6 góc giữa hai đường thẳng

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ"

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

MÔN TOÁN: LỚP 10

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH

I/ Lý thuyết
1. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng
*) Hai đường thẳng 1 và  2 cắt nhau tại O tạo ra 4 góc. Góc nhọn nhỏ nhất trong 4 góc đó gọi là góc giữa 2
đường thẳng 1 và  2 .
*) Kí hiệu:  1; 2   O2 ; 0   1; 2   900

*) 1  2   1; 2   900.

 1 / /  2
  1 ;  2   00
*) 
 1   2
2. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng
*) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy : cho hai đường thẳng 1 ;  2 có phương trình:

 1  : a1 x  b1 y  c1  0  a12  b12  0   n1   a1; b1 
  2  : a2 x  b2 y  c2  0  a22  b22  0   n2   a2 ; b2 
Góc giữa  1;  2  xác định bởi công thức:

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!






cos  1;  2   cos n1; n2 

a1b1  a2b2
a12  b12 . a2 2  b2 2

*) Chú ý quan trọng:







- cos  1;  2  luôn   vì 0   1;  2   900 ; còn 0  n1; n2  1800 . Ta có thể sử dụng cặp VTCP u1 ; u2
thay cho cặp VTPT.
- 1  2  a1a2  b1b2  0
- Nếu 1 : y  kx  b ; 2 : y  k ' x  b ' thì:
 1   2  k .k '  1 *
 1 / /  2  k  k ' ; b  b '
 tan  1 ;  2  

k k'
1  k .k '

- sin  1 ;  2  

 k.k '  1

a1
a2

b1
b2

a12  b12 . a2 2  b2 2

a1b2  a2b1



a12  b12 . a2 2  b2 2

II/ Bài tập
Bài 1: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
d3 : x  2 y  4  0
b) 
d 4 : 2 x  y  6  0
 3 : x  5
d) 
 4 : 2 x  y  14  0

d : x  2 y  5  0
a)  1

d 2 : 3x  y  0
1 : 4 x  2 y  6  0
c) 
 2 : x  3 y  1  0

Giải:

a) d1 có VTPT n1  1;  2  ; d2 có VTPT n2   3;  1





cos  d1 ; d 2   cos n1 ; n2 

1.3   2  .  1
12   2  . 32   1
2

2



2
2

  d1 ; d 2   450.
b) cos  d3 ; d 4  

1.2  2.  1

12  22 . 22   1

2



0
0
5. 5

  d3 ; d 4   900  d3  d 4 .

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!




c) cos  1;  2  

4.1   2  .  3
42   2  . 12   3
2

2



10

2

2
20. 10

  1 ;  2   450
d ) cos  3 ;  4  

1.2  0.1

1  0 . 2 1
  3 ;  4   26034 '
2

2

2

2

2
2 5

5
1. 5



Bài 2: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

 x  7  2t
x  1 t '
và d 2 
a) d1 
y  5t
 y  2  3t '


 : y  3x  1
d)  3

 4 : y   x  3

 x  13  t
x 5 y 7
và d 4 :
b) d 3 

2
1
 y  2  2t


5 : y   3x  2
e) 

 6 : x  3 y

x  4  t
và 2 : 2 x  3 y  1  0

c) 1 
 y  4  3t
Giải:

a) d1 có VTCP u1   2;1 ; d2 có VTCP u2  1;3





 cos  d1 ; d 2   cos u1 ; u2 

2.1  1.3
2 1 . 1  3
2

2



2

2



0
0
5. 5

5
2

2
5. 10

  d1 ; d 2   45

0

b) u3  1; 2  ; u4   2;1
 cos  d3 ; d 4  

1.  2   2.1
12  22 .

 2 

 12

2

  d3 ; d 4   900.

c) 1 có VTCP u1   1;3  VTPT n1   3;1 ;  2 có VTPT n2   2;3
 cos  1 ;  2  

3.2  1.3

3 1 . 2  3

  1 ;  2   37 52 '
2

2

2

2



9
9

10. 13
130

0

d ) 3 có k  3 ;  4 có k '  1.

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 tan  3 ;  4  

3   1
1  3.  1



3 1
1 3

 2 3

  3 ;  4   750
e)  6 : x  3 y  y 





k .k '   3 .

1
x
3

1
 1   5   6    5 ;  6   900
3

Bài 3: Cho 3 điểm A  4;  1 ; B  3; 2 ; C 1;6 .
a) Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB ; AC.
b) Tính cos ABC
c) Tính sin BAC
Giải:

AB   7;3  AB  58 ; AC   3;7   AC  58 ; BC   4; 4   BC  4 2





a) cos BAC  cos AB; AC 

AB. AC



7.  3  3.7
58. 58

AB . AC



42
0
58

 BAC  43036 '





Do BAC nhọn   AB; AC   AB; AC  43036'.





b) cos ABC  cos BA; BC 

7.4   3 .4
7 2   3 . 42  42
2



2 29
29

2

400
 42 
c) C1: sin BAC  1  cos BAC  1    
841
 58 
20
 sin BAC 
29
7 3
7.7   3 .3 20
3 7
C 2 : sin BAC 



2
2
29
58. 58
 7   32 .  3  7 2
2

2

 : 3x  y  7  0

Bài 4: Cho 2 đường thẳng  1

 2 : mx  y  1  0

a) Tìm m để  1; 2   300
b) Tìm m để 1   2 .

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Giải:

a) cos  1 ;  2  

 1;  2   300 

3.m  1.1

 3

2

  1 . m 2  12

3m  1
2 m2  1



2



3

2



3m  1
2 m2  1



3m  1  3  m 2  1

2

 3m 2  2 3m  1  3m 2  3  2 3m  2  m  
b) 1   2 

3m  1  0  3m  1  0  m 

3
3

1
3

3
3

Bài 5: Cho đường thẳng d : 3x  2 y  1  0 và M 1; 2 
a) Viết phương trình  qua M và vuông góc với d
b) Viết phương trình  qua M và song song với d
c) Viết phương trình  qua M và tạo với d một góc 450.
Giải:

a)   d   : 2 x  3 y  c  0
M    2.1  3.2  c  0  c  8
  : 2x  3y  8  0
b)  / / d   : 3 x  2 y  c '  0
M    3.1  2.2  c '  0  c '  1
  : 3x  2 y  1  0
c)  : y  ax  b  ax  y  b  0
M    a  2  b  0  a  b  2

  ; d   450  cos 450 


 3a  2 

2

13  a  1
2



3a  2
13. a 2  1



2
2

1
 2  9a 2  12a  4   13a 2  13
2

1
9

a b

 5a  24a  5  0 

5
5

 a  5  b  7
1
9

y  x
x  5y  9  0


5
5 

5 x  y  7  0
 y  5 x  7
2

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!