DS c3 NGUYEN HAM

CHỦ ĐỀ 1. NGUYÊN HÀM
KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa

khoảng). Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K nếu

F ' ( x ) = f ( x ) với mọi x ∈ K .
Định lí:
1) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì với mỗi hằng số C ,
hàm số G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K .

2) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm của

f ( x ) trên K đều có dạng F ( x ) + C , với C là một hằng số.

Do đó F ( x ) + C , C ∈ ¡

là họ tất cả các nguyên hàm của

f ( x ) trên K . Ký hiệu

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C .

2. Tính chất của nguyên hàm
′
Tính chất 1:
∫ f ( x ) dx = f ( x ) và

(

)

∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C

∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k là hằng số khác
∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx

Tính chất 2:

0.

Tính chất 3:
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
( u = u ( x) )

∫ dx = x + C

∫ du = u + C

∫x

∫u

α

dx =

1 α+1
x + C ( α ≠ −1)
α +1

1

du =

1 α+1
u + C ( α ≠ −1)
α +1

1

∫ x dx = ln x + C
∫ e dx = e + C
x

α

∫ u du = ln u + C
∫ e du = e + C

x

u

ax

+ C ( a > 0, a ≠ 1)
ln a
∫ sin xdx = − cos x + C

u

au
+ C ( a > 0, a ≠ 1)
ln a
∫ sin udu = − cos u + C

x
∫ a dx =

u
∫ a du =

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos udu = sin u + C

1

∫ cos

2

1

∫ sin

x

1

dx = tan x + C

∫ cos

dx = − cot x + C

∫ sin

2

u

du = tan u + C

1

du = − cot u + C
2
x
u
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C và u = u ( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
2

∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C

Trang
1/34


Hệ quả: Nếu u = ax + b ( a ≠ 0 ) thì ta có ∫ f ( ax + b ) dx =

1
F ( ax + b ) + C
a

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u ( x ) và v = v ( x ) có đạo hàm liên tục trên K thì

∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) −∫ u ' ( x ) v ( x ) dx

Hay

∫ udv = uv − ∫ vdu

A. KỸ NĂNG CƠ BẢN
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
3
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + 3 x + 2 là hàm số nào trong các hàm số
sau?
x 4 3x 2

x4
A. F ( x ) = +
B. F ( x ) = + 3x 2 + 2 x + C .
+ 2x + C .
4
2
3
4
2
x
x
2
C. F ( x ) = + + 2 x + C .
D. F ( x ) = 3 x + 3 x + C .
4 2
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
3
2
Câu 2. Hàm số F ( x ) = 5 x + 4 x − 7 x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau
đây?
2
2
A. f ( x ) = 15 x + 8 x − 7 .
B. f ( x ) = 5 x + 4 x + 7 .
5x 2 4 x3 7 x 2
2
.
D. f ( x ) = 5 x + 4 x − 7 .
+
−

4
3
2
Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F ( x ) ta được kết quả.
1
Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: y = x 2 − 3x + là
x
3
x 3
x3 3
A. F ( x ) = − x 2 + ln x + C .
B. F ( x ) = − x 2 + ln x + C .
3 2
3 2
3
1
x 3
C. F ( x ) = + x 2 + ln x + C .
D. F ( x ) = 2 x − 3 − 2 + C .
x
3 2
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ( x + 1) ( x + 2 )
C. f ( x ) =

x3 2 2
+ x + 2x + C .
3 3
x3 2 2
F

x
=
2
x
+
3
+
C
C. ( )
.
D. F ( x ) = − x + 2 x + C .
3 3
2
Hướng dẫn giải: f ( x ) = ( x + 1) ( x + 2 ) = x + 3x + 2 . Sử dụng bảng nguyên hàm.
2
2 3
+ + 2 là hàm số nào?
Câu 5. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) =
5 − 2x x x
3
3
A. F ( x ) = − ln 5 − 2 x + 2 ln x − + C .
B. F ( x ) = − ln 5 − 2 x + 2 ln x + + C .
x
x
3
3
C. F ( x ) = ln 5 − 2 x + 2 ln x − + C .
D. F ( x ) = − ln 5 − 2 x − 2 ln x + + C .
x

x
Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm.
4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x
A. F ( x ) =

x3 3 2
+ x + 2x + C .
3 2

B. F ( x ) =

Trang
2/34


A.
C.

1

∫ sin 2 xdx = − 2 cos 2 x + C .
∫ sin 2 xdx = cos 2 x + C .

Hướng dẫn giải

B.

1

1

∫ sin 2 xdx = 2 cos 2 x + C .
D. ∫ sin 2 xdx = − cos 2 x + C .
1

∫ sin 2 xdx = 2 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C .

π

Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos  3 x + ÷.
6

1 
π
π

A. ∫ f ( x )dx = sin  3 x + ÷+ C .
B. ∫ f ( x).dx = sin  3 x + ÷+ C .
3 
6
6

1 
π
1
π

C. ∫ f ( x)dx = − sin  3 x + ÷+ C .
D. ∫ f ( x)dx = sin  3x + ÷+ C .

3 
6
6
6

1
π 
π 1 
π

Hướng dẫn giải: ∫ f ( x )dx = ∫ cos  3 x + ÷d  3 x + ÷ = sin  3 x + ÷+ C .
3
6 
6 3 
6

x
Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 + tan 2 .
2
x
x
A. ∫ f ( x)dx = 2 tan + C .
B. ∫ f ( x)dx = tan + C .
2
2
1
x
x
C. ∫ f ( x) dx = tan + C .
D. ∫ f ( x)dx = −2 tan + C .

2
2
2
 x
1
d ÷
2 x
f ( x) = 1 + tan =
dx
x
2
Hướng dẫn giải:
= 2∫   = 2 tan + C .
2 cos 2 x nên ∫
x
x
2
cos 2
cos 2
2
2
2
1
f ( x) =
π.

Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số
sin 2  x + ÷
3


π
1
π


A. ∫ f ( x) dx = − cot  x + ÷+ C .
B. ∫ f ( x )dx = − cot  x + ÷+ C .
3
3
3


π
1
π


C. ∫ f ( x)dx = cot  x + ÷+ C .
D. ∫ f ( x)dx = cot  x + ÷+ C .
3
3
3


π

dx+ ÷
dx
π
3


=∫ 
= − cot  x + ÷+ C .
Hướng dẫn giải: ∫
π
π
3



sin 2  x + ÷
sin 2  x + ÷
3
3


3
Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x.cos x .
sin 4 x
+C .
∫
4
sin 2 x
C. ∫ f ( x )dx =
+C .
2

sin 4 x
+C .
∫

4
sin 2 x
D. ∫ f ( x)dx = −
+C .
2
sin 4 x
Hướng dẫn giải ∫ sin 3 x.cos x.dx = ∫ sin 3 x.d (sin x ) =
+C .
4
4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT.
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e x − e − x .
A.

f ( x)dx =

A.

∫ f ( x ) dx = e
∫ f ( x ) dx = e

C.

x

+ e− x + C .

x

− e− x + C .

B.

f ( x)dx = −

∫ f ( x ) dx = −e
D. ∫ f ( x ) dx = −e
B.

x

+ e− x + C .

x

− e− x + C .

Trang
3/34


Hướng dẫn giải:

∫( e

x

− e − x ) dx = e x + e − x + C .

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x.3−2 x .
A.

C.

x

∫

1
2
f ( x ) dx =  ÷ .
+C .
 9  ln 2 − ln 9

∫

1
2
f ( x ) dx =  ÷ .
+C .
 3  ln 2 − ln 9

B.

x

D.
x

x

∫

1
9
f ( x ) dx =  ÷ .
+C .
 2  ln 2 − ln 9

∫

1
2
f ( x ) dx =  ÷ .
+C .
 9  ln 2 + ln 9

x

x

1
2
2
Hướng dẫn giải: ∫ 2 .3 dx = ∫  ÷ dx =  ÷ .
+C
9
 9  ln 2 − ln 9
Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e x (3 + e − x ) là
x

−2 x

A. F ( x) = 3e x + x + C .
B. F ( x) = 3e x + e x ln e x + C .
1
C. F ( x ) = 3e x − x + C .
D. F ( x) = 3e x − x + C .
e
x
−x
x
x
Hướng dẫn giải: F( x ) = ∫ e (3 + e )dx = ∫ (3e + 1)dx = 3e + x + C

x
Câu 14. Hàm số F ( x ) = 7e − tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

e− x 
x
A. f ( x ) = e  7 −
÷.
cos 2 x 


B. f ( x ) = 7e x +

1
.
cos 2 x

1 

 x
D. f ( x ) = 7  e −
÷.
cos 2 x 

1
e− x
x
Hướng dẫn giải: Ta có g '( x) = 7e x −
=
e
(7
−
) = f ( x)
cos 2 x
cos2 x
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = e 4 x − 2 .
x
2
C. f ( x ) = 7e + tan x − 1 .

