BÀI GIẢNG: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG
CHUYÊN ĐỀ: TAM GIÁC – TOÁN LỚP 7
THẦY GIÁO: ĐỖ VĂN BẢO
1. Các trường hợp
*Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau thì
bằng nhau theo trường hợp c.g.c ( được gọi là hệ quả của
trường hợp c.g.c)
* Hai tam giác vuông có một cặp cạnh góc vuông bằng
nhau, góc nhọn liền kề bằng nhau thì bằng nhau theo trường
hợp cạnh góc vuông – góc liền kề ( được gọi là hệ quả của
trường hợp g.c.g)
* Hai tam giác vuông có một cặp cạnh huyền bằng nhau,
góc nhọn bằng nhau thì bằng nhau theo trường hợp cạnh
huyền – góc nhọn (hệ quả 2 của trường hợp g.c.g)
* Hai tam giác vuông có một cặp cạnh góc vuông bằng
nhau, góc nhọn không kề bằng nhau thì bằng nhau theo
trường hợp cạnh góc vuông – góc liền kề ( được gọi là hệ
quả của hệ quả của trường hợp g.c.g)
Chứng minh: B B ' C C '
*Hai tam giác có cạnh huyền, và cạnh góc vuông bằng nhau, hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.c.c (Áp
dụng định lý Pytago). Trường hợp này được gọi là bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
2. Bài tập
Dạng 1: Xác định trường hợp
Bài tập 1:
a) Bổ sung 1 yếu tố để hai tam giác bằng nhau:
+ AC A ' C ' (c.g.c)
+ B B ' (g.c.g)
+ BC B ' C ' ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
+ C C ' ( hệ quả - hệ quả 1 g.c.g)
b) Bổ sung 1 yếu tố để hai tam giác bằng nhau:
+ C C ' ( cạnh huyền – góc vuông)
+ B B ' ( cạnh huyền – góc vuông)
+ CA C ' A ' ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
+ BA B ' A ' ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
c) Bổ sung 1 yếu tố để hai tam giác bằng nhau:
+ AC A ' C ' ( g.c.g)
+ BC B ' C ' ( cạnh huyền – góc nhọn)
+ AB A ' B ' ( hệ quả - hệ quả 1 g.c.g)
Bài tập 63 (SGK/136)
ABC cân tại A, đường cao AH
a) Chứng minh rằng HB HC
b) Chứng minh BAH CAH
Giải
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
a) Chứng minh rằng HB HC
Xét AHB và AHC có:
AH là cạnh chung
AB AC ( giả thiết)
AHB AHC ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
HB HC ( hai cạnh tương ứng)
b) Chứng minh BAH CAH
AHB AHC ( chứng minh trên)
BAH CAH ( hai góc tương ứng)
Bài tập 65 (SGK/137)
ABC cân tại A, đường cao BH và CK .
a) Chứng minh rằng AH AK
b) BH CK I . Chứng minh AI là tia phân giác
c) IBC cân
d) AI BC
e) KH BC
Giải
a) Chứng minh rằng AH AK
Xét AHB và AKC có:
A chung
AB AC ( giả thiết)
AHB AKC ( cạnh huyền – góc nhọn )
AH AK ( hai cạnh tương ứng)
b) BH CK I . Chứng minh AI là tia phân giác
Xét AKI và AHI có:
AI là cạnh chung
AH AK ( chứng minh trên)
AKI AHI ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
A1 A2 ( hai góc tương ứng)
3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
AI là tia phân giác của góc A( điều phải chứng minh)
c) IBC cân
Cách 1:
Xét AIB và AIC có:
AI là cạnh chung
AB AC ( giả thiết)
A1 A2 ( chứng minh trên)
AKI AHI (c.g.c)
IB IC ( cạnh tương ứng)
IBC cân( điều phải chứng minh)
Cách 2:
Xét KBC và HCB có:
BC là cạnh chung
B C ( tính chất tam giác cân ABC )
KBC HCB (cạnh huyền – góc nhọn )
B2 C2 ( hai góc tương ứng)
IBC cân( điều phải chứng minh)
d) AI BC
Xét AMB và AMC có:
AB AC ( giả thiết)
AM là cạnh chung
A1 A2 ( chứng minh trên)
AMB AMC (c.g.c)
M1 M 2 ( hai góc tương ứng)
Mà M1 M 2 180 ( kề bù)
M1 M 2 90
AM BC
AI BC ( điều phải chứng minh)
e) KH BC
Cách 1:
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
Xét AJK và AJH có:
AH AK ( chứng minh trên)
A1 A2 ( chứng minh trên)
AJ chung
AJK AJH ( c.g.c)
AJK AJH ( hai góc tương ứng)
Mà AJK AJH 180 ( kề bù)
AJK AJH 900
AJ KH
Mà AM BC ( chứng minh trên )
KH BC ( điều phải chứng minh)
Cách 2:
AKH
180 BAC
2
ABC
180 BAC
2
AKH ABC
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
KH BC ( điều phải chứng minh)
Bài tập 69 (SGK/137)
Xác định các tam giác bằng nhau theo hình vẽ
Giải
+ ADM AEM ( cạnh huyền – góc nhọn)
AM là cạnh chung
A1 A2
MD ME ( hai cạnh tương ứng)
+ MBD MCE (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
MD ME ( chứng minh trên)
MB MC
B C ( hai góc tương ứng)
5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
M1 M 2 ( hai góc tương ứng )
+ ABM ACM ( g.c.g)
A1 A2
AM là cạnh chung
AMB AMC
Bài tập 96 (SBT/151)
ABC ; AB AC ; I là giao điểm của hai đường trung trực của AB và AC.
a) Chứng minh AI là phân giác
b) Chứng minh AI BC
c) Chứng minh MN BC
Giải
a) Chứng minh AI là phân giác
Xét IMA và INA có:
AI là cạnh chung
AM AN ( tính chất đường trung trực)
IMA INA ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
A1 A2 ( hai góc tương ứng)
AI là phân giác BAC
b) Chứng minh AI BC
AI BC H
Xét AHB và AHC có:
AB AC ( giả thiết)
AH là cạnh chung
A1 A2 ( chứng minh trên)
AHB AHC (c.g.c)
H1 H 2 ( hai góc tương ứng)
Mà H1 H 2 180 ( kề bù)
H1 H 2 90
6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
AH BC
AI BC ( điều phải chứng minh)
c) Chứng minh MN BC
Xét AJM và AJN có:
AM AN ( tính chất đường trung trực)
A1 A2 ( chứng minh trên)
AJ chung
AJM AJN ( c.g.c)
AJM AJN ( hai góc tương ứng)
Mà AJM AJN 180 ( kề bù)
AJM AJN 900
AJ MN
Mà AH BC ( chứng minh trên )
MN BC ( điều phải chứng minh)
Bài tập 1:
Cho một tam giác có đường đồng thời là phân giác, đường cao, đồng thời là trung tuyến. Chứng minh tam giác
đó là tam giác cân
GT
KL
ABC ; A1 A2
MB MC
ABC cân
Giải
Hạ ME AB; E AB
Hạ MD AC; D AC
Xét MAE và MAD có:
AM là cạnh chung
A1 A2
MAE MAD ( cạnh huyền – góc nhọn )
ME MD ( hai cạnh tương ứng)
Xét MEB và MDC có:
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!
MB MC ( giả thiết)
ME MD ( chứng minh trên)
MEB MEC ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
B C ( hai góc tương ứng)
ABC cân ( điều phải chứng minh)
8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!