7 tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng (cấp độ 2)

BÀI GIẢNG: TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
(CẤP ĐỘ 2)
CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
MÔN TOÁN LỚP 11
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
A. LÍ THUYẾT.
CẤP ĐỘ 2: Khoảng cách từ “chân vuông góc” đến “mặt phẳng”
Bài toán trải qua 3 giai đoạn
+) Dựng hình
+) Chứng minh
+) Tính
Cách dựng d(A,SBC)
TH1: Cho hình chóp SABC, SA  đáy. Tam giác ABC vuông tại B.
+) Từ A kẻ AH  SB  H  SB   AH  d  A,SBC 
+) Chứng minh

TH2: Cho hình chóp SABC, SA  đáy. Tam giác ABC vuông tại C.
+) Từ A kẻ AH  SC  H  SC   AH  d  A,SBC 
+) Chứng minh

TH3: Cho hình chóp SABC, SA  đáy. Tam giác ABC không vuông tại B, C.


AM  BC  M  BC 
+) Từ A dựng 
 AH  d  A,SBC 
AH

SM
H


SM




+) Chứng minh

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


B. BÀI TẬP VÍ DỤ
VD1: Cho hình chóp SABCD, SA   ABCD  . Đáy là hình chữ nhật với AB = a, BC  a 3. Góc giữa đường
thẳng SC và đáy bằng 45o C
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDM) (M là trung điểm của BC)
Hướng dẫn giải
Góc giữa đường thẳng SC và đáy chính là góc giữa đường thẳng SC và
đường thẳng AC  SCA  45o C
a) d(A, SBC) = ?
+) Dựng: AH  SB  H  SB   AH  d  A,SBC 
+) Chứng minh: AH   SBC 

BC  AB
 BC   SAB   BC  AH

BC  SA  SA   ABCD  
Ta có:

AH  BC
 AH   SBC   AH  d  A,SBC 

AH  SB
+) Tính AH = ?



ABC :AC2  AB2  BC2  a 2  a 3



2

 4a 2  AC  2a

Xét tam giác SAC vuông cân tại A (vì có góc SCA  45o )  SA = AC = 2a
Trong tam giác vuông SAB có:

1
1
1


2
2
AH
SA
AB2

1
1
1
5
4a 2
2a
2a
2

 2  2  2  AH 
 AH 
 d  A,SBC  
2
AH
4a
a
4a
5
5
5
b) d(A, SBD) = ?


AI  BD  I  BD 
+) Dựng: 
 AK  d  A,SBD 

AK  SI  K  SI 
+) Chứng minh: AK   SBD 

BD  AI
 BD   SAI   BD  AK

BD  SA  SA   ABCD  
Ta có:
AK  BD
 AK   SBD   AK  d  A,SBD 

AK  SI
+) Tính AK = ?
Trong tam giác ABD có:

2

1
1
1
1
1
4
3a 2
a 3
2






AI


 AI 
2
2
2
2
2
2
AI
AB
AD
a
3a
3a
4
2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


1
1
1
1
4
19
2a 3

 2 2 2
 AK 

2
2
2
AK
SA
AI
4a
3a
12a
19

Trong tam giác SAI có:

c) d(A, SDM) = ? (M là trung điểm của BC)
AE  DM
 AG  d  A,SDM 
+) Dựng: 
AG  SE
+) Chứng minh: HS tự chứng minh
+) Tính AG = ?
Xét tam giác DMC:
2

 a 3  7a 2
a 7
DM  DC  CM  a  
 DM 
 
4
2

 2 
Ta có:
2

2

2

2

1
1
AD.AB a 2 3 2a 3
SADM  DM.AE  AD.AB  AE 


2
2
DM
a 7
7
2
Trong tam giác SAE có:
1
1
1
1
1
1
7

10
5
6a 2
a 6
2









AG

 AG 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
AG
SA
AE
4a

4a 12a
12a
6a
5
5
 2a 3 


 7 
VD2: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B và AB = 2a, BC = 2a, AD = 4a. Gọi H là
trung điểm của AC, SH  đáy, SA = 2a
a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAB)
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của AD

AM BC
AM  BC

+) Xét tứ giác AMCB có: 
 Tứ giác AMCB
o
A

90

AB  BC  2a

là hình vuông  CM = 2a.

1
+) Xét tam giác ACD: CM  AD  ACD vuông tại C
2
 AC  CD
a) d(H, SCD) = ?
+) Dựng: Từ H dựng HK  SC  K  SC   HK  d  H,SCD 
+) Chứng minh: HS tự làm
+) Tính:

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


ABC :AC2  AB2  BC2   2a    2a   8a 2  AC  2a 2  HC 
2

2

AC
a 2
2

SAH :SH2  SA2  AH2  4a 2  2a 2  2a 2  SH  a 2
1
1
1
1
1
1

SHC :


 2  2  2  HK  a
2
2
2
HK
SH
HC
2a
2a
a
b) d(H, SAB) = ?


