VDC tính đơn điệu của hàm số p2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (823.83 KB, 29 trang )
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ P2
Đề bài
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
Câu 1.
m
để hàm số
y = ( m2 − 3) sin x − tan x
nghịch
π π
− ; ÷
biến trên 2 2
A. 5 .
Câu 2.
Tìm
A.
Câu 3.
m để hàm số y = x
m ≤ 1.
Cho hàm số
Hàm số
A.
Câu 4.
C. 3 .
B. 1 .
3
y = f ( 1− x) +
( − 2;0) .
4.
− 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x + m + 2 đồng biến trên khoảng (2; + ∞ ) ?
B.
y = f ( x)
D.
m ≥ 1.
có đồ thị
f '( x)
C.
m < 1.
D.
m > 1.
như hình vẽ
x2
−x
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
2
B.
( − 3;1) .
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
C.
( 3;+ ∞ ) .
D.
( 1;3) .
m để hàm số y = sin 3 x - 3cos2 x - m sin x - 1 đồng
é 3p ù
êp; ú
biến trên đoạn ê
ë 2ú
û.
A.
m ³ - 3.
B.
m³ 0.
C.
m £ - 3.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
D.
m£ 0.
Trang 1 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Câu 5.
Giả sử
x0
là nghiệm của phương trình
Đề Trường A Lần X Năm 2019
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) . Cho hàm số y = f ( x ) = Mx
b c
M = max ;
a a . Tìm tất các các giá trị của tham số
nghịch biến trên
¡
Cho hàm số
tham số
A.
a sao cho hàm số g ( x ) = − f ( x ) + ax
.
x +1
a≤− 0
x0 .
B.
x02
a≤
x0 + 1 .
A.
Câu 6.
y = f ( x)
có đạo hàm
x02
a≤
x0 + 1 .
C.
f ¢( x) =- x3 +12 x + 2 , " x Î ¡
D.
a≤ −
x0 + 1
x02 .
. Tìm tất cả các giá trị của
m để hàm số g ( x) = f ( x) - mx + 2018 đồng biến trên khoảng ( 1;4)
m £ - 14 .
B.
m £ 13 .
C.
m <- 14 .
D.
y = f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( 3 x 4 + mx3 + 1)
m <13 .
2
Câu 7.
Cho hàm số
m để hàm số g ( x ) =
bao nhiêu số nguyên âm của tham số
với mọi
x∈ ¡
. Hỏi có
( ) đồng biến trên khoảng
f x2
( 0;+ ∞ ) ?
A. 3.
Câu 8.
A.
Câu 9.
B. 4.
Cho hàm số
Hàm số
y = f ( x)
(
C. 5.
)
y = f x 2 − 2 x + 1 + 2018
( −∞ ;1) .
B.
giảm trên khoảng
( 2;+ ∞ ) .
C.
m∈ [ − 2018;2018]
y = x 3 − 3 ( m 2 + 3m + 3) x 2 + 3 ( m 2 + 1) x + m + 2
( 0;1) .
Câu 10.
B.
( )
2018 .
Cho hàm số y = f x có đạo hàm liên tục trên
được cho như hình vẽ dưới đây.
D.
( 1;2) .
để hàm số
2
2017 .
D. 6.
có đồ thị như hình vẽ.
Số giá trị nguyên của tham số
A.
với
đồng biến trên trên
C.
¡
2019 .
( 1;+∞ )
D.
là
2016 .
. Bảng biến thiên của hàm số
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
y = f ′ ( x)
Trang 2 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
x
g ( x) = f 1− ÷+ x
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
2
A.
Câu 11.
( 2;4 ) .
Cho hàm số
Hàm số
A.
Câu 12.
B.
( − 2;0 ) .
y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x )
g ( x ) = f ( 3 − 2x )
( 0;2 ) .
Cho hai hàm số
C.
( 0;2 ) .
D.
( − 4; − 2) .
như hình bên dưới
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
B.
( 1;3) .
C.
( −∞ ; − 1) .
D.
( − 1; +∞ ) .
y = f ( x ) và y = g ( x ) . Hai hàm số y = f ′ ( x ) và y = g ′ ( x ) có đồ thị như hình
vẽ dưới đây, trong đó đường đậm hơn là đồ thị hàm số
y = g′ ( x) .
Hàm số
9
h ( x ) = f ( x + 7) − g 2x + ÷
2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
16
2; ÷
A. 5 .
3
− ;0÷
B. 4 .
16
; +∞ ÷
C. 5
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
13
3; ÷
D. 4 .
Trang 3 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
y = f ′( x)
y
10
8
5
4
O
8 1011
3
x
y = g′( x)
Câu 13.
Cho hàm số
f ( x)
số nguyên âm
2
có đạo hàm
2
m để hàm số g ( x ) = f ( x )
A. 3 .
Câu 14.
Cho hàm số
f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( 3 x 4 + mx 3 + 1)
B.
y = f ( x)
đồng biến trên khoảng
C. 5 .
4.
liên tục trên
với mọi
¡
x∈ ¡
. Có bao nhiêu
( 0;+∞ ) ?
D.
