giải phương trình đường thẳng dạng 18 đến 19

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

DẠNG 17: TOÁN MAX-MIN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG
A 3;3; 3
 : 2 x – 2 y  z  15  0
Câu 263: Trong không gian Oxyz , cho điểm 
thuộc mặt phẳng  
và mặt
2
2
2
S : (x  2)  (y 3)  (z 5)  100

cầu  
. Đường thẳng  qua A , nằm trên mặt phẳng   cắt
( S ) tại A , B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là
x 3 y 3 z 3
x 3 y 3 z 3




1
3 .
11
10 .
A. 1
B. 16

�x  3  5t
�
�y  3
�z  3  8t
C. �
.

Chọn D
Mặt cầu

 S

có tâm

x3 y3 z 3


4
6 .
D. 1
Hướng dẫn giải
I  2;3;5 

S
, bán kính R  10 . Do d (I, ( ))  R nên  luôn cắt   tại A , B .

d I, 
. Do đó, AB lớn nhất thì     nhỏ nhất nên  qua H , với
x  2  2t
�

�
BH : �y  3  2t
�
z  5 t
�
H là hình chiếu vuông góc của I lên    . Phương trình
H �( ) � 2  2  2t   2  3 – 2t   5  t  15  0 � t  2 � H  2; 7; 3
.
x

3
y3 z 3
uuur


4
6 .
Do vậy AH  (1; 4; 6) là véc tơ chỉ phương của  . Phương trình của 1

Khi đó

AB  R 2   d (I,  ) 

2

M  2; 2;  3
N  4; 2;1
Câu 264: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
và
. Gọi  là

r , cho các điểm
u   a; b; c 
đường thẳng đi qua M , nhận vecto
làm vectơ chỉ phương và song song với mặt
 P  : 2 x  y  z  0 sao cho khoảng cách từ N đến  đạt giá trị nhỏ nhất. Biết a , b là
phẳng
abc
hai số nguyên tố cùng nhau. Khi đó
bằng:
13
A. 14 .
B. .
C. 16 .
D. 15 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
 Q  là mặt phẳng đi qua M  2; 2;  3 và song song với mặt phẳng  P  .
Gọi
 Q : 2x  y  z  3  0 .
Suy ra
 //  P 
 � Q 
nên
.
Do
d  N, 
 Q .
đạt giá trị nhỏ nhất �  đi qua N �
, với N �là hình chiếu của N lên
�x  4  2t

�
d : �y  2  t
 P , �
�z  1  t
Gọi d là đường thẳng đi qua N và vuông góc
.
� 4 10 7 �
4 � N�
 ; ; �
�
N
�
Q
�
t



�
�
N

4

2
t
;
2

t

;1

t
;
� 3 3 3 �.
�d � 
3
Ta có N �

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

uuuur � 10 4 16 �
MN �
�
 ; ; �
3 3 3 �.
�
cùng phương
r
a b
u   5; 2;8
Do ,
nguyên tố cùng nhau nên chọn

.
a  b  c  15
Vậy
.

r
u   a; b; c 

A  1; 4; 2  , B  1; 2; 4 
Câu 265: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho
và đường
x 1 y  2 z


  :
1
1
2 . Tìm tọa độ M �   sao cho MA2  MB 2 nhỏ nhất.
 1; 0; 4  .
 1;0; 4  .
 0; 1; 4  .
 1;0; 4  .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
M �   � M  1  t ; 2  t ; 2t  f (t )  MA2  MB 2  12t 2  48t  76
,

.
Ta thấy

f  t

thẳng

là hàm số bậc hai có đồ thị là parabol với bề lõm hướng lên nên đỉnh của parabol là
f  t
f ' t 
điểm thấp nhất trên parabol �
đạt giá trị nhỏ nhất khi t  2 (hoặc tính đạo hàm
, lập
M  1;0; 4 
bảng biến thiên) �
.
�x  2  t
�
d1 : �y  2  t
x2 y2 z2
d2 :


�z  1  2t
�
4
3
1 . Gọi d là đường thẳng vuông góc
Câu 266: Cho đường thẳng
và

N  4; 4;1
d
d M  a; b; c 
chung của 1 và 2 ,
thuộc d ,
. Khi độ dài MN ngắn nhất thì a  b  c
bằng?
6
A. 5 .
B. 9 .
C. 4 .
D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
P  2  t ; 2  t ; 1  2t  �d1
Q  2  4t �
; 2  3t �
; 2  t�
.
Gọi r
và
r
uuur
a   1;1; 2  b   4; 3; 1
PQ   4t �
 t ; 3t �
 t ; t �
 2t  3 
Ta có:
,

và
.
r uuur
�
4t �
 t  3t �
 t  2  t �
 2t  3  0
�
a.PQ  0
�
�
��
�r uuur
4  4t �
 t   3  3t �
 t   1 t �
 2t  3   0
b.PQ  0
�
Khi đó: �
.
3t �
 6t  6
t�
0
�
�
��
��

26t �
 3t  3 �
t  1 .
�
uuur
P  1;1;1
Q  2; 2; 2  � PQ   1;1;1
Suy ra
và
.
�x  1  t
�
d : �y  1  t
�z  1  t
�
Nên
.
uuuur
M  1  t ;1  t ;1  t 
NM   t  3; t  3; t 
Gọi
nên
.
Do đó:

NM 

 t  3

2

  t  3  t 2  3t 2  12t  18  3  t  2   6 � 6
2

Đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng

2

.

6 khi t  2 .

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Suy ra

M  3;3;3 � a  b  c  9

Hình học tọa độ Oxyz

.

A  0;0; 1 B  1;1;0  C  1; 0;1
Câu 267: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
,
,

. Tìm điểm M sao cho
2
2
2
3MA  2MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất.
�3 1
�
�3 1 �
�3 3
�
�3 1
�
M�
 ; ; 1�
M�
 ; ;2�
M�
 ; ; 1�
M � ; ; 1�
�.
�.
�4 2
�.
A. � 4 2
B. � 4 2 �
.
C. � 4 2
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A

uuuu
r
�AM 2  x 2  y 2   z  1 2
�AM   x; y; z  1
�
�
r
2
2
�uuuu
� 2
M  x; y; z  � �BM   x  1; y  1; z  � �BM   x  1   y  1  z 2
r
�uuuu
� 2
2
2
CM   x  1; y; z  1
CM   x  1  y 2   z  1
�
�
�
Giả sử
2
2
2
� 3MA2  2 MB 2  MC 2  3 �
x 2  y 2   z  1 � 2 �
 x  1   y  1  z 2 �
�

� �
�
2
2
�
 x  1  y 2   z  1 �
�
�
2

3�
5
5
2
2
�
 4 x  4 y  4 z  6 x  4 y  8z  6  �
2 x  �  2 y  1   2 z  2   �
2�
4
4.
�
2

2

2

�3 1
�

3
1
M�
 ; ; 1 �
y
4
2
�.
4,
2 , z  1 , khi đó �
Dấu "  " xảy ra
A  2;1; 0  B  4; 4; 3 C  2;3; 2 
Câu 268: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
,
,
và
x 1 y 1 z 1


 d :
1
2
1 . Gọi    là mặt phẳng chứa  d  sao cho A , B , C ở cùng
đường thẳng
   . Gọi d1 , d 2 , d3 lần lượt là khoảng cách từ A , B , C đến    . Tìm
phía đối với mặt phẳng
T  d1  2d2  3d3
giá trị lớn nhất của
.
A. Tmax  2 21 .

