15 phương trình đường tròn tiết 3

PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÒN – TIẾT 3.
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlƣợnggiác dc ko ạ"

CHUYÊN ĐỀ: PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

MÔN TOÁN: LỚP 10

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH

II/ Vị trí tƣơng đối của điểm, đƣờng thẳng, đƣờng tròn với đƣờng tròn.
1. Vị trí tƣơng đối của điểm M với đƣờng tròn  C 
TH1:

IM  R

 M nằm trong  C 

TH2:

TH3:

IM  R

IM  R

 M  C 

 M nằm ngoài  C 

Phương pháp:

+ Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn  C  ; tính IM .
+ So sánh IM với R rồi đưa ra nhận xét vị trí của M với  C  .
Mở rộng khái niệm “Phương tích – Trục đẳng phương”

 C  : x2  y 2  2ax  2by  c  0 ; Điểm

M  x0 ; y0  .

 Phương tích của điểm M với đường tròn  C  :
( )

P M / C   x0  y0  2ax0  2by0  c [
2

2

( )
( )

2
2

 C1  : f  x; y   x  y  2a1 x  2b1 y  c1  0

2
2

 C2  : g  x; y   x  y  2a2 x  2b2 y  c2  0

P M / C1   P M / C2   f  x; y   g  x; y 

 2  a1  a2  x  2  b1  b2  y   c2  c1   0.

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 1: Xét vị trí tương đối của điểm với đường tròn trong các trường hợp sau:
a)  C1  :  x  1   y  2   9 ; A 1;1 ; B  2;0  ; C 3; 2  .
2

2

b)  C2  : x 2  y 2  2 x  4 y  1  0 ; M  1;2  ; N 1;3 ; P  2;4  .
Giải:
a)  C1  có tâm I 1; 2  ; R  3.

IA 

1  1  1  2

IB 

 2  1   0  2 

IC 

 3  1   2  2

2

2

2

 3  R  A 1;1   C1  .

2

2

2

 5  R  3  B  2;0  nằm trong đường tròn  C2  .
 2 5  R  3  C  3; 2  nằm ngoài đường tròn  C2  .

b) P M / C    1  22  2.  1  4.2  1  0  M  1; 2    C2 
2
2

P N / C2   12  32  2.1  4.3  1  3  0  N 1;3 nằm trong đường tròn  C2  .
P P / C2    2   42  2.  2   4.4  1  9  0  P  2; 4  nằm ngoài đường tròn  C2  .
2

2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng  với đƣờng tròn  C 
Phƣơng pháp:
+ Xác định tâm I và bán kính R của  C  .
+ Tính khoảng cách d  I ;   .
+ So sánh khoảng cách d  I ;   và R và đưa ra nhận xét.
TH1:

TH2:

TH3:

d  I;   R

d  I;   R

d  I;   R

    C  tại 2 điểm pb

  tiếp xúc với  C 

  không cắt  C 

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Phƣơng pháp: Tìm giao điểm (tiếp điểm) của  và  C 
+ Tọa độ giao điểm (tiếp điểm) là nghiệm của hệ phương trình:

 : Ax  By  C  0

 I  : 
2
2

C
:
x

a

y

b
 R2









 hoac : x

2

 y 2  2ax  2by  c  0 

+  I  có nghiệm  x; y  duy nhất  H  x; y  là tiếp điểm.

I 

có 2 nghiệm  x; y  phân biệt  A  x1; y1  ; B  x2 ; y2  là 2 giao điểm của  và  C  .

+ Ngoài ra ta có thể tìm tiếp điểm H bằng cách tìm hình chiếu vuông góc của tâm I trên  bằng các cách đã
học.
Bài 2: Xét vị trí tương đối của  và  C  trong các trường hợp sau. Tìm tọa độ giao điểm, tiếp điểm (nếu có)?