6.
có bảng biến thiên như sau:
Xét các mệnh đề sau:
1. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
2. Hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng
− 1.
3. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
(− ∞ ;5) .
4. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
(5; + ∞ ) .
5. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
Số mệnh đề đúng là
A. 3 .
Câu 15.
Cho hàm số
B.
y = f ( x)
4.
xác định và liên tục trên
C.
¡
2.
D. 1 .
và có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây sai?
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 4 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4.
C. Đường thẳng
Câu 16.
y = f ( x)
Hỏi hàm số
g ( x ) = f ( 3− 2x )
Câu 17.
( − 1; + ∞ ) .
Cho hàm số
của
A.
Câu 18.
có đạo hàm liên tục trên
B.
¡
và hàm số
y = f ′ ( x)
có đồ thị như hình vẽ.
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
( 1; 3) .
C.
f ( x ) = − x3 − mx 2 + ( 4m + 9 ) x + 5
( với
( 0; 2) .
D.
( −∞ ; − 1) .
m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên
m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞ ; + ∞ ) ?
7.
B.
6.
C. 5 .
D. 8 .
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Chọn kết luận sai trong các kết luận sau:
A. Hàm số đạt cực tiểu tại
x = 0.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 19.
tại 3 điểm phân biệt.
x = −2.
Cho hàm số
A.
( − 2;0) .
y = 2 cắt đồ thị y = f ( x)
D. Hàm số đạt cực tiểu tại
Đề Trường A Lần X Năm 2019
B. Đồ thị hàm số cắt trục
( 0;+ ∞ ) .
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên
biến trên khoảng nào dưới đây?
Oy
tại điểm
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
¡
( 0;1 ) .
( − 2; − 1 ) .
và có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho đồng
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 5 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
A.
Câu 20.
Câu 21.
Cho hàm số
B.
(− 1;0).
C.
(−∞;1).
D.
(1; + ∞ ).
y = x3 − 3x 2 − 9 x + 2 . Chọn kết luận đúng.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại
x = 3.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại
x = −1.
C. Hàm số đạt cực đại tại
x = 1.
D. Hàm số đạt cực đại tại
x = 3.
Hàm số
A.
Câu 22.
(0;1).
Đề Trường A Lần X Năm 2019
y = x3 − ( m + 2 ) x + m
m = −1 .
B.
đạt cực tiểu tại
x = 1 khi:
m= 2.
( )
Cho hàm số y = f x có đạo hàm liên tục trên
định nào sau đây sai?
C.
¡
m = −2.
và có đồ thị hàm số
D.
m = 1.
y = f ′ ( x)
( 1;+ ∞ ) .
B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2;1) .
C. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( − 1;1) .
D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞ ;− 2 ) .
Câu 23.
A. Hàm số
y = f ( x)
Cho hàm số
1
y = − x3 + ( m − 1) x 2 + ( m + 3) x − 4
. Tìm các giá trị của tham số
3
như hình vẽ. Khẳng
biến trên khoảng
A.
m≥
1
7.
đồng biến trên khoảng
m để hàm số đồng
( 0;3) .
B.
m ≤ −3.
C.
m≥
12
7.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
D.
m≤
12
7.
Trang 6 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Câu 24.
Câu 25.
π
0; ÷
nghịch biến trên khoảng 2 .
m ≥ 2.
D. − 1 < m < 1 .
B.
(
)
Cho hàm số f ( x ) , biết rằng hàm số y = f ′ x − 2 + 2 có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
3 5
; ÷
B. 2 2 .
( −∞ ;2 ) .
Tìm tất cả các giá trị
A.
Câu 27.
cos x − 2
cos x − m
m để hàm số
A. m ≥ 2 hoặc m ≤ − 2 .
C. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 .
Tìm
A.
Câu 26.
y=
Đề Trường A Lần X Năm 2019
m>4.
Cho hàm số
Hàm số
A.
m để hàm số
B.
y=
C.
mx + 4m - 8
x +2
m£ 4.
y = f ( x) . Hàm số y = f ′ ( x )
( 2;+∞ ) .
D.
y = f ( x)
( − 1;1) .
luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định
C.
m <4 .
D.
m³ 4.
D.
( 1;2) .
có đồ thị như hình vẽ dưới.
( ) nghịch biến trên nào dưới đây?
y = f x2
( −∞ ;0) .
B.
( − 1;1) .
C.
( 0;4) .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 7 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Câu 28.
S
Gọi
y=
A.
Đề Trường A Lần X Năm 2019
là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương và nhỏ hơn
x −2
x −m
nghịch biến trên khoảng
2014 .
B.
2018 của tham số m để hàm số
( 1;9) . Tính số phần tử của tập hợp S .
2015 .
C.
2017 .
D.
2018 .
Hướng dẫn giải
Câu 1.
[2D1-1.4-4]Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
y = ( m2 − 3) sin x − tan x
π π
− ; ÷
nghịch biến trên 2 2
A. 5 .
C. 3 .
B. 1 .
D.
4.
Lời giải
Chọn A
y′ = ( m 2 − 3) cos x −
1
cos 2 x .