B. Tmax  6 14 .

� x

C.

Tmax  14 

203
 3 21
3
.

D. Tmax  203 .
Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có AB  3 6 ; AC  2 6 ; BC  6 .
ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ta có

T  d1  2d 2  3d 3  d1  d 2  d 2  d3  2d3

Hình học tọa độ Oxyz

.

2d  M ;      d1  d 2
Gọi M là trung điểm AB , và N là trung điểm của BC ta có
và
2d  N ;      d 2  d 3
.
G
MNC .
Gọi
là
trọng
tâm
tam
giác
Khi
đó
ta
có
T  2 d  M ;      2d  N ;      2d 3  6 d  G ;    
.
T  6d  G;     �6d  G;  d  
Do đó
.
5

3
7


5
�
� �
�
M�
1; ; � N �
3; ; �
� 2 2 �; � 2 2 �suy ra G  2;3; 2  .
Ta có

H  1  t ;1  2t ;1  t 
Gọi
là hình chiếu của G
uuur
GH   t  1; 2t  2;3  t 
.
uuur r
GH .ud  0 �  t  1  2  2t  2    3  t   0 � t  0
.

lên

đường

thẳng

2
2
2
Vậy Tmax  6GH  6 1  2  3  6 14 .

d1 :

 d ,

ta

có

x 1 y z  2
 
2
1
1 và

Câu 269: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
x 1 y  2 z  2
d2 :


1
3
2 . Gọi  là đường thẳng song song với  P  : x  y  z  7  0 và cắt
d1 , d 2
lần lượt tại hai điểm A, B sao cho AB ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng  là.
�
�
�
�x  6  t
�x  6

�x  6  2t
�
�
�
� 5
� 5
� 5
y

y


t
�
�
�y   t
�x  12  t
2
2
�
�
�
� 2
�y  5
9
9
9
�
�
�

z   t
z   t
z   t
�z  9  t
�
�
�
2 .
2 .
2 .
A. �
.
B. �
C. �
D. �
Hướng dẫn giải
Chọn B
A �d1 � A  1  2a; a; 2  a 
B �d 2 � B  1  b; 2  3b; 2  2b 
uuu
r
AB
  b  2a;3b  a  2; 2b  a  4 
 có vectơ chỉ phương
uur
 P  có vectơ pháp tuyến nP   1;1;1
uuu
r
uuu
r uu

r
uuu
r uu
r
AB    a  1; 2a  5;6  a 
 / /  P
AB  nP � AB.nP  0 � b  a  1
Vì
nên
.Khi đó

AB 

 a  1

2

  2a  5    6  a 
2

2

 6a 2  30a  62
2

� 5 � 49 7 2
 6 �a  �
�
; a ��
2

� 2� 2
r � 7 7�
5
� 5 9 � uuu
a  � A�
6; ;  �
, AB  �
 ; 0; �
2
� 2 2�
� 2 2�
Dấu "  " xảy ra khi
ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

� 5 9�
uu
r
A�
6; ;  �
u
  1;0;1
Đường thẳng  đi qua điểm � 2 2 �và vec tơ chỉ phương d
�

�x  6  t
�
� 5
�y 
� 2
9
�
z   t
�
2 .
Vậy phương trình của  là �
x 1 y z 1
d:
 
1
2
3 , điểm A  2; 2; 4  và
Câu 270: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
 P  : x  y  z  2  0 . Viết phương trình đường thẳng  nằm trong  P  , cắt d sao
mặt phẳng
cho khoảng cách từ A đến  lớn nhất.
x2 y2 z4
x 1 y 1 z  2




2
1
2

1
A. 1
B. 1
x
y z2
x 3 y  4 z 3




1
2
1
C. 1 2
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn D
 P  là nghiệm của hệ phương trình
Tọa độ giao điểm B của d và
�x  1
�x  1 y z  1
�
 
�
2
3 � �y  0
�1
�z  1
�
B  1;0;1

�x  y  z  2  0
�
. Suy ra
. Ta có  đi qua B.
Gọi H là hình chiếu của A lên  .

d  A,  
đạt giá trị lớn nhất là AB , khi đó đường thẳng  qua B
r
uur uuur
uur
u�
nP , AB �
   1; 2;1
nP   1;1;1
�
�
và có một véc tơ chỉ phương là
với
.
Gọi

d  A,    AH �AB

Thế tọa độ

, nên

B  1; 0;1

vào bốn phương án, chỉ phương án B thỏa mãn.
Câu 271: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  có phương trình tham số
�x  1  t
�
�y  2  2t , t ��.
�z  3  t
�
Hỏi điểm M nào sau đây thuộc đường thẳng  ?
M  3; 2;5 
M  3; 2;5 
M  3; 2; 5 
M  3; 2; 5 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Chọn A

M  3; 2;5
Ứng với tham số t  2 ta được điểm
.

x 1 y  1 z


 d :
M  2;  2;  5
Oxyz
2
1
1 . Biết
Câu 272: Trong không gian
cho điểm
và đường thẳng
N  a; b; c 
 d  và độ dài MN ngắn nhất. Tổng a  b  c nhận giá trị nào sau đây?
thuộc
A. 1 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
N � d  � N  1  2t ;  1  t ;  t 
.
MN 

 2t  1

2

  1  t    5  t   6  t  1  21 � 21
2

2

2

.

21 khi t  1 khi đó N  3;0;  1 � a  b  c  3  0  1  2 .
 P  : x  2 y  2 z  5  0 , A  3;0;1 , B  1; 1;3 . Viết
Câu 273: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
 P  sao cho khoảng cách từ B đến d là
phương trình đường thẳng d đi qua A , song song với
lớn nhất.
x 1 y z 1
x  3 y z 1
x  3 y z 1






2

2
6 7
1
2
A. 1
B. 2
C. 1
D.
x  3 y z 1


3
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn B
A nên d  B; d  �BA , do đó khoảng cách từ B đến d lớn nhất khi
Đường thẳng d u
đi
qua
r uur
r
AB  d � u  AB , với u là vectơ chỉ phương của d .
r uuur
u  n P 
P

d
Lại có song song với
nên

.
uuu
r uuur
uuur
uuu
r
r �
u�
AB, n P  �
AB   4; 1; 2  n P    1; 2; 2 
�  2; 6; 7  . Do đó phương trình đường
,
, chọn
x  3 y z 1


6 7 .
thẳng d là 2
� MN ngắn nhất bằng

x y 1 z
: 

Oxyz
1
1
1 và hai điểm A  1; 2;  5  , B  1;0;2  .
Câu 274: Trong không gian
, cho đường thẳng
T  MA  MB

Tmax
Tmax
M


Biết điểm
thuộc
bằng bao nhiêu?

đạt giá trị lớn nhất là

B. Tmax  2 6  3
C. Tmax  57
Hướng dẫn giải

A. Tmax  3
Chọn
uuu
r C
AB   2; 2;7 

sao cho biểu thức

. Khi đó,

D. Tmax  3 6

.

