứa trong nửa
mặt phẳng trái nào đó. Tuy nhiên các điều kiện này chỉ là điều kiện cần chứ
không phải điều kiện đủ. Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:
15


Bổ đề 1.3. Giả sử (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và tồn tại w ∈ R
và M ≥ 0 sao cho [w, +∞) ⊂ ρ(A) và ||λR(λ, A)|| ≤ M với mọi λ ≥ w. Khi đó với
λ → +∞, ta có:
1. λR(λ, A)x → x với mọi x ∈ X .
2. λAR(λ, A)x = λR(λ, A)Ax → Ax với mọi x ∈ D(A).
Định lý 1.7. (Định lý Hille-Yosida về đặc trưng của toán tử sinh của nửa nhóm
co) Đối với toán tử (A, D(A)) trên không gian Banach, các tính chất sau là tương
đương:
1. (A, D(A)) sinh ra nửa nhóm co liên tục mạnh.
2. (A, D(A)) là toán tử đóng, D(A) = X và với mọi λ > 0 ta có λ ∈ ρ(A) đồng
thời ||λR(λ, A)|| ≤ 1.
3. (A, D(A)) là toán tử đóng, D(A) = X và với λ ∈ C với Reλ > 0 ta có λ ∈ ρ(A)
đồng thời ||R(λ, A)|| ≤

1
.
Reλ

Chứng minh. Do định lý 1.4 và định lý 1.6, ta có 1. ⇒ 3. Rõ ràng 3. ⇒ 2. Ta chỉ
cần chứng minh 2. ⇒ 1. Muốn vậy ta xét các xấp xỉ Yosida:

An := nAR(n, A) = n2 R(n, A)−nI (do (nI−A)R(n, A) = I ⇒ AR(n, A) = nR(n, A)−I).
An là các toán tử bị chặn với mỗi n và giao hoán với nhau (do R(λ, A) và R(µ, A)

giao hoán nhau, điều này suy từ hệ thức Hilbert). Xét các nửa nhóm liên tục
đều xác định bởi: Tn (t) = etAn (t ≥ 0, n ∈ L). Theo bổ đề 1.3 ý 1. ⇒ An x hội tụ
mạnh đến Ax trên D(A). Từ đó suy ra các tính chất sau:
(a) T (t)x := lim Tn (t)x tồn tại với mọi x ∈ X .
n→∞

(b) (T (t))t≥0 là nửa nhóm co liên tục mạnh trên X .
(c) Nửa nhóm này có toán tử sinh là (A, D(A)).
2

Chứng minh. (a) Với mỗi n, (Tn (t))t≥0 là nửa nhóm co vì Tn (t) = e(n
trong đó:
+∞
−nIt

||e

|| =
k=0

(−nIt)k
k!

+∞

=
k=0

R(n,A)−nI)t ,

(−nt)k
||I|| = e−nt ,
k!

và
+∞

||e

n2 R(n,A)t

|| =
k=0
nt

≤e

[n2 R(n, A)t]k
k!

+∞

≤
k=0

do ||nR(n, A)|| ≤ 1.
16

2
||n2 R(n, A)t||k
= e||n R(n,A)||t
k!


Do đó ||Tn (t)|| ≤ e−nt ent = 1 với mọi t ≥ 0 và với mọi n ∈ L. Do ||Tn (t)|| bị chặn
đều và do D(A) = X nên ta chỉ cần chứng minh sự hội tụ của Tn (t) trên D(A):
lim Tn (t)x = T (t)x

n→+∞

∀x ∈ D(A).