π π
π π
− ; ÷ ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ − ; ÷
Hàm số nghịch biến trên 2 2
2 2
⇔ ( m 2 − 3) cos x −
1
π π
≤
0,
∀
x
∈
− ; ÷
cos 2 x
2 2
⇔ m2 − 3 ≤
1
π π
π π
,
∀
x
∈
−
;
cos
x
>
0,
∀
x
∈
÷
− ; ÷ ).
cos3 x
2 2 (Vì
2 2
⇔ m2 ≤ 3 +
1
π π
,∀ x ∈ − ; ÷
3
cos x
2 2 (*)
Cách 1:
−π π
−π π
∀x∈ ; ÷
∀
x
∈
; ÷.
3
Có 0 < cos x ≤ 1 ,
2 2 ⇔ 0 < cos x ≤ 1 ,
2 2
1
− π π ⇒ Min 3 + 3 ÷ = 4
1
⇔ 3 + 3 ≥ 4 ∀ x ∈ ; ÷ − π ;π ÷ cos x
,
.
2 2 2 2
cos x
Do đó (*) ⇔
m2 ≤ 4
Cách 2:
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 8 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đặt
t=
π π
x ∈ − ; ÷ ⇒ t ∈ ( 0;1]
.
cos x ; 2 2
Khi đó: (*) trở thành
g ( t) = 3+
Câu 2.
Đề Trường A Lần X Năm 2019
m 2 ≤ g ( t ) , ∀ t ∈ ( 0;1] .
1
3
g ′ ( t ) = − 4 < 0, ∀ t ∈ ( 0;1]
3 ;
.
t
t
Bảng biến thiên hàm số
g ( t ) , t ∈ ( 0;1] .
Vậy yêu cầu bài toán ⇔
m∈ ¢
m2 ≤ 4 ⇔ − 2 ≤ m ≤ 2 → m ∈ { − 2; − 1;0;1;2} .
[2D1-1.4-3]Tìm
m
để hàm số
y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x + m + 2 đồng biến trên khoảng
(2; + ∞ ) ?
A.
m ≤ 1.
B.
m ≥ 1.
C.
m < 1.
D.
m > 1.
Lời giải
Chọn A
Hàm số
Ta có
y = x3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x + m + 2
y′ = 3x 2 − 6mx + 3 ( m 2 − 1)
và
∆ ′y′ = 9 > 0, ∀ m
x = m−1
y′ = 0 ⇔
Nên
x = m+1
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên
Câu 3.
[2D1-1.3-3]Cho hàm số
y = f ( x)
có đồ thị
(2; + ∞ ) ⇔ m + 1 ≤ 2 ⇔ m ≤ 1 .
f '( x)
như hình vẽ
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 9 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
x2
y = f ( 1− x) + − x
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
2
A.
( − 2;0) .
B.
( − 3;1) .
C.
( 3;+ ∞ ) .
D.
( 1;3) .
Lời giải
Chọn A
x2
y = f ( 1− x) + − x
Xét hàm số
2
'
x2
y ' = f '( 1− x) + − x ÷ = − f '( 1− x) + x − 1
2
Để hàm số nghịch biến thì:
y ' ≥ 0 ⇔ − f '( 1− x) + x − 1 ≤ 0 ⇔ − f '( 1− x) ≤ 1− x ⇔ f '( 1− x) ≥ − ( 1− x)
Đặt
t = 1− x ⇒ f '( t ) ≥ − t
Dựa vào đồ thị
y = f '( t ) , y = − t
t ≤ − 3
f '( t ) ≥ −t ⇔
⇔
1 ≤ t ≤ 3
ta có
1 − x ≤ − 3
1 ≤ 1 − x ≤ 3 ⇔
Hàm số nghịch biến trên các khoảng:
x ≥ 4
−2 ≤ x ≤ 0
[ − 2;0] , [ 4; +∞ )
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng:
( − 2;0 ) , ( 4; +∞ )
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 10 Mã đề X
Sn phm ca Group FB: STRONG TEAM TON VD VDC
Cõu 4.
Trng A Ln X Nm 2019
[2D1-1.4-3]Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s
m hm s
ộ 3p ự
ờp; ỳ
y = sin x - 3cos x - m sin x - 1 ng bin trờn on ờở 2 ỳỷ.
3
A.
2
m - 3.
B.
m 0.
C.
m Ê - 3.
D.
mÊ 0.
Li gii
Chn B
y = sin 3 x - 3cos 2 x - m sin x - 1 = sin 3 x + 3sin 2 x - m sin x - 4
y Â= ( 3sin 2 x + 6sin x - m) .cos x
ộ 3p ự
ờp; ỳ
"x ẻ
Hm s ng bin trờn on ờ
ở 2ỳ
ỷ y  0 vi
ộ 3p ự
" x ẻ ờp ; ỳ
ờ
Vi
ở 2ỳ
ỷta cú
ộ 3p ự
ờp; ỳ
ờ
ở 2ỳ
ỷ.
cos x Ê 0 .