�x  1  2t �

�
�y  2t �
�z  2  7t �
Phương trình đường thẳng AB là: �
.
� 1 2 1�
C�
 ; ; �
3 3 3 �.
�

AB

AB
Xét vị trí tương đối của và
ta thấy cắt
tại điểm

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

uuur � 4 4 14 � 3 uuur uuu
r
AC  �

 ;  ; � AC  AB
� 3 3 3 �; 2
nên B nằm giữa A và C .
T  MA  MB �AB

Dấu bằng xảy ra khi M trùng C . Vậy Tmax  AB  57 .

x 1 y z


1 2 và điểm A  1;6;0  .
Câu 275: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài MA với M �d .
A. 30
B. 6
C. 4 2
D. 5 3
Hướng dẫn giải
Chọn A
�x  1  t
�
�y  t
uuuu
r
�z  2t  t �� � M  1  t ; t ; 2t  AM   t ; t  6; 2t 
�
M
�
d
Ta có

:
,
2
2
2
2
2
AM  t   t  6   4t  6t 2  12t  36  6  t  1  30 �30
AM
30 .
2
2
2
2
2
 S  : x  3   y  2    z  2   4 ,  S2  :  x  1  y 2   z  1  1 . Gọi d là
Câu 276: Cho 2 mặt cầu 1
đường thẳng đồng thời tiếp xúc với hai mặtr cầu trên, cắt đoạn thẳng nối tâm hai mặt cầu và cách
u   a; 1; b 
gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. Nếu
là một vectơ chỉ phương của d thì tổng
S  2a  3b bằng bao nhiêu?
A. S  0
B. S  4
C. S  2
D. S  1
Hướng dẫn giải
Chọn C
 S1  có tâm I1  3; 2; 2  , bán kính R1  2 .
 S2  có tâm I 2  1; 0; 1 , bán kính R2  1 .

�5 2 4 �
A� ; ; �
S
S
I I  3  R1  R2
   
Ta có: 1 2
, do đó 1 và 2 tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm �3 3 3 �.
II
Vì d tiếp xúc với hai mặt cầu, đồng thời cắt đoạn thẳng nối hai tâm 1 2 nên d phải tiếp xúc với
� d  I1 I 2
hai mặt cầu tại A
.
d  d  O; d  �OA � d max  OA
Mặt khác
khi d  OA .
uuur uuu
r
r
�
�  6;  3;  6  � u   2; 1; 2 
I
I
,
OA
1 2
�
�
d
Khi đó, có một vectơ chỉ phương là

.
Suy ra a  2 , b  2 .
Vậy S  2 .
x 1 y  2 z  2
1 :


A

1;
0;

1
 , cắt
2
1
1 ,
Câu 277: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua 
x3 y 2 z 3
2 :


1
2
2 là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là
sao cho góc giữa d và
x 1 y z 1
x 1 y z 1



 
2
1 .
5 2 .
A. 4
B. 2
x 1 y z 1
x 1 y z 1
 
 
2
1 .
5 2 .
C. 2
D. 4
ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Hướng dẫn giải
Chọn C
M  d �1 � M  1  2t; 2  t ; 2  t 
Gọi
uur uuuu
r

d có vectơ chỉ phương ad  AM   2t  2; t  2; 1  t 
uu
r
a2   1; 2; 2 
2
có vectơ chỉ phương
2
t2
3 6t 2  14t  9
t2
f  t  2
6t  14t  9 , ta suy ra được min f  t   f  0   0 � t  0
Xét hàm số
uuuu
r
min �
cos

,
d

0
�
t

0
�
AM
  2; 2  1
�



�
�
Do đó
cos  d ;  2  

x 1 y z 1
 
2
1 .
Vậy phương trình đường thẳng d là 2
A  1; 4; 2 

:

B  1; 2; 4 

x 1 y  2 z

 .
1
1
2 Tìm tọa độ điểm

Câu 278: Cho hai điểm
,
và đường thẳng
2
2

M � mà MA  MB nhỏ nhất.
 0; 1; 2  .
 2; 3; 2  .
 1;0; 4  .
 1; 2;0  .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
M  1  t;  2  t; 2t  �
Gọi
.
2
2
2
2
2
2
2
MA2  MB 2   t    6  t    2  2t    2  t    4  t    4  2t   12t  48t  76 .
12t 2  48t  76  12  t  2   28 �28
2

Ta có:

.

M  1;0; 4 

Vậy MA  MB nhỏ nhất bằng 28 khi t  2 hay
.
 P  : x  2 y  2 z  5  0 và hai điểm A  3;0;1 ,
Câu 279: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
B  1; 1;3 
 P  , gọi  là
. Trong tất cả các đường thẳng đi qua A và song song với mặt phẳng
đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến  là lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng  .
x5 y
z
x  1 y  12 z  13




6 7 .
6
7 .
A.  : 2
B.  : 2
x  3 y z 1
x 1 y 1 z  3




6 3 .
6
7 .
C.  : 2

D.  : 2
Hướng dẫn giải
Chọn B
2

2

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Ta có:

Hình học tọa độ Oxyz

 3  2.0  2.1  5 .  1  2.  1  2.3  5   24  0 .
B là hai điểm nằm khác phía so với mặt phẳng  P  .

� A,
Gọi H là hình chiếu của B lên  .
Ta có: BH �BA nên khoảng cách từ B đến  lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A .
Khi đó: AB   .
r
P
n   1; 2; 2 

Mặt

có vectơ pháp tuyến là
.
uuu
r phẳng
AB   4; 1; 2 
.
ur r uuu
r
� n1  �
n, AB �
�
�  2;6; 7  .
ur
A

3;0;1
n
  2;6;7 


Đường thẳng  đi qua điểm
và nhận 1
làm vectơ chỉ phương.
x  1 y  12 z  13


6
7 .
Phương trình đường thẳng  là: 2
Nguyen

 P  : x  y  4 z  0 , đường thẳng
Câu 280: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
x 1 y  1 z  3
d:


2
1
1 và điểm A  1; 3; 1 thuộc mặt phẳng  P  . Gọi  là đường thẳng đi qua
 P  và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất. Gọi
A
r , nằm trong mặt phẳng
u   a; b; 1
là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng  . Tính a  2b .
A. a  2b  4 .
B. a  2b  7 .
C. a  2b  3 .
D. a  2b  0 .
Hướng dẫn giải
Chọn C

ur
M  1;  1; 3
u1   2;  1; 1
d
Đường thẳng đi qua
và có véc tơ chỉ phương
.
d � P   I  7; 3;  1
Nhận xét rằng, A �d và

.
 Q  là mặt phẳng chứa d và song song với  . Khi đó d  , d   d  ,  Q    d  A,  Q   .
Gọi

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

 Q  và d . Ta có AH �AK .
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên
d  , d 
d A,  Q  
� AH max
H K. Suy ra AH chính là
Do đó,
lớn nhất � 
lớn nhất
đoạn vuông góc chung của d và .
uuur uuuu
r ur
�
n

AM
R

  chứa A và d có véc tơ pháp tuyến là  R � , u1 �
�  2; 4; 8  .
Mặt phẳng
uuur uuur ur
n
�
n ,u �
Q
R



Mặt phẳng
chứa d và vuông góc với
nên có véc tơ pháp tuyến là  Q  � R  1 �
  12; 18;  6 

.

 P  và song song với mặt phẳng  Q  nên có véc tơ chỉ
Đường thẳng  chứa trong mặt phẳng
r
uuur uuur
�
u�
n
� P  , n R  �  66;  42; 6   6  11;  7; 1 .
phương là
Suy ra, a  11; b  7 . Vậy a  2b  3 .