Áp dụng quy tắc Newton - Leibniz cho hàm vector s → Tm (t − s)Tn (s)x với
0 ≤ s ≤ t, x ∈ D(A) và m, n ∈ L và sử dụng tính giao hoán của các nửa nhóm
(Tn (t))t≥0 với mọi n, ta có:
t

t

d
(Tm (t − s)Tn (s)x)ds =
ds

Tn (t)x − Tm (t)x =
0

Tm (t − s)Tn (s)(An x − Am x)ds

0

Suy ra
t

||Tn (t)x − Tm (t)x|| ≤

||An x − Am x||ds = t||An x − Am x||
0

Theo bổ đề 1.3 ý 2, dãy {An x}n là dãy Cauchy nên ta suy ra {Tn (t)x}n là dãy
Cauchy với mọi x ∈ D(A). Do vậy tồn tại giới hạn lim Tn (t)x với mọi x ∈ D(A),
n→+∞

mặt khác do D(A) = X, ||Tn (t)|| ≤ 1, ∀n nên giới hạn lim Tn (t)x tồn tại với mọi
n→+∞

x ∈ X. Đặt:
T (t)x = lim Tn (t)x
n→+∞

∀x ∈ X.

Do các (Tn (t))t≥0 (n = 1, 2, ...) là các nửa nhóm nên (T (t))t≥0 là nửa nhóm. Hơn
nữa do ||Tn (t)|| ≤ 1 với mọi n cho nên ||T (t)|| ≤ 1 với mọi t ≥ 0 vì
||T (t)x|| = lim ||Tn (t)x|| ≤ ||x||
n→+∞

∀x ∈ X.

Vậy (T (t))t≥0 là nửa nhóm co. Với mỗi x ∈ D(A) xét ánh xạ quỹ đạo ξx : t → T (t)x
với 0 ≤ t ≤ t0 , là giới hạn của một dãy hội tụ đều các ánh xạ liên tục. Suy ra
T (t) liên tục trên đoạn [0, t0 ]. Theo định lý 1.1, (T (t))t≥0 là nửa nhóm co liên tục
mạnh.
Ký hiệu (B, D(B)) là toán tử sinh của (T (t))t≥0 . Cố định x ∈ D(A), trên đoạn
[0, t0 ] các hàm ξn : t → Tn (t)x ⇒ ξx : t → T (t)x. Các đạo hàm: ξ˙n : t →
Tn (t)An x ⇒ η : t → T (t)Ax do
||Tn (t)An x − T (t)Ax|| ≤ ||Tn (t)||||An x − Ax|| + ||(Tn (t) − T (t))Ax||
˙
Điều này kéo theo tính khả vi của hàm ξ : t → T (t)x và ξ(0)
= η(0), nghĩa là
D(A) ⊂ D(B) và Ax = Bx với mọi x ∈ D(A). Bây giờ chọn λ > 0. Khi đó λI − A
là song ánh từ D(A) lên X . Theo giả thiết 2, λ ∈ ρ(A). Mặt khác B sinh ra nửa
17


nhóm co và vì vậy λ ∈ ρ(B) (theo định lý 1.6). Như vậy λI − B là song ánh từ
D(B) lên X . Nhưng như đã thấy λI − B trùng với λI − A trên D(A). Điều này
chỉ xảy ra khi D(A) = D(B) và A = B .
Chú ý 1.1. Nếu một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 với toán tử sinh A thỏa
mãn với w ∈ R bất đẳng thức ||T (t)|| ≤ ewt , t ≥ 0 (những nửa nhóm thỏa mãn
điều kiện này gọi là nửa nhóm tựa co) thì ta có thể áp dụng đặc trưng trên cho
nửa nhóm co điều chỉnh được cho bởi S(t) = e−wt T (t), t ≥ 0. Vì toán tử sinh của
(S(t))t≥0 là B = A − wI nên theo định lý 1.7, ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1.3. Giả sử w ∈ R, đối với toán tử (A, D(A)) trên không gian Banach
X, các điều kiện sau là tương đương.
(a) (A, D(A)) sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 thỏa mãn
||T (t)|| ≤ ewt

(1.13)

với mọi t ≥ 0.
(b) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật, với mỗi λ > w ta có λ ∈ ρ(A)
và
||(λ − w)R(λ, A)|| ≤ 1.
(1.14)
(c) (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật, với mọi λ ∈ C mà Reλ > w, ta
có λ ∈ ρ(A) và
||R(λ, A)|| ≤

1
.
|Reλ − w|

(1.15)

Chứng minh. Xét nửa nhóm điều chỉnh
S(t) = e−wt T (t).