ộ 3p ự
" x ẻ ờp ; ỳ
"x ẻ
2
ờ
Do ú y  0 vi
ở 2ỳ
ỷ 3sin x + 6sin x - m Ê 0 vi
ộ 3p ự
ờp ; ỳ
ờ
ở 2ỳ
ỷ
ộ 3p ự
" x ẻ ờp; ỳ
ờ
3sin x + 6sin x Ê m vi
ở 2ỳ
ỷ ( *)
2
ộ 3p ự
x ẻ ờp; ỳ
ờ
t sin x = t ,
ở 2ỳ
ỷị t ẻ [- 1;0]
( *) 3t 2 + 6t Ê m vi " t ẻ [- 1;0]
Khi ú
Xột hm s
f ( t ) = 3t 2 + 6t
trờn
[- 1;0]
f ( t)
trờn
max f ( t ) Ê m
[- 1;0]
, vi
f ( t ) = 3t 2 + 6t
f Â( t ) = 6t + 6
Bng bin thiờn ca hm s
T bng bin thiờn ta cú
[- 1;0]
m 0.
Hóy tham gia STRONG TEAM TON VD-VDC- Group dnh riờng cho GV-SV toỏn!
Trang 11 Mó X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
f ′ ( t ) = 6t + 6 ≥ 0 ∀ t ∈ [ − 1;0] ⇒ f ( t ) đồng biến trên [ − 1;0]
Hoặc có thể nhận xét
⇒ max f ( t ) = f ( 0 ) = 0 ⇒ m ≥ 0
[ − 1;0]
Câu 5.
[2D1-1.4-4]Giả sử
x0
là nghiệm của phương trình
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) . Cho hàm số
b c
M = max ;
y = f ( x ) = Mx với
a a . Tìm tất các các giá trị của tham số
g ( x ) = − f ( x ) + ax
nghịch biến trên
¡
.
x +1
a≤− 0
x0 .
B.
x02
a≤
x0 + 1 .
A.
a sao cho hàm số
C.
a≤
x02
x0 + 1 .
D.
a≤ −
x0 + 1
x02 .
Lời giải
Chọn C
Do
b
ax02 + bx0 + c = 0 ⇔ x02 = − x0 +
a ≠ 0 theo bài ra ta có
a
c
÷
a
x02
c
c b
c
b
b
⇒ x = − x0 + ÷ ≤ − x0 + ÷ ≤ x0 + ≤ M ( x0 + 1) ⇒ M ≥
a
a a
a
x0 + 1 .
a
a
2
0
Ta có
f ( x ) = Mx ⇒ f ′ ( x ) = M ⇒ g ′ ( x ) = − M + a .
x02
¡ ⇔ g ′ ( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ ¡ ⇔ a ≤ M , ∀ x ∈ ¡ ⇔ a ≤
x0 + 1 .
Hàm số g ( x ) nghịch biến trên
Câu 6.
[2D1-1.4-2]Cho hàm số
các giá trị của tham số
A.
y = f ( x)
có đạo hàm
f ¢( x) =- x3 +12 x + 2 , " x Î ¡
. Tìm tất cả
m để hàm số g ( x) = f ( x) - mx + 2018 đồng biến trên khoảng ( 1;4)
m £ - 14 .
B.
m £ 13 .
C.
m <- 14 .
D.
m <13 .
Lời giải
Chọn A
Ta có
g ¢( x) = f ¢( x) - m
Hàm số
g ( x)
đồng biến trên khoảng
( 1;4) Û g ¢( x) ³ 0 " x Î ( 1;4)
Û m £ f ¢( x) " x Î ( 1;4)
Xét hàm
f ¢( x)
trên
( 1;4) ; f ¢¢( x) =- 3x 2 +12 ; f ¢¢( x) = 0 Û x =±2
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 12 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
BBT của
f ¢( x)
trên
Đề Trường A Lần X Năm 2019
( 1;4)
m £ - 14 .
Vậy
y = f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( 3x 4 + mx3 + 1)
2
Câu 7.
[2D1-1.4-3]Cho hàm số
x∈ ¡
. Hỏi có bao nhiêu số nguyên âm của tham số
trên khoảng
A. 3.
m
để hàm số
với mọi
( ) đồng biến
g ( x ) = f x2
( 0;+ ∞ ) ?
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Chọn B
2
3
2
8
6
Ta có g ′ ( x ) = 2 x. f ′ ( x ) = 2 x ( x − 1) ( 3 x + mx + 1) .
2
Hàm số
g ( x)
(
đồng biến trên khoảng
) ( 3x
⇔ 2 x3 x 2 − 1
2
8
( 0; + ∞ ) ⇔ g ′ ( x ) ≥ 0 ∀ x ∈ ( 0; + ∞ ) .
)
+ mx 6 + 1 ≥ 0 ∀ x ∈ ( 0; + ∞ )
⇔ 3 x8 + mx 6 + 1 ≥ 0 ∀ x ∈ ( 0; + ∞ )
− 1 − 3x8 − 1
⇔ m≥
= 6 − 3x 2 ∀ x ∈ ( 0; + ∞ ) .
6
x
x
h( x ) =
Xét
⇒ h′ ( x ) =
−1
− 3x 2
6
trên khoảng ( 0;+ ∞ )
x
6
6
′
−
6
x
,
h
(
x
)
=
0
⇔
− 6 x = 0 ⇔ x = ± 1.
x7
x7
Bảng biến thiên
Suy ra
m ≥ − 4 . Vậy m∈ { − 4; − 3; − 2; − 1} .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 13 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Câu 8.