A  2;1;  3
B  3; 2;1
Câu 281: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và
. Viết phương trình đường thẳng
d đi qua gốc toạ độ sao cho tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d lớn nhất.
x y z
x y z
x y z
x y z
 


 
 
A. 1 1 1 .
B. 1 1 1 .
C. 1 1 2 .
D. 1 1 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
d  A; d   d  B; d  �OA  OB
Ta có
.
OA  d
�
r
uuu
r uuur
��

�
�
u

OA
OB  d � d có VTCP là
� ; OB �  7; 7;7   7  1;1;1 .
�
Dấu "  " xảy ra
x y z
d:  
1 1 1.
Vậy

 P  : x  2 y  2 z  5  0 và hai điểm A  3;0;1 ,
Câu 282: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng
B  1; 1;3 
 P  , đường thẳng mà khoảng
. Trong các đường thẳng đi qua A và song song với
cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.
x  3 y z 1
x3
y
z 1
 


11 2 .
A. 26 11 2 .
B. 26

x  3 y z 1
x  2 y 1 z  3
 


11
2 .
C. 26 11 2 .
D. 26
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đường thẳng trong đáp án C, D không đi qua A, nên ta loại C,
D.
r r
r r
n P  .u A  26  22  4  0 n P  .u B  26  22  4  44
Ta có:
,
.
 P  . Loại
Do đó, đường thẳng trong đáp án B không song song với
B.
 S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  10  0 và điểm
Câu 283: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
M  1;1;  1
 S  tại hai điểm P , Q sao cho độ dài đoạn
. Giả sử đường thẳng d đi qua M và cắt
thẳng PQ lớn nhất. Phương trình của d là

ĐT: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
x 1

A. 2
x 1

C. 2
Chọn D
Mặt cầu

y 1

1
y 1

1

 S

z 1
2
z 1
2

có tâm

x 1

B. 2
x 1

D. 2
Hướng dẫn giải

I  1; 2;1

Hình học tọa độ Oxyz
y 1

1
y 1

1

z 1
2 .
z 1
2

.

 S  tại hai điểm P , Q sao cho độ dài đoạn thẳng PQ lớn nhất
Đường thẳng d đi qua M và cắt
uuur
S
IM   2;  1;  2 



khi d đi qua tâm I của
, suy ra d có véctơ chỉ phương là
x 1 y 1 z 1
d:


2
1
2 .
Phương trình
A 1; 1; 2 
Câu 284: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm 
, song song với
x 1 y 1 z
 P  : 2 x  y  z  3  0 , đồng thời tạo với đường thẳng  : 1  2  2 một góc lớn nhất.
Phương trình đường thẳng d là
x 1 y 1 z  2
x 1 y 1 z  2




5
7 .
5
7 .
A. 1
B. 4

x 1 y 1 z  2
x 1 y 1 z  2




5
7 .
5
7 .
C. 4
D. 1
Hướng dẫn giải
Chọn A
uur
a
 có vectơ chỉ phương    1; 2; 2 
uu
r
a
  a; b; c 
d
d có vectơ chỉ phương
uur
 P  có vectơ pháp tuyến nP   2; 1; 1
uu
r uu
r
uu
r uu

r
d / /  P
a

n
�
a
.
n
 0 � 2a  b  c  0 � c  2 a  b
d
P
d
P
Vì
nên
 5a  4b 
1
cos  , d  

2
2
3 5a 2  4ab  2b 2
3 5a  4ab  2b
2

5a  4b

1  5t  4 
a

cos  , d  
t
3 5t 2  4t  2
b , ta có:
Đặt
2
5t  4 
�1� 5 3

max f  t   f �
 �
f  t  2
5� 3
�
5
t

4
t

2
Xét hàm số
, ta suy ra được:
2

max �
cos  , d  �
�
�

Do đó:
Chọn a  1 � b  5, c  7

5 3
1
a
1
�t � 
27
5
b
5

x 1 y  1 z  2


5
7 .
Vậy phương trình đường thẳng d là 1

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

:

Hình học tọa độ Oxyz

x  3 y z 1
x  3 y 1 z  2
 
d:


1
2
3 và đường thẳng
3
1
2 .

Câu 285: Trong không gian cho đường thẳng
P
Viết phương trình mặt phẳng   đi qua  và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất.
A. 19 x  17 y  20 z  77  0 .
B. 19 x  17 y  20 z  34  0 .
C. 31x  8 y  5z  91  0 .

D. 31x  8 y  5 z  98  0 .
Hướng dẫn giải

Chọn D
Đường thẳng d có VTCP là

ur
u1   3;1; 2 
M  3; 0; 1

.

r
u   1; 2;3

Đường thẳng  đi qua điểm
và có VTCPrlà
.
n   A; B; C  ,  A2  B 2  C 2 �0 
 � P 
M � P 
P
Do
nên
. Giả sử VTPT của   là
.
P
A x  3  By  C  z  1  0
Phương trình   có dạng 
.
rr
 � P 
Do
nên u.n  0 � A  2 B  3C  0 � A  2 B  3C .
P
Gọi  là góc giữa d và   . Ta có
ur r
u1.n
3  2 B  3C   B  2C

3 A  B  2C
sin  ur r 

2
u1 . n
14. A2  B 2  C 2
14.  2 B  3C   B 2  C 2


5B  7C



1
14

 5B  7C 

2

5 B 2  12 BC  10C 2 .
5
70
sin 

14
14 .
TH1: Với C  0 thì
14. 5 B 212 BC  10C 2

 5t  7 
1
B
sin 
t
2
14 5t  12t  10 .
C ta có
TH2: Với C �0 đặt
2
5t  7 

f  t  2
5t  12t  10 trên �.
Xét hàm số
2
50t  10t  112
f�
 t  2
2
5t  12t  10 

Ta có
.
� 8
�8 � 75
t  � f � �
�
5
�5 � 14

f�
 t   0 � 50t 2  10t  112  0 � �
� 7
�7�
t � f �
 � 0
�
�5� .
� 5
2

 5t  7 

2

lim f  t   lim 2
5
x ��� 5t  12t  10
Và x ���
.
Bảng biến thiên

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

1
�8 � 75
75
8
B 8
sin 
. f � �
t � 
14
�5 � 14 .
14 khi
5 C 5 . Khi đó
Từ đó ta có
B 8
75

sin 
14 khi C 5 .
So sánh TH1 và Th2 ta có sin lớn nhất là
Chọn B  8 � C  5 � A  31 .

Maxf  t  

Phương trình

 P

là

31 x  3  8 y  5  z  1  0 � 31x  8 y  5 z  98  0

.

DẠNG 18: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG THỎA ĐK
A  0;1; 0  B  2; 2; 2  C  2;3;1
Câu 286: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm
,
,
và đường
x 1 y  2 z  3
d:


2
1
2 . Tìm điểm M thuộc d để thể tích V của tứ diện MABC bằng 3 .
thẳng
15 9 11 �
�3 3 1 � �
� 15 9 11 � � 3 3 1 �
M � ; ; � M � ; ; �
M � ; ;  � M � ;  ; �
�5 4 2 �; �2 4 2 �.
� 2 4 2 �; � 2 4 2 �.
A.
B.
� 3 3 1 � � 15 9 11 �
M�
 ; ; � M �

 ; ; �
� 5 4 2 �; � 2 4 2 �.
C.

15 9 11 �
�3 3 1 � �
M � ; ; � M � ; ; �
�2 4 2 �;
�2 4 2 �.
D.
Hướng dẫn giải

Chọn B
Cách 1uu:u
r
uuur
AB   2;1; 2  AC   2; 2;1
Ta có
;
r uuur
uuur uuur
1 uuu
9
�
S

AB
, AC �

�

�
AB
,
AC


3;

6;6
ABC


�
�
�
2
2.
Do �
nên
r
r
ABC
n
  1; 2; 2  �


Gọi n là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
thì
phương trình mặt
 ABC  là x  2 y  2 z  2  0 .

phẳng
Gọi

M  1  2t ; 2  t ;3  2t  �d � d  M ,  ABC   

4t  11
3 .

