Bien doi luong giac

Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN
RÈN LUYỆN KỶ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
A-
CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT
.
I- TÓM TẮC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
HỆ THỐNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
I- GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC:
1. Công thức quy đổi độ – Rađian:
180
a
α
π
=
( a tính bằng độ,
α
tính bằng rad)
2. Số đo góc và cung lượng giác theo độ và radian.
sđ(ox, ot) = a
0
+ k360
0
hoặc sđ(ox, ot) =
α
+ k2
π
, k ∈ Z. (với 0
0
≤ a < 360
0
, 0

0
≤
α
< 2π)
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
1
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π2
3
π3
4
π
π3
2
π2
sin 0
1
2
2
2
3
2

1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
−
1
2
−
2
2
–1 0 1
tan 0
3
3
1
3
P
− 3
–1 0
P

0
cot
P
3
1
3
3
0
−
3
3
–1
P
0
P
Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN
sđ AB = a
0
+ k360
0
hoặc sđ AB =
α
+ k2
π
, k ∈ Z. ( với 0
0
≤ a < 360
0
, 0
0

≤
α
< 2π)
3. Công thức tính độ dài cung: l =
α
.R (
α
tính bằng rad)
II.NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1:
1. Hằng đẳng thức lượng giác:
 sin
2
x + cos
2
x = 1⇔

= −

= −


2 2
2 2
sin x 1 cos x
cos x 1 sin x
⇔
2
2
1
1


= ± −


= ± −

x x
x x
sin cos
cos sin
 1+tan
2
x =
2
1
cos x
⇔ cos
2
x =
+
2
1
1 tan x
⇔ cosx =
±
+
2
1
1 tan x
 1+cot

2
x =
2
1
sin x
⇔ sin
2
x =
+
2
1
1 cot x
⇔ sinx =
±
+
2
1
1 cot x
 tanx.cotx = 1 ⇔ tanx =
=
sin x 1
cos x cot x
⇔ cotx =
=
cos x 1
sin x tan x
Chú ý: Trong các công thức có chứa dấu (±) , việc chọn dấu (+) hoặc dấu (–) cần nhận
xét giá trị của cung x trên đường tròn lượng giác.
2. Cung liên kết:
–x

π
– x
π
2
– x
π
+ x
π
2
+ x
sin –sinx sinx cosx –sinx cosx
cos cosx –cosx sinx –cosx –sinx
tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx
cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx
3. Chú ý:
a + b = π ≡ 180
0
cosb = –cosa sinb = sina
a + b =
π
2
≡ 90
0
cosb = sina sinb = cosa
∆ABC
sin(B + C) =
sinA
cos(B + C) = –
cosA
tan(B + C) = – tanA

+
=
B C A
sin cos
2 2
+
=
B C A
cos sin
2 2
+
=
B C A
tan cot
2 2
sin(x + k2π) = sinx
cos(x + k2π) = cosx
tan(x + kπ) = tanx
cot(x + kπ) = cotx
III. NHÓM CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 2:
1.Công thức cộng:
cos(a ± b) = cosa.cosb
m
sina.sinb sin(a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa
tan(a ± b) =
±
m
tana tanb
1 tana.tanb
2.Công thức nhân:

cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2
a =
−
+
2
2
1 tan a
1 tan a
sin2a = 2sina.cosa =
+
2
2 tana
1 tan a
; tan2a =
−
2
2 tana
1 tan a
3.Công thức hạ bậc:
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
2
Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN
−

=
2
1 cos2a
sin a
2
;
+
=
2
1 cos2a
cos a
2
;
−
=
+
2
1 cos2a
tan a
1 cos2a
4.Công thức tính theo t :
=
a
t tan
2
=
+
2
2t
sina

1 t
−
=
+
2
2
1 t
cos a
1 t
=
−
2
2t
tana
1 t
5. Công thức biến đổi tích thành tổng:
2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ]
2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b)
6. Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ −
+ =
a b a b
cos a cosb 2 cos cos
2 2
+ −
− =−
a b a b
cos a cos b 2 sin sin
2 2
tana + tanb =

a b
a b
sin( )
cos .cos
+
+ −
+ =
a b a b
sina sinb 2 sin cos
2 2
+ −
− =
a b a b
sina sinb 2 cos sin
2 2
tana – tanb =
a b
a b
sin( )
cos .cos
−
Hệ quả: cosx + sinx =
2 sin( x) 2 cos( x)
4 4
π π
+ = −
cosx – sinx =
2 sin( x) 2 cos( x)
4 4
π π