1

2 x −1

+C .

B.

∫ f ( x ) dx = e

1

4 x −2

+C .

D.

∫ f ( x ) dx = 2

A.

∫ f ( x ) dx = 2 e

C.

∫ f ( x ) dx = 2 e

2 x −1

+C .

1

e 2 x −1 + C .

∫ f ( x ) dx = 2

2x −1 + C .

1
e 4 x −2 dx = ∫ e 2 x −1dx = e 2 x −1 + C .
2
4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.
1
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
là
2x −1
Hướng dẫn giải:

A.

∫ f ( x ) dx =

∫

2x −1 + C .

B.

2x −1
D. ∫ f ( x ) dx = −2 2 x − 1 + C .
+C .
2
1
1 d ( 2 x − 1)
dx = ∫
= 2x −1 + C .
Hướng dẫn giải: ∫

2
2x −1
2x −1
1
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
3− x
C.

∫ f ( x ) dx =

A.

∫ f ( x ) dx = −2 3 − x + C .
∫ f ( x ) dx = 2 3 − x + C .

C.

∫ f ( x ) dx = − 3 − x + C .
D. ∫ f ( x ) dx = −3 3 − x + C .
B.

d ( 3 − x)
1
dx = − ∫
= −2 3 − x + C .
3− x
3− x
Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2 x + 1 .
Hướng dẫn giải:

∫

Trang
4/34


1

A.

∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x + 1)

C.

∫ f ( x ) dx = − 3

1

2x +1 + C .

2x +1 + C .

2

B.

∫ f ( x ) dx = 3 ( 2 x + 1)

D.

∫ f ( x ) dx = 2

1

2x + 1 + C .

2x + 1 + C .

Hướng dẫn giải: Đặt t = 2 x + 1 ⇒ dx = tdt
t3
1
⇒ ∫ 2 x + 1dx= ∫ t 2 dt = + C = ( 2 x + 1) 2 x + 1 + C .
3
3
Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 5 − 3x .
2

A.

∫ f ( x ) dx = − 9 ( 5 − 3x )

C.

∫ f ( x ) dx = 9 ( 5 − 3x )

2

5 − 3x + C .
5 − 3x .

2

B.

∫ f ( x ) dx = − 3 ( 5 − 3x )

D.

∫ f ( x ) dx = − 3

Hướng dẫn giải: Đặt t = 5 − 3x ⇒ dx = −

2

5 − 3x .

5 − 3x + C .

2tdt
3

2
( 5 − 3x ) 5 − 3x + C .
9
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 3 x − 2 .

∫

5 − 3 xdx = −

A.

∫ f ( x ) dx = 4 ( x − 2 )

3

3

x−2 +C .

3

∫ f ( x ) dx = − 4 ( x − 2 )

x−2 +C .

3

2
1
−
x
−
2
(
) 3 +C .
∫
∫
3

3
Hướng dẫn giải: Đặt t = 3 x − 2 ⇒ dx = 3t 2 dt . Khi đó ∫ 3 x − 2dx = ( x − 2 ) 3 x − 2 + C
4
3
Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 1 − 3 x .

f ( x ) dx =

C.

A.

2
( x − 2) x − 2 .
3

B.

1

∫ f ( x ) dx = − 4 ( 1 − 3x )

3

1 − 3x + C .

1
( 1 − 3x ) 3 1 − 3x + C .
∫
4

Hướng
dẫn
giải:
Đặt
1
3
3
∫ 1 − 3xdx = − 4 ( 1 − 3x ) 1 − 3x + C
f ( x ) dx =

C.

f ( x ) dx =

D.

3

B.

∫ f ( x ) dx = − 4 ( 1 − 3x )

D.

f ( x ) dx = − ( 1 − 3 x )

∫

−

2
3

3

1 − 3x + C .

+C .

t = 3 1 − 3x ⇒ dx = −t 2 dt .

Khi

đó

Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = e3 x .
A.
C.

2 e3 x
+C
3

∫

f ( x ) dx =

∫

3 e3 x

f ( x ) dx =
+C
2

Hướng dẫn giải:
Câu 23. Hàm số

∫

F ( x ) = ( x + 1)

2

B.

∫ f ( x ) dx = 2

3
e3 x

+C

3x+2
2
D. f ( x ) dx = 2e
+C
∫
3x + 2
2 3x  3x  2 3 x
2 e3 x

e3 x dx = ∫ e 2 .d  ÷ = .e 2 + C =
+C
3
3
 2  3

x + 1 + 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau

đây?
5
( x + 1) x + 1
2
2
C. f ( x ) = ( x + 1) x + 1
5
A. f ( x ) =

B. f ( x ) =

5
( x + 1) x + 1 + C
2

D. f ( x ) = ( x + 1) x + 1 + C

Trang
5/34


5

( x + 1) x + 1
2

Hướng dẫn giải: F ' ( x ) =

Câu 24. Biết một nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

1
+ 1 là hàm số F ( x ) thỏa mãn
1 − 3x

2
. Khi đó F ( x ) là hàm số nào sau đây?
3
2
2
1 − 3x + 3
1 − 3x − 3
A. F ( x ) = x −
B. F ( x ) = x −
3
3
2
2
1 − 3x + 1
1 − 3x
C. F ( x ) = x −
D. F ( x ) = 4 −

3
3
Hướng dẫn giải
1 d ( 1 − 3x )
2
 1

F ( x) = ∫ 
+ 1÷dx = − ∫
+ x = x−
1 − 3x + C
3
3
1 − 3x
 1 − 3x 
2
2
F ( −1) = ⇒ C = 3 ⇒ F ( x ) = x −
1 − 3x + 3
3
3
a
Câu 25. Biết F ( x) = 6 1 − x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) =
. Khi đó giá trị
1− x
của a bằng
1
A. −3 .
B. 3 .
C. 6 .

D.
.
6
−3
′
⇒ a = −3
Hướng dẫn giải: F '( x) = 6 1 − x =
1− x
4.1.5. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 26. Tính F ( x) = ∫ x sin xdx bằng
F ( −1) =

(

)

A. F ( x) = sin x − x cos x + C .
B. F ( x) = x sin x − cos x + C .
C. F ( x) = sin x + x cos x + C .
D. F ( x) = x sin x + cos x + C .
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần
Phương pháp trắc nghiệm:
d
Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập
( F ( x) ) − f ( x) , CALC
dx
ngẫu nhiên tại một số điểm x0 thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0
chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm dv và nguyên hàm
của u
++ của v
x
sin x
− cos x
-+
1
− sin x
0
F
(
x
)
=
sin
x
−
x
cos
x
+
C
Vậy
.
2
Câu 27. Tính ∫ x ln xdx . Chọn kết quả đúng:
1 2
1 2
2

2
A. x 2 ln x − 2 ln x + 1 + C .
B. x 2 ln x − 2 ln x + 1 + C .
4
2
1 2
1 2
2
2
C. x 2 ln x + 2 ln x + 1 + C .
D. x 2 ln x + 2 ln x + 1 + C .
4
2
Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2
lần.

(

)

(

)

(

)

(

)

Trang
6/34


Phương pháp trắc nghiệm
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong
dx
tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:
u và đạo hàm của u
dv và nguyên hàm
của v
2
x
+
ln x
2 ln x
x2
x
2
2
2
x (nhận
ln x (chuyển

qua
từ u )
x
x
dv )
1
x2
x
2
1
x
1
1 (chuyển qua dv )
(nhận
từ u )
+
x
2
x
0
x2
4
1
1
1
1
Do đó ∫ x ln 2 xdx = x 2 ln 2 x − x 2 ln x + x 2 + C = x 2 2 ln 2 x − 2 ln x + 1 + C .
2
2
4

4
Câu 28. Tính F ( x) = ∫ x sin x cos xdx . Chọn kết quả đúng:

(

1
x
A. F ( x) = sin 2 x − cos 2 x + C .
8
4
1
x
C. F ( x) = sin 2 x + cos 2 x + C .
4
8
Hướng dẫn giải:

)

1
x
cos 2 x − sin 2 x + C .
4
2
−1
x
D. F ( x) = sin 2 x − cos 2 x + C .
4
8
B. F ( x) =

1
Phương pháp tự luận: Biến đổi sin x cos x = sin 2 x rồi sử dụng phương pháp
2
nguyên hàm từng phần.
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong
dx
tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
x

Câu 29. Tính F ( x) = xe 3 dx . Chọn kết quả đúng
∫
x

A. F ( x) = 3( x − 3)e 3 + C

x

B. F ( x) = ( x + 3)e 3 + C

x − 3 3x
x + 3 3x
C. F ( x) =
D. F ( x) =
e +C

e +C
3
3
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
x

u = x, dv = e 3 dx .
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .

Trang
7/34


d
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong
dx
tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
x
dx . Chọn kết quả đúng
Câu 30. Tính F ( x) = ∫
cos 2 x
A. F ( x) = x tan x + ln | cos x | +C .
B. F ( x) = − x cot x + ln | cos x | +C .
C. F ( x) = − x tan x + ln | cos x | +C .
D. F ( x) = − x cot x − ln | cos x | +C .
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với

1
u = x, dv =
dx
cos 2 x
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0 .
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong
dx
tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
2
Câu 31. Tính F ( x) = ∫ x cos xdx . Chọn kết quả đúng
Nhập máy tính

A. F ( x) = ( x 2 − 2)sin x + 2 x cos x + C .
B. F ( x) = 2 x 2 sin x − x cos x + sin x + C .
C. F ( x) = x 2 sin x − 2 x cos x + 2sin x + C .
D. F ( x) = (2 x + x 2 ) cos x − x sin x + C .
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2
lần với u = x 2 ; dv = cos xdx , sau đó u1 = x; dv1 = sin xdx .
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong
dx
tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.

Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
Câu 32. Tính F ( x) = ∫ x sin 2 xdx . Chọn kết quả đúng
1
1
A. F ( x) = − (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C .
B. F ( x) = (2 x cos 2 x − sin 2 x) + C .
4
4
1
1
C. F ( x) = − (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C .
D. F ( x) = (2 x cos 2 x + sin 2 x) + C .
4
4
Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
u = x; dv = sin 2 xdx
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng hoặc sử dụng
d
( F ( x )) − f ( x ) , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm x0 bất kỳ,
máy tính: Nhập
dx
nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn đáp án đó.
Câu 33. Hàm số F ( x) = x sin x + cos x + 2017 là một nguyên hàm của hàm số nào?
A. f ( x) = x cos x .
B. f ( x) = x sin x .
C. f ( x) = − x cos x .
D. f ( x) = − x sin x .
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Tính F '( x) có kết quả trùng với đáp án chọn.
Phương

pháp
trắc
nghiệm:
Sử
dụng
định
nghĩa
F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0

Trang
8/34


d
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x0 trong
dx
tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.
1 + ln( x + 1)
dx . Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 34. Tính ∫
x2
−1 + ln( x + 1)
x
1 + ln( x + 1)
x
+ ln
+C
+ ln
+C
A.

B. −
x
x +1
x
x +1
x +1
1 + ln( x + 1)
− ln x + 1 + ln x + C
C. −
D. −
( 1 + ln( x + 1) ) + ln | x | +C
x
x
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với
1
1
u = 1 + ln( x + 1); dv = − 2 dx hoặc biến đổi rồi đặt u = ln( x + 1); dv == − 2 dx .
x
x
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra bằng định nghĩa.
4.1.6. ÔN TẬP
Câu 35. Hãy chọn mệnh đề đúng
Nhập máy tính

A. ∫ a x dx =

xα +1
+ C , ∀α ∈ R .
α +1

f ( x)
∫ f ( x)dx .
dx =
D. ∫
g ( x)
∫ g( x)dx

ax
+ C ( 0 < a ≠ 1) .
ln a

B. ∫ xα dx =

C. ∫ f ( x).g ( x) dx = ∫ f ( x) dx.∫ g( x)dx .

Hướng dẫn giải: A đúng. B sai vì thiếu điều kiện α =/ −1 ; C, D sai vì không
có tính chất.
Câu 36. Mệnh đề nào sau đây sai?
1
A. ∫ sin xdx = cos x + C .
B. ∫ dx = ln x + C , x ≠ 0 .
x
ax
x
D.
a
dx
=
+ C , (0 < a ≠ 1) . C.
∫

ln a
x
x
∫ e dx = e + C .
Hướng dẫn giải:

∫ sin xdx = − cos x + C

Câu 37. Hàm số f ( x) = x 3 − x 2 + 3 +

1
có nguyên hàm là
x

x 4 x3
A. F ( x) = − + 3 x + ln x + C .
4 3
1
C. F ( x) = 3 x 2 − 2 x − 2 + C .
x

x3
B. F ( x) = x − + 3x + ln x + C .
3
4

D.

F ( x) = x 4 − x3 + 3x + ln x + C .

1
x 4 x3
Hướng dẫn giải: F ( x) = ∫ ( x − x + 3 + )dx = − + 3 x + ln x + C
x
4 3
2
Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = tan x là
3

2

A. F ( x ) = tan x − x + C .

B. F ( x ) = − tan x + x + C .

C. F ( x ) = tan x + x + C .

D. F ( x ) = − tan x − x + C .


− 1÷dx = tan x − x + C
x 
Câu 39. Hàm số F ( x) = 7 sin x − cos x + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
Hướng dẫn giải:



1

∫ f ( x)dx = ∫  cos

A. f ( x ) = sin x + 7 cos x .
C. f ( x ) = sin x − 7 cos x .

2

B. f ( x ) = − sin x + 7 cos x .

D. f ( x ) = − sin x − 7 cos x .
Trang
9/34


Hướng dẫn giải: F '( x) = 7 cos x + sin x
1
dx là
Câu 40. Kết quả tính ∫ 2
sin x cos 2 x
A. tan x − cot x + C .
B. cot 2x + C .
C. tan 2x − x + C .
D. − tan x + cot x + C .
1
1
1 

dx = ∫ 
+ 2 ÷dx = tan x − cot x + C
Hướng dẫn giải: ∫ 2
2

2
sin x cos x
 cos x sin x 
1
1
2
+ 2 − 1 có một nguyên hàm là
Câu 41. Hàm số F ( x) = 3x −
x x
1
−x.
x
1
C. f ( x) = x 3 − 2 x + .
x

1
−x.
x
1
1
x − −x.
D. f ( x ) = x 3 −
2
x
1
1
 2 1

+ 2 − 1÷dx = x 3 − 2 x − 2 − x + C

Hướng dẫn giải: Ta có ∫ F ( x)dx = ∫  3 x −
x
x x


cos x
Câu 42. Hàm số f ( x) =
có một nguyên hàm F ( x) bằng
sin 5 x
1
1
4
−4
A. −
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
4
4
4sin x
4sin x
sin x
sin 4 x
cos x
1

1
+C
Hướng dẫn giải: ∫ f ( x )dx = ∫ 5 dx = ∫ 5 d (sin x) = −
sin x
sin x
4sin 4 x
A. f ( x ) = x 3 − 2 x −

B. f ( x) = x 3 − x −

Câu 43. Kết quả tính ∫ 2 x 5 − 4 x 2 dx bằng
A. −

1
6

( 5 − 4x )

2 3

3
( 5 − 4 x2 ) + C .
8
3
1
5 − 4 x2 ) + C .
D. −
(
12

+C .

B. −

3
1
5 − 4 x2 ) + C .
(
6
Hướng dẫn giải: Đặt t = 5 − 4 x 2 ⇒ tdt = −4 xdx
3
1
1
1
5 − 4x2 ) + C
Ta có ∫ 2 x 5 − 4 x 2 dx = − ∫ t 2 dt = − t 3 + C = −
(
2
6
6
sin x
Câu 44. Kết quả ∫ e cos xdx bằng

C.

A. esin x + C .

B. cos x.esin x + C .
C. ecos x + C .
sin x

sin x
sin x
Hướng dẫn giải: Ta có ∫ e cos xdx = ∫ e d (sin x) =e + C
Câu 45. Tính

∫ tan xdx

bằng

A. − ln cos x + C .

B. ln cos x + C .

C.

Hướng dẫn giải: Ta có ∫ tan xdx = − ∫
Câu 46. Tính

∫ cot xdx

D. e − sin x + C .

1
+C .
cos 2 x

D.

−1
+C .

cos 2 x

1
d (cos x) = − ln cos x + C
cos x

bằng

A. ln sin x + C .

B. − ln sin x + C .

Hướng dẫn giải: Ta có ∫ cot xdx = ∫
Câu 47. Nguyên hàm của hàm số y =

C.

−1
+C .
sin 2 x

D.

1
−C .
sin 2 x

1
d (sin x) = ln sin x + C
sin x

x3
là
x −1

Trang
10/34


1 3 1 2
1
1
x + x + x + ln x − 1 + C .
B. x 3 + x 2 + x + ln x + 1 + C .
3
2
3
2
1
1
1
1
C. x3 + x 2 + x + ln x − 1 + C .
D. x 3 + x 2 + x + ln x − 1 + C .
6
2
3
4
3
x

1
Hướng dẫn giải: Ta có
. Sử dụng bảng nguyên hàm suy
= x2 + x + 1 +
x −1
x −1
ra đáp án.
x2 − 2 x + 3
Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
là
x +1
x2
x2
A.
B.
.
− 3 x + 6 ln x + 1 .
+ 3 x + 6 ln x + 1
2
2
x2
x2
C.
D.
+ 3 x − 6 ln x + 1 .
− 3 x + 6 ln ( x + 1) .
2
2
x2 − 2 x + 3
6

Hướng dẫn giải: f ( x ) =
. Sử dụng bảng nguyên hàm.
= x −3+
x +1
x +1
1
dx bằng
Câu 49. Kết quả tính ∫
x ( x + 3)
A.