1 : x  y  1  0
a) 
2
2

 C1  : x  y  2 x  4 y  0


 2 : x  y  2  0
b) 
2
2

 C2  : x  y  6 x  4 y  9  0


3 : 2 x  y  1  0
c) 
2
2

 C3  : x  y  8 x  2 y  1  0

Giải:
a)  C1  có tâm I1 1; 2  ; R1  5.

d  I1 ; 1  

1  2 1
12  12



2
 2
2

 d  I1; 1   R1  1   C1    A; B
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
 y   x  1
x  y 1  0

 2
 2
2
2
 x  1  x   2 x  4 1  x   0
x  y  2x  4 y  0
 y  x 1
 y  x 1
 y  x 1

 2
 2


6
2
x 1 2x  x  2x  4  4x  0
2 x  3  0
x  

2
 6 2 6 

6 2 6 
 A 
;
;
 ; B  
.
2 
2 
 2
 2

b)  C2  có tâm I 2  3; 2  ; R2  2.

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


d  I2 ; 2  

3  2  2

1   1
2

2



1
2

2
2

 d  I 2 ;  2   R2   2   C2    A; B .

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
 y  x  2
x  y  2  0

 2

2
2
2
x  y  6x  4 y  9  0
 x   x  2   6 x  4  x  2   9  0
y  x  2
y  x  2

 2


7  7
2 x  14 x  21  0
x 

2
 7  7 3  7 
 7  7 3  7 
 A 
;
;
 ; B 
.
2
2
2
2 




c)  C3  có tâm I3  4;1 ; R3  4.
d  I3 ; 3  

2.4  1  1
22   1

2



8 8 5

5
5

 d  I 3 ;  3   R3   3   C3    A; B .

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:

2 x  y  1  0
 y  2 x  1

 2
 2
2
2
 x   2 x  1  8 x  2  2 x  1  1  0
 x  y  8x  2 y  1  0
 x  0

 y  2 x  1   y  1

 y  2x 1

 x  0
 2
 
  x  8


5 x  8 x  0
5
 x  8
 
 

5
21
  y 
5

 8 21 
 A  0;1 ; B  ;  .
5 5 
 x  1  2t
2
2
;  C  :  x  1   y  2   16.
Bài 3: Tìm tọa độ các giao điểm của  và  C  :  : 
 y  2  t
Giải:

 x  1  2t 1

Giải hệ phương trình:  y  2  t  2 

2
2
 x  1   y  2   16  3

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Thế (1), (2) vào (3) ta được:

1  2t  1   2  t  2 
2

2

 16   2t    t  4   16
2

2

t  0
 4t  t  8t  16  0  5t  8t  0   8
t 
 5
 x  1  2.0  1
 t 0
 A 1; 2 
 y  2  0  2
2

2

2

8 21

x  1  2. 

8 
 21 2 
5 5
 t 
 B  ;  .
8
2
5 
5
 5
y  2   

5
5

Bài 4: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 và đường thẳng  : 3x  4 y  20  0.
a) Chứng minh rằng đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn  C  .
b) Tìm tọa độ tiếp điểm của  với  C  .
Giải:
a)  C  có tâm I 1; 2  ; R  12   2    20   5
2

d  I;  

3  4.2  20

32  42



25
 5  d  I ;    R.
5

 đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn  C  (đpcm).
b) Gọi H là tiếp điểm của  với  C   H là hình chiếu vuông góc của I trên .
+ Bước 1: Dựng đường thẳng d qua I và vuông góc với 
 d : 4 x  3 y  c  0.

Thay I vào d     2  c  0  c  10  d : 4 x  3 y  10  0.
+ Bước 2: H  d    Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

3x  4 y  20  0
x  4

 H  4; 2  .

4 x  3 y  10  0
y  2
Bài 5: Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  4 x  2 y  1  0 và đường thẳng  : x  my  1  0. Tìm m để  cắt  C 
tại 2 điểm phân biệt A, B.
Giải:

 C  có tâm I  2;1 ; R 

5

22  12  1  2.

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


d  I;  

2  m 1
12  m2



m 1
m2  1

Để    C  tại 2 điểm phân biệt  d  I ;    R



m 1
m 1
2

 2  m  1  2 m2  1   m  1  4  m2  1
2

   0

 m2  2m  1  4m2  4  3m2  2m  3  0  

  Đúng m.
a


3

0



Vậy  luông cắt  C  tại hai điểm phân biệt m.
Bài 6: Viết phương trình đường tròn tâm I  3;1 và chắn trên đường thẳng  : x  2 y  4  0 một dây cung có
độ dài bằng 4.
Giải:
+  C    theo 1 dây cung AB  4 ; IH  AB ; H .