− = +
III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ∆ ABC:
1. Định lý hàm số sin và cos:
a b c
2R
sinA sinB sinC
= = =
2 2 2
a b c 2bc.cos A= + −
2 2 2
b a c 2ac.cosB= + −
2 2 2
c a b 2ab.cos C= + −
2. Chuyển cạnh sang góc:
a = 2RsinA b = 2RsinB c = 2RsinC
3. Chuyển góc sang cạnh:
a
sinA
2R
=

2 2 2
b c a
cos A
2bc
+ −
=
4. Công thức diện tích:
= = = = = =
a b c

1 1 1 1 1 1
S a.h b.h c.h bc sin A ac sinB ab sinC
2 2 2 2 2 2

abc
S pr p(p a)(p b)(p c)
4R
= = = − − −
, với
+ +
=
a b c
p
2

R: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, r: Bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC
5. Công thức đường trung tuyến và phân giác trong các góc của ∆ ABC:
+
= −
2 2 2
2
a
b c a
m
2 4
+
= −
2 2 2
2
b

a c b
m
2 4
+
= −
2 2 2
2
c
a b c
m
2 4
(m
a
, m
b
, m
c

−
độ dài trung tuyến)
=
+
a
2bc A
l cos
b c 2
=
+
b
2ac B

l cos
a c 2
=
+
c
2ab C
l cos
a b 2
(l
a
, l
b
, l
c

−
độ dài phân giác)
B.
BÀI TẬP
.
VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC.
1. Tính giá trị lượng giác của cung sau.
1) sina =
3
5
với 0 < a <
2
π
2) tana = -
2

với < a <
π
3) cosa =
5
1
với -
2
π
< a < 0 4) sina =
3
1
với a ∈ (
2
π
, π ) 5) tana = 2 với a∈ (π,
2
3
π
)
2. Chứng minh các đẳng thức sau:
1) sin
2
x + tan
2
x =
2
1
cos x
- cos
2

x 2) tan
2
x - sin
2
x = tan
2
xsin
2
x 3)
2
2
tan3 3 tan
tan 1 3tan
x x
x x
−
=
−
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
3
Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN
4)
2 2
2 2
cos sin
cot tan
x x
x x
−
−

= sin
2
xcos
2
x 5)
2
2
2
1
(1 cot )( 1)
cos
1 tan
x
x
x
+ −
+
= 1
6) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0 7) sin(a + b)sin(a - b) = sin
2
a -sin
2
b = cos
2
b - cos
2
a
8)
2 2
2 2

tan tan
1 tan tan
a b
a b
−
−
= tan(a +b)tan(a - b) 9) cos
3
xsinx - sin
3
xcosx =
1
4
sin4x
10)
cos sin
cos sin
x x
x x
−
+
=
1
cos2x
- tan2x 11)
sin 2 2sin
sin 2 2sin
x x
x x
−

+
= -tan
2
2
x
12) sin3xcos
3
x + sin
3
xcos3x =
3
4
sin4x 13) sinx - sin2x +sin3x = 4cos
3
2
x
cosxsin
2
x

14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos
2
x 15)
4 4 2
2
2
sin cos cos
cos
2(1 cos ) 2
x x x x

x
− +
=
−

3. Rút gọn các biểu thức sau:
1) A = sin(x +
5
2
π
) - 3cos(x -
7
2
π
) + 2sin(x + π ) 2) B=
( )
11
sin cos 5sin
2 2
x x x
π π
π
   
− + − − +
 ÷  ÷
   
3)
( ) ( ) ( )
os os 2 sin os
2

C c c c
π
α π α π α π α
 
= + + − + − + +
 ÷
 
4) D= 2cosa-3cos(π+a)-5sin(π/2-a)+cot(
3
2
π
- a)
5) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tan(
3
2
π
- a ) + cot(2π - a)
4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a.
1) A = cos
4
a + cos
2
asin
2
a +sin
2
a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin
2
a
3) C = 2(sin