� 5
t
�
�� 4
17
4
t

11
1 9
�
t
. .
 3 � 4t  11  6
�
4 .
3
Do thể tích V của tứ diện MABC bằng 3 nên 3 2
� 3 3 1�
5
M � ;  ; �
t

� 2 4 2 �.
4 thì
Với

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
t

Hình học tọa độ Oxyz

� 15 9 11 �
17
M�
 ; ; �
4 thì � 2 4 2 �.

Với
Cách 2:
uuur uuur
uuu
r
uuur
AB, AC �
AB   2;1; 2  AC   2; 2;1 � �
�
�  3; 6;6 

Ta có
;
uuuu
r
M  1  2t ; 2  t ;3  2t  �d � AM   1  2t ; 3  t ;3  2t 
Gọi
.
� 5
t
�
�� 4
r uuur uuuu
r
17
1 uuu
�
�
t
VMABC  �
AB
,
AC
.
AM
12t  33  18
�
�
4
6�
Vì

nên

� 3 3 1�
5
M�
 ; ; �
2 4 2 �.
�
4
Với
thì
� 15 9 11 �
17
M�
 ; ; �
t
2 4 2 �.
�
4
Với
thì
t

Câu 287: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCE có ba đỉnh
A  2 ;1 ; 1 , B  3; 0 ;1 , C  2 ; 1 ; 3
và đỉnh E nằm trên tia Oy. Tìm tọa độ đỉnh E , biết thể
tích tứ diện ABCE bằng 5.
�
E  0 ; 8 ; 0
�

E  0 ; 5 ;0 
�
�
E  0 ; 7 ; 0 
E  0 ; 4 ; 0 
E  0 ; 7 ; 0 
E  0 ;8 ; 0 
A.
.
C. �
.
D. �
.
B.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
uuur uuur
�
AB, AC �
E  0; b; 0  , b  0
�  0; 4; 2  .
Ta có E nằm trên tia Oy nên có tọa độ
. Ta có �
1 uuur uuur uuur
1
VABCE  5 � �
AB, AC �
. AE  5 � 4b  2  5 � b  7  loai  �b  8  nhan 
�

�
6
6
Thể tích
.
E  0;8; 0 
Vậy
.
A  2; 1;  1
 P  : x  2 y  2 z  3  0 . Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với
Câu 288: Cho
và
 P  . Tìm tọa độ M thuộc d sao cho OM  3 .
5 1 1�
5 1 1�
 1; 1; 1 ; �
 1; 1; 1 ; �
� ; ; �
� ; ; �
�3 3 3 �
�3 3 3 �.
A.
.
B.
5 1 1�
5 1 1�
 1; 1; 1 ; �
 1; 1; 1 ; �
�; ; �
� ; ; �

�3 3 3 �
�3 3 3 �.
C.
.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có phương trình đường thẳng
Lấy điểm

d:

x  2 y 1 z 1


1
2
2 .

M  2  t;1  2t ; 1  2t  � d 

. Theo đề,

OM  3 � t  1 � t  

1
3.

�5 1 1 �
M 1  1; 1;1 ; M 2 � ; ;  �

�3 3 3 �
Vậy
.

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

A  3; 3; 1 B  0; 2; 1
 P :
Câu 289: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
,
và mặt thẳng
x  y  z  7  0 . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  P  sao cho mọi điểm
thuộc đường thẳng d luôn cách đều hai điểm A và B .
�x  t
�x  t
�x  t
�x  2t
�
�
�
�
�y  7  3t
�y  7  3t

�y  7  3t
�y  7  3t
�z  2t
�z  2t
�z  2t
�z  t
A. �
B. �
C. �
D. �
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì mọi điểm thuộc đường thẳng d luôn cách đều hai điểm A và B nên đường thẳng d nằm
 P  và
trong mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . Do đó d là giao tuyến của mặt phẳng
mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
�3 5 �
I � ; ;1�
Ta gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra �2 2 �
uuur
AB   3;1;0 
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và nhận
làm vectơ pháp tuyến
5
� 3�
3 �x  � y   0 � 3 x  y  7  0
2
có phương trình là � 2 �
.

�x  0
3x  y  7  0
�
�
� �y  7
�
�x  y  z  7  0
�z  0
�
d
Ta có đi qua điểm M là nghiệm của hệ
.
u
u
u
r
r
r
u�
AB; nP �
M  0;7;0 
�
�  1;  3; 2  làm vectơ chỉ phương có phương
Vậy d đi qua điểm
nhận
�x  t
�
�y  7  3t
�z  2t
trình tham số �

.
x 1 y z 1
d:
 
2
1
2 . Điểm nào sau
Câu 290: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
đây thuộc được thẳng d ?
A.

P  3;1;1

.

B.

M  2;1;0 

Q  3; 2; 2 
.
C.
.
Hướng dẫn giải

D.

N  0; 1; 2 

.

Chọn A

P  3;1;1
Thay trực tiếp tọa độ các điểm trên vào đường thẳng d ta thấy chỉ có điểm
thỏa mãn
�3  1 2 1  1 �
 
 1�
.
�
1
2
�2
�.

x y 1 z  2


2
3 và mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  3  0 .
Câu 291: Cho đường thẳng d có phương trình 1
 P  một đoạn bằng 2 có tọa độ là
Điểm M nằm trên d và cách
M  1; 5; 7 
M  2; 5; 8 
M  1; 3; 5 
M  2; 3; 1
A.
.

B.
.
D.
.
C.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

M �d � M  t ; 1  2t ; 2  3t 
d  M , P  

.
t  2  2t  1  2  3t  2   3

3

� M  1; 3; 5  �M  11; 21;31

t  1
�
 2 � t  5  6 � �

t  11 .
�

.

x y 1 z  2


1
2
3 và mặt phẳng
Câu 292: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
( P ) : x  2 y  z  3  0 . Tìm tọa độ điểm M có tọa độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M
 P  bằng 2 .
đến
M  1;  3;  5 
M  1;  5;  7 
M  2;  5;  8 
M  2;  3;  1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
M �d � M  t ; 1  2t ; 2  3t 

.
�
t  11 � M  11; 21;31 (L)
d  M ,  P    2 � t  5  6 � �
t  1 � M  1; 3; 5  (N)
�
.
x 1 y  2 z  3


d


2
4
Câu 293: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
có phương trình 3
d:

 d ?
. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng
Q  2; 4; 7 
A.
.
P  7; 2;1
M  1; 2;3
N  4; 0; 1
.
B.
.

C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
1
2

2
�
P  7; 2;1
d
  ta có:
2 nên P  7; 2;1 không thuộc
Thế tọa độ điểm
vào đường thẳng
 d .
đường thẳng
�x  1  t
�
d : �y  3  2t
�z  3  t
�
Câu 294: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho đường thẳng
và mặt phẳng
P
:
2
x


y

2
z

11

0
P
 
  một khoảng bằng 2
. Điểm M nằm trên đường thẳng d và cách
có tọa độ là
M  2;  5; 2 
M  4; 7; 8 
M  1;  5; 2 
A.
hoặc
.
B.
.
M  2; 0; 2 
M  4;  7;  8 
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A

M  1  t;  3  2t ; 3  t 
.
M  4; 7; 8 
�
t 5
2t  4
�
d�
M ; P �
��
�
� 2 � 3  2 � �
t  1 �
M  2;  5; 2 
�
.