Toán tử sinh của nhóm này là:
Ta có

B = A − w.

||S(t)|| = ||e−wt T (t)|| ≤ e−wt ||T (t)|| ≤ e−wt ewt = 1

∀t ≥ 0.

Suy ra (S(t))t≥0 là nửa nhóm co liên tục mạnh. Áp dụng định lý 1.7 cho nửa
nhóm co (S(t))t≥0 ta được điều phải chứng minh.

Định lý 1.8. (Feller, Miyadera, Phillips) Giả sử (A, D(A)) là toán tử trên không
gian Banach X và giả sử w ∈ R, M ≥ 1 là các hằng số. Khi đó các tính chất sau
là tương đương:

18


1. (A, D(A)) sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 thỏa mãn
||T (t)|| ≤ M ewt

với mọi t ≥ 0.
2. (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mỗi λ > w, ta có λ ∈ ρ(A)
đồng thời
||[(λ − w)R(λ, A)]n || ≤ M

với mỗi n ∈ L.
3. (A, D(A)) là toán tử đóng, xác định trù mật và với mọi λ ∈ C với Reλ > w,
ta có λ ∈ ρ(A), đồng thời
||R(λ, A)n || ≤

M
(Reλ − w)n

với mọi n ∈ L.
Chứng minh. 1. ⇒ 3. Theo hệ quả của định lý 1.6, ta có:
+∞

1
||R(λ, A)n x|| =
(n − 1)!

sn−1 e−λs T (s)xds
0
+∞

≤

M
(n − 1)!

sn−1 e(w−Reλ)s ds||x|| =

M
||x||
(Reλ − w)n

0

(tích phân từng phần n − 1 lần).
Từ đó, ta suy ra 2.
3. ⇒ 2. Hiển nhiên.
2. ⇒ 1. Bằng cách dùng nửa nhóm điều chỉnh, không mất tính tổng quát ta có
thể giả sử w = 0, tức là ||λn R(λ, A)n || ≤ M với mọi λ > 0 và với mọi n ∈ L. Với
mỗi µ > 0, ta xác định một chuẩn mới trên X như sau:
||x||µ = sup ||µn R(µ, A)n x||
n≥0

Các chuẩn này có các tính chất sau:
1. ||x|| ≤ ||x||µ ≤ M ||x||, điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa và do vậy ta
có với mọi µ > 0 thì || · || || · ||µ .

2. ||µR(µ, A)||µ ≤ 1. Thật vậy với mọi x ∈ X , ta có:
||µR(µ, A)x||µ = sup ||µn+1 R(µ, A)n+1 x|| ≤ ||x||µ .
n≥0

Ta có điều phải chứng minh.
19


3. ||λR(λ, A)||µ ≤ 1 với mọi λ thỏa mãn 0 < λ ≤ µ. Thật vậy từ hệ thức Hillbert,
ta có:
y = R(λ, A)x = R(µ, A)x + (µ − λ)R(µ, A)R(λ, A)x = R(µ, A)(x + (µ − λ)y)

Khi đó do 2., ta có:
||y||µ ≤ ||R(µ, A)||µ ||x + (µ − λ)y||µ ≤

1
µ−λ
||x||µ +
||y||µ
µ
µ

Suy ra λ||y||µ ≤ ||x||µ . Vậy ta có 3.
4. ||λn R(λ, A)n x|| ≤ ||λn R(λ, A)n x||µ ≤ ||x||µ với mọi λ thỏa mãn 0 < λ ≤ µ, với
mọi n ∈ L (do 1. và 3.)
5. ||x||λ ≤ ||x||µ với 0 < λ ≤ µ (do 4. và định nghĩa của ||x||µ ). Từ các tính chất
này, ta có thể xác định một chuẩn như sau:
|||x||| = sup ||x||µ
µ>0

Chuẩn này có các tính chất sau:
6. ||x|| ≤ |||x||| ≤ M ||x|| (do 1.)
7. |||λR(λ, A)||| ≤ 1 với mọi λ > 0. Thật vậy với mọi x ∈ X và do 2., ta có:
|||λR(λ, A)x||| = sup ||λR(λ, A)x||λ ≤ sup ||x||λ = |||x|||
λ>0

