9 bài toán tìm các yếu tố trong tam giác, tứ giác tiết 1

BÀI TOÁN TÌM CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC, TỨ GIÁC – TIẾT 1.
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ"

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

MÔN TOÁN: LỚP 10

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH

I/ Bài toán tam giác
Dạng 1: Đường cao
Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  cho ABC có đỉnh A 1;0  và hai đường thẳng chứa các đường cao kẻ từ B và

C có phương trình lần lượt là: d1 : x  2 y  1  0 và d2 : 3x  y  1  0. Tìm tọa độ đỉnh B, C ?
Giải:
+ Bước 1: Viết phương trình đường thẳng AB qua A 1;0 
và vuông góc với đường thẳng d2 : 3x  y  1  0
AB  d2 : 3x  y  1  0  AB có dạng: x  3 y  c  0
AB qua A 1;0   1  3.0  c  0  c  1

 phương trình AB : x  3 y  1  0.
+ Bước 2: Viết phương trình đường thẳng AC qua A 1;0 
và vuông góc với đường thẳng d1 : x  2 y  1  0
AC  d1 : x  2 y  1  0  AC có dạng: 2 x  y  c  0

AC qua A 1;0  1  0  c  0  c  2
 phương trình AC : 2 x  y  2  0.
+ Bước 3: B  d1  AB  tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

x  2 y 1  0

 x  2 y  1  x  5


 B  5; 2  .

 x  3 y 1  0
x  3y  1
 y  2
+ Bước 4: C  d2  AC  tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

3x  y  1  0
 x  1

 C  1; 4  .

2 x  y  2  0
y  4
Vậy B  5; 2  và C  1; 4  .

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  cho ABC có phương trình BC : x  y  9  0. Hai đường thẳng chứa các
đường cao kẻ từ B và C có phương trình lần lượt là: d1 : x  2 y  13  0 và d2 : 7 x  5 y  49  0. Tìm tọa độ
đỉnh A ?
Giải:
 B  d1  BC  tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

 x  2 y  13  0
x  5

 B  5;4 

x  y  9  0
y  4
7 x  5 y  49  0
x  2
 C  d 2  BC  C : 

 C  2;7 
x  y  9  0
y  7
qua B  5;4 
 AB 
 pt AB : 5 x  7 y  3  0
 d 2 : 7 x  5 y  49  0
qua C  2;7 
 AC 
 pt AC : 2 x  y  3  0
 d1 : x  2 y  13  0
5 x  7 y  3  0
 x  2
 A  AB  AC  A : 

 A  2; 1
2 x  y  3  0
 y  1

Vậy A  2; 1.
Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho ABC cân tại A, phương trình đường thẳng BC : x  2 y  2  0. Đường
cao kẻ từ B có phương trình là x  y  4  0. M  1;0  thuộc đường cao đỉnh C. Tìm tọa độ A, B, C ?
Giải:
+ Gọi K  K  AC  là chân đường cao kẻ từ B xuống AC.

x  2 y  2  0
 x  2
B  BC  BK  B : 

 B  2; 2 
x  y  4  0
y  2
+ Gọi d là đường thẳng qua M và song song với BC


qua M  1;0 
d 
 pt d : x  2 y  1  0.

 / / BC  nd  nBC  1;2 

x  y  4  0
 x  3

 N  3;1
+ Gọi N  d  BK  N : 
x  2 y 1  0
y 1
1


+ Gọi I là trung điểm của MN  I  2; 
2


Gọi E là trung điểm của BC  IE là đường trung trực của BC

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!



