13 bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn tiết 1

BÀI GIẢNG: BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƢƠNG TRÌNH
MÔN TOÁN LỚP 10
THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM
A. BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Định nghĩa
+) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là
ax  by  c  0, ax  by  c  0; ax  by  c  0, ax  by  c  0

Trong đó a, b, c là các số cho trước sao cho a 2  b2  0 , x, y là các ẩn số.
+) Mỗi một cặp số  x0 ; y0  thay vào sao cho thu được 1 mệnh đề đúng gọi là một nghiệm của bất phương
trình.
Ví dụ:

x  2 y  1  0,  0;0  ;  2;1 ; ...
 x  y  2, 1;1 ;  2;0  ;...
x  3  0, 1;0  ; 1;3 ;  2;3 ;...
2 y  1, 1; 1 ; ...
2. Cách biểu diễn tập nghiệm của bất phƣơng trình bậc nhất 2 ẩn
+) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm của bất phương trình được biểu diễn bởi một điểm. Tương tự
bất phương trình bậc nhất một ẩn, bất phương trình bậc hai một ẩn cũng có vô số nghiệm. Tập hợp nghiệm
ấy được biểu diễn bởi 1 tập hợp điểm và gọi là miền nghiệm của bất phương trình.
+) Định lí: Người ta chứng minh được trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d : ax  by  c chia mặt phẳng
thành 2 nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng đó được gọi là miền nghiệm của bất phương trình
ax  by  c , nửa mặt phẳng còn lại là miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c (kể cả bờ là đường
thẳng d ).
Ví dụ:
Xét điểm O  0; 0  . Thay x  0, y  0  0  0  1  0  Miền tô sọc là
miền x  y  1  0 là miền không to sọc là miền x  y  1  0 .
+) Ta suy ra
Nếu

M  x0 ; y0 

là

một

nghiệm

của

bất

phương

trình

ax  by  c  0  d  thì nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa M là miền

nghiệm của bất phương trình ấy.

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


* Phƣơng pháp biểu diễn hình học tập nghiệm (biểu diễn tập nghiệm) của bất phƣơng trình
ax  by  c .
Bƣớc 1: Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng d : ax  by  c .

Bƣớc 2: Lấy 1 điểm M  x0 ; y0   d (thường chọn O  0; 0  ).
Bƣớc 3: Thay M  x0 ; y0  vào bất phương trình và so sánh:
+) Nếu thấy đúng: ax0  by0  c  Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm M.
+) Nếu thấy sai: ax0  by0  c  Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm M.
Chú ý: Đối với các bất phương trình ax  by  c miền nghiệm có kể cả bờ.
Bài 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm các bất phương trình sau:
a) 2 x  y  3
Bước 1: Vẽ đường thẳng  d  : 2 x  y  3 .
Cho x  0  y  3
Cho y  0  x 

3
2

Bước 2: Lấy O  0;0   d thay vào BPT: 0  0  3 (đúng)
Bước 3: Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ  d  có chứa điểm O (miền
không gạch sọc, có kể bờ d).
b) 2 x  y  2
Bước 1: d : 2 x  y  2 .
x

0

1

y

2

0

Bước 2: Lấy điểm O  0;0   d thay vào bất phương trình ta có 0  2 (đúng)
Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc có chứa điểm O và có kể
bờ d.

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


c) 2 y  3  0  y  
Bước 1: d : y  

3
2

3
2

Bước 2: Lấy O  0;0   d thay vào bất phương trình ta có 0  

3
2

(đúng)
Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc có chứa điểm O
và không kể bờ d.

d) 2 x  1  0  x 

Bước 1: d : x 

1
2

1
.
2

Bước 2: Lấy O  0;0   d thay vào bất phương trình ta có 1  0 (đúng)
Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc có chứa điểm O và
không kể bờ d.
e) 2 x  y  0
Bước 1: d : 2 x  y  0
x

0

1

y

0

2

Bước 2: Lấy M 1;0   d thay vào bất phương trình ta có 2  0 (đúng)
Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc có chứa điểm M và có
kể bờ d.
Bài 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm các bất phương trình sau:

a) 2  x  y  1  2 x  y
 2 x  2 y  2  2 x  y
 4 x  y  2 1

Bước 1: Vẽ d : 4 x  y  2
x

0

1/2

y

2

0

Bước 2: Lấy O  0;0   d thay vào bất phương trình (1) ta có 0  2 (sai)
Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc không chứa điểm O và

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


có kể bờ d.

b) x  2  2  y  1  2 x  4
 x  2  2 y  2  2x  4  0   x  2 y  8  2

Bước 1: Vẽ d :  x  2 y  8
x

0

-8

y

4

0

Bước 2: Lấy O  0;0   d thay vào bất phương trình (2) ta có

0  8 (sai)
Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc không
chứa điểm O và không kể bờ d.

