13 phương trình đường tròn tiết 1

PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÒN – TIẾT 1.
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlƣợnggiác dc ko ạ"

CHUYÊN ĐỀ: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

MÔN TOÁN: LỚP 10

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH

I/ Nhận dạng và thiết lập phƣơng trình đƣờng tròn
1. Phƣơng trình đƣờng tròn
+ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  C  có tâm I  a; b  và bán kính R.
+ M  x; y   C   IM  R
  x  a    y  b   R 2 1
2

2

Vậy  C   {M | IM  R không đổi }

1

gọi là phương trình của đường tròn.

+ Đường tròn  C  có tâm O và bán kính R

 phương trình của  C  : x 2  y 2  R 2
AB  đường kính  2R

R

AB
; tâm trùng với trung điểm AB.
2

Ví dụ 1: Cho 2 điểm A  2;3 ; B  2; 3 .
a) Viết phương trình đường tròn tâm A, bán kính 2.
b) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


c) Viết phương trình đường tròn tâm O, bán kính R  AB.
d) Viết phương trình đường tròn có đường kính AB.
Giải:
a) Đường tròn tâm A  2;3 , bán kính R  2 có phương trình:

 x  2    y  3
2

b) AB 

2

 22  4.

 2   2    3  3
2

2

 2 13.

Đường tròn tâm A  2;3 , bán kính R  AB  2 13 có phương trình là:

 x  2    y  3
2

2



 2 13



2

 52.

c) Đường tròn tâm O  0;0  , bán kính R  AB  2 13 có phương trình là:

 x  0   y  0
2

2



 2 13



2

 x 2  y 2  52.

2  2

 xI  2  0
d) Gọi I là trung điểm của AB  
 I  0;0   O
 y  3  3  0
 I
2
Đường tròn tâm O  0;0  , đường kính AB  bán kính R 

 x  0   y  0
2

2



 13 

2

AB 2 13

 13 có phương trình là:
2
2

 x 2  y 2  13.

2. Nhận dạng đƣờng tròn
+ Từ phương trình  x  a    y  b   R 2
2

2

 x 2  y 2  2ax  2by  a 2  b 2  R 2  0
 x 2  y 2  2ax  2by  c  0  2 
( với c  a 2  b2  R2 )

 2

là phương trình đường tròn khi và chỉ khi thỏa mãn:

R2  a 2  b2  c  0 *
Khi đó đường tròn  C  có: {

2

I  a; b 
√

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


+ Nếu viết  C  ở dạng: x2  y 2  2ax  2by  c  0

  C  có tâm I  a; b  ; R  a 2  b2  c
+ Có thể chuyển dạng tổng quát về dạng chính tắc:  x  a    y  b   P
2

2

( với P  0 khi đó  C  có tâm I  a; b  ; R  P )

Ví dụ 2: Tìm những phương trình đường tròn trong những phương trình sau và nêu rõ tâm và bán kính?

1
b) x  y  6 x  2 y  10  0
 2
c) 2 x 2  y 2  8 x  2 y  1  0
 3
d) x 2  y 2  2 xy  3x  5 y  1  0  4 
e) 3 x 2  3 y 2  12 x  6 y  3  0
5
a) x 2  y 2  2 x  4 y  4  0
2

2

Giải:
a) Giả sử (1) là phương trình đường tròn  Tâm I  1; 2  ;

Bán kính R 

 1

2

 22  4  9  3  0

 1 là phương trình đường tròn, có thể viết lại ở dạng:  x  1   y  2   9
2

2

b) a  3 ; b  1 ; c  10
 a 2  b2  c   3   1  10  0
2

2

  2  không phải là phương trình đường tròn.
c)  3 không phải phương trình đường tròn ( vì 2 x 2 ).
d)  4  không phải phương trình đường tròn ( vì 2 xy ).
e) Chia cả 2 vế phương trình  5  cho 3 ta được:

x 2  y 2  4 x  2 y  1  0  a  2 ; b  1 ; c  1
 a 2  b2  c  22   1   1  6  0
2

  5 là phương trình đường tròn với tâm I  2; 1 ; R  6.
Ví dụ 3: Cho phương trình: x2  y 2  2mx  4my  6m  1  0 1

a) Tìm các giá trị của m để 1 là phương trình đường tròn?

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


b) Khi 1 là phương trình đường tròn, hãy tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn theo m ?
Giải:
a) Giả sử 1 là phương trình đường tròn có dạng: x2  y 2  2ax  2by  c  0
Trong đó: a  m ; b  2m ; c  6m 1
Điều kiện để 1 là phương trình đường tròn  a 2  b2  c  0

 m2   2m    6m  1  0  m 2  4m 2  6m  1  0
2

m  1
 5m  6m  1  0  
m  1
5

2

 *

b) Đối với * khi đó 1 là phương trình đường tròn có: {

I  m; 2m 
R  5m2  6m  1.

Ví dụ 4: Cho phương trình đường cong  Cm  : x 2  y 2   m  2 x   m  4  y  m  1  0  2 
a) Chứng minh rằng  2  là phương trình đường tròn m ?
b) Tìm tập hợp (quỹ tích) tâm các đường tròn khi m thay đổi?
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn  Cm  luôn đi qua 2 điểm cố định?
Giải:
a) Nếu  2  là phương trình đường tròn có dạng: x2  y 2  2ax  2by  c  0
Trong đó: a  

m2
m4
;b
; c  m 1
2
2

Để  2  là phương trình đường tròn  a 2  b2  c  0

 m  2


2

 m  4


2

  m  1  0  m2  4m  4  m2  8m  16  4m  4  0

4

4
 2m  8m  16  0  m2  4m  8  0
2

  m2  4m  4   4  0   m  2   4  0 ( đúng m ) (đpcm).
2

Do vậy  2  luôn luôn là phương trình đường tròn.
b) *) Chú ý: Quỹ tích của một điểm có thể là:
+ Đường thẳng: ax  by  c  0  d 

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


+ Parabol: y  ax 2  bx  c  P 
+ Đường tròn: x2  y 2  2ax  2by  c  0  C 

Xét  Cm 

m2

 xI   2
là phương trình đường tròn có tọa độ tâm I 
y  m  4
 I
2

 xI  yI 

m  2  m  4
 1  xI  yI  1  0
2

 Tập hợp tâm I của  Cm  là đường thẳng d : x  y  1  0.
c) Gọi M  x0 ; y0    Cm  là điểm cố định m
 x0 2  y0 2   m  2  x0   m  4  y0  m  1  0
 x0 2  y0 2  mx0  2 x0  my0  4 y0  m  1  0
  x0  y0  1 m  x0 2  y0 2  2 x0  4 y0  1  0 *

M  x0 ; y0  là điểm cố định  * nghiệm đúng m
 y0  x0  1
 x0  y0  1  0
 2

 2
2
2
 x0  y0  2 x0  4 y0  1  0
 x0   x0  1  2 x0  4  x0  1  1  0
  x0  1
  x0  1

2 x0  2  0

 y0  2

   x0  1  
 y0  x0  1

 y  x  1   x0  1

0
 0
  y0  0
2

Vậy khi m thay đổi thì  Cm  luôn đi qua 2 điểm cố định 1; 2  và  1;0  .

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!