 H là trung điểm của AB.
HB 

3.1  2.1  4
1
1
5
AB  .4  2 ; IH  d  I ;   

 5
2
2
2
2

5
1   2 

 

R  IB  IH 2  HB 2 

5

2

 22  3.

  C  có tâm I  3;1 ; R  3 có phương trình:  x  3   y  1  9.
2

2

3. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng tròn  C1  và  C2 
Phƣơng pháp: Tìm tâm và bán kính R  Tính độ dài đoạn nối tâm  so sánh nhận xét:

 C1  :  I1 ; R1 


 C2  :  I 2 ; R2 
d  I1 I 2  doan noi tam

|

( )

|

[

2 tiếp tuyến chung

6

|

( )

|
|

|

3 tiếp tuyến chung

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


1 tiếp tuyến chung

4 tiếp tuyến chung

không có tiếp tuyến chung

2
2


 C1  : x  y  2 x  6 y  15  0
Bài 7: Cho 2 đường tròn: 
. Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại 2
2
2

 C2  : x  y  6 x  2 y  3  0
điểm phân biệt. Tìm tọa độ 2 giao điểm ấy.

Giải:

 C1  có tâm I1 1;3 ; R1 

12  32  15  5

 C2  có tâm I 2  3;1 ; R2 
d  I1 I 2 

 3  1  1  3
2

32  12  3  13
2

2 2

R1  R2  5  13 ; R1  R2  5  13  5  13
 R1  R2  I1 I 2  R1  R2

  C1    C2  tại 2 điểm phân biệt.
Tọa độ giao điểm của  C1  và  C2  là nghiệm của hệ phương trình:
2
2

 x  y  2 x  6 y  15  0 1
 2
2

 x  y  6x  2 y  3  0  2

Lấy (1) trừ (2) ta được:  2 x  6 y  15   6 x  2 y  3  0
4 x  4 y 12  0  x  y  3  0  y  x  3 thay vào (1) ta được:

x 2   x  3  2 x  6  x  3  15  0
2

 x 2  x 2  6 x  9  2 x  6 x  18  15  0
 2 x 2  14 x  12  0  x 2  7 x  6  0
 x  1  y  2  A 1; 2 

 x  6  y  3  B  6;3
Vậy  C1  cắt  C2  tại 2 điểm phân biệt A 1; 2  ; B  6;3 .

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 8: Xét vị trí tương đối của các đường tròn sau:

2
2

 C1  : x  y  4 x  6 y  4  0
a) 
2
2

 C2  : x  y  10 x  14 y  70  0

2
2

 C1  : x  y  6 x  10 y  24  0
b) 
2
2

 C2  : x  y  6 x  4 y  12  0

2
2

 C1  : x  y  2 x  4 y  5  0
c) 
2
2

 C2  : x  y  x  5 y  4  0

Giải:
a)  C1  có tâm I1  2;3 ; R1  22  32  4  3

 C2  có tâm I 2  5;7  ; R2 
d  I1I 2 

52  72  70  2

 5  2    7  3
2

2

5

R1  R2  3  2  5  d  R1  R2

  C1  và  C2  tiếp xúc ngoài.
b)  C1  có tâm I1  3;5 ; R1 

 C2  có tâm I 2  3; 2 ; R2 
d  I1 I 2 

 3  3   2  5 
2

 3

2

 52  24  10

32  22  12  5
2

3 5

R1  R2  10  5 ; R1  R2  10  5  5  10

 R1  R2  d  R1  R2   C1    C2  tại 2 điểm phân biệt.
c)  C1  có tâm I1  1; 2  ; R1 

 C2 

 1

2

2

 22  5  10
2

10
1 5
1 5
có tâm I 2  ;  ; R2        4 
2
2 2
2 2

2

2

10
1  5

d  I1 I 2    1    2  
2
2  2

R1  R2  10 

10 3 10
10
10

; R1  R2  10 

2
2
2
2

 d  R1  R2   C1  và  C2  tiếp xúc trong.

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!