λ>0

Do vậy, ta có |||λR(λ, A)||| ≤ 1 với mọi λ > 0.
Như vậy toán tử (A, D(A)) thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.7 đối với chuẩn
||| · |||. Suy ra (A, D(A)) sinh ra nửa nhóm co đối với chuẩn ||| · |||. Từ 6. suy ra
với mọi x ∈ X ta có:
||T (t)x|| ≤ |||T (t)x||| ≤ |||x||| ≤ M ||x||

với mọi t ≥ 0.

Suy ra ||T (t)|| ≤ M với mọi t ≥ 0.
Chú ý 1.2. Việc kiểm tra điều kiện ||R(λ, A)n || ≤

M
, ∀n ∈ L rất phức
(Reλ − w)n

tạp và ta chỉ kiểm tra được cho trường hợp n = 1, tức là đối với trường hợp nửa
nhóm co. Mặt khác nửa nhóm liên tục mạnh có thể điều chỉnh để trở thành nửa
nhóm bị chặn (w = 0). Đối với nửa nhóm bị chặn có thể tìm được một chuẩn
tương đương để nó trở thành nửa nhóm co. Điều này không giúp ích được nhiều
trong các ví dụ cụ thể, vì chỉ trong rất ít trường hợp mới có thể tính được chuẩn
mới này. Tuy nhiên về mặt lý thuyết trừu tượng điều này lại rất có ích. Ta có.
20

1.4
1.4.1

Một số dạng đặc biệt của nửa nhóm liên tục mạnh
Nửa nhóm liên tục đều

Định nghĩa 1.5. Nửa nhóm (T (t))t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục đều trong
L(X) nếu ánh xạ R+ t → T (t) ∈ L(X) liên tục đối với tô pô chuẩn (tô pô đều)
trong L(X), tức là:
lim ||T (t + h) − T (t)|| = 0,

h→0+

∀t ≥ 0.

(1.16)

Rõ ràng nửa nhóm liên tục đều là liên tục mạnh. Vì thế điều kiện (*) tương
đương với điều kiện sau:
lim ||T (h) − I|| = 0.

(1.17)

h→0+

Thật vậy chỉ cần chứng minh (1.17) ⇒ (1.16).
Với t0 > 0, h > 0, ta có:
||T (t0 + h) − T (t0 )|| ≤ ||T (t0 )||||T (h) − I|| → 0 khi h → 0+ .

Suy ra t → T (t) liên tục bên phải tại t0 . Với h < 0, ta có
||T (t0 + h) − T (t0 )|| ≤ ||T (t0 + h)||||I − T (−h)|| → 0 khi h → 0− .

Do ||T (t0 + h)|| bị chặn trên [0, t0 ] nên t → T (t) liên tục bên trái tại t0 .
Vậy t → T (t) liên tục tại t0 .
Ví dụ 1.3. Cho không gian Banach X và toán tử A ∈ L(X). Xét chuỗi:
∞

n=0

(tA)n
, t ≥ 0.
n!

∞

Ta có: chuỗi

||(tA)n ||
hội tụ.
n!
n=0

Thật vậy:
||(tA)n ||
tn ||A||n
tn ||A||n
tn+1 ||A||n+1
≤

và lim
:
n→∞
n!
n!
(n + 1)!
n!
∞ ||(tA)n ||
Từ đó suy ra
hội tụ trong L(X).
n!
n=0
∞ (tA)n
Đặt T (t) = eAt =
.
n=0 n!

Ta có T(0) = I.

21

=

t||A||
= 0.
n→∞ n + 1


Dùng quy tắc nhân Cauchy về chuỗi lũy thừa, ta có
∞

tA

sA

T (t).T (s) = e .e

=
k=0
∞

tk Ak
k!
n

=

n=0

k=0

sk A k
k!

tn−k .An−k

sk Ak
.
(n − k)!
k!

n=0 k=0
∞

=

∞

(t + s)n .An
= e(t+s)A = T (t + s).
n!

