7 ôn tập phương trình bậc hai hệ thức vi et tiết 2

ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 - HỆ THỨC VI-ÉT

Bài 1. Cho ( P) : y  x 2 , (d ) : y  2mx  2m  1. Tìm m để (d ) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) thỏa mãn y1  y2  10.
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d ) và ( P)

x 2  2mx  2m  1
 x 2  2mx  2m  1  0(*).
(d ) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt  (*) có nghiệm phân biệt    0

 (m) 2  1(2m  1)  0
 m 2  2m  1  0
 (m  1) 2  0
 m 1  0
 m  1.

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) mà y  x2  y1  x12 , y2  x22 .

Theo đề bài ta có: y1  y2  10

 x12  x22  10
 ( x1  x2 )2  2 x1 x2  10(**).

 x1  x2  2m
Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình (*) 
 x1 x2  2m  1
(**)  (2m) 2  2(2m  1)  10
 4m 2  4m  2  10  0
 4m 2  4m  8  0
 m2  m  2  0
  (1)2  4.1.(2)  0  0.


1 9
 1(tmdk )
 m1 
2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 

1 9
 2(tmdk )
 m2 

2

Bài 2. Cho phương trình x2  2(m  1) x  m  3  0.

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn
– Anh – Sử - Địa tốt nhất!


a). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu  1.(m  3)  0  m  3.
Vậy m  3.
b). Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
 (m  1)2  1.(m  3)  0
  0




Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt   P  0  m  3  0
S  0
2(m  1)  0



 m 2  2m  1  m  3  0
m 2  3m  4  0


 m  3  0
 m  3
 2m  2  0
2m  2


2

3 7
3 9
9
 2
m


   0(m)
m  2m. 2  4  4  4  0
2 4





 m  3
 m  3
m  1
m  1




m  3

 m  3.
m  1

Vậy m  3.
Bài 3.Cho phương trình x2  (3m  1) x  2m2  m  0(*).
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1  x2  2  0.
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt    0

  (3m  1)  4.1.(2m 2  m)  0
2

 9m 2  6m  1  8m 2  4m  0
 m 2  2m  1  0
 (m  1) 2  0  m  1  0  m  1.
Theo đề bài ta có: x1  x2  2  0
 x1  x2  2
  x1  x2   4
2

  x1  x2   4 x1 x2  4(**).
2

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn
– Anh – Sử - Địa tốt nhất!


 x1  x2  3m
Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*) 
2
 x1 x2  2m  m
 (**)  (3m  1) 2  4(2m2  m)  4
 9m2  6m  1  8m2  4m  4  0
 m2  2m  3  0.

Có   (1)2  1.(3)  4  0.
 m  1  4  1(tmdk )
Phương trình có hai nghiệm phân biệt  1
 m2  1  4  3(tmdk )

Vậy m  1; m  3.
1 2
x , (d ) : y  x  m  5. Tìm m để (d ) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt có
2
hoành độ x1; x2 thỏa mãn x1  2 x2  5.

Bài 4.Cho ( P) : y 

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d ) và ( P) là:

1 2
x  xm5
2

 x 2  2 x  2m  10
 x 2  2 x  2m  10  0(*).
(d ) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt  (*) có nghiệm phân biệt    0

 (1) 2  1(2m  10)  0
 1  2m  10  0
 2m  11  0
m

11
.
2

 x1  2 x2  5(1)

Theo đề bài: x1  2 x2  5   x1  x2  2(2)
 x .x  2m  10(3)
 1 2

 x1  2 x2  5 3x2  3
 x  1

 2

Ta có: 
 x1  x2  2
 x1  x2  2
 x1  2  x2  3.

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn
– Anh – Sử - Địa tốt nhất!


 (3)  3(1)  2m  10
 2m  10  3
 2m  7
7
 m  (tmdk ).
2
7
Vậy m  .
2

Bài 5. Cho ( P) : y 

x2
. Đường thẳng d đi qua I (0,1) có hệ số góc k .
2

a) Chứng minh rằng d luôn cắt ( P) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên Ox . Chứng minh rằng HIK
vuông tại I .

Giải. a). Gọi phương trình đường thẳng (d ) : y  kx  b.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d ) và ( P) :

x2
 kx  2  x 2  2kx  4  0(*)
2

Có:   (k )  1(4)  k 2  4.
2

Ta có : k 2  0 k  k 2  4  4    0 k  (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với k .

 d cắt ( P) tại hai điểm phân biệt A, B.
HOI vuông tại O  IH 2  OH 2  OI 2  x1  22  x12  4
2

KOI vuông tại O  IK 2  OI 2  OK 2  22  x2  x22  4
2

HK 2  (OH  OK ) 2   x1  x2



2

 x1  2 x1 x2  x2
2

2

 HK 2  x12  x22  2 x1 x2
Mà x1 x2  4 nên
HK 2  x12  x22  2 4  x12  x22  8.
 IH 2  IK 2  HK 2 ( x12  x22  8)

 HIK vuông tại I ( định lý Pytago đảo).

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn
– Anh – Sử - Địa tốt nhất!