Công thức tích phân bội

TOÁN 3-TG: BÙI CHÍ CƯỜNG

TÓM TẮT CÔNG THỨC CHƯƠNG 13
CHƯƠNG 13: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, TRƯỜNG
VECTOR
1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
DẠNG 1: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

∫ 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝑆 ℎ𝑜ặ𝑐 ∫ 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑆
𝐶

𝐶

𝑥(𝑡)
Bước 1: Dựa vào phương trình đường cong C để tham số hóa: {𝑦𝑥 =
ℎ𝑜ặ𝑐
= 𝑦(𝑡)

𝑥 = 𝑥(𝑡)
{𝑦 = 𝑦(𝑡)
𝑧 = 𝑧(𝑡)

𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑏
Bước 2: Xác định cận lấy tích phân: 𝑥 |𝑥 ; |𝑦 ; 𝑧 |𝑧 → 𝑡 |
1
1
1
𝑎
𝑏

Bước 3: Áp dụng công thức:

∫ 𝑓(𝑥; 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓[𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡)]√[𝑥 ′ (𝑡)]2 + [𝑦 ′ (𝑡)]2 𝑑𝑡
𝐶

𝑎

𝑏

Hoặc

∫ 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓[𝑥 (𝑡 ); 𝑦(𝑡 ); 𝑧(𝑡)]√[𝑥 ′ (𝑡 )]2 + [𝑦 ′ (𝑡 )]2 + [𝑧 ′ (𝑡 )]2 𝑑𝑡
𝐶

𝑎

Chú ý: Khi gặp đường tròn

(𝑥 − 𝑎 )2 + (𝑦 − 𝑏 )2 = 𝑟 2

→ thì ta tham số hóa

𝑥 = 𝑎 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡
bằng cách đặt { 𝑦 = 𝑏 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑏

ĐỘ DÀI CUNG:

𝐿 = ∫ 𝑑𝑠 = ∫ √[𝑥′ (𝑡)]
𝐶

2

2

+ [𝑦′ (𝑡)] 𝑑𝑡

𝑎

1


TOÁN 3-TG: BÙI CHÍ CƯỜNG

𝑏

Hoặc:

2

2

𝐿 = ∫ 𝑑𝑠 = ∫ √[𝑥′ (𝑡)] + [𝑦′ (𝑡)] + [𝑧′ (𝑡)]
𝐶

2

𝑑𝑡

𝑎

DẠNG 2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑦 ℎ𝑜ặ𝑐 ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧
𝐶

𝐶

hoặc tích phân đường của trường vector 𝐹 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅𝑘 trên đường cong C
được biểu diễn bằng phương trình tham số 𝑅 = 𝑥 (𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘
Bước 1: Dựa vào phương trình đường cong C để tham số hóa:

𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦
ℎ𝑜ặ𝑐 { = 𝑦(𝑡)
{
𝑦 = 𝑦(𝑡)
𝑧 = 𝑧(𝑡)

𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑏
Bước 2: Xác định cận lấy tích phân: 𝑥 |𝑥 ; |𝑦 ; 𝑧 |𝑧 → 𝑡 |
1
1
1
𝑎
𝑏

Bước 3: Áp dụng công thức:

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = ∫[𝑃. 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑄. 𝑦′(𝑡)] 𝑑𝑡
𝐶

𝑎

𝑏

Hoặc

∫ 𝐹𝑑𝑅 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = ∫[𝑃. 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑄. 𝑦 ′ (𝑡) + 𝑅. 𝑧′(𝑡)] 𝑑𝑡
𝐶

𝐶

𝑎

Chú ý: Tính công thực hiện bởi lực 𝑭 = 𝑷𝒊 + 𝑸𝒋 + 𝑹𝒌 khi di chuyển vật theo
đường cong C được biểu diễn bằng phương trình tham số 𝑹 = 𝒙(𝒕)𝒊 +
𝒚(𝒕)𝒋 + 𝒛(𝒕)𝒌 là:
𝑏

𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝑅 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 + 𝑅𝑑𝑧 = ∫[𝑃. 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑄. 𝑦 ′ (𝑡) + 𝑅. 𝑧′(𝑡)] 𝑑𝑡
𝐶

𝐶

𝑎

2

TOÁN 3-TG: BÙI CHÍ CƯỜNG

DẠNG 3: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TRÊN ĐƯỜNG CONG KÍN

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄 𝑑𝑦

với C là đường cong kín

𝐶

Bước 1: Tìm 𝑃𝑥 ; 𝑄𝑦 sau đó dựa vào miền D là miền được bao quanh bởi đường
cong C
Bước 2: Xác định cận lấy tích phân và sử dụng công thức tính
- Chiều lấy tích phân NGƯỢC chiều kim đồng hồ:

