ĐỢT 2 ĐỀ 3 ĐỀ THI HSG LỚP 11 SỞ HÀ NAM 2019

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

ĐỀ THI CHỌN HSG KHỐI 11
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM
MÔN TOÁN
TIME: 180 PHÚT

Câu 1. (4,0 điểm)
1. [1D1-3.5-4] Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên
� �
� 3 � �  �
2sin 4 �x  � cos �x 
sin �
3x  � 3
�
4�
� 4�
� 4 � �
0
2 cos x  2

2. [1D1-1.1-3] Tìm m để hàm số
�  �
x ��
 ;
� 2 2�
�.

y

 0;1000 

m  sin x  cos x  2sin x cos x
sin 2017 x  cos 2019 x  2
xác định với mọi

Câu 2. (4,0 điểm)
1. [1D2-5.4-2] Một người A đứng tại gốc O của trục số x ' Ox . Do say rượu nên người A
bước ngẫu nhiên sang trái hoặc sang phải trên trục tọa độ với độ dài mỗi bước là một đơn vị.

 n �2  thì người A quay trở lại gốc tọa độ O .
Tính xác suất để sau n bước
2. [1D2-5.2-3] Cho hình vuông cỡ 9.9 tâm O được tạo từ 9.9 hình vuông đơn vị. Hai hình
vuông đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có cùng một cạnh chung. Một con bọ ban đầu ở O .
Mỗi lần di chuyển con bọ sẽ nhảy ngẫu nhiên từ tâm hình vuông đơn vị nó đứng sang tâm hình
vuông đơn vị kề bên. Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O .
3. [1D2-5.2-3] Cho hình lập phương tâm O được ghép từ 9.9.9 hình lập phương đơn vị. Hai
hình lập phương đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có chung một mặt. Con bọ ban đầu ở tâm
O . Mỗi bước nhảy con bọ sẽ nhảy từ tâm khối lập phương đơn vị nó đứng sang tâm khối lập
phương đơn vị kề bên. Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O .
Câu 3. (2,0 điểm)
Cho dãy số

 un  được xác định như sau

u 
của dãy số n . Tính

u1  2019

�
�
un 1  2un  n  1 n ��*
�

un
n �� 3n
.
lim

Câu 4. (2,0 điểm)
[1D4-2.3-3] Tính giới hạn
Câu 5. (8,0 điểm)

L  lim
x �0

2 x  1  3 3x  1
x2

. Tìm số hạng tổng quát


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

1. [1H3-5.6-4] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Lấy hai điểm M , N sao cho
uuuu
r

uuuu
r uuur uuuu
r
AM  k AC ', CN  tCD ' với t.k �0 . Tính độ dài MN theo a khi MN song song với B ' D .
2. [1H3-5.7-4] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M là điểm di

   đi qua M và song song với hai đường
động trên cạnh BC ( M khác B và C ). Mặt phẳng
thẳng SB , AC .
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp
tích lớn nhất.

   . Xác định vị trí của

M để thiết diện có diện

3. [1H2-4.6-4] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' tâm O cạnh có độ dài bằng 1 . Gọi
uuuu
r 3 uuur uuu
r 1 uuuu
r
AM  AA ', CP  CC '
   thay đổi đi qua M , P đồng
M , P là hai điểm sao cho
4
4
. Mặt phẳng
thời cắt hai cạnh BB ', DD ' lần lượt tại N và Q . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chu
vi tứ giác MNPQ .

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI CHỌN HSG SỞ
GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM
KHỐI 11

Câu 1. (4,0 điểm)
1. [1D1-3.5-4] Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên
� �
� 3 � �  �
2sin 4 �x  � cos �x 
sin �
3x  � 3
�
4�
� 4�
� 4 � �
0
2 cos x  2

2. [1D1-1.1-3] Tìm m để hàm số
�  �
x ��
 ;
� 2 2�
�.