Suy ra T (t) = etA là nửa nhóm trong không gian Banach X .
+ Ta chứng minh nửa nhóm này liên tục đều. Thật vậy:
∞

T (t) − I =
n=1

Suy ra

∞

||T (t) − I|| ≤
n=1

(tA)n
.
n!

tn ||A||n

= et||A|| − 1.
n!

Khi đó lim+ ||T (t) − I|| = 0.
t→0

Vậy (T (t))t≥0 = (etA )t≥0 là nửa nhóm liên tục đều.
Định lý 1.9. Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của nửa nhóm liên tục đều
khi và chỉ khi nó là toán tử bị chặn (A ∈ L(X)).
Chứng minh. Điều kiện đủ. Giả sử A ∈ L(X), xét nửa nhóm T (t) = etA (t ≥ 0).
(T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục đều. Ta chứng minh A là toán tử sinh của nửa
nhóm (T (t))t≥0 . Ta có:
+∞

T (t) − I =
n=1

(tA)n
= (tA)
n!

+∞

n=1

(tA)n−1
.
n!

Do vậy:

T (t) − I
− A = A.
t

+∞

n=2

(tA)n−1
.
n!

Từ đây suy ra
T (t) − I
||
− A|| ≤ ||A||.
t
≤ ||A||.

+∞ n−1
t ||A||n−1

n!

n=2
+∞ n−1
t ||A||n−1
n=2

(n − 1)!

22

≤ ||A||(et||A||−I ) → 0, (t → 0+ ).


Do đó lim+ ||
t→0

T (t) − I
− A|| = 0.
t

Vậy A là toán tử sinh của nửa nhóm (T (t))t≥0 .
Điều kiện cần. Giả sử (T (t))t≥0 là nửa nhóm liên tục đều trong L(X). Ta có
||I −

1
t

t

T (s)ds|| = ||
0

t

1
t

(I − T (s))ds|| ≤

0

t

1
t

||I − T (s)||ds → 0, (t → 0+ ).
0

Do vậy tồn tại t cố định đủ nhỏ sao cho:
1
||I −
t
1
t

Khi đó toán tử

t
T (s)ds
0

t

T (s)ds|| < 1.
0

có nghịch đảo bị chặn. Suy ra

t
T (s)ds
0

có nghịch

đảo bị chặn.
Ta có
1
(T (h) − I)
h
=

t
0

t+h

1
h

t

t

T (s + h)ds −

h

0

T (s)ds =
0

=

t+h

1
h

h

T (s)ds −
t

h
t+h
T (s)ds − 0 T (s)ds
t

1
h

T (s)ds

0

t

T (s)ds −

1
h (T (h) − I)

Suy ra

1
T (s)ds =
h

T (s)ds .
0

.

−1
t
T
(s)ds
.
0

Ánh xạ t → T (t) liên tục đối với tô pô chuẩn trên [0, t] nên liên tục đều trên đoạn
đó. Suy ra với mọi > 0, tồn tại ∆ > 0 thỏa mãn |s−s | < ∆ thì ||T (s)−T (s )|| < .
Với 0 < h < ∆, ta có
||

Vậy lim+
h→0

h
T (s)
0

1
h

h

T (s)ds − I|| ≤
0

1
h

h

||T (s) − I||ds < .
0

= I.

Tương tự với 0 < h < ∆, ta cũng có
||

Suy ra lim+ h1
h→0

1

h

t+h

T (s)ds − T (t)|| ≤
t

t+h
T (s)ds
t

1
h

t+h

||T (s) − T (t)||ds < .
t

= T (t). Do đó khi h → 0+ , ta có

1
lim [T (h) − I] = (T (t) − I)
h→0+ h

−1

t

T (s)ds

∈ L(X).

0

Vậy toán tử A bị chặn.
Định lý 1.10. Đối với nửa nhóm liên tục mạnh (T (t))t≥0 trong X với toán tử
sinh A các mệnh đề sau là tương đương.
23