6
a + cos
6
a) - 3(sin
4
a + cos
4
a) 4) D =
1 cot
1 cot
a
a
+
−
-
2
tan 1a −
5) E =
2
sin 4 4cosa a+
+
4 2
cos 4sina a+
6) F = cos
2
a + sin(30
0
+ a)sin(30
0
- a)

7) G = sin
6
a + cos
6
a + 3sin
2
acos
2
a 8) H =
4 4
6 6
sin cos 1
sin cos 1
a a
a a
+ −
+ −

9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b)
Trong đó a - b
≠
kπ và m
≠
±
1 thì biểu thức:
A =
1
1 sin 2m a−
+
1

1 sin 2m b−
(m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ).
5. Tính các biểu thức đại số.
1) Tính sin
3
a -cos
3
a biết sina -cosa = m
2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A =
1 cos2
cot tan
2 2
a
a a
+
−

3) Biết
cos( )
cos( )
a b
a b
+
−
=
p
q
. Tính tana.tanb
4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b)
≠

k2π tính tan
2
a
.tan
2
b

Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
4
Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN
5) Tính sin2x nếu: 5tan
2
x - 12tanx - 5 = 0 (
4
π
< x <
2
π
)
6. Không dùng máy tính hãy tính giá trị các biểu thức :
1) A = cos20
0
cos40
0
cos60
0
cos80
0
2) B = cos
7

π
.cos
4
7
π
.cos
5
7
π
3) C = sin6
0
.sin42
0
.sin66
0
.sin78
0
4) Tính: E = sin5
0
.sin15
0
sin25
0
.sin35
0
. ...... sin85
0

5) Tính: F = sin
18

π
.sin
3
18
π
.sin
5
18
π
.sin
7
18
π
. sin
9
18
π
6) A = sin37
0
.cos53
0
+ sin127
0
.cos397
0
7) A = tan110
0
+ cot20
0
8) Tính sin15

0
và cos15
0
8) A = tan20
o
.tan40
o
.tan60
o
.tan80
o
b) B =
1
2sin10
o
- 2sin70
o
, M = cos
5
π
- cos
2
5
π

c) C = sin
4
16
π
+ sin

4
3
16
π
+ sin
4
5
16
π
+ sin
4
7
16
π
d) D = tan
2
12
π
+ tan
2
3
12
π
+ tan
2
5
12
π
e) E = tan9
o

- tan27
o
- tan63
o
+ tan81
o
. f) F = cos
6
16
π
+ cos
6
3
16
π
+ cos
6
5
16
π
+

cos
6
7
16
π
g) G
1
= sin18

o
.cos18
o
; G
2
= sin36
o
.cos36
o
h) H = cos
2
7
π
+ cos
4
7
π
+ cos
6
7
π

i) I = sin
5
π
+ sin
23
5
π
+ sin

6
π
+ cos
13
5
π
k) K = cos
5
π
+ cos
2
5
π
+ cos
3
5
π
+ cos
4
5
π
9. Với a ≠ kπ (k ∈ Z) chứng minh:
a) cosa.cos2a.cos4a...cos16a =
sin32
32.sin
a
a
b) cosa.cos2a.cos4a....cos2
n
a =

1
1
sin 2
2 sin
n
n
a
a
+
+
10. Tính: A = cos20
o
.cos40
o
.cos60
o
. 11. Tính: A = sin6
o
.sin42
o
.sin66
o
.sin78
o
.
12. Tính: A = cos
7
π
. cos
4

7
π
. cos
5
7
π
. 13. Tính: cos
65
π
. cos
2
65
π
. cos
4
65
π
. cos
8
65
π
. cos
16
65
π
. cos
32
65
π
.