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Câu 295: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  có phương trình tham số
�x  1  t
�
�y  2  2t , t ��.

�z  3  t
�
Hỏi điểm M nào sau đây thuộc đường thẳng  ?
M  3; 2; 5 
M  3; 2;5 
M  3; 2;5 
M  3; 2; 5 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B
M  3; 2;5 
Ứng với tham số t  2 ta được điểm
.

A 2;1;0  B  1;2;2  M  1;1;0 
Câu 296: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm 
,
,
và mặt

 P  : x  y  z  20  0 . Tìm tọa độ điểm
 P .
song với mặt phẳng

phẳng

�3 3 �
N � ; ;1�
A. �2 2 �
.
Chọn B

N thuộc đường thẳng AB sao cho MN song

�5 1
�
N � ; ; 1�
�.
B. �2 2

N  2;1;1

C.
Hướng dẫn giải

.

�5 1 �
N � ; ;1�
D. �2 2 �
.

uuu
r

AB   1;1; 2 

Đường thẳng AB đi qua A và nhận
làm vectơ chỉ phương có phương trình tham
�x  2  t
�
�y  1  t
�z  2t
số là: �
.
uuuu
r
N  2  t ;1  t ; 2t  � MN   1  t ; t ; 2t 
N
�
AB
Do
nên
.
 P  có vectơ pháp tuyến là:
Mặt phẳng
uuuu
rr
1
�5 1 �
r
MN / /( P ) � MN .n  0 � 1  t  t  2t  0 � t   � N � ;  1�
n   1;1;1
2
�2 2 �.

.
x 1 y z  2
P  : 2 x  y  2z  0 d : 1  2  2

Oxyz
Câu 297: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho mặt phẳng
,
.

 P  là
Tọa độ điểm A thuộc Ox sao cho A cách đều d và
A  3;0;3
A  3;3;0 
A  3;0; 0 
A  3;0;3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Vì A �Ox � A(a;0;0)
r
uuuu
r

Đường thẳng d qua M (1; 0; 2) và có VTCP u  (1; 2; 2); AM  (1  a;0; 2)
uuuu
r r
�
�
2
AM
� , u � 8a  24a  36
d ( A, d ) 

r
3
u
d ( A, ( P)) 

2a
3

Ta có:
d ( A, d )  d ( A,( P )) �

8a 2  24a  36 2a

� 8a 2  24a  36  2a
3
3

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

� 8a 2  24a  36  4a � a 2  6a  9  0 � a  3 � A(3;0;0)
A  0;  1; 2  , B  1;1; 2 
Câu 298: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và đường thẳng
x 1 y z 1
d:
 
1
1
1 . Biết điểm M  a ; b ; c  thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện
tích nhỏ nhất. Khi đó, giá trị T  a  2b  3c bằng
A. 5
B. 3
C. 4
D. 10
Hướng dẫn giải
Chọn D
1
S MAB  .d  M ; AB  . AB
d  M ; AB 
2
Ta có
nên MAB có diện tích nhỏ nhất khi
nhỏ nhất.

Gọi  là đường vuông góc chung của d , AB . Khi đó M   �d . Gọi N   �AB .

Ta có:

�x  s
�
AB : �y  1  2 s
�z  2
�

uuu
r
AB   1; 2; 0 

, phương trình đường thẳng
�
N
s
;
  1  2s ; 2  , M �d � M  1  t ; t ;1  t  .
�AB
Do uN
uuur
� NM   t  s  1; t  2 s  1; t  1
. Mà MN  d , MN   nên
� 4
t  s  1  2t  4s  2  0
3t  5s  1 �
t
�

�
��
�� 3
�
t  s  1  t  2s  1  t  1  0
3t  3s  1
�
�
�
�s  1 .
�1 4 7 �
M �; ; �
�3 3 3 �hay T  a  2b  3c  10 .
Do đó
�x  1  t
�
 : �y  2  t
�z  1  2t
�

M  2;1; 4 
Câu 299: Cho điểm
và đường thẳng
H  3; 4;5
H  1; 2;1
A.
.
B.
.

. Tìm điểm H thuộc  sao cho MH nhỏ nhất.
H  2;3;3
H  0;1; 1
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải

Chọn C
H � � H  1  t ; 2  t ;1  2t 
.
uuuur
MH   t  1; t  1; 2 t  3
.uur
uuuur uur
uuuur uur
a

1;1;
2


�
MH


�
MH


a
�
MH .a  0


 có vectơ chỉ phương
, MH nhỏ nhất
� 1 t  1  1 t  1  2  1  2t   0 � t  1
.
H  2;3;3
Vậy
.
A  0;1; 0  , B  2; 2; 2  , C  2;3;1
Câu 300: Trong không gian Oxyz cho
và đường thẳng
x 1 y  2 z  3
d:


2
1
2 . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để thể tích tứ diện MABC bằng 3.
15 9 11 �
15 9 11 �
�3 3 1 � �
�3 3 1 � �
M � ; ; �
;M � ; ; �
M � ; ; �
;M � ; ; �

�2 4 2 � �2 4 2 �
�5 4 2 � �2 4 2 �.
A.
.
B.

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
� 3 3 1 � � 15 9 11 �
M�
 ; ; �
;M �
 ; ; �
5
4
2
2 4 2�
�
�
�
C.
.

Hình học tọa độ Oxyz

� 3 3 1 � � 15 9 11 �

M�
 ; ; �
;M �
 ; ; �
2
4
2
2 4 2 �.
�
�
�
D.
Hướng dẫn giải

Chọn D
M  1  2t; 2  t;3  2t 
Gọi
. uuuu
uuu
r
uuur
r
AB   2;1; 2  , AC   2; 2;1 , AM   1  2t ; 3  t ;3  2t 
.
uuur uuur
�
AB, AC �
�
�  3; 6; 6  .

VMABC

�
t
�
��
r uuur uuuu
r 1
1 uuu
11
�
t
�
 �
AB
,
AC
.
AM

12
t

33

2
t




�
�
�
6
6
2 3

� �15 9 11 �
5
M� ; ;
�
�
4 � � �2 4 2 �
17
� �3 3 1 �
M� ; ; �
�
4
� �2 4 2 � .

A  1; 4; 2  B  1; 2; 4 
Câu 301: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
,
và đường thẳng
x 1 y  2 z


 : 1
1
2 . Tìm tọa độ M trên  sao cho MA2  MB 2  28 .

A.

M  1; 0;  4 

B.

M  1; 0;  4 

M  1; 0; 4 
C.
Hướng dẫn giải

D.

M  1; 0; 4 

Chọn C

�x  1  t
�
�y  2  t
�
 : �z  2t

M  1  t ;  2  t ; 2t 
Ta có
. Vì M � nên gọi tọa độ
.
2
2

2
MA  MB  28 � 12t  48t  48  0 � t  2 .
Vậy

M  1; 0; 4 

.