[2D1-1.3-3]Cho hàm số
Hàm số
y = f ( x)
có đồ thị như hình vẽ.
)
giảm trên khoảng
(
y = f x 2 − 2 x + 1 + 2018
( −∞ ;1) .
A.
Đề Trường A Lần X Năm 2019
B.
( 2;+ ∞ ) .
( 0;1) .
C.
D.
( 1;2) .
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị hàm số, ta có bảng xét dấu
x
f ′ ( x)
Đặt
−∞
(
+
−1
0
f ′ ( x)
dưới đây.
−
1
0
)
+∞
+
(
).
g ( x ) = f x 2 − 2 x + 1 + 2018 ⇒ g ′ ( x ) = 2 ( x − 1) f ′ x 2 − 2 x + 1
Ta có
(
)
f ′ x 2 − 2 x + 1 < 0 ⇔ − 1 < x 2 − 2x + 1 < 1 ⇔ x ∈ ( 0;2 ) .
g′ ( x) :
Từ đó, ta lập bảng xét dấu
x
(
x−1
−∞
−
)
f ′ x 2 − 2x + 1
g′ ( x)
Vậy hàm số
Câu 9.
0
−
−
|
+
0
−
0
(
1
2
+
0
−
−
|
+
0
)
y = g ( x ) = f x 2 − 2 x + 1 + 2018 giảm trên khoảng ( −∞ ;0 )
[2D1-1.3-3]Số giá trị nguyên của tham số
m∈ [ − 2018;2018]
y = x 3 − 3 ( m 2 + 3m + 3) x 2 + 3 ( m 2 + 1) x + m + 2
2017 .
B.
2018 .
đồng biến trên trên
C.
0
0
và
+
+
+
( 1;2) .
để hàm số
2
A.
|
+∞
2019 .
( 1;+∞ )
D.
là
2016 .
Lời giải
Chọn B
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 14 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
TXĐ
Đề Trường A Lần X Năm 2019
D = R.
y = x 3 − 3 ( m 2 + 3m + 3) x 2 + 3 ( m 2 + 1) x + m + 2 ⇒ y′ = 3x 2 − 6 ( m 2 + 3m + 3) x + 3 ( m2 + 1)
2
Hàm số đồng biến trên ( 1;+∞ )
2
y′ = 3x 2 − 6 ( m 2 + 3m + 3) x + 3 ( m 2 + 1) ≥ 0 , ∀ x ∈ ( 1; +∞ )
2
khi
⇔ x 2 − 2 ( m2 + 3m + 3) x + ( m 2 + 1) ≥ 0 , ∀ x ∈ ( 1; +∞ )
2
Xét hàm số
đỉnh là
g ( x ) = x 2 − 2 ( m2 + 3m + 3) x + ( m2 + 1)
2
đồ thị của nó là một Parabol có hoành độ
x0 = m2 + 3m + 3
m < −2
⇔
m > −1
TH1: x0 = m + 3m + 3 > 1 ⇔ m 2 + 3m + 2 > 0
2
Ta có BBT của hàm
( 1)
.
y = g ( x) :
2
2
2
2
YCBT ⇔ g ( x0 ) ≥ 0 ⇔ ( m + 3m + 3) − 2 ( m + 3m + 3) ( m + 3m + 3) + ( m + 1) ≥ 0
2
2
(
2
)
⇔ ( m2 + 1) − ( m2 + 3m + 3) ≥ 0 ⇔ ( − 3m − 2 ) 2m2 + 3m + 4 ≥ 0 ⇔ −3m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≤ − 3 .
2
2
2
m ∈ ( −∞ ; − 2 ) ∪ − 1; −
Kết hợp điều kiện ( 1) ta được
3 .
TH2:
x0 = m 2 + 3m + 3 ≤ 1 ⇔ m2 + 3m + 2 ≤ 0 ⇔ − 2 ≤ m ≤ − 1 ( 2 ) .
Ta có BBT của hàm
YCBT ⇔
Do
y = g ( x) :
(
)
3
2
g ( 1) ≥ 0 ⇔ m4 − 6m − 4 ≥ 0 ⇔ ( m − 2 ) m + 2m + 4m + 2 ≥ 0 .
m3 + 2m2 + 4m + 2 < 0 , ∀ m ∈ [ − 2; − 1] .
Nên
( m − 2 ) ( m3 + 2 m 2 + 4 m + 2 ) ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 15 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Kết hợp điều kiện
( 2)
ta được
Đề Trường A Lần X Năm 2019
− 2 ≤ m ≤ − 1.
2
m ∈ −∞ ; −
Vậy
3 là những giá trị cần tìm.
m nguyên và m∈ [ − 2018;2018] nên m∈ { − 2018; − 2017;...; − 1} .
Vậy có 2018 giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán.
Do
Câu 10.
( )
Cho hàm số y = f x có đạo hàm liên tục trên
được cho như hình vẽ dưới đây.
¡
. Bảng biến thiên của hàm số
y = f ′ ( x)
x
g ( x) = f 1− ÷+ x
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
2
A.