14.Tính: sin
18
π
.sin
3
18
π
.sin
5
18
π
.sin
7
18
π
. sin
9
18
π
. 15. Tính: cos
15
π
.cos
2
15
π
.cos
3
15
π

.cos
4
15
π
....cos
7
15
π
.
16. Tính: sin5
o
. sin15
o
.sin25
o
... sin85
o
. 17. Tính: 96
3
.sin
48
π
.cos
48
π
. cos
24
π
. cos
12

π
. cos
6
π
.
18. Tính: 16.sin10
o
.sin30
o
.sin50
o
.sin70
o
. 19. Tính: sin10
o
.sin20
o
.sin30
o
....sin80
o
.
20. Tính: cos9
o
. cos27
o
. cos45
o
. cos63
o

. cos81
o
. cos99
o
. cos117
o
. cos135
o
. cos153
o
. cos171
o
.
21. Tính: A = cos
5
π
+ cos
2
5
π
B = cos
5
π
+ cos
3
5
π
7. Chú ý các công thức sau:
1) 4sinx.sin(
3

π
- x)sin(
3
π
+ x) = sin3x 2) 4cosx.cos(
3
π
- x)cos(
3
π
+ x) = cos3x
3) tanx.tan(
3
π
- x)tan(
3
π
+ x) = tan3x 4) cosa.cos2a.cos4a .......... cos2na =
1
1
sin 2 .
2 sin
n
n
a
a
+
+

5) Để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) +......+(-1)

n
. cos(a +nx).
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
5
Lê Trinh Tường THPT Tr ưng Vương QN
thì nhân 2 vế với 2cos
2
x
nếu cos
2
x
≠
0.
8.Các bài tập khác:
1. Chứng minh rằng :
a)
cos15 sin15
cos15 sin15
o o
o o
+
−
=
3
b)
sin 75 cos75
cos75 sin 75
o o
o o
−

+
=
1
3
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = sin3x.sin
3
x + cos3x.cos
3
x b) B =
1 cos
sin
x
x
+
[1 +
2
2
(1 cos )
sin
x
x
−
]
c) C = cos3x.cos
3
x - sin3x.sin
3
x
3. Chứng minh rằng :

a) 4.cosx.cos(
3
π
- x).cos(
3
π
+ x) = cos3x. b) 4.sinx.sin(
3
π
- x).sin(
3
π
+ x) = sin3x.
c) tanx.tan(
3
π
- x).tan(
3
π
+ x) = tan3x. Áp dụng tính:
A = sin20
o
.sin40
o
.sin80
o
. B = cos10
o
.cos20
o

.cos30
o
....cos80
o
. C = tan20
o
.tan40
o
.tan60
o
.tan80
o
.
4. Chứng minh rằng :
a) sin
6
x + cos
6
x =
5
8
+

3
8
cos2x b) tanx =
1 cos2
sin 2
x
x

−
Áp dụng tính:
A = sin
6
(
24
π
) + cos
6
(
24
π
) B = tan
2
(
12
π
) + tan
2
(3.
12
π
) + tan
2
(5.
12
π
)
5. Chứng minh rằng:
a) sin

4
x =
3 1 1
cos2 cos4
8 2 8
x x− +
b) sin
8
x + cos
8
x =
35 7 1
cos4 cos
64 16 16
x x+ +

Áp dụng tính A = sin
8
(
24
π
) + cos
8
(
24
π
) B = sin
4
(
16

π
) + sin
4
(3.
16
π
) + sin
4
(5.
16
π
) + sin
4
(7.
16
π
)
6. Tính: cos(
2
7
π
) + cos(
4
7
π
) + cos(
6
7
π
) 22. Tính cos(

5
π
) + cos(
2
5
π
) + cos(
3
5
π
) + cos(
4
5
π
)
7. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b). Tính: tana.tanb. 24. CMR:
0 0
0 0
sin 75 cos75
sin 75 cos75
−
+
=
1
3

VẤN ĐỀ 2. BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC.
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
+ A + B + C = π +
a b−

< c < a + b + a
2
= b
2
+ c
2
- 2a.b.cosC
+
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
+ S =
1 1
. .sin ( ) .
2 2 4
a a
abc
a h ab C pr p a r
R
= = = = −
S =
( )( )( )p p a p b p c− − −
Trong đó: p =
2
a b c+ +
r: bán kính đường tròn nội tiếp r
a

: bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A.
+ Đường trung tuyến :
Tài liệu rèn kỷ năng biến đổi lượng giác dùng cho HS khá giỏi 10NC
6