 0;1000 

m  sin x  cos x  2sin x cos x
sin 2017 x  cos 2019 x  2
xác định với mọi

y

Lời giải
1. [1D1-3.5-4] Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên
� �
� 3 � �  �
2sin 4 �x  � cos �x 
sin �
3x  � 3
�
� 4�
� 4 � � 4� 0
2 cos x  2

 0;1000 

Lời giải
Tác giả: Hoàng Vũ ; Fb: Hoàng Vũ
Giáo viên phản biện: Lê Đức Lộc ; Fb: Lê Đức Lộc


4

2

cos x �۹� x
2
ĐK:

k 2

� �
� 3 � �  �
2sin 4 �x  � cos �x 
sin �
3x  � 3
�
� 4�
� 4 � � 4� 0
2 cos x  2
� �
� 3
� 2sin 4 �x  � cos �x 
� 4�
� 4

� � �
sin �
3 x  � 3  0
�
4�
� �

2

�
�
� �
1  cos �
2x  �
�
� 1� �  �
�
2�
�
� �
� 2�
sin �
4x  �
 sin  2 x    � 3  0
2
2�
�
� 2� �
�
�
�
�
�
�  1  sin 2 x    cos 4 x  sin 2 x   6  0
2

� 1  2sin 2 x  sin 2 2 x  cos 4 x  sin 2 x  6  0

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

� 3sin 2 2 x  3sin 2 x  6  0

� sin 2 x  1 (nhận) hay sin 2 x  2 (loại)
sin 2 x  1

�x


 k , k ��
4

Kết hợp với điều kiện, phương trình có nghiệm
Tổng số nghiệm trên
công sai d  2
S

 0;1000 

x

5
 k 2 , k ��
4
.

là tổng 500 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng với

u1 

5
4 ,

500 � 5
�
.�
2.
 499.2 � 250125
2 � 4
�
.

Câu 1.2 [1D1-1.1-3] Tìm m để hàm số
�  �
x ��
 ;
� 2 2�
�.

y

m  sin x  cos x  2sin x cos x
sin 2017 x  cos 2019 x  2

xác định với mọi

Lời giải

Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc
Phản biện: Tăng Duy Hùng

�  �
x ��
 ; �
2 2 �thì 0 �
�
cos�x 1
Với mọi
Khi đó:

cos 2019 x

cos 2 x .

sin 2017 x  cos 2019 x  2 �sin 2017 x  cos 2 x  2  sin 2017 x   1  sin 2 x   2

�  �
x ��
 ; �
 sin x  1  sin
x  2 1 � 2 1  0
2 2 �.
�
với mọi
m  sin x  cos x  2sin x cos x
�  �
y
x ��

 ;
2017
2019
sin
x  cos x  2
�2 2�
�
Hàm số
xác định với mọi
2

2015

�  �
x ��
 ;
� 2 2�
�
với mọi
�  �
x ��
 ;
�2 2�
�
۳ m sin x  cos x  2sin x cos x với mọi

۳

m  sin x  cos x  2sin x cos x
sin 2017 x  cos 2019 x  2

0

 �  3 �
� �
�  �
t  sin x  cos x  2 sin �x  � x ��
 ; �� x  ��
 ;
� t ��
1; 2 �
�
�
4 �4 4 �
� 4 �;
�2 2�
�
Đặt
.
t ��
1; 2 �
m �f  t   t 2  t  1
�
�
Suy ra

Vậy m � 2  1 .

với mọi

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

2. [1D1-1.1-3] Tìm m để hàm số

y

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

m  sin x  cos x  2sin x cos x
sin 2017 x  cos 2019 x  2
xác định với mọi

�  �
x ��
 ;
� 2 2�
�.
Lời giải
Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc
Phản biện: Tăng Duy Hùng

�  �
x ��
 ; �
2 2 �thì 0 �
�
cos�x 1
Với mọi
Khi đó:

cos 2019 x

cos 2 x .

sin 2017 x  cos 2019 x  2 �sin 2017 x  cos 2 x  2  sin 2017 x   1  sin 2 x   2

�  �
x ��
 ;
� 2 2�
�.
với mọi
m  sin x  cos x  2sin x cos x
�  �
y
x ��
 ;
2017
2019
sin
x  cos x  2
� 2 2�
�
Hàm số
xác định với mọi
m  sin x  cos x  2sin x cos x
�  �
x ��
 ;