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = + ∬(𝑄𝑥 − 𝑃𝑦 )𝑑𝐴
𝐶

- Chiều lấy tích phân CÙNG chiều kim đồng hồ:

𝐷

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = − ∬(𝑄𝑥 − 𝑃𝑦 )𝑑𝐴
𝐶

𝐷

Chú ý: Nếu đường cong không kín thì ta có thể bổ sung them các đường thẳng

dạng 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 hoặc 𝒙 = 𝒄𝒚 + 𝒅 để trở thành đường cong kín sau đó trừ
bớt đi phần mà ta đã bổ sung.
DẠNG 4: TÍCH PHÂN KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦
𝐶

có 𝑄𝑥 = 𝑄𝑦 hoặc dạng 𝐹 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 với C là đường cong được
biễu diễn bằng 𝑅 = 𝑥 (𝑡)𝑖 + 𝑦(𝑡)𝑗 + 𝑧(𝑡)𝑘

Bước 1: Tìm 𝑃𝑥 ; 𝑄𝑦 và kiểm tra điều kiện 𝑄𝑥 = 𝑄𝑦
3


TOÁN 3-TG: BÙI CHÍ CƯỜNG

Bước 2: Xác định điểm đầu tương ứng với 𝑡 = 𝑡1 và điểm cuối 𝑡 = 𝑡2
Bước 3: Cách 1: Vẽ các đường thẳng song song với trục tung 𝑥 = 𝑎 → 𝑑𝑥 =
𝑦2
𝑥2
0; 𝑦 |𝑦 hoặc song song trục hoành 𝑦 = 𝑐 → 𝑑𝑦 = 0; 𝑥 |𝑥 để nối điểm đầu
1
1
và điểm cuối sau đó tính tích phân theo những đường đã chọn
Cách 2: Sử dụng hàm thế 𝑓(𝑥; 𝑦) thõa mản:
′

{

𝑓𝑥 = 𝑃

→ 𝑓 = ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦) → ( ∫ 𝑃𝑑𝑥)
𝑓𝑦 = 𝑄

+ 𝑔′(𝑦) = 𝑄 → 𝑓 (𝑥; 𝑦) = ⋯
𝑦

Sử dụng công thức để tìm tích phân:

∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = ∫ 𝐹𝑑𝑅 = ∫ ∇𝑓. 𝑑𝑅 = 𝑓[𝑅(𝑡2 ] − 𝑓[𝑅(𝑡1 )]
𝐶

𝐶

𝐶

2. TRƯỜNG VECTOR
Cho trường vector

𝐹(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑃(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑖 + 𝑄(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑗 + 𝑅(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑘

Độ phân kỳ của trường vector: 𝐹⃗ :

𝑑𝑖𝑣𝐹⃗ = 𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧

-Nếu 𝒅𝒊𝒗𝑭(𝑨) = 𝟎, ∀𝑨 ∈ 𝑫 thì F được gọi là trường ống trên D
-Nếu 𝒅𝒊𝒗𝑭(𝑨) > 𝟎 thì F được gọi là điểm nguồn, 𝒅𝒊𝒗𝑭(𝑨) < 𝟎 thì F được
gọi là điểm dò
Vector xoáy của trường
vector: ⃗𝑭⃗:

𝐶𝑢𝑟𝑙𝐹⃗ = (𝑅𝑦 − 𝑄𝑧 )𝑖⃗ + (𝑃𝑧 − 𝑅𝑥 )𝑗⃗ + (𝑄𝑥 − 𝑃𝑦 )𝑘⃗⃗

-Nếu 𝑪𝒖𝒓𝒍𝑭(𝑨) = 𝟎, ∀𝑨 ∈ 𝑫 thì 𝐹⃗ được gọi là trường thế trên D

4


TOÁN 3-TG: BÙI CHÍ CƯỜNG

3. TÍCH PHÂN MẶT
DẠNG 1: S có phương trình 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) với D là hình chiếu của S lên Oxy
(tương ứng z = 0)
Bước 1: Tính 𝑧𝑥 ; 𝑧𝑦
Bước 2: Xác định hình chiếu của S lên Oxy từ đó suy ra cận
Bước 3: Áp dụng công thức tính tích phân mặt

