giải phương trình mặt cầu dạng 7 đến 10

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

DẠNG 7: PTMC BIẾT TÂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN TRÊN NÓ

S : x2 + y2 + z2 − 2 y = 0
Câu 249: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )
và mặt phẳng
P
:
2
x
+
2
y
+
z
=
0.
P
S
( )
Bán kính đường tròn giao tuyến của ( ) và ( ) là.
2
1
5
1
A. 3 .
B. 3 .
D. 3 .

C. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
S
I = ( 0;1;0 )
Mặt cầu ( ) có tâm
và bán kính R = 1 .
2
h = d ( I,( P) ) =
P
(
)
3.
Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng
:
P
Bán kính đường tròn giao tuyến của ( )

S
và ( )

r = R 2 − h2 =

là
I ( 2; 4;1)

5
3 .

P :x+ y+z−4=0

Câu 250: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng ( )
. Tìm
S
S
P
phương trình mặt cầu ( ) có tâm I sao cho ( ) cắt mặt phẳng ( ) theo một đường tròn có đường
kính bằng 2 .
2
2
2
2
2
2
x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z + 1) = 4
x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 4 ) = 3
(
(
A.
.
B.
.
2
2
2
2
2
2
( x − 2 ) + ( y − 4 ) + ( z − 1) = 4 .
( x − 2 ) + ( y − 4 ) + ( z − 1) = 3 .

C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
2 + 4 +1− 4
d ( I,( P) ) =
= 3
2
2
2
1
+
1
+
1
Ta có:
.
2
Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có: R = 3 + 1 = 4 .

⇒ ( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 4 ) + ( z − 1) = 4
2

2

2

.

S

I 3; −1; −4 )
Câu 251: Đường tròn giao tuyến của mặt cầu ( ) tâm (
, bán kính R = 4 và mặt phẳng
( P ) : 2 x − 2 y − z − 3 = 0 . Tâm H của đường tròn là điểm nào sau đây?
H 1;1; −3 ) .
H −1;1;3) .
H 1;1;3) .
H −3;1;1) .
A. (
B. (
C. (
D. (
Hướng dẫn giải
Chọn A
I 3; −1; −4 )
P : 2x − 2 y − z − 3 = 0
Gọi d qua (
và vuông góc ( )
.
 x = 3 + 2t

⇒  y = −1 − 2t , t ∈ ¡ .
 z = −4 − t
H = d ∩ ( P ) ⇒ t = −1 ⇒ H ( 1;1; −3)

.
2
2
2
S

:
x
+
y
+
z
−
2
x
− 4 y − 6z = 0
Oxy )
Câu 252: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( )
. Mặt phẳng (
cắt
S
mặt cầu ( ) theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn giao tuyến ấy có bán kính r bằng.
A. r = 5 .
B. r = 6 .
C. r = 2 .
D. r = 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn A

Trang 1/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

I 1; 2;3)
Mặt cầu có bán kính R = 1 + 4 + 9 = 14 và tâm (
.
Oxy )
Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (
là d = 3 .
2
2
Bán kính đường tròn giao tuyến là r = R − d = 5 .

( S ) : ( x − 2 ) + ( y + 3) + ( z − 4 ) = 25 . Mặt
Câu 253: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
Oxy )
S
phẳng (
cắt mặt cầu ( ) có giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng:
A. 21 .
B. 3 .
C. 6 .
D. 8 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
2

Mặt cầu

( S)

có tâm:

I ( 2; −3; 4 ) , R = 5

.

Gọi H là tâm đường tròn cắt nên H là hình chiếu của I. Vậy

H ( 2; − 3; 0 )

2

2

.

Bán kính đường tròn: r = R − IH = 5 − 4 = 3 .
S
I −1, 2, −5 )
P : 2 x − 2 y − z + 10 = 0
Câu 254: Mặt cầu ( ) có tâm (
cắt ( )
theo thiết diện là hình tròn có diện
S
tích 3π có phương trình ( ) là :
2
2
2

2
2
2
( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 5) = 16 .
A.
B. x + y + z + 2 x − 4 y + 10 z + 18 = 0 .
2
2
2
2
2
2
( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 5) = 25 .
C.
D. x + y + z + 2 x − 4 y + 10 z + 12 = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
S
P
Gọi r , R là bán kính thiết diện của ( ) với ( ) và bán kính mặt cầu.
2

2

2

2

2
2

Ta có B = π r = 3π ⇒ r = 3 ⇒ r = 3 .
I −1, 2, 5 )
P : 2 x − 2 y − z + 10 = 0
Mặt khác khoảng cách từ tâm (
đến ( )
là.
−2.1 − 2.2 + 5 + 10
h( I,( P) ) =
= 3 ⇒ R = r 2 + h 2 = 9 + 3 = 12.
2
2
22 + ( −2 ) + ( −1)
.
S
Vậy phương trình mặt cầu ( ) là.
2
2
2
( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 5 ) = 12 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 10 z + 18 = 0.

I 1; −2;3)
P : 2 x + 2 y − z −1 = 0
Câu 255: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm (
và mặt phẳng ( )
.
P
Mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu tâm I , bán kính 4 . Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn
giao tuyến.
7 2 7
7 2 7

K  ; − ; ÷, r = 2 3
K  ; − ; ÷, r = 2 5
A.  3 3 3 
.
B.  3 3 3 
.
7 2 7
 7 2 7
K  ; − ; ÷, r = 2
K  − ; ; ÷, r = 2 3
C.  3 3 3 
.
D.  3 3 3 
.
Hướng dẫn giải
Chọn A

d ( I , ( P )) = 2; r = 42 − 22 = 2 3 .

Trang 2/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

P .
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với ( ) K là giao điểm của d và (P) suy ra K là
7 2 7
K  ;− ; ÷
tâm đường tròn giao tuyến.  3 3 3  .

S : x2 + y 2 + z 2 = 1
Câu 256: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )
và mặt phẳng
( P ) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 . Gọi ( C ) là đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Mặt cầu chứa đường
C
A 1; 1; 1)
I a; b; c )
tròn ( ) và qua điểm (
có tâm là (
. Tính S = a + b +c .
1
1
S =−
S=
2.
2.
A. S = 1 .
B. S = −1 .
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2
2

2
S ′ ) f ( x; y; z ) = 0 { f ( x; y; z ) =x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0}
(
Gọi phương trình
.
M ( xM ; y M ; z M )
⇒ f ( xM ; yM ; zM ) = 0
Gọi
thuộc đường tròn giao tuyến
.
2
2
2
2
2
2
M ∈ ( S ) ⇒ xM + y M + z M − 1 = 0 ⇒ f ( xM ; y M ; z M ) − ( x M + y M + z M ) = 0
.
⇒ −2axM − 2byM − 2czM + d + 1 = 0
.
M ∈( P)
Mà
; vì đường tròn có nhiều hơn ba điểm không thẳng hàng.
⇒ −2axM − 2byM − 2czM + d + 1 = 0
.
P : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 ⇒ −2axM − 2byM − 2czM + d + 1 = k ( x + 2 y − 2 z + 1)
Mà ( )
.
2
2

2
′
⇒ ( S ) : x + y + z − 1 + k ( x + 2 y − 2 z + 1) = 0
.
A 1; 1; 1) ∈ ( S ′ ) : 2 + 2k = 0 ⇔ k = −1
Mà (
.
1

1
I  ; − 1; 1÷
S = a + b +c =
⇒ ( S ′) : x2 + y 2 + z 2 − x − 2 y − 2 z − 2 = 0
 . Vậy
2.
nên  2

Câu 257: Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz,

( P ) : 2 x + 2 y + z + 5 = 0. Viết phương trình mặt cầu ( S )
( S ) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 8π . .

( S ) : ( x − 1)
A.

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 25

( S ) : ( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 16

C.

2

2

2

2

.

A ( 1; 2; −2 )

cho điểm

tâm A biết mặt phẳng

( S ) : ( x − 1)
B.

2

và mặt phẳng

( P)

cắt mặt cầu

+ ( y − 2) + ( z + 2) = 5
2

2

.

( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 9 .
.
D.
Hướng dẫn giải
2

2

2

Chọn A

( C ) , khi đó IA ⊥ ( P ) ⇒ IA = d ( A; ( P ) ) = 3. .
Gọi I là tâm đường tròn
Đường tròn

( C)

( S ) : ( x + 1)

+ ( y − 2) + ( z − 2) = 4

có chu vi bằng 8π . Do đó: 2π r = 8π ⇒ r = 4. .

( S ) ⇒ R = r 2 + IA2 = 42 + 32 = 5 .
Gọi R là bán kính mặt cầu
2
2
2
S ) ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 25.
(
Vậy phương trình mặt cầu
:
.
P
:x+ y+z =0
Câu 258: Trong không gian với hệ trục Oxyz , mặt phẳng ( )
2

2

cắt mặt cầu

2

theo một đường tròn có tọa độ tâm là.

Trang 3/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

( −1; −2;3) .

B.

( −2;1;1) .

Hình học tọa độ Oxyz

1; −2;1)
C. (
.
Hướng dẫn giải

D.

( 1;1; −2 ) .

Chọn B
S
I −1; 2; 2 )

Ta có ( ) có tâm (
.

P
Tâm H của đường tròn thiết diện là hình chiếu của tâm I xuống mặt phẳng ( ) .
P
Gọi ∆ là đường thẳng qua I và vuông góc với mp ( ) .
 x = −1 + t

∆ : y = 2+ t
z = 2 + t

Phương trình
.
 x = −1 + t
 x = −2
y = 2 + t
y =1


⇔
⇒ H ( −2;1;1)

z = 2 + t
z = 1

t = −1
Tọa độ H là nghiệm của hệ  x + y + z = 0
.

S ) : x2 + y 2 + z 2 + x − y + z − 1 = 0
(
Oxyz
Câu 259: Trong không gian với hệ tọa độ
, mặt cầu
cắt mặt phẳng
Oxy theo giao tuyến là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn này.

6
 1 1 
I  − ; ;0 ÷, r =
3 .
A.  2 2 
6
 1 1 
I  − ; ;0 ÷, r =
2 .
C.  2 2 

2 2
 1 1 
I  − ; ; 0 ÷, r =
3 .
B.  2 2 
I ( −1;1; 0 ) , r =

D.
Hướng dẫn giải

6

2 .

Chọn C

S
Gọi I là tâm đường tròn giao tuyến của mặt phẳng Oxy và mặt cầu ( ) . Khi đó, I là hình
 1 1 
I  − ; ;0 ÷
chiếu vuông góc của tâm mặt cầu lên mặt phẳng Oxy nên  2 2  .
S
Khi mặt phẳng Oxy cắt mặt cầu ( ) có tâm M , bán kính R theo giao tuyến là đường tròn có

 d ( M , Oxy )  + r 2 = R 2
bán kính r thì ta có mối quan hệ như sau: 
.
2
6
6
⇒ r 2 = R 2 −  d ( M , Oxy )  = ⇒ r =
4
2 .
A ( 3; −2; 6 ) , B ( 0;1; 0 )
Câu 260: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
và mặt cầu
2
2
2
( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 25 . Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz − 2 = 0 đi qua A, B và cắt
( S ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T = a + b + c .
A. T = 2 .

B. T = 4 .
C. T = 5 .
D. T = 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
2

Trang 4/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

2−a
A ∈ ( P ) ⇒ 3a − 2b + 6c − 2 = 0 B ∈ ( P ) ⇒ b − 2 = 0 ⇒ b = 2 ⇒ c = 2
Ta có
,
.
IO
Gọi O là tâm đường tròn giao tuyến. Để đường tròn có bán kính nhỏ nhất thì
lớn nhất.
a
5−
a + 2b + 3c − 2
2

IO = d ( I ; ( P ) ) =
=
2
a 2 + b2 + c 2
 2−a 
a2 + 
÷ +4
 2 
. Khảo sát hàm được IO lớn nhất khi

a = 0; c = 1 .

Vậy T = 3 .

( S ) có tâm I ( 1;1;3) và mặt phẳng
Câu 261: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu
( P ) : 2 x − 3 y + 6 z + 11 = 0 . Biết mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường
( S) .
tròn có bán kính bằng 3 . Viết phương trình của mặt cầu
2
2
2
2
2
2
( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 3) = 25 .
( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 3) = 5 .
A.
B.
2

2
2
2
2
2
( S ) : ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 3) = 25 .
( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 3) = 7 .
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A

d = d ( I,( P) ) =
Ta có :
Suy ra R = d + r

2.1 − 3.1 + 6.3 + 11
22 + ( −3 ) + 62
2

=4
.

= 4 +3 = 5.
2
2
2
S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 3) = 25
(
Vậy, mặt cầu có phương trình :

.
----------HẾT---------2

2

2

2

P : x − y + 2z + 1 = 0
Câu 262: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho các mặt phẳng ( )
và
( Q ) : 2 x + y + z − 1 = 0 . Gọi ( S ) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành đồng thời ( S ) cắt mặt phẳng
( P ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2 và ( S ) cắt mặt phẳng ( Q ) theo giao
Trang 5/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

S
tuyến là một đường tròn có bán kính r . Xác định r sao cho chỉ đúng một mặt cầu ( ) thoả yêu
cầu?
3
7

r=
r=
2.
2.
A. r = 3 .
B.
C. r = 2 .
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
S
Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu ( ) , ta có:
R 2 = d 2 ( I ; ( P ) ) + 22 = d 2 ( I ; ( Q ) ) + r 2
I x;0;0 )
. Gọi (
.
Ta có.
2

2

x2 + 2x + 1− 4x2 + 4x −1
 x + 1   2 x −1 
2
−
+
4
−
r
=

0
⇔
+ 4 − r2 = 0

÷ 
÷
6
 6   6 
−3 x 2 + 6 x
−1 2
⇔
+ 4 − r2 = 0 ⇔
x + x + 4 − r2 = 0
6
2
.
Bài toán trờ thành tìm r > 0 đề phương trình có duy nhất 1 nghiệm, tức là.
3
∆ = 0 ⇔ 1+ 2( 4 − r2 ) = 0 ⇔ r =
2.
Oxyz ,
Câu 263: Trong
không
gian
với
hệ
trục
tọa
độ

cho
mặt
cầu
( S ) : x + y + z + 2 x − 4 y − 6 z + m − 3 = 0 . Tìm số thực m để ( β ) : 2 x − y + 2 z − 8 = 0 cắt ( S )
theo một đường tròn có chu vi bằng 8π .
A. m = −2 .
B. m = −3 .
C. m = −1
D. m = −4 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
( S ) có tâm I ( −1; 2;3) và bán kính R = 17 − m ( m < 17 ) .
Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8π nên bán kính của nó là r = 4 .
−2 − 2 + 6 − 8
d = d ( I,( β ) ) =
=2
2
1
2
2
+
1
+
2
Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là
.
2
2
2
17

−
m
=
16
+
4
⇔
m
=
−
3
R
=
r
+
d
Theo công thức
ta có
.
2

2

2

α
S
I 1; − 3;3)
Câu 264: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu ( ) tâm (
theo giao

H 2;0;1)
S
tuyến là đường tròn tâm (
, bán kính r = 2 . Phương trình ( ) là.
2
2
2
2
2
2
( x + 1) + ( y − 3) + ( z + 3) = 18 .
( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 3) = 18 .
A.
B.
2
2
2
2
2
2
( x + 1) + ( y − 3) + ( z + 3) = 4 .
( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 3) = 4 .
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi R là bán kính của mặt cầu.
2
2
Khi đó R = r + IH .

r = 2;

( 2 − 1)

IH =

2

+ ( 0 + 3) + ( 1 − 3 ) = 14
2

2

.

( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 3) = 18 .
Vậy R = 2 + 14 = 18 . Suy ra phương trình mặt cầu
2

2

2

2

Trang 6/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

( S ) có tâm I ( 0; −2;1) và mặt phẳng
Câu 265: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu
( P ) : x + 2 y − 2 z + 3 = 0 . Biết mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn
( S) .
có diện tích là 2π .Viết phương trình mặt cầu
2
2
2
2
( S ) : x 2 + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 3 .
( S ) : x2 + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 1 .
A.
B.
2
2
2
2
( S ) : x 2 + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 3 .
( S ) : x 2 + ( y + 2 ) + ( z + 1) = 2
C.
D.
Hướng dẫn giải.
Chọn C

Ta có h = d ( I , ( P )) = 1
( C ) là đường tròn giao tuyến có bán kính r .
Gọi
2
Vì S = r .π = 2π ⇔ r = 2 .
2
2
2
Mà R = r + h = 3 ⇒ R = 3 .

Vậy phương trình mặt cầu tâm
2
2
( S ) : x 2 + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 3

I ( 0; −2;1)

và bán kính R = 3 .

P : 2x + 2 y − z − 4 = 0
S : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 11 = 0
Câu 266: Mặt phẳng ( )
và mặt cầu ( )
. Biết mặt
P
S
phẳng ( ) cắt mặt cầu ( ) theo giao tuyến là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn này.
A. 4 .
B. 3 .
C. 34 .

D. 5 .

Hướng dẫn giải
Chọn A
S
I 1; −2;3)
Ta có: ( ) có tâm (
, bán kính R = 5 .
d  I ; ( P )  = 3
P
Khoảng cách từ I đến ( ) : 
.

⇒ bán kính đường tròn giao tuyến r = 52 − 32 = 4 .
P : x − y − z + 6 = 0 ( Q) : 2x + 3 y − 2z +1 = 0
Câu 267: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( )
;
. Gọi

( S)

P
E −1; 2;3)
và cắt ( ) theo giao tuyến là đường tròn tâm (
, bán
S
kính r = 8 . Phương trình mặt cầu ( ) là.
2
2
2

2
x 2 + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 3
x 2 + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 64
A.
.
B.
.
2
2
2
2
2
2
x + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 67
x + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 64
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
S
I a, b, c )
Gọi mặt cầu ( ) có tâm (
, bán kính R .
2a + 3b + 1 

I ∈ ( Q ) ⇒ I  a, b,
÷
2


.
uur 
5 − 2a − 3b  uur
IE =  −1 − a; 2 − b;
÷ n = ( 1; −1; −1)
2

; P
.
−1 − a 2 − b 5 − 2a − 3b
uur
uur
⇔
=
=
n
1
−1
−2
Ta có IE và P cùng phương
.

là mặt cầu có tâm thuộc

( Q)

Trang 7/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

1 + a = 2 − b
a + b = 1
a = 0
⇔
⇔
⇔
2 + 2a = 5 − 2a − 3b
4a + 3b = 3 b = 1 ⇒ I ( 0;1; 2 ) .
uur
IE = ( −1;1;1) ⇒ IE = 3
Ta có
.
R = IE 2 + r 2 = 3 + 64 = 67 .
2
2
S ) x 2 + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 67
(
Do đó phương trình mặt cầu
:
.
S
I −1; 2; − 5 )

Câu 268: Mặt cầu ( ) có tâm (
và cắt mặt phẳng 2 x − 2 y − z + 10 = 0 theo thiết diện là đường
S
tròn có diện tích 3π . Phương trình của ( ) là.
2
2
2
2
2
2
( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 5) = 25 .
A.
B. x + y + z + 2 x − 4 y + 10 z + 12 = 0 .
2
2
2
2
2
2
( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 5) = 16 .
C.
D. x + y + z + 2 x − 4 y + 10 z + 18 = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
−2 − 4 + 5 + 10
d=
=3
I ( −1; 2; − 5)
2
* Khoảng cách từ

đến mặt phẳng 2 x − 2 y − z + 10 = 0 là:
.
2
2
2
2
2
S = π r = 3π ⇔ r = 3 ⇒ R = r + 3 = 18

⇒ ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 5 )
2

2

2

.
= 18 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2 x − 4 y + 10 z + 18 = 0

.

( S ) có tâm I thuộc đường thẳng
Câu 269: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
x y +3 z
∆: =
=
1
1
2 . Biết rằng mặt cầu ( S ) có bán kính bằng 2 2 và cắt mặt phẳng ( Oxz ) theo
một đường tròn có bán kính bằng 2 . Tìm tọa độ của điểm I .

I ( 1; −2; 2 ) , I ( 5; 2;10 )
I ( 1; −2; 2 ) , I ( 0; −3;0 )
A.
.
B.
.
I ( 5; 2;10 ) , I ( 0; −3; 0 )
I ( 1; −2; 2 ) , I ( −1; 2; −2 )
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A

x y+3 z
=
= ⇒ I ( t ; −3 + t ; 2t )
1
1
2
.
( Oxz ) . R, r lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính
Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng

( Oxz ) : y = 0 .
Mặt phẳng

I ∈∆ :

đường tròn giao tuyến. Theo bài ta có

IH = d ( I , ( Oxz ) ) = R 2 − r 2 = 8 − 4 = 2

.

Trang 8/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

t = 1
=2⇔
1
t = 5 . Với t = 1 ⇒ I ( 1; −2; 2 ) , với t = 5 ⇒ I ( 5; 2;10 ) .
α
S
I 1; −3;3)
Câu 270: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu ( ) tâm (
theo giao tuyến là
H 2;0;1)
S
đường tròn tâm (
, bán kính r = 2 . Phương trình mặt cầu ( ) là.

2
2
2
2
2
2
A. ( x + 1) + ( y − 3) + ( z + 3) = 4 .
B. ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 3) = 4 .
⇔

−3 + t

2
2
2
C. ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 3) = 18 .

2
2
2
D. ( x + 1) + ( y − 3) + ( z + 3) = 18 .
Hướng dẫn giải

Chọn C
uuu
r
IH = ( 1;3; −2 )
Ta có
.
uuu

r
IH = 14
.
2
2
S
Bán kính mặt cầu ( ) là: R = IH + r = 14 + 4 = 3 2 .
2
2
2
S
Vậy phương trình mặt cầu ( ) có dạng ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 3) = 18 .
( P ) : 3 x − y + 6 = 0 cắt mặt cầu ( S )
Câu 271: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
S
tâm O theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r = 4 . Phương trình mặt cầu ( ) là.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A. x + y + z = 7 .
B. x + y + z = 25 .

C. x + y + z = 1 .
D. x + y + z = 5
.
Hướng dẫn giải
Chọn B

d (O;( P)) =

6

=3

2
2
Ta có
. Suy ra bán kính mặt cầu ( S ) là R = d + r = 5 .
Do đó mặt cầu cần tìm có tâm O , bán kính R = 5 .
P : 2 x + y − 2 z + 9 = 0, ( Q ) : x − y + z + 4 = 0
Câu 272: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ( )
và
x −1 y + 3 z − 3
d:
=
=
−1
2
1 . Một phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với
đường thẳng

4

( P)

Q
và cắt ( ) theo một đường tròn có chu vi 2π là.
2
2
2
2
2
x 2 + ( y + 1) + ( z − 4 ) = 4
( x + 2 ) + ( y + 5) + ( z − 2 ) = 4 .
A.
B.
.
2
2
2
2
2
2
x − 2 ) + ( y + 3) + z = 4
x + 3) + ( y − 5 ) + ( z − 7 ) = 4
(
(
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải

Chọn D
I 1 − t ; − 3 + 2t ; 3 + t ) ∈ d
Gọi (
là tâm của mặt cầu.
2
π
⇒
2
π
r
=
2
π
⇔
r
=
1
Chu vi
.
d
= IH = h d( I , ( P ) ) = IM = R ( Q )
Đặt ( I , ( Q ) )
,
,
cắt mặt cầu đường tròn có r = HM = 1 .
2
2
2
2
2

2
R = h + r ⇔ d( I , ( P ) ) = d ( I , ( Q ) ) + 1
Ta có
.

 2 ( 1 − t ) + ( −3 + 2t ) − 2 ( 3 + t ) + 9
⇔

22 + 12 + 22


2

  ( 1 − t ) − ( −3 + 2t ) + ( 3 + t ) + 4
÷ =
÷ 
12 + 12 + 12
 

2


÷ +1
÷

.