۳
0
2017
2019
sin
x  cos x  2
� 2 2�
�
với mọi
 sin 2 x  1  sin 2015 x   2  1 � 2  1  0

�  �
x ��
 ;
�2 2�
�
۳ m sin x  cos x  2sin x cos x với mọi
 �  3 �
� �
�  �
t  sin x  cos x  2 sin �x  � x ��
 ; �� x  ��
 ; �� t ��
1; 2 �
�
�
4
2
2
4

4
4
�
�
�
�
�
�
Đặt
;
.
2
t ��
1; 2 �
m �f  t   t  t  1
�
�
Suy ra
với mọi

Vậy m � 2  1 .
Câu 2. (4,0 điểm)
1. [1D2-5.4-2] Một người A đứng tại gốc O của trục số x ' Ox . Do say rượu nên người A
bước ngẫu nhiên sang trái hoặc sang phải trên trục tọa độ với độ dài mỗi bước là một đơn vị.

 n �2  thì người A quay trở lại gốc tọa độ O .
Tính xác suất để sau n bước
2. [1D2-5.2-3] Cho hình vuông cỡ 9.9 tâm O được tạo từ 9.9 hình vuông đơn vị. Hai hình
vuông đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có cùng một cạnh chung. Một con bọ ban đầu ở O .
Mỗi lần di chuyển con bọ sẽ nhảy ngẫu nhiên từ tâm hình vuông đơn vị nó đứng sang tâm hình

vuông đơn vị kề bên. Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O .


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

3. [1D2-5.2-3] Cho hình lập phương tâm O được ghép từ 9.9.9 hình lập phương đơn vị. Hai
hình lập phương đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có chung một mặt. Con bọ ban đầu ở tâm
O . Mỗi bước nhảy con bọ sẽ nhảy từ tâm khối lập phương đơn vị nó đứng sang tâm khối lập
phương đơn vị kề bên. Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O .
Lời giải
1. Một người A đứng tại gốc O của trục số x ' Ox . Do say rượu nên người A bước ngẫu nhiên
sang trái hoặc sang phải trên trục tọa độ với độ dài mỗi bước là một đơn vị. Tính xác suất để

 n �2  thì người A quay trở lại gốc tọa độ O .
sau n bước
Lời giải
Tác giả: Tăng Duy Hùng; Fb: Tăng Duy Hùng
Phản biện: Bùi Dũng; Fb: Bùi Dũng

k �N * 

n

2
k

1
Trường hợp 1:

khi đó xác suất người đó quay trở lại O là : P  0
Trường hợp 2:
sang trái.

n  2k  k �N * 

. Người đó quay trở về O nếu có k bước sang phải và k bước

Xác suất bước sang phải là: 0,5
Xác suất bước sang trái là: 0, 5

P  Cnk .  0,5 
Do đó xác suất để quay về O là:

n

2. Cho hình vuông cỡ 9.9 tâm O được tạo từ 9.9 hình vuông đơn vị. Hai hình vuông đơn vị
được gọi là kề bên nếu chúng có cùng một cạnh chung. Một con bọ ban đầu ở O . Mỗi lần di
chuyển con bọ sẽ nhảy ngẫu nhiên từ tâm hình vuông đơn vị nó đứng sang tâm hình vuông đơn
vị kề bên. Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O .
Lời giải
Tác giả: Bùi Dũng; Fb: Bùi Dũng
Phản biện: Lê Mai Hương; Fb: Lê Mai Hương
Khi con bọ nhảy 4 bước thì không gian mẫu là: 4.4.4.4  256
Ở bước nhảy thứ 2 ta chia các trường hợp sau:
TH1: Bước 2 con bọ nhảy qua B1  B 2 có 2 cách nhảy
Bước 3 có hai cách nhảy về A1  A2 ( nếu từ B1 ) hoặc nhảy về A1  A4 ( nếu từ B 2 )
Bước 4: con bọ có 1 cách nhảy về O
Có: 4.2.2.1  16 cách
TH2: Bước 2 con bọ nhảy qua B3 có 1 cách nhảy

Bước 3 có 1 cách nhảy về A1
Bước 4: con bọ có 1 cách nhảy về O
Có: 4.1.1.1  4 cách