( 2;4 ) .
B.
( − 2;0) .
C.
( 0;2 ) .
D.
( − 4; − 2) .
Lời giải
Chọn D
Ta có
g′ ( x) = −
1 x
f ′ 1− ÷+ 1
2 2 .
x
′
⇔
f
1− ÷ ≥ 2 .
Hàm số nghịch biến ⇔ g ′ ( x ) ≤ 0
2
x
2
≤
1
−
≤3
2
⇔
−4 ≤ x ≤ −2
−1 ≤ 1 − x ≤ x ( −1 < x < 0) ⇔
0
0
2 − 2 x0 ≤ x ≤ 4 ( 2 < 2 − 2 x0 < 4 ) .
2
x
g ( x) = f 1− ÷+ x
Vậy, hàm số
nghịch biến trên khoảng ( − 4; − 2 ) .
2
Câu 11.
[2D1-2.5-3] Cho hàm số
y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x )
như hình bên dưới
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 16 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Hàm số
A.
g ( x) = f ( 3 − 2x )
( 0;2 ) .
Đề Trường A Lần X Năm 2019
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
B.
( 1;3) .
C.
( −∞ ; − 1) .
D.
( − 1; +∞ ) .
Lời giải
Chọn C
Ta có
g′ ( x ) = ( 3 − 2x ) ′ f ( 3 − 2x ) = − 2 f ( 3 − 2x ) .
−2 < 3 − 2x < 2
g′ ( x) < 0 ⇔ f ( 3 − 2x ) > 0 ⇔
⇔
3 − 2x > 5
Từ đồ thị, ta có
5
1
<
x
<
2
2
x < − 1.
1 5
; ÷
Suy ra hàm số g ( x ) nghịch biến trên các khoảng 2 2 và ( −∞ ; − 1) .
Câu 12.
[2D1-2.6-4] Cho hai hàm số
y = f ( x ) và y = g ( x ) . Hai hàm số y = f ′ ( x ) và y = g ′ ( x ) có đồ
thị như hình vẽ dưới đây, trong đó đường đậm hơn là đồ thị hàm số
y = g′ ( x) .
Hàm số
9
h ( x ) = f ( x + 7) − g 2x + ÷
2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
16
2; ÷
A. 5 .
3
− ;0÷
B. 4 .
16
; +∞ ÷
C. 5
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
13
3; ÷
D. 4 .
Trang 17 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
y = f ′( x)
y
10
8
5
4
O
3
x
8 1011
y = g′( x)
Lời giải
Chọn B
′ ( x + 7 ) > 2 g ′ 2 x + ÷
f
′
h ( x ) > 0 , tức là
2
9
Ta cần tìm điều kiện đủ của
x để
9
g′ 2x + ÷
Dựa vào đồ thị có giá trị lớn nhất của
2 bằng
Với các giá trị
x mà
f ′ ( x + 7 ) > 10
Dựa vào đồ thị thì với
Tức là với
5
9
2g′ 2x + ÷
nên
2 lớn nhất bằng 10 .
9
f ′ ( x + 7) > 2g′ 2x + ÷
ta có ngay
2 .
3 < x + 7 < 8 thì f ′ ( x + 7 ) > 10
− 4 < x < 1 ta có h′ ( x ) > 0 .
3
− ;0÷
Vậy hàm số đống biến trên khoảng ( − 4;1) nên đồng biến trên khoảng 4 .
Câu 13.
[2D1-2.5-3] Cho hàm số
f ( x)
f ′ ( x ) = x ( x − 1) ( 3x 4 + mx3 + 1)
2
có đạo hàm
Có bao nhiêu số nguyên âm
2
m để hàm số g ( x ) = f ( x )
A. 3 .
4.
B.
với mọi
đồng biến trên khoảng
C. 5 .
D.
x∈ ¡
( 0;+∞ ) ?
6.
Lời giải
Chọn B
g ′ ( x ) = 2 xf ′ ( x 2 ) = 2 x.x 2 ( x 2 − 1) ( 3x8 + mx 6 + 1) .
2
Ta có:
Hàm số
g ( x)
đồng biến trên khoảng
( 0;+∞ )
⇔ g ′ ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ 3x8 + mx 6 + 1 ≥ 0 , ∀ x ∈ ( 0; +∞ )
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 18 Mã đề X
.
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
⇔ − m ≤ 3x 2 +
Đề Trường A Lần X Năm 2019
1
x 6 , ∀ x ∈ ( 0; +∞ ) .
1
1 Côsi
1
2
2
2
h ( x ) = 3x + 6 = x + x + x + 6 ≥ 4 ∀ x ∈ ( 0; +∞ )
x2 = 6
,
. Đẳng thức xảy ra khi:
x
x
x
2
Vậy
− m ≤ 3x 2 +
Vậy có
Câu 14.
4
1
x 6 , ∀ x ∈ ( 0; + ∞ )
giá trị nguyên âm của
[2D1-2.3-1] Cho hàm số
⇔ x = 1.