1
x
ln
+C .
3 x+3
2 x+3
+C .
C. ln
3
x

1
x
+C .
B. − ln
3 x+3
2
x
+C .

D. ln
3 x+3

A.

Hướng dẫn giải:
Câu 50. Kết quả tính

1

1
1 1
1 
=  −
÷ . Sử dụng bảng nguyên hàm.
x ( x + 3) 3  x x + 3 

∫ x ( x − 3) dx

1 x−3
ln
+C .
3
x
1
x
+C .
C. ln
3 x+3
A.

bằng
1 x+3
ln
+C .
3
x
1
x
+C .
D. ln
3 x−3
B.

1
1 1
1
= 
− ÷. Sử dụng bảng nguyên hàm.
x ( x + 3) 3  x − 3 x 
1
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2
là
x + x−2
1 x −1
1 x+2
+C .
+C .
A. F ( x ) = ln
B. F ( x ) = ln

3 x+2
3 x −1
x −1
2
+C .
C. F ( x ) = ln
D. F ( x ) = ln x + x − 2 + C .
x+2
1
1 1
1 
= 
−
Hướng dẫn giải: f ( x ) = 2
÷ . Sử dụng bảng nguyên
x + x − 2 3  x −1 x + 2 
hàm.
Hướng dẫn giải:

2

1− x 
Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 
÷ là
 x 
1
1
A. F ( x ) = − − 2 ln x + x + C .
B. F ( x ) = − − 2 ln x + x + C
x

x
1
1
C. F ( x ) = − 2 ln x + x + C .
D. F ( x ) = − − 2 ln x − x + C .
x
x

.

Trang
11/34


2

2
1 2
 1 − x  1 − 2x + x
Hướng dẫn giải: f ( x ) = 
=
= 2 − + 1 . Sử dụng bảng nguyên
÷
2
x
x
x
 x 
hàm.
1

Câu 53. Nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2
với a ≠ 0 là
x − a2
1
x−a
1
x+a
ln
+C .
ln
+C .
A.
B.
2a x + a
2a x − a
1 x−a
1 x+a
+C .
+C .
C. ln
D. ln
a x+a
a x−a
1
1  1
1 
=
−
Hướng dẫn giải: 2


÷. Sử dụng bảng nguyên hàm.
2
x −a
2a  x − a x + a 
x
Câu 54. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
thoả mãn F ( 2 ) = 0 .
8 − x2
Khi đó phương trình F ( x ) = x có nghiệm là

A. x = 1 − 3 .

B. x = 1 .

C. x = −1 .

D. x = 0 .

Hướng dẫn giải: Đặt t = 8 − x 2 ⇒ t 2 = 8 − x 2 ⇒ −tdt = xdx
x
tdt
2
∫ 8 − x 2 dx = − ∫ t = −t + C = − 8 − x + C .

Vì F ( 2 ) = 0 nên C = 2 . Ta có phương trình − 8 − x 2 + 2 = x ⇔ x = 1 − 3
1
Câu 55. Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
và F ( 2 ) = 1 thì F ( 3) bằng
x −1
3

1
A. ln 2 + 1 .
B. ln .
C. ln 2 .
D. .
2
2
1
dx = ln x − 1 + C , vì F ( 2 ) = 1 nên C = 1 . F ( x ) = ln x − 1 + 1 ,
Hướng dẫn giải: ∫
x −1
thay x = 3 ta có đáp án.
ln x
Câu 56. Biết F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = ln 2 x + 1.
thoả mãn
x
1
F ( 1) = . Giá trị của F 2 ( e ) là
3
8
1
8
1
A. .
B. .
C. .
D. .
9
9
3

3
ln x
dx
Hướng dẫn giải: Đặt t = ln 2 x + 1 ⇒ tdt =
x
3

ln x
t
2
∫ ln x + 1. x dx = ∫ t dt = 3
8
Vậy F 2 ( e ) = .
9
2

(
+C =

ln 2 x + 1

)

3

3

F 1 =
+ C . Vì ( )

1
nên C = 0
3

1
π 
thỏa mãn F  ÷ = −1 là
2
sin x
4
2
2
π
π
A. − cot x + x 2 −
.
B. cot x − x 2 +
.
16
16
π2
C. − cot x + x 2 .
D. cot x − x 2 −
.
16
1 

π 
π2
2

Hướng dẫn giải: ∫  2 x + 2 ÷dx = x − cot x + C . F  ÷ = −1 nên C = −
.
sin x 

4
16

Câu 57. Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 2 x +

Trang
12/34


4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2 x.sin x .
cos3 x
+C .
∫
3
sin 2 x
C. ∫ f ( x)dx = −
+C .
2

cos3 x
+C .
∫
3
sin 2 x
D. ∫ f ( x)dx =

+C .
2
cos3 x
Hướng dẫn giải: ∫ cos 2 x sin xdx = − ∫ cos 2 xd (cos x) = −
+C
3
sin 2 x
Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
cos 2 x − 1
A. ∫ f ( x)dx = − ln sin x + C .
B. ∫ f ( x)dx = ln cos 2 x − 1 + C .
A.

f ( x )dx = −

B.

f ( x)dx =

C. ∫ f ( x)dx = ln sin 2 x + C .
D. ∫ f ( x)dx = ln sin x + C .
Hướng dẫn giải
d ( sin x )
sin 2 xdx
2sin x cos x
cos x
∫ cos 2 x − 1 = ∫ 1 − 2sin 2 x + 1 dx = − ∫ sin x dx = −∫ sin x = − ln sin x + C
Câu 60. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x.cos 2 x.dx .
1

1
−2 cos3 x
A. ∫ f ( x)dx =
B. ∫ f ( x)dx = cos 3x + sin x + C .
+ cos x + C .
6
2
3
3
1
1
cos x
C. ∫ f ( x)dx =
D. ∫ f ( x)dx = cos 3x − sin x + C .
+ cos x + C .
6
2
3
Hướng dẫn giải
−2 cos3 x
2
2
∫ sin x.cos 2 xdx = ∫ ( 2 cos x − 1) sin xdx = − ∫ ( 2 cos x − 1) d ( cos x ) = 3 + cos x + C
Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2sin x.cos 3 x .
1
1
1
1
A. ∫ f ( x)dx = cos 2 x − cos 4 x + C .
B. ∫ f ( x)dx = cos 2 x + cos 4 x + C .

2
4
2
4
4
2
4
2
C. ∫ f ( x)dx = 2 cos x + 3cos x + C .
D. ∫ f ( x ) dx = 3cos x − 3cos x + C .
Hướng dẫn giải:

1

1

∫ 2sin x.cos 3xdx = ∫ ( sin 4 x − sin 2 x ) dx = 2 cos 2 x − 4 cos 4 x + C .

Câu 62. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3 x.sin 3 x .
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
−
A. ∫ f ( x)dx = 
÷−  x −
÷+ C .
8 2
4  8
6 
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 

−
B. ∫ f ( x)dx = 
÷+  x −
÷+ C .
8 2
4  8
6 
1  sin 2 x sin 4 x  3 
sin 6 x 
−
C. ∫ f ( x)dx = 
÷−  x −
÷+ C .
8 2
4  8
6 
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
+
D. ∫ f ( x)dx = 
÷−  x +
÷+ C .
8 2
4  8
6 
Hướng dẫn giải
3sin x − sin 3x
3
.sin 3 xdx
∫ sin x.sin 3xdx = ∫

4
3
1
3
1
= ∫ 2sin x.sin 3 xdx − ∫ 2sin 2 3 xdx = ∫ ( cos 2 x − cos 4 x ) dx − ∫ ( 1 − cos 6 x ) dx
8
8
8
8
3  sin 2 x sin 4 x  1 
sin 6 x 
= 
−
÷−  x −
÷+ C
8 2
4  8
6 
Câu 63. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin 3 x.cos 3 x + cos 3 x.sin 3 x .
Trang
13/34


−3

3

A.

∫ f ( x)dx = 16 cos 4 x + C .

B.

∫ f ( x)dx = 16 cos 4 x + C .

C.

∫ f ( x)dx = 16 sin 4 x + C .

D.

∫ f ( x)dx = 16 sin 4 x + C .