Trang 9/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

2
2
 23
 −2t + 2   −2t + 11 
2
t = 2
⇔
÷ −
÷ − 1 = 0 ⇔ −8t + 124t − 368 = 0 ⇔ 
3
3 

 
t = 4 ⇒ I ( −3; 5; 7 ) .

Với

I ( −3; 5; 7 )

.

( S ) : x2 + y 2 + z 2 = 1 và mặt phẳng

Câu 273: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
( P ) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 . Gọi ( C ) là đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Mặt cầu chứa đường
( C ) và qua điểm A ( 1; 1; 1) có tâm là I ( a; b; c ) . Tính S = a + b +c .
tròn
1
1
S=
S =−
2.
2.
A. S = −1 .
B.
C. S = 1 .
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
( S ′ ) là mặt cầu chứa đường tròn ( C ) và qua điểm A ( 1; 1; 1) . Phương trình mặt cầu mặt
Gọi
( S ′) có dạng: ( x 2 + y 2 + z 2 − 1) + m ( x + 2 y − 2 z + 1) = 0
cầu
12 + 12 + 12 − 1) + m ( 1 + 2 − 2 + 1) = 0 ⇔ m = −1
A ( 1; 1; 1)
(
Mặt cầu đi qua điểm
nên
.
1


I  ;1; −1÷

S ′) : x2 + y 2 + z 2 − x − 2 y + 2 z = 0
(

Suy ra
nên  2
1
S = a + b +c =
2.
Vậy

( S ) có tâm I ( 1;1; 0 ) và mặt phẳng
Câu 274: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
( P ) : x + y + z + 1 = 0 . Biết ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính
( S) .
bằng 1 . Viết phương trình mặt cầu
2
2
2
2
( x − 1) + ( y − 1) + z 2 = 1 .
( x − 1) + ( y − 1) + z 2 = 3 .
A.
B.
2
2
2
2
( x − 1) + ( y − 1) + z 2 = 2 .
( x − 1) + ( y − 1) + z 2 = 4 .
C.

D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
I

R
H

Ta có

d ( I,( P) ) =

1.1 + 1.1 + 0.1 + 1
12 + 12 + 12

= 3
.

Trang 10/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

R = d 2 ( I ,( P) ) + r2 = 2

Khi đó bán kính mặt cầu
.
2
2
2
( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + z = 4 .
Vậy
α : 2x − y + 2z − 3 = 0
S
Câu 275: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng ( )
cắt mặt cầu ( ) tâm
I ( 1; −3; 2 )
S
theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 4π . Bán kính của mặt cầu ( ) là.
A. 20 .
B. 3 .
C. 2 2 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Bán kính của đường tròn r = 2 .
Khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến mặt phẳng

( α ) là

d=

2+3+ 4−3
4 +1+ 4

=2

.

Bán kính mặt cầu là R = d + r = 2 2 .
S
I 1 ; 2 ; −2 )
P  : 2 x + 2 y + z + 5 = 0
Câu 276: Phương trình mặt cầu ( ) tâm (
và cắt mặt phẳng ( )
theo một
đường tròn có chu vi 8π là.
2
2
2
2
2
2
( x –1) + ( y – 2 ) +  ( z + 2 ) = 5 .
( x –1) + ( y – 2 ) +  ( z + 2 ) = 16 .
A.
B.
2
2
2
2
2
2
x – 1) + ( y – 2 ) +  ( z + 2 ) = 25
x –1) + ( y – 2 ) +  ( z + 2 ) = 9

(
(
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến 8π = 2π r ⇒ r = 4. .
P
IH = d ( I , ( P ) ) = 3.
Khoảng cách từ I đến mp ( ) là
.
( S ) là R = r 2 + IH 2 = 5.
Bán kính mặt cầu
 x = 1 + 2mt

( d m ) :  y = −1 + ( 2m − 1) t

Oxyz
 z = 2 + ( 3m + 1) t , m là tham
Câu 277: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho họ đường thẳng
( α ) luôn qua ( d m ) . Tìm chu vi đường tròn giao tuyến của mặt cầu
số thực. Mặt phẳng
( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 2 y − 2z − 3 = 0 và mặt phẳng ( α ) .
2

A. 4 2π .

2

B. 2 2 .

C. 4 2 .
Hướng dẫn giải

8π 66
D. 11 .

Chọn D

( d m ) , ta có −5 x + 2 y + 2 z + 3 = 0 . Vậy mặt phẳng
Từ phương trình tham số của
( α ) : −5 x + 2 y + 2 z + 3 = 0 luôn đi qua ( d m ) với mọi m .
( S ) có tâm I ( 2;1;1) và bán kính R = 3 .
Mặt cầu
−5.2 + 2 + 2 + 3
33
d ( I;( α ) ) =
=
11 .
52 + 2 2 + 2 2
Khoảng cách
Trang 11/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz
2

 33 
4 66
r = R − d = 3 − 
=
÷
÷
11
 11 
Bán kính đường tròn giao tuyến bằng
.
2

Chu vi của đường tròn giao tuyến là

C = 2π r =

2

2

8π 66
11 .

DẠNG 8: PTMC BIẾT TÂM VÀ ĐK CỦA DÂY CUNG

A ( −2; − 4;5 )
Câu 278: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
. Phương trình nào dưới đây là
phương trình của mặt cầu tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B , C sao cho tam giác ABC
vuông.
2
2
2
2
2
2
x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5 ) = 40
x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5) = 82
(
(
A.
.
B.
.
2
2
2
2
2
2
( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5) = 58 .
( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5) = 90 .
C.
D.
Hướng dẫn giải

Chọn A

Do AB = AC nên tam giác ABC vuông tại A .Do đó, trung điểm H của đoạn thẳng BC là hình
chiếu của điểm A lên trục Oz .
= d ( A, Oz ) . 2 = x A 2 + y A2 . 2 = 2 10
Ta có: R = AH 2
2
2
2
( x + 2 ) + ( y + 4 ) + ( z − 5) = 40
Vậy mặt cầu có phương trình:
S
I 2;5;3)
Câu 279: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) tâm (
cắt đường thẳng
x −1 y z − 2
d:
= =
2
1
2 tại hai điểm phân biệt A, B với chu vi tam giác IAB bằng 14 + 2 31 .
S
Phương trình mặt cầu ( ) là
2
2
2
2
2
2
x − 2 ) + ( y − 5) + ( z − 3) = 31

x − 2 ) + ( y − 5 ) + ( z − 3) = 49
(
(
A.
.
B.
.
2
2
2
2
2
2
( x − 2 ) + ( y − 5) + ( z − 3) = 124 .
( x − 2 ) + ( y − 5 ) + ( z − 3) = 196 .
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
r uuur
u , IM 


d ( I,d ) =
=3 2
r
r
u
M ( 1;0; 2 ) , u = ( 2;1; 2 )
Ta có d đi qua điểm

. Do đó
.

Trang 12/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Ta có

(

AH = R 2 − 3 2

)

2

= R 2 − 18

Hình học tọa độ Oxyz

2
, chu vi tam giác IAB là 2 R + 2 R − 18 = 14 + 2 31

(

)

 R 2 − 18 = 80 + 14 31 − 2 7 + 31 R + R 2

⇔
7 + 31 − R ≥ 0
⇔ R 2 − 18 = 7 + 31 − R
 7 + 31 R = 49 + 7 31

 R = 7
⇔
⇔
⇔R=7
 R ≤ 7 + 31
 R ≤ 7 + 31
.
2
2
2
x − 2 ) + ( y − 5 ) + ( z − 3) = 49
(
Vậy phương trình mặt cầu là
.

(

)

x −1 y z − 2

= =
I ( 2;5;3)
1
2 tại hai
Câu 280: Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm
cắt đường thẳng d : 2
điểm phân biết A; B với chu vi tam giác IAB bằng 10 + 2 7 có phương trình:

( x − 2)
A.

( x − 2)
C.

2

+ ( y − 5 ) + ( z − 3) = 7

2

+ ( y − 5 ) + ( z − 3) = 25

2

2

2

2

( x − 2)
B.