∬ 𝑔(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑆 = ∬ 𝑔[𝑥; 𝑦; 𝑓(𝑥; 𝑦)]√1 + 𝑧𝑥2 + 𝑧𝑦2 𝑑𝐴
𝑆

𝐷

Chú ý: Diện tích mặt cong S:

𝐴𝑆 = ∬ 𝑑𝑆 = ∬ √1 + 𝑧𝑥2 + 𝑧𝑦2 𝑑𝐴
𝑆

𝑅

Nếu D là miền có dạng hình tròn hoặc Ellipse thì ta đổi biến của hệ tọa độ
cực

DẠNG 2: S có phương trình 𝑅(𝑢; 𝑣 ) = 𝑥 (𝑢; 𝑣 )𝑖 + 𝑦(𝑢; 𝑣 )𝑗 + 𝑧(𝑢; 𝑣 )𝑘 ∈ 𝐷
Bước 1: Tính 𝑅𝑢 , 𝑅𝑣 → 𝑅𝑢 × 𝑅𝑣 → ‖𝑅𝑢 × 𝑅𝑣 ‖
Bước 2: Xác định hình chiếu của S lên Oxy từ đó suy ra cận
Bước 3: Áp dụng công thức tính tích phân mặt:
∬ 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑆 = ∬ 𝑓(𝑅)‖𝑅𝑢 × 𝑅𝑣 ‖ 𝑑𝑢𝑑𝑣
𝑆

Chú ý: Diện tích mặt cong S:

𝐷

𝐴𝑆 = ∬‖𝑅𝑢 × 𝑅𝑣 ‖𝑑𝑢𝑑𝑣
𝐷

5


TOÁN 3-TG: BÙI CHÍ CƯỜNG

DẠNG 3: TÍCH PHÂN MẶT CỦA TRƯỜNG VECTOR 𝐹 (𝑥; 𝑦; 𝑧) =
𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅𝑘, D là hình chiếu S lên Oxy
Chú ý: Nếu P, Q, R có chứa z thì ta thế 𝒛 = 𝒇(𝒙; 𝒚) từ đề bài vào đề để tính
toán
Nếu S định hướng 𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹. 𝑁𝑑𝑠 = ∬〈𝑃; 𝑄; 𝑅〉. 〈−𝑧 ; −𝑧 ; 1〉𝑑𝐴
𝑥
𝑦
lên (ra ngoài)
𝑆: 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) với D là
𝑆
𝐷

hình chiếu của S lên
Oxy
Nếu S định hướng 𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹. 𝑁𝑑𝑠 = ∬〈𝑃; 𝑄; 𝑅〉. 〈𝑧 ; 𝑧 ; 1〉𝑑𝐴
𝑥 𝑦
xuống (vào trong)
𝑆
𝐷
𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹. 𝑁𝑑𝑠 = ∬〈𝑃; 𝑄; 𝑅〉. (𝑅𝑢 × 𝑅𝑣 )𝑑𝐴

𝑆: 𝑅(𝑢; 𝑣) = 𝑥(𝑢; 𝑣)𝑖 + 𝑦(𝑢; 𝑣)𝑗 + 𝑧(𝑢; 𝑣)𝑘; (𝑢; 𝑣) ∈ 𝐷

𝑆

𝐷

4. ĐỊNH LÝ ĐỘ PHÂN KỲ (Áp dụng cho S là mặt cong kín)
Vector pháp tuyến đơn vị có hướng ra ngoài
S

𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹. 𝑁𝑑𝑠 = + ∭ 𝑑𝑖𝑣𝐹𝑑𝑣

Vector pháp tuyến đơn vị có hướng vào
trong S

𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹. 𝑁𝑑𝑠 = − ∭ 𝑑𝑖𝑣𝐹𝑑𝑣

𝑆

𝐷

𝑆

𝐷

Chú ý: Nếu mặt cong S là mặt chưa kín thì ta có thể bổ sung them
vào những mặt 𝑺𝟎 : 𝒛 = ⋯ đơn giản theo chiều hợp lý với S để tạo
thành mặt 𝒔 ∪ 𝒔𝟎 kín để áp dụng định lý độ phân kỳ sau đó trừ đi
phần mặt 𝑺𝟎 đã bổ sung vào:

𝐹𝑙𝑢𝑥 = ∬ 𝐹. 𝑁𝑑𝑠 = ∬ 𝐹. 𝑁𝑑𝑠 − ∬ 𝐹𝑑𝑆
𝑆

𝑆∪𝑆0

𝑆0

6