⇔ −m ≤ 4 ⇔ m ≥ −4.
m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
y = f ( x)
¡
liên tục trên
có bảng biến thiên như sau:
Xét các mệnh đề sau:
1. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
2. Hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng
− 1.
3. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
(− ∞ ;5) .
4. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
(5; + ∞ ) .
5. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang.
Số mệnh đề đúng là
A. 3 .
B.
4.
C.
D. 1 .
2.
Lời giải
Chọn C
Mệnh đề 1. đúng vì theo bảng biến thiên hàm số có hai điểm cực trị
Mệnh đề 2. sai vì
lim f ( x) = −∞
x → −∞
nên
f ( x)
x = 1, x = 2 .
không có giá trị nhỏ nhất.
Mệnh đề 3. sai vì hàm số nghịch biến trên khoảng
Mệnh đề 4. đúng vì hàm số đồng biến khoảng
(1;2) ⊂ (− ∞ ;5) .
(3; + ∞ ) ⊃ (5; + ∞ ) .
Mệnh đề 5. sai (đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang).
Câu 15.
[2D1-3.4-1] Cho hàm số
y = f ( x)
xác định và liên tục trên
¡
và có bảng biến thiên như sau:
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 19 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng
B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4.
C. Đường thẳng
( − 2;0) .
y = 2 cắt đồ thị y = f ( x)
D. Hàm số đạt cực tiểu tại
tại 3 điểm phân biệt.
x = −2.
Lời giải
Chọn B
Ta có
đúng.
y' > 0
Hàm số
khi
y = f ( x)
x ∈ ( − 2;0 ) . Suy ra hàm số y = f ( x)
có
y'
đồng biến trên
đổi dấu từ âm sang dương qua
( − 2;0 ) . Vậy đáp án A
x = − 2 . Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại
x = − 2 . Vậy đáp án D đúng.
Từ bảng biến thiên ta vẽ đường thẳng y =
điểm phân biệt. Vậy đáp án C cũng đúng.
Ta có
Câu 16.
lim y = +∞
x → −∞
2
y = f ( x)
như hình vẽ. Hỏi hàm số
g ( x ) = f ( 3− 2x )
( − 1; + ∞ ) .
y= 2
cắt đồ thị hàm số tại 3
nên hàm số không đạt giá trị lớn nhất, chọn B.
[2D1-2.5-3] Cho hàm số
A.
ta thấy đường thẳng
B.
có đạo hàm liên tục trên
¡
và hàm số
y = f ′ ( x)
có đồ thị
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
( 1; 3) .
C.
( 0; 2) .
D.
( −∞ ; − 1) .
Lời giải
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 20 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
Chọn D
g ′ ( x ) = − 2 f ′ ( 3− 2x )
− 2 ≤ 3− 2x ≤ 2
g ′ ( x ) ≤ 0 ⇔ f ′ ( 3− 2x ) ≥ 0 ⇔
⇔
3− 2x ≥ 5
⇒
1 5
;
Hàm số g ( x ) nghịch biến trên các khoảng 2 2 , ( −∞ ; − 1]
Vậy Hàm số
Câu 17.
g ( x)
nghịch biến trên các khoảng
[2D1-1.6-2] Cho hàm số
giá trị nguyên của
A.
5
1
≤
x
≤
2
2
x ≤ −1
7.
m
( −∞ ; − 1)
f ( x ) = − x3 − mx 2 + ( 4m + 9 ) x + 5
để hàm số nghịch biến trên khoảng
B.
6.
( với
m là tham số). Có bao nhiêu
( −∞ ; + ∞ ) ?
C. 5 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn A
f ′ ( x ) = −3x 2 − 2mx + 4m + 9 .
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
( −∞ ; + ∞ )
( Dấu “=” không thể xảy ra ở vô hạn điểm vì
f ′ ( x)
khi và chỉ khi
f ′ ( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ ¡
là một tam thức bậc hai)
⇔ ∆ ′ ≤ 0 ( vì a = − 1 < 0 ) ⇔ m2 + 12m + 27 ≤ 0 ⇔ − 9 ≤ m ≤ − 3 .
Suy ra:
Câu 18.
m∈ { − 9; − 8; − 7; − 6; − 5; − 4; − 3} ( m∈ ¢ ).
[2D1-1.4-1] Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Chọn kết luận sai trong các kết luận sau:
A. Hàm số đạt cực tiểu tại
x = 0.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
B. Đồ thị hàm số cắt trục
( 0;+ ∞ ) .
Oy
tại điểm
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
( 0;1 ) .
( − 2; − 1 ) .
Trang 21 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
Lời giải
Chọn D
Dựa vào đồ thị suy ra khẳng định sai là
Câu 19.
[2D1-1.4-1] Cho hàm số
D.
y = f ( x)
có đạo hàm liên tục trên
số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
(0;1).
B.
(− 1;0).
C.
¡
và có bảng biến thiên như sau. Hàm
(−∞;1).
D.
(1; + ∞ ).
Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Hàm số đồng biến trên các khoảng
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
Câu 20.
[2D1-2.2-1] Cho hàm số
(− 1;0)
và
(− ∞ ; − 1)
và
(0;1).
(1; + ∞ ).
y = x3 − 3x 2 − 9 x + 2 . Chọn kết luận đúng.