1

9
qua I  2; 
 IE 
 pt IE : 2 x  y   0  4 x  2 y  9  0
2

2
 BC : x  2 y  2  0

7

x

4
x


2
y

9

0


 7 17 
5
 E  IE  BC  E : 

 E ; 
 5 10 
x  2 y  2  0
 y  17

10

4
 7
 x  2.   5   2   5
 4 7


 C  2E  B  
 C ; 
 5 5
 y  2. 17  2  7


10
5

 4 7
3
qua C   ; 
 AC 
 pt AC : x  y   0
 5 5
5
 BK : x  y  4  0

13

3
x


x

y


0


 13 19 
10
 A  AC  IE  A : 


 A  ; 
5
 10 10 
4 x  2 y  9  0
 y  19

10
 13 19 
 4 7
Vậy A   ;  ; B  2;2  ; C   ; .
 10 10 
 5 5

Dạng 2: Đường trung tuyến
Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho ABC có A 1;3 và hai trung tuyến BB ' : x  2 y  1  0 ; CC ' : y 1  0.
Tìm tọa độ điểm B, C ?
Giải:

x  2 y 1  0 x  1
Gọi G  BB ' CC '  G : 

 G 1;1
 y 1  0
y 1

 G là trọng tâm của ABC
Gọi M  x; y  là trung điểm của BC

 AG  2GM (tính chất trọng tâm)


x  1
1  1  2  x  1


 M 1;0 
y

0
1

3

2
y

1





Gọi điểm B  2b  1; b  ; C  c;1  do B  BB ' ; C  CC '

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


2b  1  c  2.1 2b  c  3 b  1 

 B  3; 1




b  1  2.0
b  1
c  5

C  5;1
Vậy B  3; 1 ; C 5;1 .
Bài 2: Cho ABC biết phương trình cạnh BC : x  2 y  5  0, phương trình đường trung tuyến BB ' : y  2  0,
phương trình đường trung tuyến CC ' : 2 x  y  2  0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C ?
Giải:

x  2 y  5  0
 x  1
 B  BC  BB '  B : 

 B  1; 2 
y  2  0
y  2
x  2 y  5  0
x  3
 C  BC  CC '  C : 

 C  3; 4 
2 x  y  2  0
y  4
+ Gọi G  BB ' CC '  G là trọng tâm ABC

y  2  0
x  2
G:

 G  2; 2 
2 x  y  2  0
y  2

 x  3.2   1  3  4
 A  3G  B  C  A : 
 A  4;0 

 y  3.2  2  4  0

Vậy A  4;0  ; B  1;2  ; C 3;4 .
Bài 3: Cho ABC có điểm B  3;5 . Phương trình đường cao đỉnh A : d1 : 2 x  5 y  3  0, phương trình trung
tuyến hạ từ đỉnh C : d2 : x  y  5  0. Tìm tọa độ đỉnh A, C ?
Giải:

qua B  3;5 
 BC 
 pt BC : 5 x  2 y  25  0
 d1 : 2 x  5 y  3  0
5 x  2 y  25  0
x  5
 C  BC  d 2  C : 

 C  5;0 
x  y  5  0

y  0
 5a  3 
 A  d1  A 
;a
 2

Gọi M là trung điểm của AB

5a  3

3

5a  3
2
x



 5a  3 a  5 
 M :
;
2
4 M

4
2 


a5
y 


2

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Do M  d 2 

5a  3 a  5

5  0
4
2

 5a  3  2a  10  20  0  7a  7  0  a  1
 A 1;1
Vậy A 1;1 ; C 5;0 .
Dạng 3: Đường phân giác
Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho ABC có A 1;5 ; B  4; 5 ; C  4; 1 . Viết phương trình đường phân
giác trong và phân giác ngoài góc A ?
Giải:

AB   5; 10  nAB   2; 1 ; AC   3; 6   nAC   2;1

 Phương trình AB : 2 x  y  3  0
 Phương trình AC : 2 x  y  7  0
Phương trình đường phân giác của góc A :
2x  y  3

22   1

2



2x  y  7
22  12

 2x  y  3    2x  y  7
 y  5  0  d1 
2 x  y  3  2 x  y  7


 2 x  y  3  2 x  y  7
 x  1  0  d 2 

Xét phân giác d1 : y  5  0
+ Thay B  4; 5 vào d1 : 5  5  10  0
+ Thay C  4; 1 vào d1 : 1  5  6  0
 B, C cùng phía với đường thẳng d1

 d1 : y  5  0 là đường phân giác ngoài, d2 : x  1  0 là đường phân giác trong góc A.