HE  AB  E  AB
+) Dựng: 
 HI  d  H,SAB

HI  SE  I  SE 
+) Chứng minh: HS tự làm
+) Tính:

1
2a
HE là đường trung bình của tam giác ABC  HE  BC 
a
2
2

Trong tam giác SHE:

1
1
1
1
1
3
a 2


 2  2  2  HI 
2
2
2
HI
SH
HE
2a
a
2a
3

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp

có SA  ( ABCD) . Đáy là hình chữ nhật với

√ . Góc giữa SC

,

và đáy bằng
.
1. Khoảng cách từ điểm A đến
A. a 2

B.

2. Khoảng cách từ điểm

a
19
3. Khoảng cách từ điểm
A.

2a
5

C.

2a
5

D. 5a

2a 2
19

C.

2a 3
19

D. a 3

đến
B.
đến

với

là trung điểm BC

a 3
2a 3
2a
a
B.
C.
D.
5
10
10
10
Bài 2: Cho hình chóp
có hai mặt phẳng
cùng vuông góc với đáy. Đáy là tam giác ABC có
̂
góc

,
. Góc giữa
và đáy bằng
. Sau khi rút gọn tối giản, mẫu số của khoảng
cách từ A đến
nhận giá trị nào dưới đây
A. 27
B. 28
C. 29
D. 30
Bài 3: Cho lăng trụ đứng
có đáy là tam giác vuông tại B với
√ ,
√ .
A.

1. Gọi khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
A. 2
2. Khoảng cách từ điểm
A.

a 6
11

B. 3
đến mặt phẳng
B.

4

a 11
6

là X. Giá trị của biểu thức
C. 4
có giá trị bằng
C.

a
6

4X 2
là:
a2
D. 5

D. a 11

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 4: Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh
tiếp của mặt đáy.
1. Thể tích của khối chóp này là:
A. a

3

23

B. 3a

3

2. Tính khoảng cách từ O đến

, cạnh bên bằng

. Gọi

là tâm đường tròn ngoại

a 3 23
C.
3

23
:

a 42
a 43
a 46
B.
C.
23
26
12
3. Gọi
lần lượt là trung điểm

. Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
giá trị của mẫu số sau khi tối giản là:
A. 90
B. 91
C. 92
Bài 5: Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại
với
trung điểm của
. Biết SH  ( ABCD) . Góc giữa
và đáy bằng
.
A.

1. Độ dài khoảng cách từ điểm
A. a

A.

đến mặt phẳng

2a
3

đến mặt phẳng

a 23
46
. Khoảng cách này có

D.

D. 93
,

. Gọi

là :

B. 2a

2. Khoảng cách từ

3a3
D.
23

C. a 2

D.

a 2
2

nhận giá trị là :

B. 2a 3

C.

a 3
4

D. a 3

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
Bài 1:
Hướng dẫn giải
1. Ta có  SC;  ABCD     SC; AC   SCA  450 .


 BC  AB
Ta có 
 BC   SAB 

 BC  SA  SA   ABCD  
Trong (SAB) kẻ AH  SB  H  SB  ta có:

 BC  AH  BC   SAB  
 AH   SBC   d  A;  SBC    AH


 AH  SB
Tam giác SAC vuông cân tại A nên SA  AC  AB 2  AC 2  2a .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAB có :
SA. AB
2a.a
2a
AH 



5
SA2  AB 2
4a 2  a 2
2a
 d  A;  SBC   
.
5
Chọn B.
2. Trong (ABCD) kẻ AE  BD , trong (SAE) kẻ AF  SE ta có:

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

là


 BD  AE
 BD   SAE   BD  AF

 BD  SA  SA   ABCD  
 AF  BD  cmt 
 AF   SBD   d  A;  SBD    AF

 AF  SE
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD ta có: AE 

AB. AD

AB 2  AD 2

a.a 3



a 2  3a 2



a 3
2

a 3
2a 57
2


Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE ta có: AF 
.
19
SA2  AE 2
3a 2
2
4a 
4
SA. AE

Vậy d  A;  SBD   

2a.

2a 3
.
19

Chọn C.
3. Kẻ AG  DM ; AK  SG , chứn minh tương tự ý b) ta chứng minh được AK   SDM  .
1
a2 3 1
 AG.DM
Ta có: S ADM  .a.a 3 
2
2
2

 AG 

2S ADM

DM

a2 3
a2 

3a 2
4



2a 21
7

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE có: AK 

2a 21
a 30 2a 3
7



2
2
2
5
10
SA  AG
12a
2
4a 
7
SA. AG

2a.