A. Hàm số đạt cực tiểu tại
x = 3.
B. Hàm số đạt cực tiểu tại
x = −1.
C. Hàm số đạt cực đại tại
x = 1.
D. Hàm số đạt cực đại tại
x = 3.
Lời giải
Chọn A
TXĐ:
D= ¡
x = −1
y′ = 0 ⇔ 3x 2 − 6 x − 9 = 0 ⇔
Ta có: y′ = 3 x − 6 x − 9 ,
x = 3 .
2
Bảng xét dấu của
y′
Suy ra hàm số đạt cực đại tại
Câu 21.
[2D1-1.3-2] Hàm số
x = − 1 và đạt cực tiểu tại x = 3
y = x3 − ( m + 2 ) x + m
đạt cực tiểu tại
x = 1 khi:
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 22 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
A.
m = −1 .
B.
Đề Trường A Lần X Năm 2019
m= 2.
C.
m = −2.
D.
m = 1.
Lời giải
Chọn D
+) TXĐ:
+) y′ =
D= ¡
3x 2 − m − 2, ∀ x ∈ ¡
.
+) Hàm số đạt cực tiểu tại
+) Với
x = 1 ⇒ y′ ( 1) = 0 ⇒ 1 − m = 0 ⇒ m = 1 .
2
m = 1 có y′ = 3x − 3 , y′′ = 6 x .
x = 1
y′ = 0 ⇔ 3 x 2 − 3 = 0 ⇔
x = − 1 ; y′′ ( 1) = 6 > 0 ⇒ Hàm số đạt cực tiểu tại
Câu 22.
[2D1-1.2-3] Cho hàm số
y = f ( x)
có đạo hàm liên tục trên
hình vẽ. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hàm số
y = f ( x)
đồng biến trên khoảng
B. Hàm số
y = f ( x)
đồng biến trên khoảng
C. Hàm số
y=
D. Hàm số
y = f ( x)
¡
x = 1 . +) KL: m = 1 .
và có đồ thị hàm số
y = f ′ ( x)
( 1;+ ∞ ) .
( −2;1) .
f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( − 1;1) .
nghịch biến trên khoảng
( −∞ ;− 2) .
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị của đạo hàm ta có bảng biến thiên
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 23 Mã đề X
như
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
Do đó đáp án SAI là C.
Câu 23.
[2D1-1.3-3] Cho hàm số
1
y = − x3 + ( m − 1) x 2 + ( m + 3) x − 4
. Tìm các giá trị của tham số
3
hàm số đồng biến trên khoảng
A.
m≥
1
7.
B.
m để
( 0;3) .
m ≤ −3.
C.
m≥
12
7.
D.
m≤
12
7.
Lời giải
Chọn C
y′ = − x2 + 2 ( m − 1) x + ( m + 3)
Hàm số đồng biến trên khoảng
( 0;3)
⇔ y′ ≥ 0 ∀ x ∈ ( 0;3)
2
x
+ 2x − 3
⇔ − x 2 + 2 ( m − 1) x + ( m + 3) ≥ 0 ∀ x ∈ ( 0;3) ⇔ m ≥ 2 x + 1 ∀ x ∈ ( 0;3) .
x2 + 2 x − 3
f ′ ( x) =
f ( x) =
∀
x
∈
0;3
( ),
2x + 1
Xét hàm số
2 x2 + 2 x + 8
( 2 x + 1)
2
>0
∀ x ∈ ( 0;3) .
Bảng biến thiên:
12
x2 + 2x − 3
⇔
m
≥
m≥
Từ bảng biến thiên ta thấy
7.
2 x + 1 ∀ x ∈ ( 0;3)
Câu 24.
m để hàm số
A. m ≥ 2 hoặc m ≤ − 2 .
C. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 .
[2D1-1.3-3] Tìm
y=
cos x − 2
cos x − m
π
0; ÷
nghịch biến trên khoảng 2 .
m ≥ 2.
D. − 1 < m < 1 .
B.
Lời giải
Chọn C
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 24 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
y′ =
− sin x ( cos x − m ) + sin x ( cos x − 2 )
( cos x − m )
2
=
Đề Trường A Lần X Năm 2019
( m − 2 ) sin x
2
( cos x − m ) .
π
0; ÷
Hàm số nghịch biến trên 2 .
π
⇔ y′ < 0, ∀ x ∈ 0; ÷
2.
⇔
( m − 2 ) sin x < 0, ∀x ∈ 0; π
÷
2
2 .
( cos x − m )
( m − 2 ) sin x < 0
π
⇔
, ∀ x ∈ 0; ÷
2.
m ≠ cos x
m < 2
⇔ m ≤ 0 ⇔
m ≥ 1
Câu 25.
m ≤ 0
1 ≤ m < 2
[2D1-1.2-3] Cho hàm số
số
A.
y = f ( x)
( −∞ ;2 ) .
.
f ( x) , biết rằng hàm số y = f ′ ( x − 2 ) + 2 có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
3 5
; ÷
B. 2 2 .
C.
( 2;+∞ ) .
D.
( − 1;1) .
Lời giải
Chọn D
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 25 Mã đề X