( x − 2)
D.

2

+ ( y − 5 ) + ( z − 3) = 28

2

+ ( y − 5 ) + ( z − 3) = 100

2

2

2

2

Hướng dẫn giải
Chọn C

Gọi H là hình chiếuuurcảu I trên đường thẳng d . Ta có
M ( 1;0; 2 ) ∈ d ud = ( 2;1; 2 )
với
;
.

uuu
r uur
 MI .ud 


IH = d ( I ; d ) =
=3 2
uur
ud

.

2
2
2
đặt HA = x trong tam giác vuông IAH ta có: IA = HA + IH = x + 18

2
theo giả thiết ta có : IA + IB + AB = 2 x + 18 + 2 x = 10 + 2 7 .

Trang 13/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

⇔ 2( x 2 + 18 − 5) + 2( x − 7) = 0

(

)

⇔ x− 7 (

x+ 7
x 2 + 18 + 5

⇔

x2 − 7
x 2 + 18 + 5

Hình học tọa độ Oxyz
+x− 7 =0

+ 1) = 0 ⇔ x = 7
.

⇒ R = IA = HA + IH = 5 .
2
2
2
x − 2 ) + ( y − 5) + ( z − 3) = 25
(
vậy phương trình mặt cầu là:
2

2

x −1 y z + 3
= =
−1 2
−1 và mặt cầu ( S )
Câu 281: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
2
2
2
( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 18 . Đường thẳng d cắt ( S ) tại hai
tâm I có phương trình
điểm A, B . Tính diện tích tam giác IAB .
d:

11
A. 6 .

8 11
B. 9 .

8 11
C. 3 .
Hướng dẫn giải

16 11
D. 3 .

Chọn C

C ( 1;0; −3)

Đường thẳng d đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
( S ) có tâm I ( 1; 2; −1) , bán kính R = 3 2
Mặt cầu
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d .
uur r
 IC , u 


IH =
r
uur
u
IC = ( 0; −2; −2 ) 2 x + y − 3 z − 4 = 0
Khi đó:
, với
;
2
2
2
6 +2 +2
66
IH =
=
3
1 + 4 +1
Vậy

Suy ra

HB = 18 −

r
u = ( −1; 2; −1)

22 4 6
=
3
3

1
1 66 8 6 8 11
IH ×AB = ×
×
=
.
2
2 3
3
3 .
Vậy,
S : x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 2 z − 3 = 0
Câu 282: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( )
và
 x = 2 − 5t

d :  y = 4 + 2t
z = 1

S

đường thẳng
. Đường thẳng d cắt ( ) tại hai điểm phân biệt A và B . Tính độ
dài đoạn AB ?
S ∆IAB =

Trang 14/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2 17
A. 17 .

2 29
B. 29 .

Hình học tọa độ Oxyz

17
C. 17 .
Hướng dẫn giải

29
D. 29 .

Chọn B
S
Tọa độ các giao điểm của d và ( ) là nghiệm của hệ phương trình sau:
 x = 2 − 5t
 y = 4 + 2t


z = 1
 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 2 z − 3 = 0 (*)
.
2
2
2
( 2 − 5t ) + ( 4 + 2t ) + 1 − 2 ( 2 − 5t ) − 4 ( 4 + 2t ) + 2 − 3 = 0 .
Từ (*) ta có:
t = 0
2
⇔ 29t − 2t = 0 ⇔ 
t = 2
 29 .

48

 x = 29

2
120

 48 120 
t=

⇒ y =
⇒ B ;
; 1÷
x = 2
29 
29
 29 29 

t = 0 ⇒  y = 4 ⇒ A ( 2; 4;1)
z = 1
z = 1



Với
hoặc
.
uuu
r  10 4 
2 29
AB =  − ; ;0 ÷ ⇒ AB =
29 .
 29 29 
Vậy
2
2
Cách 2: Tính khoảng cách d từ tâm đến đường thẳng. Khi đó AB = 2 R − d .

S
I 1; −1; 2 )

Câu 283: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) có tâm (
và đường thẳng
x −1 y z
d:
=
= .
1
−1 1 Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm A và B với AB = 10. Viết
S
phương trình của mặt cầu ( ) .
2
2
2
2
2
2
S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 31
( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 31
(
B.
.
A.
.
2
2
2
2
2
2
( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 27

( S ) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 27 .
D.
C.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C

Trang 15/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

AB ta có: IH = d ( I , d ) và IH ⊥ d .
Gọi H là trung điểm
uuu
r
H ( 1 + t ; −t ; t ) ⇒ IH = ( t ; −t + 1; t − 2 )
.
uuu
r uu
r
Vì: IH ⊥ d ⇒ IH .ud = 0 ⇔ t = 1 .
⇒ H ( 2; −1;1) ⇒ d ( I , d ) = IH = 2
.

2

 10 
AH 2 + IH 2 =  ÷ +
 2

IA =

( 2)

Tam giác IAH vuông tại H nên:
2
2
2
S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 27.
(
Vậy phương trình mặt cầu
.

2

= 27

.

∆:

A ( 0;0; −2 )

x+2 y−2 z+3

=
=
2
3
2 .

Câu 284: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm
và đường thẳng
Phương trình mặt cầu tâm A , cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8 là ?
A.
C.

( S ) : ( x + 2)
( S) : x

2

2

+ ( y − 3) + ( z + 1) = 16
2

+ y + ( z + 2 ) = 16
2

2

2

.

B.

( S ) : ( x + 2)

+ y 2 + z 2 = 25

.

( S ) : x + y + ( z + 2 ) = 25 .
D.
Hướng dẫn giải
2

.

2

2

2

Chọn D

( H ∈ ∆ ) ⇒ HB = HC = 4 .
Kẻ AH ⊥ ∆
 x = −2 + 2t

∆ :  y = 2 + 3t
uuur

 z = −3 + 2t ( t ∈ ¡ ) ⇒ H ( 2t − 2;3t + 2; 2t − 3) ⇒ AH = ( 2t − 2;3t + 2; 2t − 1)

Ta có uu
.
r
uuur uur
u = ( 2;3;2 ) AH ⊥ ∆ ⇔ AH .u∆ = 0 ⇔ 2 ( 2t − 2 ) + 3 ( 3t + 2 ) + 2 ( 2t − 1) = 0
Lại có ∆
,
uuur
2
2
2
⇔ t = 0 ⇒ AH = ( −2; 2; −1) ⇒ AH = ( −2 ) + 2 + ( −1) = 3 .
( S ) có tâm A ( 0;0; −2 ) , bán kính R = AH 2 + HB 2 = 32 + 42 = 5
Mặt cầu
2
⇒ ( S ) : x 2 + y 2 + ( z + 2 ) = 25
.
 x = −1 + t

d :  y = 2t .
z = 2 + t

Câu 285: Cho điểm I (0;0;3) và đường thẳng
Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt
A
,
B
đường thẳng d tại hai điểm

sao cho tam giác IAB vuông là:
Trang 16/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
8
2
x 2 + y 2 + ( z − 3) = .
3
A.
4
2
x 2 + y 2 + ( z − 3) = .
3
C.

Hình học tọa độ Oxyz

2
2
x 2 + y 2 + ( z − 3) = .
3
B.
3
2
x 2 + y 2 + ( z − 3) = .

2
D.
Hướng dẫn giải

Chọn A
H ( −1 + t; 2t; 2 + t ) ∈ d
 Gọi
là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d
uuu
r
⇒ IH = ( −1 + t ; 2t ; −1 + t )
uu
r
ad = ( 1; 2;1)
d
 Ta có vectơ chỉ phương của :
và IH ⊥ d
uuu
r uu
r
1
 2 2 7
⇒ IH .ad = 0 ⇔ −1 + t + 4t − 1 + t = 0 ⇔ −2 + 6t = 0 ⇔ t = ⇒ H  − ; ; ÷
3
 3 3 3
2

2

2

2 3
2 2 2
⇒ IH =  ÷ +  ÷ +  ÷ =
3
3 3 3
 Vì tam giác IAB vuông tại I và IA = IB = R . Suy ra tam giác IAB vuông cân tại I , do đó bán
kính:
2
2 3 2 6
R = IA = AB cos 450 = 2 IH .
= 2 IH = 2.
=
2
3
3
8
2
( S ) : x 2 + y 2 + ( z − 3) =
3.
 Vậy phương trình mặt cầu
x −1 y − 2 z +1
∆:
=
=
I ( 3; 4; 0 )
1
1
−4 . Viết phương trình mặt cầu ( S ) có
Câu 286: Cho điểm

và đường thẳng
tâm I và cắt ∆ tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12 .