−3

Hướng dẫn giải:

3

cos 3 x + 3cos x
 3sin x − sin 3 x

x.cos 3 x + cos3 x.sin 3 x ) .dx = ∫ 
.cos 3 x +
.sin 3 x ÷dx
4
4



3
3

= ∫  sin x.cos 3 x − sin 3 x.cos 3 x + sin 3 x.cos x + sin 3 x.cos 3 x ÷dx
4
4

3
3
−3
= ∫ ( sin x.cos 3x + sin 3 x.cos x ) dx = ∫ sin 4 xdx = cos 4 x + C
4
4
16
x
π  π
Câu 64. Tìm một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) = sin 2 biết F  ÷ = .
2
2 4
x sin x 1
+ .
A. F ( x ) = −
B.
2
2
2
x sin x 3
F ( x) = +
+ .
2

2
2
x sin x 1
+ .
C. F ( x ) = +
D.
2
2
2
x sin x 5
F ( x) = +
+ .
2
2
2
Hướng dẫn giải
x
1
x 1
• F ( x) = ∫ sin 2 dx = ∫ ( 1 − cos x ) dx = − sin x + C
2
2
2 2
π 1 π
π
1
π  π
• F  ÷ = ⇔ − sin + C = ⇔ C =
4 2
2

4
2
2 4
4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.
e− x 
x
f
(
x
)
=
e
ln
2
+
Câu 65. Hàm số

÷ có họ nguyên hàm là
sin 2 x 


∫ ( sin

3

x
A. F ( x ) = e ln 2 − cot x + C .
1
+C .
C. F ( x ) = e x ln 2 +

cos 2 x

x
B. F ( x ) = e ln 2 + cot x + C .
1
+C .
D. F ( x ) = e x ln 2 −
cos 2 x
1 
 x
x
Hướng dẫn giải: ∫ f ( x )dx = ∫  e ln 2 + 2 ÷dx = e ln 2 − cot x + C
sin
x


x
x x
Câu 66. Hàm số f ( x) = 3 − 2 .3 có nguyên hàm bằng

3x
6x
−
+C .
ln 3 ln 6
3x 3x.2 x
C.
+
+C .
ln 3 ln 6

B. 3x ln 3(1 + 2 x ln 2) + C .

A.

D.

3x
6x
+
+C .
ln 3 ln 3.ln 2

3x
6x
+
+C
∫
ln 3 ln 6
Câu 67. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x ) = (e − x + e x )2 thỏa mãn điều kiện F (0) = 1
là
1
1
A. F ( x) = − e −2 x + e 2 x + 2 x + 1 .
B. F ( x) = −2e −2 x + 2e 2 x + 2 x + 1 .
2
2
1 −2 x 1 2 x
1
1

F ( x) = − e −2 x + e 2 x + 2 x − 1 .
C. F ( x) = − e + e + 2 x .
D.
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:

f ( x)dx = ∫ ( 3x + 6 x ) dx =

Trang
14/34


1
1
Hướng dẫn giải: Ta có F ( x) = − e −2 x + e 2 x + 2 x + C , F (0) = 1 ⇔ C = 1
2
2
2x −1
Câu 68. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
x +1
A. F ( x ) = 2 x − 3ln x + 1 + C .
B. F ( x ) = 2 x + 3ln x + 1 + C .
C. F ( x ) = 2 x − ln x + 1 + C .

D. F ( x ) = 2 x+ ln x + 1 + C .

2x −1
3 

dx = ∫  2 −
÷dx = 2 x − 3ln x + 1 + C
x +1
x +1 

2 x2 + 2x + 3
Câu 69. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
2x +1
1
5
1
2
2
A. F ( x ) = ( 2 x + 1) + ln 2 x + 1 + C .
B. F ( x ) = ( 2 x + 1) + 5ln 2 x + 1 + C .
8
4
8
2
2
C. F ( x ) = ( 2 x + 1) + ln 2 x + 1 + C .
D. F ( x ) = ( 2 x + 1) − ln 2 x + 1 + C .
Hướng dẫn giải:
 2x +1

2x2 + 2 x + 3

5
1
5
2
dx
=
+

∫ 2x +1
∫  2 2 ( 2 x + 1) ÷÷dx = 8 ( 2 x + 1) + 4 ln 2 x + 1 + C


x3 − x
Câu 70. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = 2
.
x +1
x2
x2
A. F ( x ) = − ln ( x 2 + 1) + C .
B. F ( x ) = + ln ( x 2 + 1) + C .
2
2
2
2
2
2
C. F ( x ) = x − ln ( x + 1) + C .
D. F ( x ) = x + ln ( x + 1) + C .
Hướng dẫn giải:

∫

d ( x 2 + 1) x 2
x3 − x
2x 
x2

Hướng dẫn giải: ∫ 2
dx = ∫  x − 2 ÷dx = − ∫
= − ln ( x 2 + 1) + C
2
x +1
x
+
1
2
x
+
1
2


1
Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
x ln x + x
A. F ( x ) = ln ln x + 1 + C .
B. F ( x ) = ln ln x − 1 + C .
C. F ( x ) = ln x + 1 + C .
Hướng dẫn giải:

D. F ( x ) = ln x + 1 + C .

d ( ln x + 1)
1
dx
=
∫ x ( ln x + 1)
∫ ( ln x + 1) = ln ln x + 1 + C

Câu 72. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
x
x
A. F ( x ) = e − ln ( e + 1) + C .
x
C. F ( x ) = ln ( e + 1) + C .

e2 x
.
ex + 1
x
x
B. F ( x ) = e + ln ( e + 1) + C .
2x
x
D. F ( x ) = e − e + C .

d ( e x + 1)
 x
e2 x

ex 
x
dx = ∫  e − x
= e x − ln ( e x + 1) + C
Hướng dẫn giải: ∫ x
÷dx = e − ∫ x
e +1
e +1 
e +1

4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.
1
Câu 73. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
x +1
A.
C.

∫ f ( x ) dx = 2 x − 2 ln ( 1 + x ) + C .
∫ f ( x ) dx = ln ( 1 + x ) + C .

∫ f ( x ) dx = 2 x + 2 ln ( 1 + x ) + C .
D. ∫ f ( x ) dx = 2 + 2 ln ( 1 + x ) + C .
B.

Hướng dẫn giải
2
Đặt t = 1 + x ⇒ x = ( t − 1) ⇒ dx = 2 ( t − 1) dt .

Trang

15/34


Khi đó
=2

(

1

∫ 1+

x

2 ( t − 1) dt
 1
= 2∫ 1 − ÷dt = 2 ( t − ln t ) + C1
t
 t

dx = ∫

)

(

)

x + 1 − ln 1 + x + C1 = 2 x − 2 ln 1 + x + C . (Với C = 2 + C1 và 1 + x > 0 )

Câu 74. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
2

A.

∫ f ( x ) dx = 3 ( x + 4 )

C.

∫ f ( x ) dx = 2 ( x + 1)

x+2
.
x +1

x +1 + C .

B.

∫ f ( x ) dx = ( x + 4 )

+C .

D.

∫ f ( x ) dx =

x
x +1

x +1 +

x +1 + C .
1
+C .
x +1

x+2
1 
2

dx = ∫  x + 1 +
÷d ( x + 1) = 3 ( x + 4 ) x + 1 + C
x +1
x +1 

2x −1
Câu 75. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
1− x
2
2
A. ∫ f ( x ) dx = − ( 2 x + 1) 1 − x + C .
B. ∫ f ( x ) dx = ( 2 x + 1) 1 − x + C .
3
3
1
2
+C .
C. ∫ f ( x ) dx = − ( 2 x − 1) 1 − x + C .

D. ∫ f ( x ) dx = −2 1 − x +
1− x
3
Hướng dẫn giải
2x −1
1 

∫ 1 − x dx = − ∫  −2 1 − x + 1 − x ÷ d ( 1 − x )
3
1
2
2
= ( 1 − x ) 2 − 2 ( 1 − x ) 2 + C = − ( 2 x + 1) 1 − x + C
3
3
x
Câu 76. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
3x 2 + 2
1
1
3x 2 + 2 + C .
3x 2 + 2 + C .
A. ∫ f ( x ) dx =
B. ∫ f ( x ) dx = −
3
3
1
2
3x 2 + 2 + C .