A  1; 4; 2  , B  1; 2; 4 
Câu 302: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
và đường thẳng
x 1 y  2 z
:


1
1
2 . Tìm điểm M trên  sao cho MA2  MB 2  28 .
M  1; 0; 4 
M  1; 0; 4 
M  1; 0; 4 
M  1; 0; 4 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Hướng dẫn giải
Chọn A
�x  1  t
�
 : �y  2  t
�z  2t
M � ��
� M  1  t ; 2  t ; 2t 
�
Phương trình tham số:
. Do
.
2
2
2
MA  MB  28 � 12t  48t  48  0 � t  2 ��
� M  1;0; 4  .
Ta có
.
M  3;3; 2 
Câu 303: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
và hai đường thẳng
x 1 y  2 z
x  1 y 1 z  2
d1 :


d2 :



1
3
1 ,
1
2
4 . Đường thẳng đi qua M và cắt cả 2 đường thẳng
d1 , d 2
tại A, B . Độ dài đoạn thẳng AB bằng
A. 3 .

B. 2 2 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.

6.

Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Chọn A
A  a  1;3a  2; a  B  b  1; 2b  1; 4b  2 

Gọi uuur
,
uuur
MA   a  2;3a  1; a  2  MB   b  4; 2b  2; 4b  4 
Ta có:
,
a0
�
uuur
uuur � �
b0
�
Ta có: M , A, B thẳng hàng � MA  k MB

� A  1; 2;0  , B  1;1; 2  � AB  3
.

x 1 y z  2
:
 
A  1; 2;0  B  2;3;1
Oxyz
3
2
1 .
Câu 304: Trong không gian
, cho hai điểm
,
, đường thẳng
Tọa độ điểm M trên  sao cho MA  MB là

� 15 19 43 �
 ; ; �
�
 45; 38; 43 .
6 12 �.
A.
B. � 4
15 19 43 �
�
; ; �
�
 45;38; 43 .
C.
D. �4 6 12 �.
Hướng dẫn giải
Chọn B
�x  1  3t
�
 : �y  2t
�z  2  t
�

.

M � nên M  1  3t ; 2t ; 2  t  .
Do
uuuu
r
uuuu
r

AM  3t ; 2t  2; 2  t  BM  3t  3; 2t  3; 3  t 
;
.
uuur uuur
MA  MB � MA  MB
.

�

 3t 

2

  2t  2    2  t  
2

2

 3t  3

2

  2t  3   3  t 
2

2

.

�  3t    2t  2    2  t    3t  3    2t  3    3  t  � t 

2

2

2

2

2

2

�15 19 43 �
M� ;
;
�
4
6
12 �.
�
Vậy

d :

19
12 .

x  3 y 1 z  5



2
1
2

Câu 305: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
và mặt phẳng
 P  : x  y  z  1  0 . Có tất cả bao nhiêu điểm thuộc đường thẳng  d  sao cho khoảng cách từ
 P  bằng 3 .
điểm đó đến mặt phẳng
A. Hai.
B. Ba.
C. Một.
D. Vô số điểm.
Hướng dẫn giải
Chọn A
d M , P  � 3
M  3  2m;1  m;5  2m  � d 
�
�
Gọi
( với m ��). Theo đề ta có �
.
m3
d �M , P  � 3 �
 3 � m  0 �m  6
�
�
3
. Vậy có tất cả hai điểm.

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

A  1; 4; 2  , B  1; 2; 4 
Câu 306: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm
và đường thẳng
x 1 y  2 z
:


1
1
2 . Điểm M trên  sao cho MA2  MB 2  28 là
M  1; 0; 4 
M  1; 0; 4 
M  1; 0; 4 
M  1;0; 4 
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
Hướng dẫn giải
Chọn C
�x  1  t
�
 : �y  2  t � M  1  t ; 2  t; 2t 
�z  2t
�
Phương trình tham số đường thẳng
.
2
2
2
MA  MB  28 � 12t  48t  48  0 � t  2 � M  1;0; 4 
Ta có:
.
x y  2 z 1
d: 

1
1
3 đi qua điểm
Câu 307: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
M  2; m; n 

. Khi đó giá trị m, n là.
A. m  4, n  7 .
B. m  2, n  1 .
C. m  0, n  7 .
D. m  2, n  1 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
x y  2 z 1
d: 

1
1
3 đi qua điểm M  2; m; n  .
Vì
x y  2 z 1
d: 

M  2; m; n 
1
1
3 ta được.
Nên tọa độ của
vào
m  2  2
m  4
�
2 m  2 n 1 �
d: 

��
��
n 1  6
n7 .
1
1

3
�
�
 P  : x  2 y  2 z  1  0 và đường thẳng
Câu 308: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
x 1 y 1 z
d:


2
2
1 . Gọi I là giao điểm của d và  P  , M là điểm trên đường thẳng d sao cho

IM  9 , tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  .
d M , P   4
d M , P   2 2
A. 
.
B. 
.
d M , P   8
d M , P   3 2
C. 
.
D. 
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1.
d và mặt phẳng  P  .

Gọi  là góc giữa đường thẳng
r
r
u   2; 2;1
P
n   1; 2; 2 

d
Vectơ chỉ phương của là
, vectơ pháp tuyến của
là
.
rr
u .n
r r
8
sin   cos  u , n   r r 
u.n 9
Khi đó, ta có:
.
8
d
M
,
P

IM
.sin



9.
8




 P  là:
9
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng
.
d M , P   8
Vậy 
.
Cách 2.

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

�x  1  2t
�
�y  1  2t
�z  t
�

Phương trình tham số của đường thẳng d là
 P  là nghiệm của hệ phương trình:
Tọa độ giao điểm I của d và
1
�
t
�
2
�
x

1

2
t
�
�x  0
��
�y  1  2t
�
�y  0
�
z

t
�
1�
1
�
�

0; 0;  �
z �I�
�
�
2 �.
�
2
�
�x  2 y  2z  1  0

M  1  2t ; 1  2t ; t 
Giả sử điểm M có tọa độ là
.
� 5
5�
�
t  � M1 �
6; 6; �
�
2
2�
�
IM  9 � �
� 7
7�
�
t   � M 2 �6;  6;  �
�
2�
�

� 2
Ta có

d M , P   d  M 2, P   8
Suy ra  1
.
d M , P   8
Vậy 
.
x 1 y  2 z 1
d:


2
1
3 và điểm A  2; 5; 6  . Gọi H là hình chiếu vuông góc
Câu 309: Cho đường thẳng
của A trên d . Tọa độ của H là
H  3;1; 4 
H  1; 3; 2 
H 3; 1; 4 
H  3; 1; 4 
C. 
.
A.
.
B.
.
D.
.

Hướng dẫn giải
Chọn D
uur
ud   2;1; 3
Ta có
.
uuur
AH   1  2t ;3  t ;5  3t  .
H
1

2
t
;

2

t
;

1

3
t


Vì H �d nên
và
uuur uu
r

AH  d � AH  ud .
uuur uu
r
� AH .ud  0
� 2  1  2t   1 3  t   3  5  3t   0
� 14t  14  0 � t  1.

H 3; 1; 4  .
Tọa độ của H là 
.

.

�x  1  t
�
d : �y  1  t
�z  2t
�

A  0; 2; 2  .
Câu 310: Tìm điểm M trên đường thẳng
sao cho AM  6, với
M  1;1;0 
M  2;1; 1
A.
hoặc
.
M  1;3; 4 
M  2;1; 1
B.

hoặc
.
C. Không có điểm M nào thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
D.

M  1;1; 0 

hoặc

M  1;3; 4 

Hình học tọa độ Oxyz

.

Hướng dẫn giải
Chọn D
uuur
M �( d ) � M ( t +1;1- t ; 2t ) � AM = ( t +1; - 1- t ; 2t + 2)
Vì
.
2
Theo đề: AM = 6 � AM = 6 .