( x + 3)
A.
C.

( x − 3)

2

+ ( y + 4 ) + z 2 = 25

2

+ ( y − 4 ) + z = 25

( x + 3)
B.

2

2

.

2

+ ( y + 4) + z2 = 5
2

.

( x − 3) + ( y − 4 ) + z = 5 .
D.
Hướng dẫn giải
2

2

.

2

2

Chọn C

S IAB =

1
AB.d ( I , ∆ ) ⇒ AB = 8
2
.

Gọi H là trung điểm AB . Khi đó
2
R 2 = HA2 + d ( I , ∆ ) = 42 + 32 = 25
Do đó,
.

x −1 y − 6 z
d:
=
=
I ( 1;7;5 )
2
−1
3 . Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt
Câu 287: Cho điểm
và đường thẳng
đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 2 6015 là:
A.
C.

( x − 1)

2

( x − 1)

2

+ ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 2018.
2

2

+ ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 2016.
2

Chọn B
Gọi H là hình chiếu của

2

I ( 1; 7;5 )

trên d

B.

( x − 1)

2

+ ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 2017.
2

2

( x − 1) + ( y − 7 ) + ( z − 5) = 2019.
D.
Hướng dẫn giải
2

2

2

⇒ H ( 0;0; −4 ) ⇒ IH = d ( I ; d ) = 2 3

2

S ∆AIB

 AB 
IH . AB
2S
2
2
=
⇒ AB = ∆AIB = 8020 ⇒ R = IH + 
÷ = 2017
 2 
2
IH

Trang 17/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

( x − 1)
Vậy phương trình mặt cầu là:

2

Hình học tọa độ Oxyz

+ ( y − 7 ) + ( z − 5 ) = 2017.
2

2

S
I 2; 1; − 4 )
Câu 288: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) có tâm (
và mặt phẳng
( P ) : x + y − 2 z + 1 = 0 . Biết rằng mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn
S
có bán kính bằng 1 . Viết phương trình mặt cầu ( ) .
2
2
2
2
2
2
S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 4 ) = 13
S ) : ( x + 2 ) + ( y + 1) + ( z − 4 ) = 13
(
(
A.
.
B.
.
2
2

2
2
2
2
( S ) : ( x + 2 ) + ( y + 1) + ( z − 4 ) = 25 .
( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 4 ) = 25 .
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
2 + 1 − 2. ( −4 ) + 1
h = d ( I, ( P) ) =
=2 6
2
2
12 + 12 + 22
. Bán kính mặt cầu: R = h + r = 5 .
I ( 1; 0; −1)
( S ) và đường
Câu 289: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm
là tâm của mặt cầu
x −1 y +1 z
d:
=
=
2
2
−1 , đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm A , B sao cho AB = 6 .
thẳng
( S ) có bán kính R bằng

Mặt cầu
A. 2 2 .
B. 10 .
C. 2 .
D. 10 .

Hướng dẫn giải
Chọn B

r
M ( 1; −1; 0 )
u = ( 2; 2; −1)
d
Đường thẳng qua
và có vectơ chỉ phương là
.
uuur uu
r
 IM , ud 


d = d ( I, d ) =
=1
uu
r
uuur
ud
IM = ( 0; −1;1)
Ta có
. Kí hiệu

.
2

 AB 
2
R= 
÷ + d = 10
2


Áp dụng định lý Pitago ta có
.
A ( 0; 2; 2 ) B ( 2; −2;0 )
I ( 1;1; −1)
Câu 290: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
,
. Gọi 1
và
I 2 ( 3;1;1)
là tâm của hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây
( S ) đi qua cả hai đường tròn ấy. Tính bán kính R của
cung AB . Biết rằng luôn có một mặt cầu
( S) .
219
129
R=
R=
3
3
A.

B. R = 2 2
C.
D. R = 2 6
Hướng dẫn giải
Trang 18/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Chọn C

( I AB ) , khi đó d1 chứa tâm các
và vuông góc với mặt phẳng 1
I d
I
mặt cầu đi qua đường tròn tâm 1 ; 2 là đường thẳng đi qua 2 và vuông góc với mặt phẳng
( I 2 AB ) , khi đó d 2 chứa tâm các mặt cầu đi qua đường tròn tâm I 2 . Do đó, mặt cầu ( S ) đi qua
( I1 ) và ( I 2 ) có tâm I là giao điểm của d1 và d 2 và bán kính R = IA
cả hai u
đường
tròn tâm uuu
uu
r
r

I1 A = ( −1;1;3) I1 B = ( 1; −3;1)
d
Ta có
,
. Đường thẳng 1 có véc-tơ pháp tuyến là
uuur uuur
 I1 A; I1B  = ( 10; 4; 2 ) = 2 ( 5; 2;1)


.
 x = 1 + 5t

d1 :  y = 1 + 2t
 z = −1 + t
d1

Phương
trình
đường
thẳng
là:
.
uuur
uuur
I A = ( −3;1;1) I 2 B = ( −1; −3; −1)
d
Ta có 2
,
. Đường thẳng 2 có véc-tơ pháp tuyến là
uuur uuur

 I 2 A; I 2 B  = ( 2; −4;10 ) = 2 ( 1; −2;5 )


.
x = 3 + s

d2 :  y = 1 − 2s
 z = 1 + 5s
d

Phương trình đường thẳng 2 là:
.
 1
1 + 5t = 3 + s
t = 3

⇔
1 + 2t = 1 − 2 s
8 5 2
s = − 1
I =  ; ;− ÷
 −1 + t = 1 + 5 s

3 . Suy ra
3 3 3.
Xét hệ phương trình: 
Gọi

d1

là đường thẳng đi qua

I1

2

2

2

5 
2
 8 
=  − ÷ +  2 − ÷ +  2 + ÷ = 129
( S ) là R = IA  3   3   3 
3 .
Bán kính mặt cầu

DẠNG 9: PTMC BIẾT TÂM THUỘC D, THỎA ĐK

Trang 19/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

x −3 y z + 2
= =
1
1
1
Câu 291: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
và điểm
M ( 2; − 1; 0 )
( S ) là mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mp ( Oxy ) tại
. Gọi
điểm M . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu thỏa mãn?
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
D. Vô số.
Hướng dẫn giải
Chọn B
x = 3 + t

d :y = t
uuur
 z = −2 + t
I
∈
d
⇒
I
3
+

t
;
t
;
−
2
+
t
IM = ( 1 + t ; t + 1; − 2 + t )
(
)

Ta có
nên r
,
( Oxy ) có vtpt k = ( 0; 0; 1) .
Mặt phẳng
uuur r
r
 IM ; k  = ( 1 + t ; − t − 1; 0 ) = 0 ⇔ t + 1 = 0 ⇔ t = −1
I ( 2; − 1; − 3 )

Ta có: 
nên
d:

3
2
2
2

=3
x − 2 ) + ( y + 1) + ( z + 3) = 9
(
1
. Vậy
.
x −1 y
z
d:
= =
2
1 −2 và hai điểm A ( 2;1;0 ) ,
Câu 292: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng
B ( −2;3; 2 )
( S ) đi qua hai điểm A , B và có tâm thuộc đường thẳng d :
. Phương trình mặt cầu
2
2
2
2
2
2
( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 16
( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 9
A.
B.
2
2
2
2

2
2
( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 2 ) = 5
( x + 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 17
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
( S ) . Vì I ∈ d nên I ( 1 + 2t; t; −2t ) , t ∈ ¡ .
+ Gọi I là tâm của mặt cầu
( S ) đi qua hai điểm A , B nên IA = IB = r ⇒ IA2 = IB 2 ⇒ t = −1
+ Do mặt cầu
2
2
2
⇒ I ( −1; −1; 2 ) ⇒ r = IA = 17
S ) : ( x + 1) + ( y + 1) + ( z − 2 ) = 17.
(
. Vậy
A ( 3; −1; 2 )
Câu 293: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu đi qua hai điểm
,
B ( 1;1; −2 )
và có tâm thuộc trục Oz là
R = d ( I , ( Oxy ) ) =

( x − 1)
B.