3x 2 + 2 + C .
C. ∫ f ( x ) dx =
D. ∫ f ( x ) dx =
6
3
2
x
1 d ( 3x + 2 ) 1
Hướng dẫn giải: ∫
dx = ∫
=
3x 2 + 2 + C
2
2
6
3
3x + 2
3x + 2
3
x
Câu 77. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) =
.
4 − x2
1 2
1 2
2
2
A. ∫ f ( x ) dx = − ( x + 8 ) 4 − x + C .
B. ∫ f ( x ) dx = ( x + 8 ) 4 − x + C .
3

3
1
2 2
2
4 − x2 + C .
C. ∫ f ( x ) dx = −
D. ∫ f ( x ) dx = − ( x + 8 ) 4 − x + C .
3
3
2
2
2
Hướng dẫn giải: Đặt t = 4 − x ⇒ x = 4 − t ⇒ xdx = −tdt . Khi đó
Hướng dẫn giải:

∫

(
=

x3
4 − x2

∫

( 4 − t ) ( −tdt ) =
2

dx = ∫

4 − x2

)

t

2
∫ ( t − 4 ) dt =

t3
− 4t + C
3

3

1 2
( x + 8) 4 − x 2 + C
3
3
4.1.5. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
1− x
1− x
Câu 78. Tính F ( x ) = ∫ (2 x − 1)e dx = e ( Ax + B ) + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng:
− 4 4 − x2 + C = −

Trang
16/34


A. −3 .

B. 3 .
C. 0 .
D. 5 .
Hướng dẫn giải:
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng.
u và đạo hàm
dv và nguyên hàm
của u
++
của v
2x −1
e1− x
-+
2
−e1− x
0
e1− x
Do đó F ( x) = −(2 x − 1)e1− x − 2e1− x + C = e1− x (−2 x − 1) + C .
Vậy A + B = −3 .
x
x
Câu 79. Tính F ( x) = ∫ e cos xdx = e ( A cos x + B sin x ) + C . Giá trị của biểu thức A + B bằng
A.1.
B. −1 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải:
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng
u và đạo hàm
dv và nguyên hàm
của u

++
của v
x
cos x
e
-+
sin x
ex
x
++
− cos x
e
Do đó F ( x) = e x sin x + e x cos x − F ( x) + C1 hay F ( x) =

D. −2 .

1 x
e sin x + e x cos x + C .
2

(

Vậy A + B = 1 .
6
8
7
Câu 80. Tính F ( x) = ∫ 2 x(3 x − 2) dx = A(3 x − 2) + Bx(3x − 2) + C .

)

Giá

trị

của

biểu

thức

12 A + 11B là

A. 1.

B. −1 .

C.

12
.
11

D. −

12
.
11

Hướng dẫn giải:
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng

u và đạo hàm
dv và nguyên hàm
u
của
của v
2x
(3x − 2)6
++
2
1
(3 x − 2)7
-+
21
0
1
(3 x − 2)8
504
2
1
(3 x − 2)8 + C . Vậy 12 A + 11B = 1 .
Do đó F ( x) = x(3 x − 2)7 −
21
252
2
2
2
3
Câu 81. Tính F ( x) = ∫ x x − 1dx = ax ( x − 1) x − 1 + bx( x − 1) x − 1 + c( x − 1) x − 1 + C . Giá trị
của biểu thức a + b + c bằng:
2

−2
142
−142
A.
B.
C.
D.
7
7
105
105
Hướng dẫn giải:
Phương pháp tự luận:
Đặt u = x 2 , dv = x − 1dx ta được
2
8
16
F ( x) = ∫ x 2 x − 1dx = x 2 ( x − 1) x − 1 − x( x − 1) 2 x − 1 +
( x − 1)3 x − 1 + C
3
15
105
−82
Vậy a + b + c =
.
105

Trang
17/34

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
u và đạo hàm
dv và nguyên hàm
của u
của v
2
1
x
+
( x − 1) 2
3
2x
2
( x − 1) 2
3
5
2
4
( x − 1) 2
15
+
7
0
8
( x − 1) 2
105
2
8
16

F ( x) = ∫ x 2 x − 1dx = x 2 ( x − 1) x − 1 − x( x − 1) 2 x − 1 +
( x − 1)3 x − 1 + C
3
15
105
2
Vậy a + b + c = .
7

)

(

2
Câu 82. Tính F ( x ) = ∫ ln x + 1 + x dx . Chọn kết quả đúng:

(
C. F ( x) = x ln ( x +

)
1+ x ) +

B. F ( x) =

2
2
A. F ( x ) = x ln x + 1 + x − 1 + x + C .
2

1

1 + x2

+C .

(

1+ x2 + C .

)

2
2
D. F ( x) = ln x + 1 + x − x 1 + x + C .

Hướng dẫn giải
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với

(

)

u = ln x + 1 + x 2 ; dv = dx
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
dv và nguyên hàm của
u và đạo hàm của u
v

(

ln x + 1 + x 2

)

1

+

1

(Chuyển

1 + x2
1
1 + x2

x
qua dv )
x

1
0

(Nhận

1 + x2
1

1 + x2

từ u )

1 + x2

2

Câu 83. Hàm số f ( x) có đạo hàm f '( x ) = x 3e x và đồ thị hàm số f ( x ) đi qua gốc tọa độ
O . Chọn kết quả đúng:
2
1
1 2 1
A. f ( x) = x 2 e x − e x + .
2
2
2
2
1
1 2 1
C. f ( x) = x 2 e x − e x − .
2
2
2
Hướng dẫn giải:

1 2 x2 1 x2 1
xe + e − .
2
2
2
2
1

1 2 1
D. f ( x) = x 2 e x + e x + .
2
2
2
B. f ( x ) =

Trang
18/34


Phương pháp tự luận: Đặt u = x 2 , dv = xe x

2

chọn du = 2 xdx, v =

1 x2
e ta được
2

1 2 x2 1 x2
1
x e − e + C . Đồ thị đi qua O(0;0) nên C = .
2
2
2
Phương pháp trắc nghiệm:
u và đạo hàm của
dv và nguyên hàm

u
của v
2
2
+
x
xe x
2 x (chuyển 2 x qua
1 x2
e
dv )
2
2
1
xe x (nhận 2 x từ u )
0
1 x2
e
2
2
1
1 2
1
f ( x ) = x 2 e x − e x + C . Đồ thị đi qua O(0;0) nên C = .
2
2
2
f ( x) =

Câu 84. Tính F ( x) = ∫ x 2 − 1dx bằng:

1
1
1
1
x x 2 − 1 − ln x + x 2 − 1 + C .
B. F ( x ) = x x 2 − 1 + ln x + x 2 − 1 + C .
2
2
2
2
1
1
1
1
C. F ( x ) = x x 2 − 1 − ln x − x 2 − 1 + C .
D. F ( x ) = x x 2 − 1 + ln x − x 2 − 1 + C .
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = 0
d
Nhập máy tính
( F ( x) ) − f ( x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên trong
dx
tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn.
Cách 2: Đặt u = x 2 − 1, dv = dx ta được F ( x) = x x 2 − 1 − F ( x) − J ( x)
dx
2

với J ( x) = ∫ 1
, bằng cách đặt u = x + x 2 − 1 ta được J ( x) = ln x + x − 1 + C
x −1
1
1
Vậy F ( x) = x x 2 − 1 − ln x + x 2 − 1 + C .
2
2
A. F ( x ) =

4.1.6. ÔN TẬP
Câu 85. Kết quả của

∫ sin

2

x cos xdx bằng

1
A. sin 3 x + C .
3

B. sin 3 x + C .

1
C. − sin 3 x + C .
D. − sin 3 x + C .
3
1

Hướng dẫn giải: Ta có ∫ sin 2 x cos xdx = ∫ sin 2 xd (sin x) = − sin 3 x + C .
3
2
Câu 86. Tính ∫ cos x sin xdx bằng
1
A. − cos3 x + C .
3

B. − cos3 x + C .

C.

1
cos3 x + C .
3

D. cos3 x + C .

1
Hướng dẫn giải: Ta có ∫ cos 2 x sin xdx = − ∫ cos 2 xd (cos x) = − cos3 x + C .
3
3
Câu 87. Kết quả của ∫ sin xdx bằng
A.

co s3 x
− cos x + C .
3

B. −

co s3 x
− cos x + C .
3
Trang
19/34


C. 3sin 2 x.cos x + C .

D.

Hướng

co s3 x
− cos x + C .
6

dẫn
1
3
2
2
3
∫ sin xdx = ∫ (1 − cos x)sin xdx = −∫ (1 − cos x)d (cos x) = 3 cos x − cos x + C .
3
Câu 88. Kết quả của ∫ cos xdx bằng

sin 3 x
+C .

