12 bài toán tìm các yếu tố trong tam giác, tứ giác tiết 4

BÀI TOÁN TÌM CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC, TỨ GIÁC – TIẾT 4.
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ"

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

MÔN TOÁN: LỚP 10

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH

Dạng 4: Hình chữ nhật
Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình AB : x  2 y  1  0, đường chéo BD
có phương trình: x  7 y  14  0, M  2;1  AC. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Giải:

x  2 y 1  0
x  7
B  AB  BD  B : 

 B  7;3
 x  7 y  14  0
y  3

qua B  7;3
Phương trình đường thẳng BC 
: 2 x  y  17  0

AB
:
x


2
y

1

0




 A  AB : x  2 y  1  0  x  2 y  1  A  2a  1; a   a  3
Do 

C  BC : 2 x  y  17  0  y  17  2 x  C  c; 17  2c   c  7 
 2a  c  1 a  2c  17 
I là trung điểm của AC  I 
;

2
2



2a  c  1
a  2c  17
 7.
 14  0  3a  c  18  0
2
2
 a  3c  18  A  6c  35;3c  18 

I  BD : x  7 y  14  0 

M , A, C thẳng hàng  MA ; MC cùng phương  c2  13c  42  0

c  7  C  7;3  ktm do C  B 


7 5
c  6  C  6;5   tm  ; A 1;0  ; I  ; 

2 2
I là trung điểm của BD  D  2I  B   0;2 

Vậy A 1;0  ; B 7;3  ; C 6;5 ; D 0;2 .
1 
Bài 2: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  , phương trình đường thẳng
2 
AB : x  2 y  2  0 ; AB  2 AD. Tìm tọa độ hình chữ nhật biết xA  0?

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Giải:

Kẻ IH  AB  H  AB   IH  d  I ; AB  

1
1.  2.0  2

2
12   2 

2



5
2


1 
qua I  ;0 
Phương trình d : 
 d : 2x  y  1  0
2 
 AB : x  2 y  2  0


2 x  y  1  0
x  0
H  d  AB  H : 

 H  0;1
x  2 y  2  0
y 1
A  AB : x  2 y  2  0  x  2 y  2  A  2a  2; a   2a  2  0  a  1
AB  2 AD  AH  2d  I ; AB   5


 2a  2 

2

  a  1  5
2

 a  0  tm   A  2;0 
 5a 2  10a  5  5  a 2  2a  0  
 a  2  ktm 
H là trung điểm của AB  B  2H  A   2;2 


C  2 I  A   3;0 
I là trung điểm của AC ; BD  

 D  2 I  B   1; 2 
Vậy A  2;0  ; B 2;2  ; C 3;0 ; D  1; 2 .
Bài 3: Trong mặt phẳng

 Oxy  ,

cho hình chữ nhật

ABCD

có diện tích bằng 12,

tâm

9
I  d : x  y  3  0 ; xI  , biết trung điểm của AD là giao điểm của d với trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của
2
hình chữ nhật biết y A  0?

Giải:
I d : x  y 3  0 

9
3
9 3
 y 3  0  y   I  ; 
2
2
2 2

Gọi M là trung điểm của AD  M  d  Ox  M  3;0 
2

2

9 
3
3 2
 3 3

 IM    ;    IM   3     0   
 AB  2 IM  3 2
2 
2

2
 2 2

12
12
S ABCD  12  AB. AD  12  AD 

2 2
AB 3 2

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


qua M  3;0 

AD : 
 pt AD : x  y  3  0
 3 3
 IM    ;   / / 1;1
 2 2

MA  MD 

1
AD  2  Tọa độ A, D là nghiệm của hệ phương trình:
2

 x  y  3  0

 y   x  3



2
2
2
2
  x  3  y  2
 x  3  y  2
 A  2;1  do y A  0 
 x  2; y  1


 x  4; y  1  D  4; 1


 B  2 I  D   5; 4 
I là trung điểm của AC ; BD  

C  2 I  A   7; 2 
Vậy A  2;1 ; B 5;4  ; C 7;2 ; D 4; 1 .
Dạng 5: Hình vuông
5 5
Bài 1: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình vuông ABCD có tâm I  ;  ; A, B lần lượt thuộc đường thẳng:
2 2
d1 : x  y  3  0, d2  x  y  4  0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.

Giải:
A  d1 : x  y  3  0  y  3  x  A  a;3  a 

B  d 2 : x  y  4  0  y  4  x  B  b; 4  b 

5 1


 IA   a  2 ; 2  a 




 IB   b  5 ; 3  b 



2 2



 IA.IB  0
Do ABCD là hình vuông tâm I  IA  IB ; IA  IB   2
2

 IA  IB

 a  2

5 
5 1
 3



 a  2  . b  2    2  a  . 2  b   0

 



b  1


2
2
2
2
 a  1
 a  5    1  a    b  5    3  b 

 
 
 


2 2
2 2
 b  3
 

+ Với a  2 ; b  1  A  2;1 ; B 1;3

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!