2

2
2
A. x + y + z − 2 z − 10 = 0 .

x 2 + ( y − 1) + z 2 = 11
2

C.

.

2

+ y 2 + z 2 = 11

.

2
2
2
D. x + y + z − 2 y − 11 = 0 .
Hướng dẫn giải

Chọn A

I ( a; b; c )
Gọi tâm của mặt cầu là
.
I ( 0;0; c )
Vì I ∈ Oz nên

.
2
2
2
2 ⇔ 9 + 1 + ( c − 2) = 1 + 1 + ( c + 2)
⇔ c = 1.
Lại có IA = IB ⇔ IA = IB
Bán kính mặt cầu R = 11 .
x 2 + y 2 + ( z − 1) = 11 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 − 2 z − 10 = 0
2

Vậy phương trình mặt cầu là

.

Trang 20/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

S
Câu 294: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) có tâm I thuộc đường thẳng
x y+3 z
∆: =

=
1
1
2 . Biết rằng mặt cầu ( S ) có bán kính bằng 2 2 và cắt mặt phẳng ( Oxz ) theo
một đường tròn có bán kính bằng 2 . Tìm tọa độ của điểm I .
I 1; −2; 2 ) , I ( −1; 2; −2 )
I 1; −2; 2 ) , I ( 0; −3; 0 )
A. (
.
B. (
.
I ( 1; −2; 2 ) , I ( 5; 2;10 )
I ( 5; 2;10 ) , I ( 0; −3; 0 )
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C

I
R
H

r

x y +3 z
I ∈∆: =
= ⇒ I ( t ; −3 + t ; 2t )
Oxz

:
y
=
0
)
1
1
2
Mặt phẳng (
.
.
Oxz ) R, r
Gọi H là hình chiếu của I lên mặt phẳng (
.
lần lượt là bán kính mặt cầu và bán
kính đường tròn giao tuyến. Theo bài ta có
−3 + t
t = 1
⇔
=2⇔
1
t = 5 .
Với

t = 1 ⇒ I ( 1; −2; 2 )

, với

IH = d ( I , ( Oxz ) ) = R 2 − r 2 = 8 − 4 = 2

t = 5 ⇒ I ( 5; 2;10 )

.

.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0 có
Câu 295: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
 x = 5+t

d :  y = −2 − 4t
 z = −1 − 4t
( P ) : 3x − y − 3z − 1 = 0. Trong các

bán kính R = 19, đường thẳng
và mặt phẳng
{ a; b; c; d } theo thứ tự dưới đây, số nào thỏa mãn a + b + c + d = 43, đồng thời tâm I của ( S )
số

( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) ?
thuộc đường thẳng d và
{ −6; −12; −14; 75} .
{ 6;10; 20; 7} .
A.
B.
{ −10; 4; 2; 47} .
{ 3;5;6; 29} .
C.
D.
Hướng dẫn giải

Chọn A.
I ∈ d ⇒ I ( 5 + t ; −2 − 4t ; −1 − 4t ) .
Ta có

 t =0
d ( I ; ( P ) ) = R = 19 ⇔ 19 + 19t = 19 ⇔ 
( S ) tiếp xúc với ( P ) nên
t = −2
Do
Trang 21/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

 a b c
a2 + b2 + c2
I  − ; − ; − ÷;
R
=
− d = 19
( S ) có tâm  2 2 2  bán kính
4
Mặt khác
t = 0 ⇒ I ( 5; −2; −1) ⇒ { a; b; c; d } = { −10; 4; 2; 47}

Xét khi
a 2 + b2 + c2
− d ≠ 19
4
Do
nên ta loại trường hợp này.

t = 2 ⇒ { a; b; c; d } = { −6; −12; −14;75}
Xét khi
a 2 + b2 + c 2
− d = 19
4
Do
nên thỏa.

( P ) : x − y + 2 z + 1 = 0 , ( Q ) : 2 x + y + z − 1 = 0 . Gọi
Câu 296: Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng
( S ) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời ( S ) cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến là một
( S ) cắt mặt phẳng ( Q ) theo giao tuyến là một đường tròn có
đường tròn có bán kính bằng 2 và
( S ) thỏa yêu cầu.
bán kính bằng r . Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu
3
3 2
r=
r=
2
2
A. r = 2
B.

C. r = 3
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
I ( m; 0;0 )
d d
( P ) và ( Q ) .
Gọi
là tâm mặt cầu có bán kính R , 1 , 2 là các khoảng cách từ I đến
m +1
2m − 1
d1 =
d2 =
6 và
6
Ta có
Theo đề ta có

⇔

d12 + 4 = d 22 + r 2

m 2 + 2m + 1
+4 =
6

4m 2 − 4m + 1 2
+r
6

⇔ m 2 − 2m + 2r 2 − 8 = 0 ( 1) .

⇔ 1 − ( 2r 2 − 8 ) = 0
1)
(
Yêu cầu bài toán tương đương phương trình
có đúng một nghiệm m

⇔ r2 =

9
3 2
⇔r=
2
2 .

x = 1
x = 2


d :  y = 1, d ′ :  y = t ′
x −1 y z −1
∆:
= =
z = t
z = 1+ t′


1
1

1 .
Câu 297: Trong không gian Oxyz , cho các đường thẳng
và
( S ) là mặt cầu có tâm thuộc ∆ và tiếp xúc với hai đường thẳng d , d ′ . Phương trình của
Gọi

( S)

A.

là
2
2
( x − 1) + y 2 + ( z − 1) = 1
2

2

( x − 2)
B.

.
2

2

+ ( y − 1) + ( z − 2 ) = 1
2

2

2

2

.

2

3 
1 
3
1
5 
1 
5
9


x− ÷ + y − ÷ +z − ÷ =
x− ÷ + y− ÷ + z − ÷ =
2 
2 
2
2.
4 
4 
4
16 .
C. 

D. 
Hướng dẫn giải
Chọn A

Trang 22/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

x = 1+ m

∆ : y = m
z = 1+ m


( S ) ta có
Đường thẳng ∆ có phương trình tham số là:
. Gọi I là tâm mặt cầu
I ( m + 1; m; m + 1)
.
ur
uur
A ( 1;1;0 )
u1 = ( 0;0;1) ⇒ AI = ( m; m − 1, m + 1)

d
Đường thẳng đi qua
và có véctơ chỉ phương uu
.
r
uur
B ( 2;0;1)
u = ( 0;1;1) ⇒ BI = ( m − 1; m, m )
Đường thẳng d đi qua
và có véctơ chỉ phương 2
.
( S ) tiếp xúc với hai đường thẳng d , d ′ nên ta có: d ( I ; d ) = d ( I ; d ′ ) = R
Do
uu
r ur
uur uu
r
2
2
2
 IA; u1 
 IB; u2 
( m − 1) + m 2
( m − 1) + ( m − 1)




=
⇔

=
⇔m=0
ur
uu
r
1
2
u1
u2
⇒ I ( 1;0;1)

( S ) là ( x − 1) + y 2 + ( z − 1) = 1 .
và R = 1. Phương trình của mặt cầu
x = t

d :  y = −1
 z = −t
( P ) và ( Q )

Câu 298: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng
và 2 mặt phẳng
( S)
lần lượt có phương trình x + 2 y + 2 z + 3 = 0 ; x + 2 y + 2 z + 7 = 0 . Viết phương trình mặt cầu
( P ) và ( Q ) .
có tâm I thuộc đường thẳng d , tiếp xúc với hai mặt phẳng
4
4
2
2
2

2
2
2
( x + 3) + ( y + 1) + ( z + 3) =
( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 3) =
9.
9.
A.
B.
4
4
2
2
2
2
2
2
( x + 3) + ( y + 1) + ( z − 3) =
( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) =
9.
9.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
I ∈ d ⇒ I ( t ; −1; −t )
( S ) tiếp xúc với ( P ) và ( Q ) khi và chỉ khi
. Mặt cầu
Ta có
d ( I;( P) ) = d ( I;( Q) )

2

⇔

t − 2 − 2t + 3

12 + 2 2 + 2 2
⇔ 1− t = 5 − t

=

t − 2 − 2t + 7
12 + 22 + 2 2

⇔t =3

I ( 3; −1; −3)

2

R = d ( I;( Q) ) =

3 − 2 − 2×3 + 7

=

2
3.