Chọn C.
Câu 2:
Hướng dẫn giải:

 SAB    ABC 


 SA   ABC  .
 SAC    ABC 

 SAB    SAC   SA

 SC;  ABC    SC; AC   SCA  60 .
0

Trong (ABC) kẻ AE  BC  E  BC  , trong (SAE) kẻ AH  SE  H  SE  ta có:

 BC  AE
 BC   SAE   BC  AH

 BC  SA
 AH  BC
 AH   SBC   d  A;  SBC    AH

 AH  SE
Ta có S ABC 

6

1
1
3 a2 3
AB. AC.sin BAC  .a.2a.

và
2

2
2
2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


BC  AB 2  BC 2  2 AB.BC.cos BAC  a 2  4a 2  2a.2a.
Mà S ABC 

1
a 7
2

2S
1
a 3
AE.BC  AE  ABC 
.
2
BC
7

Ta có:  SC;  ABC     SC; AC   SCA  600 . Nên SA  AC.tan 600  2a 3 .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAE có: AH 

2a 3.

SA. AE
SA  AE

2

2



 2a 3 

2

a 3
7

a 3


 7 

2



2a 87
29

Chọn C.
Bài 3:
Hướng dẫn giải:
 BH  AC
 BC   ACC ' A '  d  B;  ACC ' A '    BH .

1. Kẻ BH  AC ta có 
 BH  AA '
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
AB.BC
a.a 3
a 3
BH 


2
2
2
2
2
AB  BC
a  3a

Vậy d  B;  ACC ' A '  

a 3
X.
2

4 X 2 3a 2
 2 3 .
a2
a
Chọn B.
2. Trong (BB’H) kẻ BK  B ' H ta có:
 AC  BH

 AC   BB ' H   AC  BK

 AC  BB '


 BK  AC
 BK   AB ' C   d  B;  AB ' C    BK

 BK  B ' H
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AA’B có : AA '  3a 2  a 2  a 2  BB ' .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BB’K có : BK 

a 3
2 a 6.

11
BB '2  BH 2
3a 2
2a 2 
4
BB '.BH

a 2.

Chọn A.
Bài 4:
Hướng dẫn giải:

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


1. Ta có SO   ABC  .
Gọi M là trung điểm của BC ta có: AM 

2a 3
2
2a 3
 a 3  AO  AM 
.
2
3
3

Xét tam giác vuông SAO: SO  SA2  AO 2  9a 2 
SABC

 2a 


2

4

3

4a 2 a 69

.

3
3

 a2 3 .

1 a 69 2
a 3 23
.a 3 
Vậy VS . ABC  .
.
3 3
3
Chọn C.
 AB  ON
 AB   SON  .
2. Gọi N là trung điểm của AB ta có 
 AB  SO

OH  SN
 OH   SAB   d  O;  SAB    OH
Trong (SON) kẻ OH  SN  H  SN  ta có : 
OH  AB
2a 3
1
a 3
 a 3  ON  CN 
.
2
3
3

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SON có: .
Chọn C.
3. Gọi H  OB  MN  OH  MN

Ta có : CN 

Trong (SOH) kẻ OK  SH ta có OK   SMN   d  O;  SMN    OK .
2

a 3


ON 2  3 
a 3


Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBN có : OH 
.
OB
6
2a 3
3
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOH có :

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


OK 

SO.OH
SO  OH
2

2



a 69 a 3
.
3
6
2

 a 69   a 3 

 

 3   6 

2



a 23 a 713

93
3 31

Chọn D.
Bài 5:
Hướng dẫn giải:
1. Gọi E là trung điểm của AD, dễ thấy ABCE là hình vuông
 CE  AB  2a .
1
Xét tam giác ACD có CE  AD  ACD vuông tại C (định
2
lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
 AC  CD hay HC  CD .
Trong (SAC) kẻ HK  SC ta có:
CD  AC
 CD   SHC   CD  HK

CD  SH
.
 HK  SC
 HK   SCD   d  H ;  SCD    HK

 HK  CD
Ta có :  SC;  ABCD     SC; HC   SCH  450  
vuông cân tại H.
AC 

SHC

AB 2  BC 2  2a 2  HC  a 2  SH  a 2 .

1
 SC  a 2. 2  2a  HK  SC  a .

2
Vậy d  H ;  SCD    a .
Chọn A.
2. Gọi M là trung điểm của AB, trong mặt phẳng (SHM) kẻ HN  SM . Ta có:
 AB  HM
 AB   SHM   AB  HN

 AB  SH
.
 HN  SM
 HN   SAB   d  H ;  SAB    HN

 HN  AB
Ta có: HM 

1
BC  a .
2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SHM có: HN 
Vậy d  H ;  SAB   

SH .HM
SH  HM
2

2



a 2.a
2a  a
2

2



a 2
.
3

a 2
.
3

Chọn A.

9

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!