2

2

2

� ( t +1) +( t +1) +( 2t + 2) = 6
�
t =0
� 6t 2 +12t = 0 � �
�
t =- 2
�
.
�
M ( 1;1;0)
��
.
�
M ( - 1;3; - 4)
�
.
M  1; 2; 3 
A  2; 4; 4 
Câu 311: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
,
và hai mặt phẳng
 P  : x  y  2 z  1  0 ,  Q  : x  2 y  z  4  0 . Đường thẳng  qua điểm M , cắt hai mặt phẳng
 P  ,  Q  lần lượt tại B và C  a; b; c  sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm
đường trung tuyến. Tính T  a  b  c .

A. T  3 .
B. T  7 .
C. T  5 .
D. T  9 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
uuuu
r
AM
 1; 2; 1 làm vectơ pháp tuyến nên:
Gọi mặt phẳng đi qua M nhận
 R  : 1  x  1  2  y  2   1  z  3   0 � x  2 y  z  8  0 .

 R  và  P  .
Gọi d là giao tuyến của mặt phẳngr
 P  là: n  1; 1;  2 
Vectơ pháp tuyến của mp
r
uuuu
r r
�
u�
AM
� , n �   5; 3;  1
Ta có

 R  và  P  nên tọa độ M là nghiệm của hệ
Gọi M là điểm thuộc giao tuyến của
�x  2 y  z  8  0
�x  0

�
�
�x  y  2 z  1  0 � �y  3
�x  0
�z  2
M  0; 3; 2 
�
�
nên
�x  0  5t
�
�y  3  3t
�z  2  t
Phương trình đường thẳng d : �
B   5t ; 3  3t ; 2  t 
Ta có B �d nên
�xC  2.1  5t
�xC  2  5t
�
�
�yC  2.2  3  3t � �yC  1  3t
�z  2.3  2  t
�z  4  t
�C
Mặt khác M là trung điểm của đoạn BC nên �C
C � Q 
2  5t  2  1  3t    4  t   4  0 � 10t  0 � t  0
Mặt khác
nên
.

C  2; 1; 4 
Nên
nên T  a  b  c  7 .
ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

A  0;1;0  ; B  2; 2; 2  ; C  2;3;1
Câu 312: Trong không gian Oxyz cho
và đuờng thẳng
x 1 y  2 z  3
d:


2
1
2 . Tìm điểm M thuộc d để thể tích tứ diện MABC bằng 3 .
15 9 11 �
�3 3 1 � �15 9 11 �
�3 3 1 � �
M� ; ; �
; M� ; ;
M�; ; �
; M� ; ; �
�

�2 4 2 � � 2 4 2 �
�2 4 2 � �2 4 2 �
A.
.
B.
.
15 9 11 �
�3 3 1 � �
�3 3 1 � �15 9 11 �
M �; ; �
; M� ; ; �
M� ; ; �
; M� ; ; �
5
4
2
2
4
2
5
4
2
�
�
�
�
�
�
�2 4 2 �
C.

.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
uuu
r
uuur
uuuu
r
AB   2;1; 2  ; AC   2; 2;1 ; M �d � M  1  2t; 2  t;3  2t  � AM   2t  1; t  3; 2 t  3 
r uuur uuuu
r
1 uuu
�
V �
AB
;
AC
.
AM
� 3  2t  1  6  t  3  6  2t  3   18 � 12t  33  18
�
6�
�
t
�
��
�
t

�
�

5
4

�3 3 1 �
�M� ; ; �
�2 4 2 �

17
�15 9 11 �
�M� ; ;
�
4
� 2 4 2 �.
d:

x y 1 z  2


1
2
3
và mặt phẳng

Câu 313: - 2017] Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
 P  : x  2 y  2 z  3  0 . Tọa độ điểm M có tọa độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến
 P  bằng 2 .
M  11; 21;31

M  1; 5; 7 
M  1; 3; 5 
M  2; 3; 1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
M �d � M  m;  1  2m;  2  3m  , m ��
.
m  2  1  2m   2  2  3m   3
m  11
�
d  M ; P   2 �
 2 � m  5  6 � �
2
m  1
�
1  2 2   2 
.
m  11 � M  11; 21;31 m  1 � M  1;  3;  5 
,
.
M  1;  3;  5 
Do M có toạ độ âm nên chọn

.
A  1; 2;1 , B  2;3; 2 
Câu 314: Trong không gian Oxyz , cho hình thoi ABCD với
. Tâm I của hình thoi
thuộc đường thẳng
D  0; 1; 2 
A.
.

d:

x 1 y z  2


1 1
1 . Tọa độ đỉnh D là.
D  0;1; 2 
D  2;1; 0 
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải

D.

D  2; 1;0 

Chọn D
uu

r
uur
I  1  t ; t ; 2  t  �d .IA   t ; t  2; t  1 , IB   t  3; t  3; t 
Gọi
.
uu
r uur
2
Do ABCD là hình thoi nên IA.IB  0 � 3t  9t  6  0 � t  2; t  1 .
Do C đối xứng A qua I và D đối xứng B qua I nên:
ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
+)
+)

t  1 � I  0;1;1 � C  1;0;1 , D  2; 1;0 
t  2 � C  3; 2; 1 , D  0;1; 2 

Hình học tọa độ Oxyz

.

.

A  1; 4; 2  B  1; 2; 4 
Câu 315: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm
,
và đường thẳng
x 1 y  2 z
:


1
1
2 . Tìm tọa độ điểm M trên  sao cho MA2  MB 2  28 .
M  1; 0; 4 
M  1; 0; 4 
M  1;0; 4 
M  1; 0; 4 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
2
M �d � M  1  t;  2  t ; 2t 
MA2  t 2   6  t    2  2t   6t 2  20t  40
Ta có:

. Khi đó
và.
2
2
2
2
2
MB   t  2    4  t    4  2t   6t  28t  36
.
2
2
2
2
Theo bài ra: MA  MB  28 � 12t  48t  76  28 � t  4t  4  0 � t  2 . Vậy
M  1;0; 4 

.

A  1; 4; 2  , B  1; 2; 4 
Câu 316: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
và đường thẳng
x 1 y  2 z
:


1
1
2 . Tìm điểm M trên  sao cho MA2  MB 2  28 .
M  1; 0; 4 
M  1; 0; 4 

M  1;0; 4 
M  1; 0; 4 
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D
M � � M  1  t ; 2  t ; 2t 
.
2
2
2
MA  MB  28 � 12t  48t  48  0 � t  2 � M  1;0; 4 
.
   : x  2 y  z  4  0 và
Câu 317: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng
�x  3  t
�
�
x  3 y  2 z d : �y  3t
d:


�z  2t
�

1
1
2,
cắt cả hai đường thẳng
, trong các điểm sau, điểm nào thuộc
đường thẳng  ?
N  4;5;6 
P  5;6;5 
Q  4; 4;5 
M  6;5;  4 
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
� A  3  a; 2  a; 2a  B  3  t ;3t ; 2t 
Gọi A   �d , B   �d �
,
.
r � 6  t  a  3t  2  a  2t  2a
uuu
r
1
2
1 .
Ta có: AB cùng phương với VTPT n( )
t2
�
uuu

r
��
�
AB
  4;8;  4 
a

4
�
.
�x  5  t
�
�y  6  2t
r
�z  4  t
B  5;6; 4 
u   1; 2;  1
Đường thẳng  đi qua điểm
có VTCP
là: �

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 25