12 + 22 + 22

x y z −1
( S ) là mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng 2 = 3 = 4 và đi
Câu 299: Trong không gian Oxyz , gọi
M ( 0;3;9 )
qua điểm
. Biết điểm I có hoành độ là số nguyên và cách đều hai mặt phẳng
x − 2 y + 2 z + 2 = 0 , 3 x − 2 = 0 . Phương trình của ( S ) là
2
2
2
2
2
2
x − 4) + ( y − 6) + ( z − 9) = 5
x − 6 ) + ( y − 9 ) + ( z − 13) = 88
(
(
A.
.
B.
.
2
2
2
2
2
2
x + y + ( z − 1) = 73
( x − 6 ) + ( y − 9 ) + ( z − 13) = 88 .
C.

.
D.
Vậy tọa độ tâm mặt cầu là

với bán kính

Trang 23/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

Hướng dẫn giải
Chọn B

x y z −1
= =
4 nên I = ( 2t;3t ;1 + 4t ) .
Vì tâm I thuộc đường thẳng 2 3
Ta có hệ:
( 2t ) − 2 ( 3t ) + 2 ( 1 + 4t ) + 2 3 ( 2t ) − 2
=
2
32
12 + ( −2 ) + 22

t = 3 ⇒ I ( 6;9;13)

⇔
1
 2 3 1
t = − ⇒ I − ;− ; ÷

⇔ 2t + 2 = 3t − 1
5
 5 5 5.

I ( 6;9;13 )
Vì điểm I có hoành độ là số nguyên, do đó
⇒ IM =

( −6 )

2

+ ( 3 − 9 ) + ( 9 − 13 ) = 88
2

2

Vậy, phương trình mặt cầu cần lập là:

.

( x − 6)

2

+ ( y − 9 ) + ( z − 13) = 88
2

2

.

x y z −1
= =
S)
(
Oxyz
4 và đi
Câu 300: Trong không gian
, gọi
là mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng 2 3
M ( 0;3;9 )
qua điểm
. Biết điểm I có hoành độ là số nguyên và cách đều hai mặt phẳng
x − 2 y + 2 z + 2 = 0 , 3 x − 2 = 0 . Phương trình của ( S ) là
2
2
2
2
2
2
( x − 6 ) + ( y − 9 ) + ( z − 13) = 88 .

( x − 4) + ( y − 6) + ( z − 9) = 5 .
A.
B.
2
2
2
2
x 2 + y 2 + ( z − 1) = 73
( x − 6 ) + ( y − 9 ) + ( z − 13) = 88 .
C.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn C
x y z −1
= =
4 nên I = ( 2t;3t ;1 + 4t ) .
Vì tâm I thuộc đường thẳng 2 3
Ta có hệ:
( 2t ) − 2 ( 3t ) + 2 ( 1 + 4t ) + 2 3 ( 2t ) − 2
=
2
2
2
32
1 + ( −2 ) + 2

t = 3 ⇒ I ( 6;9;13)

⇔

1
 2 3 1
t = − ⇒ I − ;− ; ÷

⇔ 2t + 2 = 3t − 1
5
 5 5 5.

I ( 6;9;13 )
Vì điểm I có hoành độ là số nguyên, do đó

⇒ IM =

( −6 )

2

+ ( 3 − 9 ) + ( 9 − 13) = 88
2

2

.

( x − 6)
Vậy, phương trình mặt cầu cần lập là:

2

+ ( y − 9 ) + ( z − 13) = 88

2

2

.

DẠNG 10: PTMC BIẾT TÂM THUỘC MẶT PHẲNG, THỎA ĐK
S1 ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 2 y + z = 0
(
Oxyz
Câu 301: Trong không gian với hệ trục tọa độ
cho hai mặt cầu
;
2
2
2
S
:
x
+
y
+
z
−
2
x
−
y
−
z

=
0
C
P
( 2)
( ) nằm trong mặt phẳng ( ) .
cắt nhau theo một đường tròn
Trang 24/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hình học tọa độ Oxyz

A ( 1; 0;0 ) B ( 0; 2;0 ) C ( 0; 0;3)
( P ) và tiếp xúc
Cho các điểm
,
,
. Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc
với cả ba đường thẳng AB , BC , CA ?
A. 4 mặt cầu.
B. 2 mặt cầu.
C. 3 mặt cầu.
D. 1 mặt cầu.
Hướng dẫn giải

Chọn A
( P ) chứa đường tròn ( C ) có phương trình là: 6 x + 3 y + 2 z = 0 .
Mặt phẳng
x

y

z

( ABC ) có phương trình là: 1 + 2 + 3 = 1 ⇔ 6 x + 3 y + 2 z − 6 = 0 .
Mặt phẳng
( P ) // ( ABC ) .
Do đó
( S ) tiếp xúc với cả ba đường thẳng AB , BC , CA sẽ giao với mặt phẳng ( ABC ) theo
Mặt cầu
( ABC ) có 4 đường
một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB , BC , CA . Trên mặt phẳng
tròn tiếp xúc với ba đường thẳng AB , BC , CA đó là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và ba
( P ) và tiếp xúc
đường tròn bàng tiếp các góc A , B , C . Do đó có 4 mặt cầu có tâm nằm trên
với cả ba đường thẳng AB , BC , CA . Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm 4 đường tròn
( P) .
tiếp xúc với ba đường thẳng AB , BC , CA lên mặt phẳng
x −1 y +1 z
d) :
=
=
(
3
1

1 và mặt phẳng
Câu 302: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng

( P ) : 2 x + y − 2 z + 2 = 0 . Gọi ( S ) là mặt cầu có tâm nằm trên đường thẳng ( d ) , có bán kính nhỏ
( P ) và đi qua điểm A ( 1; −1;1) . Viết phương trình mặt cầu ( S ) .
nhất, tiếp xúc với
( S ) : ( x + 1)

2

A.
C.

( S ) : ( x + 1)

2

+ ( y − 1) + z 2 = 1
2

+ ( y + 1) + z = 1
2

.

B.

( S ) : ( x − 1)

2

.

2

.

( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + z = 1 .
D.
Hướng dẫn giải
2

2

+ ( y + 1) + z 2 = 1
2

2

Chọn B

( S ) . Ta có: I ∈ ( d ) .
Gọi I , R lần lượt là tâm
uurvà bán kính của mặt cầu
⇒ I ( 1 + 3t ; −1 + t ; t ) ⇒ AI = ( 3t ; t ; t − 1) ( S )
( P ) và A nên ta có:
.
tiếp xúc với
t = 0
5t + 3

2
R = AI = d ( I ,( P ) ) =
⇒ 37t − 24t = 0 ⇔  24
t =
3
 37 .

( S ) có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn t = 0 , suy ra I ( 1; −1;0 ) , R = 1 .
Do mặt cầu
2
2
( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + z 2 = 1 .
Vậy
A ( 1;0; −1)
( P) : x + y − z − 3 = 0 .
Câu 303: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
và mặt phẳng
( P ) , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho
là mặt cầu có tâm I nằm trên mặt phẳng
17
( S) .
diện tích tam giác OIA bằng 2 . Tính bán kính R của mặt cầu
A. R = 1 .
B. R = 5 .
C. R = 3 .
D. R = 9 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi

( S)

Trang 25/27 - Mã đề thi 100

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 25