3
sin 3 x
C. 3sin 2 x.cos x + C .
D. − sin x −
+C .
3
Hướng
dẫn
1 3
3
2
2
∫ cos xdx = ∫ (1 − sin x) cos xdx = ∫ (1 − sin x)d (sin x) = sin x − 3 sin x + C .
4
Câu 89. Kết quả của ∫ sin x cos xdx bằng
A. sin x −

sin 3 x
+C .
3

giải:

B. sin x +

1
A. sin 5 x + C .
5

1

B. − sin 5 x + C .
5

C. sin 5 x + C .

giải:

D. − sin 5 x + C .

1
Hướng dẫn giải: Ta có ∫ sin 4 x cos xdx = ∫ sin 4 xd (sin x) = sin 5 x + C .
5
tan x
e
Câu 90. Tính ∫
dx bằng
cos 2 x
A. e tan x + C .
B. tan x.e tan x + C .
C. e − tan x + C .
D. −e tan x + C .
e tan x
Hướng dẫn giải: ∫
dx = ∫ e tan x d (tan x) = e tan x + C .
cos 2 x
1
dx bằng:
Câu 91. Tính ∫
x cos 2 x
1

A. 2 tan x + C .
B. tan x + C .
C. tan 2 x + C .
D. tan x + C .
2
1
1
dx = 2 ∫
d ( x ) = 2 tan x + C .
Hướng dẫn giải: ∫
x cos 2 x
cos 2 x
3x 2
Câu 92. Tính ∫ 3 dx bằng
x +1
4 x3
B. 4
C. ln( x 3 + 1) + C .
+C .
x + 4x
2
3x
1
Hướng dẫn giải: ∫ 3 dx = ∫ 3
d ( x3 + 1) = ln x3 + 1 + C .
x +1
x +1
6 x 2 − 12 x
Câu 93. Tính ∫ 3
dx bằng

x − 3x 2 + 6
3
A. ln x + 1 + C .

x3
D. 4
+C .
x +x

3
2
A. 2 ln x − 3 x + 6 + C .

3
2
B. ln x − 3 x + 6 + C .

1
C. ln x3 − 3x 2 + 6 + C .
2

D. 2 ln( x 3 − 3 x 2 + 6) + C .

Hướng dẫn giải:
Câu 94. Tính

6 x 2 − 12 x
1
3
2

3
2
∫ x3 − 3x 2 + 6dx = 2∫ x3 − 3x 2 + 6d ( x − 3x + 6) = 2 ln x − 3x + 6 + C .

4 x3 + 2 x
∫ x 4 + x 2 + 3dx bằng

4
2
A.. ln x + x + 3 + C .

4
2
B. 2 ln x + x + 3 + C .

Trang
20/34


1
C. ln x 4 + x 2 + 3 + C .
2
Hướng dẫn giải:
Câu 95. Tính

D. −2 ln( x 4 + x 2 + 3) + C .

4 x3 + 2 x
1
4

2
4
2
∫ x 4 + x2 + 3dx = ∫ x4 + x 2 + 3d ( x + x + 3) = ln x + x + 3 + C .

x2 + 1
∫ x3 + 3x − 1dx bằng

1
A. ln x 3 + 3x − 1 + C .
3

3
B. ln x + 3x − 1 + C .

1
D. ln( x 3 + 3x − 1) + C .
3
2
x +1
1
1
1
Hướng dẫn giải: ∫ 3
dx = ∫ 3
d ( x 3 + 3x − 1) = ln x 3 + 3 x − 1 + C .
x + 3x − 1
3 x + 3x − 1
3
6 x −5

Câu 96. Tính ∫ e dx bằng
3
C. ln x + 3x − 1 + C .

1
A. e6 x −5 + C .
6

B. e 6 x −5 + C .

Hướng dẫn giải:
Câu 97. Tính

∫e

− x −5

∫e

6 x −5

dx =

C. 6e6 x −5 + C .

e6 x +5 − C .

1 6 x −5
1
e d (6 x − 5) = e6 x −5 + C .

∫
6
6

dx bằng

A. −e − x −5 + C .

B. e − x −5 + C .
C. e x +5 + C .
− x −5
− x −5
− x −5
+C .
Hướng dẫn giải: ∫ e dx = − ∫ e d (− x − 5) = −e
Câu 98. Tính

D.

∫ ( 5 − 9x )

12

D. −e x +5 + C .

dx bằng

(5 − 9 x)13
(5 − 9 x)13
(5 − 9 x)13

C.
D.
+C .
+C .
+C .
117
13
9
1
(5 − 9 x)13
12
12
Hướng dẫn giải: ∫ ( 5 − 9 x ) dx = − ∫ ( 5 − 9 x ) d (5 − 9 x) = −
+C .
9
117
π

Câu 99. Tính ∫ cos  5 x + ÷dx bằng
4

1 
π
π

A. sin  5 x + ÷+ C .
B. sin  5 x + ÷+ C .
5 
4
4


π
1 
π

− sin  5 x + ÷+ C .
C. −5sin  5 x + ÷+ C .
D.
4
5 
4

π
1
π 
π 1 
π


Hướng dẫn giải: ∫ cos  5 x + ÷dx = ∫ cos  5 x + ÷d  5 x + ÷ = sin  5 x + ÷+ C .
4
5
4 
4 5 
4


1
dx
∫

π  bằng
Câu 100. Tính
2
cos  x + ÷
4

π
π


A. tan  x + ÷+ C .
B. 4 tan  x + ÷+ C .
4
4


π
1
π


tan  x + ÷+ C .
C. − tan  x + ÷+ C .
D.
4
4
4


1

1
π
π


dx = ∫
d  x + ÷ = tan  x + ÷+ C
∫
π
π
Hướng dẫn giải:
.
4
4



cos 2  x + ÷
cos 2  x + ÷ 
4
4


A. −

(5 − 9 x)13
+C .
117

B.

Trang
21/34


Câu 101. Tính

1

∫ (cos x + sin x)

2

dx bằng

1
π

A. − cot  x + ÷+ C .
2
4

π

C. − cot  x + ÷+ C .
4

Hướng dẫn giải
1
1

∫ (cos x + sin x)2 dx = 2 ∫

1
π

B. cot  x + ÷+ C .
2
4

1
π

− cot  x + ÷+ C .
D.
4
4

1

π

sin 2  x + ÷
4


12 x + 5
dx bằng
3x + 1
1
A. 4 x + ln 3 x + 1 + C .

3

Câu 102. Tính

dx =

1
2∫

π
1
π


d  x + ÷ = − cot  x + ÷+ C
π
4
2
4


sin 2  x + ÷ 
4


1

∫

6x2 + 5x

+C .
x3 + x
1
4 x + ln(3 x + 1) + C
C. 4 x + ln 3 x + 1 + C .
D.
3
12 x + 5
1 
1

dx = ∫  4 +
Hướng dẫn giải: ∫
÷dx = 4 x + ln 3 x + 1 + C .
3x + 1
3x + 1 
3

2
2x + x
Câu 103. Tính ∫
dx bằng
2x −1
B.

.

x2
1
x2

B. + x + ln 2 x − 1 + C .
+ x + ln 2 x − 1 + C .
2
2
2
2
x
1
x2
C.
D.
+ x + ln(2 x − 1) + C .
+ x + 2 ln(2 x − 1) + C .
2
2
2
2x2 + x
1 
x2
1

dx = ∫  x + 1 +
dx
=
+ x + 2x −1 + C .
Hướng dẫn giải: ∫
÷
2x −1
2x −1 
2

2

−x
dx bằng
Câu 104. Tính ∫
( x + 1) 2
A.

1
− ln x + 1 + C .
x +1
1
+ ln x + 1 + C .
C. −
x +1

1
− ln x + 1 + C .
x +1
1
−
− ln( x + 1) + C .
D.
x +1
 1
−x
1 
1
dx = ∫ 
−

− ln x + 1 + C .
Hướng dẫn giải: ∫
÷dx = −
2
2
( x + 1)
x +1 
x +1
 ( x + 1)
A. −

Câu 105. Tính

∫ sin x(2 + cos x)dx

B.

bằng

1
A. −2 cos x − cos 2 x + C
4
1
C. 2 cos x + cos 2 x + C
4

1
B. 2 cos x − cos 2 x + C
4
1

2 cos x + cos 2 x + C
D.
2
1
1
Hướng dẫn giải: ∫ sin x(2 + cos x)dx = ∫ (2sin x + sin 2 x) dx = − 2 cos x − cos 2 x + C .
2
4
x
Câu 106. Tính ∫ x.2 dx bằng:
x.2 x
2x
− 2 +C .
ln 2 ln 2
C. 2 x ( x + 1) + C .
A.

2 x ( x − 1)
+C .
ln 2
2 x ( x − 1) + C .
D.
B.

Trang
22/34


Hướng dẫn giải
 du = dx

u = x

x.2 x
2x
x.2 x
2x
x
x
⇒
Đặt 
.
Ta
có
x
2
dx
=
−
dx
=
−
+C .