c)

x  2 y 2x  y 1

2
3

 3x  6 y  4 x  2 y  2   x  8 y  2  x  8 y  2  3

Bước 1: Vẽ x  8 y  2

x

0

-2

y

-1/4

0

Bước 2: Lấy O  0;0   d thay vào bất phương trình (3) ta có 0  2
(sai)
Bước 3: Vậy miền nghiệm là miền không bị gạch sọc không chứa
điểm O và không kể bờ d.
B – HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Định nghĩa
* Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn gồm 1 số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải đi tìm nghiệm
chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
* Tương tự bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm (miền nghiệm) của hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

x  y  0
 x  2 y  0

 x  2 y  1  0  x  2 y  0 
Ví dụ: 
, 
, x  0

 x  y  2  0  x  0
y  3  0

 y  3  0

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


x  3

y 1

2. Phƣơng pháp tìm miền nghiệm của hệ bất phƣơng trình bậc nhất hai ẩn
* Bƣớc 1: Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.
* Bƣớc 2: Sau khi làm như trên lần lượt với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng
tọa độ, miền chung còn lại không bị gạch là miền nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý:
* Miền nghiệm có bờ là các đường thẳng đã vẽ chỉ lấy bờ nếu bất phương trình trong hệ có dấu “=”.
* Miền nghiệm có thể kín như một đa giác hoặc hở. Trong trường hợp là đa giác kín, đề có thể hỏi tìm cực
trị (Max, Min) của 1 biểu thức F  ax  by các cực trị xảy ra tại một đỉnh của đa giác kín.
Bài tập áp dung

 x  y  2  0 1
Bài 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình 
 x  3 y  3  0  2 
Giải
Bước 1: Vẽ hai đường thẳng  d1  : x  y  2,  d 2  : x  3 y  3

x

0

-2

y

-2

0

x

0

-3

y

1

0

2  0  sai 
Bước 2: Thay O  0;0   d1 , d 2 vào (1), (2) ta có 
3  0  sai 
Bước 3: Vậy O không thuộc miền nghiệm của cả 2 bất phương trình.

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


x  y  2  0

Bài 4: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình  H  :  x  y  1  0 . Tìm  x; y  thỏa mãn
2 x  y  1  0


H 

sao cho F  2 x  3 y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Giải
Bước 1: Vẽ d1 : x  y  2, d 2 : x  y  1, d3 : 2 x  y  1
x

0

-2

y

-2

0

x

0

1

y

-1

0

x

0

-1/2

y

-1

0

Bước 2: Thay O  0;0   d1 , d 2 , d3 vào hệ ta có

2  0  sai 

1  0  dung 

1  0  dung 

Bước 3: Vậy O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình (1) và thuộc miền nghiệm của bất phương
trình (2) và (3).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là tam giác ABC, miền này không chứa O có kể bờ là các đoạn
thẳng AB, BC, CA.
b) Ta có:

 1 3
A  d1  d 2  A   ;  
 2 2
B  d 2  d 3  B  2; 3
C  d3  d1   1; 1

F  A  

11
, F  B   13, F  C   5 .
2

Vậy Fmax  F  1; 1  5, Fmin  F 2; 3   13 .

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


3 x  y  6 1

 x  y  4  2
Bài 5: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình  H  

 3
x  0
y  0
 4

+ Biết miền nghiệm của hệ đã cho là 1 tứ giác kín. Tính diện tích tứ giác ấy.
+ Tìm GTLN của F  x; y   2 x  y với  x; y  thuộc miền nghiệm  H  .
Giải
Bước 1: Vẽ d1 : 3x  y  6, d 2 : x  y  4,
d3 : x  0  truc Oy  , d 4 : y  0  truc Ox 

x

0

-2

y

6

0

x

0

4

y

4

0

Bước 2: Lấy O  0;0   d1 , d 2 , O  d3 , d 4 vào hệ ta có


0  6  dung 

0  4  dung 



0  0  dung 

0  0  dung 


Bước 3: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác

OABC (miền không bị gạch) chứa O, có kể bờ là các đoạn
thẳng OA, AB, BC, CO.
Kẻ BH  Oy  H  Oy  .
Ta có O  0;0  , A  2;0  , B 1;3 , C  0; 4 
+) SOABC  Shinh thang OABH  SBHC 

 2  1 .3  1 .1.1  9  1  5 (đvdt)
2

2

2

2

+) F  x; y   2 x  y  x; y  H 
F  O   0, F  A   4, F  B   5, F  C   4 .

Vậy Fmax  F  B   5 .

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!