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

TH2: Bước 2 con bọ nhảy về O có 1 cách nhảy
Bước 3 có 4 cách nhảy về các ô A1  A2  A3  A4
Bước 4: con bọ có 1 cách nhảy về O
Có: 4.1.4.1  16 cách

16  4  16 9

256
64 .
Vậy xác suất để con bọ nhảy 4 bước quay trở về O là:
3. Cho hình lập phương tâm O được ghép từ 9.9.9 hình lập phương đơn vị. Hai hình lập
phương đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có chung một mặt. Con bọ ban đầu ở tâm O . Mỗi
bước nhảy con bọ sẽ nhảy từ tâm khối lập phương đơn vị nó đứng sang tâm khối lập phương
đơn vị kề bên. Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O .
Lời giải
Tác giả: Lê Mai Hương; Fb:Le Mai Huong
Mỗi bước con bọ có thể nhảy ngẫu nhiên qua tâm của 6 hình lập phương đơn vị khác.
Do đó không gian mẫu là

n ( W) = 6..6.6.6 = 64

.

Gọi A là biến cố “con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O ”.
Xét hệ trục tọa độ không gian gốc O với các trục song song các cạnh hình lập phương.
Khi đó có hai trường hợp sau:
TH1: Con bọ nhảy trên một đường thẳng (có 3 đường tương ứng 3 trục tọa độ) có

3.C 24 = 18

.

TH2: Con bọ nhảy không nhảy trên một đường thẳng (trong trường hợp này nó chỉ có thể nhảy
trên 2 trục tọa độ) có 3.4! = 72 .
Vậy xác suất của biến cố A là:
Câu 3. (2,0 điểm)
Cho dãy số

P ( A) =

n ( A) 18 + 72
5
=
=
4
n ( W)
6
72

 un  được xác định như sau

u 
của dãy số n . Tính

.

u1  2019
�
�
un 1  2un  n  1 n ��*
�

. Tìm số hạng tổng quát

un
n �� 3n
.
lim

Lời giải
Tác giả: Nguyễn xuân Giao; FB: giaonguyen
Phản biện: Vũ Ngọc Tân; FB: Vũ Ngọc Tân
Ta có

un 1  2un  n  1 � un 1   n  1  2  un  n 

*
v 
Đặt vn  un  n với n �� . Khi đó ta có dãy n

n ��*

v1  2018
�
�
v  2vn n ��*
thỏa mãn �n 1

n 1
n 1
n 1
là một cấp số nhân có công bội q  2 � vn  v1.q  2018.2 � un  2018.2  n .

Vậy

un  2018.2 n1  n

.


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Ta có

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

n
�
un
2018.2n 1  n
�2 � n �
lim

 lim
 lim �
1009. � � n � 0
n �� 3n
n ��
n ���
3n
�3 � 3 �
�
�
n

�2 �
lim � � 0 lim nn  0
n �� 3
� � ; n �� 3
(Vì
).
Câu 4. (2,0 điểm)

[1D4-2.3-3] Tính giới hạn

2 x  1  3 3x  1
x2

L  lim
x �0

Lời giải
Tác giả:Vũ Ngọc Tân ; Fb: Vũ Ngọc Tân.

Phản biện: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu.
� 2 x  1   x  1 3 3 x  1   x  1
2 x  1  3 3x  1  lim �

2
L  lim
x �0 �
x
x2
2
x �0
�
x
Ta có :
�
2
� 2 x  1   x  1
 lim �

2
x �0
2 x  1   x  1
�x
x2
�



�
�

 lim �
2
x �0
�x
�







 x2
2 x  1   x  1

�
�
1
 lim �

x �0
� 2x 1  x 1
�







x2



3 x  1   x  1
3

 3x  1

2

3

 3 3x  1.  x  1   x  1

 3x  1

2

2

 x 3  3x 2
3

 3x  1

2

 3 3 x  1.  x  1   x  1

x  3
3

�
�
�
�

 3 3 x  1.  x  1   x  1

2



2





�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

�
�
�
�
�.

1
1
  1 
2
2.
Vậy

L

1
2.