C  2 I  A   3; 4 
I là trung điểm của AC ; BD  

 D  2 I  B   4; 2 
+ Với a  1 ; b  3  A 1; 2 ; B  3;1


C  2 I  A   4;3
I là trung điểm của AC ; BD  

 D  2 I  B   2; 4 
 A  2;1 ; B 1;3 ; C  3; 4  ; D  4; 2 
Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là: 
 A 1; 2  ; B  3;1 ; C  4;3 ; D  2; 4 
Bài 2: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn  C  :  x  2    y  3  10.
2

2

Tìm tọa độ các điểm A ; C biết điểm M  3; 2   AB và xA  0?
Giải:

 C  có tâm I  2;3 ; R 

10

Phương trình đường thẳng AB qua M  3; 2  có dạng:

y  2  k  x  3  kx  y  3k  2  0

 C  tiếp xúc với

AB  d  I ; AB   R 

2k  3  3k  2
k 2 1

 10

 5k  5  10  k 2  1  25  k 2  2k  1  10  k 2  1
k  3
 AB : 3x  y  7  0
 15k  50k  15  0  3k  10k  3  0  

1
k 
 AB : x  3 y  3  0
3

2

2

+ TH1: AB : 3x  y  7  0 ; A  AB  A  a;3a  7   a  0 
IA  R 2  20  2 5  IA2  20   a  2    3a  4   20

2

2

 a  0  ktm 
 10a 2  20a  20  20  a 2  2a  0  
 a  2  ktm 

+ TH2: AB : x  3 y  3  0 ; A  AB  A  3t  3; t   3t  3  0  t  1
IA  R 2  20  2 5  IA2  20   3t  1   t  3  20
2

2

t  1  tm   A  6;1
 10t 2  10  20  t 2  1  
t  1  ktm 

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


I là trung điểm của AC  C  2I  A   2;5

Vậy A  6;1 ; C  2;5 .
Bài 3: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình vuông ABCD ; A  d1 : x  y  1  0 ; C, D  d2 : 2 x  y  3  0. Tìm
tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết diện tích hình vuông ABCD bằng 5?
Giải:
A  d1 : x  y  1  0  y  1  x  A  a;1  a 

S ABCD  5  AB. AD  5  AD  AB  5
 d  A; d 2   AD  5 

2a  1  a  3
22   1

2

 5

a  1
3a  2  5
 3a  2  5  

a   7
3
a

2


5

3


qua A 1;0 
+ TH1: a  1  A 1;0   pt AD : 
 AD : x  2 y  1  0


d
:
2
x

y

3

0

 2

x  2 y 1  0
 x  1
 D  AD  d 2  D : 

 D  1;1
2 x  y  3  0
y 1
C  d 2 : 2 x  y  3  0  y  2 x  3  C  x; 2 x  3
 x  0  C  0;3
2
2
CD  5   x  1   2 x  2   5  
 x  2  C  2; 1

 1 3
I  2 ; 2 
AC




I là trung điểm của AC  I 
  1 1
2
I   ;  
  2 2

 B  2; 2 
I là trung điểm của BD  B  2I  D  
 B  0; 2 
  1 7
 4 1
 10 4 
D   3 ; 3  ; C   3 ; 3  ; B   3 ; 3 
7






 7 10 
+ TH2: a    A   ;   
3
 3 3    1 7
 2 13 
 4 16 
D   ;  ; C  ;  ; B   ; 

3 3 
 3 3
  3 3
Bài 4: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình vuông ABCD có A  4;5 và phương trình một đường chéo là:
 : 7 x  y  8  0. Viết phương trình các cạnh của hình vuông?

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Giải:

A  4;5  : 7 x  y  8   là đường chéo BD
Phương trình qua A : a  x  4  b  y  5  0  a 2  b2  0   ax  by  4a  5b  0  d 

ABCD là hình vuông  d hợp với BD    một góc 450
 cos 450 

7a  1.b
7 2   1 . a 2  b 2
2



2
 7a  b  5 a 2  b2
2

 a  3 ; b  4  AB  : 3x  4 y  31  0



a  4 ; b  3
 AD  : 4 x  3 y  1  0
 1 9
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD  I   ; 
 2 2


 BC  : 4 x  3 y  24  0
 C  3; 4   

 CD  : 3x  4 y  7  0
Bài 5: Trong mặt phẳng  Oxy  , cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của BC , phương trình đường
thẳng MD : x  y  2  0 ; C  3; 3 ; A  d : 3x  y  2  0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông ABCD ?
Giải:
A  d : 3x  y  2  0  y  2  3x  A  t ; 2  3t 
d  A; MD   2.d  C ; MD  

t  2  3t  2
12   1

2

 2.

3   3  2
12   1

2

t  3  A  3; 7 
 4t  4  8
 4t  4  8  

 4t  4  8
t  1  A  1;5 

+ TH1: A  3; 7  . Xét vị trí tương đối của A, C so với đường thẳng MD :


 f  A  f  3; 7   3  7  2  8  0
Gọi f  x; y   x  y  2  

 f  C   f  3; 3  3  3  2  4  0

 f  A . f  C   0  A, C nằm cùng phía đối với đường thẳng MD  A  3; 7  loại.
+ TH2: A  1;5 . Xét vị trí tương đối của A, C so với đường thẳng MD :


 f  A  f  1;5  1  5  2  8  0
Gọi f  x; y   x  y  2  

 f  C   f  3; 3  3  3  2  4  0

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

 f  A . f  C   0  A, C nằm khác phía đối với đường thẳng MD  A  1;5 thỏa mãn.
 AD   m  1; m  7 
D  MD : x  y  2  0  y  x  2  D  m; m  2   
CD   m  3; m  1
 AD  CD 
 AD.CD  0
Do ABCD là hình vuông  
 2
2
 AD  CD

 AD  CD

 m  1 m  3   m  7  m  1  0
2m 2  8m  10  0



2
2
2
2
12m  50  4m  10
 m  1   m  7    m  3   m  1
m  5
 m 2  4m  5  0


   m  1  m  5  D  5;3
8m  40

m  5

Ta có: AB   xB  1; yB  5 ; DC   2; 6  .

 xB  1  2
 x  3
 B
 B  3; 1
Do AB  DC  
 yB  5  6  yB  1
Vậy A  1;5  ; B  3; 1  ; D 5;3 .

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!