2
x
∫
ln 2 ∫ ln 2
ln 2 ln 2 2
 dv = 2 dx v =


ln 2
Câu 107. Tính ∫ ln xdx bằng:
x2
ln x + C .
2
1
x ln x − + C .
x

A. x ln x − x + C .

B. x ln x −

1
C. ln x − x + C .
D.
x
Hướng dẫn giải
1

u = ln x du = dx
⇒
x . Ta có ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx =x ln x − x + C .
Đặt 
 dv = dx v = x

Câu 108. Tính ∫ 2 x ln( x − 1)dx bằng:
x2
− x+C .
2

x2
C. ( x 2 + 1) ln( x − 1) − − x + C .
2
Hướng dẫn giải
1

dx
u = ln( x − 1) du =
⇒
x −1
Đặt 
 dv = 2 xdx
v = x 2 − 1

A. ( x 2 − 1) ln( x − 1) −

x2
− x+C .
2
x2
2
( x − 1) ln( x − 1) − + x + C .
2

B. x 2 ln( x − 1) −
D.

Ta có ∫ 2 x ln( x − 1)dx = ( x 2 − 1) ln( x − 1) − ∫ ( x + 1) dx =( x 2 − 1) ln( x − 1) −

÷dx bằng:

x
A. − cos x + tan x + C .

Câu 109. Tính



x2
− x+C .
2

1

∫  sin x + cos

2

C. cos x − tan x + C .

B. cos x + tan x + C .
1
− cos x −
+C .
D.
cos x

1 

Hướng dẫn giải: Ta có ∫  sin x +
÷dx = − cos x + tan x + C

cos 2 x 

Câu 110. Hàm số F ( x) = ln sin x − cos x là một nguyên hàm của hàm số
sin x + cos x
.
sin x − cos x
1
C. f ( x ) =
.
sin x + cos x

sin x − cos x
.
sin x + cos x
1
f ( x) =
D.
.
sin x − cos x
(sin x − cos x) ' cos x + sin x
=
Hướng dẫn giải: Ta có F '( x) =
.
sin x − cos x
sin x − cos x
Câu 111. Một nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x ) = 3x 3 − 2 x 2 + 1 thỏa mãn điều kiện
A. f ( x ) =

B. f ( x) =

F (−2) = 3 là:
3 4 2 3
37
x − x +x− .
4
3
3
3 4 2 3
C. F ( x) = x − x + x .
4
3
Hướng dẫn giải
A. F ( x) =

3 4 2 3
x − x + x+C .
4
3
3 4 2 3
37
F ( x) = x − x + x + .
4
3
3

B. F ( x) =
D.

Trang
23/34

3
2
37
Ta có F ( x) = ∫ (3 x 3 − 2 x 2 + 1) = x 4 − x 3 + x + C và F (−2) = 3 ⇔ C = −
4
3
3
3
2
37
Vậy F ( x) = x 4 − x 3 + x − .
4
3
3
VẬN DỤNG CAO
4.1.1. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC.
− x3 + 5x + 2
Câu 112. Kết quả tính ∫
dx bằng
4 − x2
x2
x2
A. − ln 2 − x + C .
B.
+ ln 2 − x + C .
2
2
x3

x3
C.
D.
− ln 2 − x + C .
+ ln x − 2 + C .
3
3
Hướng dẫn giải
2
− x3 + 5 x + 2 x3 − 5 x − 2 ( x + 2 ) ( x − 2 x − 1)
1
=
=
= x−
. Sử dụng bảng nguyên hàm.
2
2
4− x
x −4
x−2
( x + 2) ( x − 2)
Câu 113. Họ nguyên hàm của f ( x ) = x 2 ( x 3 + 1) là
5

A. F ( x ) =

6
1 3
x + 1) + C
(

18

.

B. F ( x ) = 18 ( x 3 + 1) + C .
6

6
1 3
x + 1) + C .
(
9
3
2
Hướng dẫn giải: Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 3x dx . Khi đó
5
6
1 5
1 6
1 3
2
3
x
x
+
1
dx
=
t
dt

=
t
+
C
=
x
+
1
+C .
(
)
(
)
∫
3∫
18
18
x 2 + x + x3 + 1
Câu 114. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) =
là hàm số nào?
x3
1
1
1
1
A. F ( x ) = ln x − + x − 2 + C .
B. F ( x ) = ln x + + x − 2 + C .
x
2x
x

2x
3
2
3
2
x 3x
x 3x
C. F ( x ) = −
D. F ( x ) = +
+ ln x + C .
+ ln x + C .
3
2
3
2
x 2 + x + x3 + 1 1 1
1
Hướng dẫn giải: f ( x ) =
= + 2 + 1 + 3 . Sử dụng bảng nguyên
3
x
x x
x
hàm.
3
2
Câu 115. Giá trị m để hàm số F ( x ) = mx + ( 3m + 2 ) x − 4 x + 3 là một nguyên hàm của

C. F ( x ) = ( x 3 + 1) + C .
6

D. F ( x ) =

2
hàm số f ( x ) = 3 x + 10 x − 4 là:
A. m = 1 .
B. m = 0 .
C. m = 2 .
D. m = 3 .
2
3
2
Hướng dẫn giải: ∫ ( 3 x + 10 x − 4 ) dx = x + 5 x − 4 x + C , nên m = 1 .

3
4
Câu 116. Gọi F ( x ) là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin ( 2 x ) thoả mãn F ( 0 ) = . Khi
8
đó F ( x ) là:
3
1
1
3
1
1
A. F ( x ) = ( x + 1) − sin 4 x + sin 8 x .
B. F ( x ) = x − sin 4 x + sin 8 x .
8
8
64

8
8
64
3
1
1
3
3
C. F ( x ) = x − sin 2 x + sin 4 x + .
D. F ( x ) = x − sin 4 x + sin 6 x + .
8
8
64
8
8
Hướng dẫn giải

Trang
24/34


2

1
1 + cos8 x 
 1 − cos 4 x  1
2
sin ( 2 x ) = 
÷ = ( 1 − 2 cos 4 x + cos 4 x ) = 1 − 2 cos 4 x +
÷

2
4
4
2



3 cos 4 x cos8 x
= −
+
8
2
8
3
sin 4 x sin 8 x
 3 cos 4 x cos8 x 
4
+
+
+C .
Nên ∫ sin ( 2 x ) dx = ∫  −
÷dx = x −
2
8 
8
8
64
8
3
Vì F ( 0 ) = nên suy ra đáp án.

8
Câu 117. Biết hàm số f ( x ) = (6 x + 1)2 có một nguyên hàm là F ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d thoả
mãn điều kiện F (−1) = 20. Tính tổng a + b + c + d .
A. 46 .
B. 44 .
C. 36 .
D. 54 .
Hướng dẫn giải
2
2
3
2
∫ ( 6 x + 1) dx = ∫ ( 36 x + 12 x + 1) dx = 12 x + 6 x + x + C nên a = 12; b = 6; c = 1
4

Thay F (−1) = 20. d = 27 , cộng lại và chọn đáp án.
Câu 118. Hàm số f ( x ) = x x + 1 có một nguyên hàm là F ( x ) . Nếu F ( 0 ) = 2 thì F ( 3) bằng
146
116
886
105
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
15

15
105
886
Hướng dẫn giải: Đặt t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx
5
3
2 5 2 3
2
2
4
2
∫ x x + 1dx = ∫ ( 2t − 2t ) dt = 5 t − 3 t + C = 5 x + 1 − 3 x + 1 + C
34
Vì F ( 0 ) = 2 nên C =
. Thay x = 3 ta được đáp án.
15
Câu 119. Gọi F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) = x cos x thỏa mãn F ( 0 ) = 1 . Khi
đó phát biểu nào sau đây đúng?
A. F ( x ) là hàm số chẵn.

(

)

(

)

B. F ( x ) là hàm số lẻ.

C. Hàm số F ( x ) tuần hoàn với chu kì là 2π .

D. Hàm số F ( x ) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
Hướng dẫn giải
∫ x cos xdx = x sin x + cos x + C

F ( 0 ) = 1 nên C = 0 . Do đó F ( x ) là hàm số chẵn.
sin 2 x
Câu 120. Một nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x) =
thỏa mãn F ( 0 ) = 0 là
sin 2 x + 3
sin 2 x
ln 2 + sin 2 x
2
2
A. ln 1 +
.
B. ln 1 + sin x .
C.
.
D. ln cos x .
3
3
Hướng dẫn giải: Đặt t = sin 2 x + 3 ⇒ dt = 2sin x cos xdx
sin 2 x
dt
2
∫ sin 2 x + 3 dx = ∫ t = ln t + C = ln sin x + 3 + C
vì F ( 0 ) = 0 nên C = − ln 3 . Chọn đáp án.
4m

+ sin 2 x . Tìm m để nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) thỏa
Câu 121. Cho f ( x ) =
π
π  π
mãn F ( 0 ) = 1 và F  ÷ = .
4 8
3
3
4
4
A. − .
B. .
C. −
D. .
4
4
3
3
Trang
25/34