Câu 5. (8,0 điểm)
1. [1H3-5.6-4] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Lấy hai điểm M , N sao cho
uuuu
r
uuuu
r uuur uuuu
r
AM  k AC ', CN  tCD ' với t.k �0 . Tính độ dài MN theo a khi MN song song với B ' D .
2. [1H3-5.7-4] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M là điểm di

   đi qua M và song song với hai đường

động trên cạnh BC ( M khác B và C ). Mặt phẳng
thẳng SB , AC .
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp
tích lớn nhất.

   . Xác định vị trí của

M để thiết diện có diện

3. [1H2-4.6-4] Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' tâm O cạnh có độ dài bằng 1 . Gọi
uuuu
r 3 uuur uuu
r 1 uuuu
r
AM  AA ', CP  CC '
   thay đổi đi qua M , P đồng
M , P là hai điểm sao cho
4
4
. Mặt phẳng


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

thời cắt hai cạnh BB ', DD ' lần lượt tại N và Q . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chu
vi tứ giác MNPQ .
Lời giải

uuuu
r
uuuu
r
AM

k
AC
',
M
,
N
ABCD
.
A
'
B
'
C
'
D
'
a
1. Cho hình lập phương
cạnh . Lấy hai điểm
sao cho
uuur uuuu
r
CN  tCD ' với t.k �0 . Tính độ dài MN theo a khi MN song song với B ' D .
Lời giải

Tác giả: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu
Phản biện: Tran Quoc An
A'

D'

B'

C'

M
N

z
A

x

D

B

C

y

uuu
r r uuur u
r uuur r
BA


x
,
BC

y
, BB '  z.
Đặt

r u
r
u
r r
r r
x
.
y

0,
y
.
z

0,
z. x  0 .
Vì ABCD. A ' B ' C ' D ' là hình lập phương cạnh a nên
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu

r uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuu
r
uuur uuur uuu
r
BM  BA  AM  BA  k AC '  BA  k BC '  BA  BA  k BC  BB '  BA
r
u
r
r
  1 k  x  k y  k z
.
uuur uuur uuur uuur uuuu
r uuur
uuur uuuu
r
r u
r r
BN  BC  CN  BC  tCD '  BC  t CD  CC '  t x  y  t z
.
uuuu
r uuur uuuu
r r u
r r
r
u

r r
r
u
r
r
� MN  BN  BM  t x  y  t z  �

t

k

1
x

1

k
y

t

k
z
�1  k  x  k y  k z �







�
.
uuuur uuur uuur uuu
r uuur uuur r u
r r
B ' D  BD  BB '  BA  BC  BB '  x  y  z .
� 1
t
�
2
t  k 1  m
�
�
uuuu
r
uuuur
�
� 3
MN  mB ' D � �
1 k  m � �
k
4
�
�
t  k  m
�
� 1
m
�
� 4.

Vì MN / / B ' D nên
uuuu
r 1r 1u
r 1r 1 r u
r r
� MN  x  y  z  x  y  z
4
4
4
4
.
u
u
u
u
r
r
u
r
r
2
2
1
� MN 2  MN 
x yz
16
r2 r2
r u
r u
r r

r r
1 r2 u
1
3a 2

x  y  z  2 x. y  2 y. z  2 z. x   a 2  a 2  a 2  
16
16
16 .











Vậy









MN 



a 3
4 .






Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

2. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M là điểm di động trên cạnh

BC ( M khác B và C ). Mặt phẳng    đi qua M và song song với hai đường thẳng SB , AC .
   . Xác định vị trí của M để thiết diện có diện
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp
tích lớn nhất.
Lời giải
Tác giả:Trần Quốc An; Fb:Tran Quoc An

Kẻ MN // AC , N �AB , NP // SB , P �SA , PK // MN // AC , K �SC .
Gọi I  MN �BD . Kẻ IQ // SB , Q �SD
Suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mp

Ta có:

�NP // SB
� MK // NP
�
 SBC  �    MK
�



là ngũ giác MNPQK .

.

Ta có tứ giác MNPK là hình bình hành.
Gọi  là góc giữa SB và AC . Đặt
Suy ra :

S MNPK 

x

�MK   1  x  SB
BM
 0  x  1 � BM  xBC � �
BC
�MN  x. AC

.