Bài 2: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho ABC có A  2; 4  và hai đường phân giác trong góc B và góc C có
phương trình lần lượt là: d1 : x  y  2  0 ; d2 : x  3 y  6  0. Tìm tọa độ điểm B, C ?
Giải:
Gọi A1 đối xứng với A qua phân giác d1  A1  BC.

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!



qua A  2; 4 
 AA1 
 pt AA1 : x  y  6  0

 d1 : x  y  2  0

x  y  6  0
x  4
Gọi H  AA1  d1  H : 

 H  4; 2 
x  y  2  0
 y  2

 x  2.4  2  6
 A1  2 H  A  A1 : 
 A1  6;0 

 y  2.  2    4   0

Gọi A2 đối xứng với A qua phân giác d2  A2  BC.
qua A  2; 4 

 AA2 
 pt AA2 : 3x  y  2  0


 d 2 : x  3 y  6  0

6

x

3
x

y

2

0


6 8
5
Gọi K  AA2  d 2  K : 

 K  ; 
5 5
x  3y  6  0
y   8

5

6
2


x

2.

2


5
5
2 4
 A2  2 K  A  A2 : 
  A2  ; 
5 5
 y  2.   8    4   4

5
 5
2 4
Phương trình đường thẳng BC qua A1  6;0  ; A2  ;  : x  7 y  6  0
5 5

4

 x  3
x  y  2  0
4 2
B  d1  BC  B : 

 B ; 

3 3
x  7 y  6  0
y  2

3
x  3y  6  0
x  6
C  d 2  BC  C : 

 C  6;0 
x  7 y  6  0
y  0
4 2
Vậy B  ;  ; C  6;0  .
3 3

Bài 3: Cho ABC có C  4;3 , phương trình đường phân giác trong AD : x  2 y  5  0, phương trình đường
trung tuyến AM : 4 x  13 y 10  0. Tìm tọa độ A, B ?
Giải:

x  2 y  5  0
x  9
A  AD  AM  A : 

 A  9; 2 
4 x  13 y  10  0
 y  2
Gọi C ' đối xứng với C qua phân giác AD  C '  AB
6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

Gọi H  AD  CC '  H là trung điểm của CC '
qua C  4;3
CC ' 
 pt CC ' : 2 x  y  5  0
 AD : x  2 y  5
x  2 y  5  0
x  3
H  AD  CC '  H : 

 H  3;1
2 x  y  5  0
y 1
H là trung điểm của CC '  C '  2H  C

 x  2.3  4  2
 C ': 
 C '  2; 1
 y  2.1  3  1

 phương trình AB qua A, C :

x 9 y  2

 x  7y 5  0
2  9 1  2

Gọi B  7b  5; b   do B  AB 

7b  5  4 7b  1



 x 
2
2  M   7b  1 ; b  3 
M là trung điểm của BC  M : 


2
2 

y  b 3

2
M  AM  4.
 B  12;1 .

7b  1
b3
 13.
 10  0  b  1
2
2

Vậy A  9; 2  ; B  12;1 .
Bài 4: Cho ABC có B  2; 1 , phương trình đường cao đỉnh A : d1 : 3x  4 y  27  0, phương trình đường
phân giác trong góc C : d2 : x  2 y  5  0. Tìm tọa độ điểm A ?
Giải:

qua B  2; 1

BC 
 pt BC : 4 x  3 y  5  0
 d1 : 3x  4 y  27  0
4 x  3 y  5  0
 x  1
C  BC  d 2  C : 

 C  1;3
3x  4 y  27  0
y  3
Gọi B ' đối xứng với B qua phân giác d2  B '  AC

qua B  2; 1
BB ' 
 pt BB ' : 2 x  y  5  0

 d 2 : x  2 y  5  0

2 x  y  5  0
x  3

 I  3;1
Gọi I  BB ' d2  I : 
x  2 y  5  0
y 1

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

 I là trung điểm của BB '  B '  2I  B

 x  2.3  2  4
 B': 
 B  4;3
y

2.1


1

3





Phương trình AC  B ' C qua C  1;3 ; B '  4;3 : y  3  0

y 3  0
 x  5
A  AC  d1  A : 

 A  5;3
3x  4 y  27  0
y  3
Vậy A  5;3 .

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!