1

BM .MK .sin   x.  1  x  .SB. AC .sin 
2
. Gọi H  IQ �PK .

QH SH BI BM
1



 x � QH  xOR  x.SB
2
Gọi R là trung điểm của SD , ta có : OR SO BO BC
và
PK  MN .

Vì

�, AC  QH
 SB
  � , PK  , ta có :

SPQK  SPQH  SQHK 

1
1
1
PH .QH .sin   QH .HK .sin   QH .PK .sin 
2
2
2

1 1
1
 . x.SB.x. AC.sin   x 2 .SB. AC.sin 
2 2
4


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

� 3x2 �
1 �
�
S MNPQK  SMNPK  SPQK  �
x  1  x   x2 �
.SB. AC.sin   �x 
.SB. AC.sin 
�
4 �
4 �
�
�
Do đó :
.
3. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' tâm O cạnh có độ dài bằng 1 . Gọi M , P là hai
uuuu
r 3 uuur uuu
r 1 uuuu
r

AM  AA ', CP  CC '
   thay đổi đi qua M , P đồng thời cắt hai
4
4
điểm sao cho
. Mặt phẳng
cạnh BB ', DD ' lần lượt tại N và Q . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác
MNPQ .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Đắc; Fb: Đắc Nguyễn.

Gọi I  MP �OO ' � I là trung điểm của MP .
Do đó trong hình thang AMPC ta có AM  CP  1 , tương tự DQ  BN  2.OI  1 .

x, y � 0;1
Đặt BN  x, DQ  y thì
và x  y  1 .
( MNPQ) �( ABB ' A ')  MN �
�
( MNPQ) �(CDD ' C ')  QP �� MN / / QP
�
( ABB ' A ') / /(CDD ' C ')
�
Ta có
Chứng minh tương tự MQ / / NP , suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Suy ra của chu vi tứ giác MNPQ  2 MN  2 MQ .
2

2

�3
�
�3
�
MN  1  �  x �; MQ  1  �  y �
�4
�
�4
�.
Ta tính được
2
2
� �3
�
�3
��
�
MNPQ  2 1  �  x � 1  �  y ��
 *
4
� �4
�
�
�
�
�
� .
chu vi tứ giác

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề THI HSG 11 YÊN LẠC 2 – VP - 2019 – TỔ 2

a 2  b2  c 2  d 2 �  a  c    b  d 
2

*) Áp dụng BĐT
2

2

2

2

17
�3
�
�3
�
�3
�
� 1  �  x � 1  �  y � � 4  �  x  y � 
2 .
�4
�
�4
�

�2
�

Dấu "  " xảy ra khi

x y

1
2.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ  17 .
*) Thế y  1  x vào (*) ta có
2
2
� �3
�
�1
��
MNPQ  2 �1  �  x � 1  �  x �� 2 f  x 
� �4
�
�4
��
�
�
chu vi tứ giác
.
2

2

�3
�
�1
�
f  x   1  �  x � 1  �  x �
�4
�
�4
�
Với
2
2
5�
17 � 5
17
�3
� �5  17
�1
� �5  17
 1  �  x � �
x


1


x

x


 
�
�
�
�
� �
�
�
�
4�
4 �4
4
�4
� � 4
�4
� � 4

13  5 17 2
( x  x)
8

13  5 17 2
( x  x)
5
17
8


 

2
2
4
�3
� 5(1  x)  17 x
�1
� 5 x  17  1  x  4
1  �  x �
1  �  x �
4
4
�4
�
�4
�

Do

x 2 x�0,�x

Suy ra

maxf ( x) 

 0;1

f ( x)

5
4

17
4

5  17
4
khi x  0 hoặc x  1

Suy ra giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác

MNPQ 

5  17
2
.
2

3x 2 1
1
1 �3 x  4  3 x � 1
x
 x  4  3x   .3x.  4  3x  � �
�
4
4
12
12
2
�
� 3.

Ta có :
1
1
S MNPQK � .SB. AC.sin  � S MNPQK
.SB. AC.sin 
3
Do đó :
lớn nhất bằng 3
2
BM 2
� 3x  4  3x � x  �

3
BC 3 .