bài tập và cách giải phương trình vô tỷ

1
Website:tailieumontoan.com

•

LêI NãI §ÇU

Phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình
môn toán ở trường THCS cũng như THPT. Trong những năm gần đầy
các bài toán về phương trình thường xuất hiện trong các đề thi vào
lớp 10 THPT, các lớp 10 năng khiếu toán và trong các kì thi học sinh
giỏi các cấp với độ khó ngày càng cao.
Với mong muốn tạo ra một tài liệu thể hiện được các phương
pháp giải phương trình cùng với các hướng tiếp cận, đưa ra phương
pháp tư duy và các phép suy luận để tìm ra được lời giải một cách
tối ưu. Cũng như chia sẻ một số kình nghiệm khi giải một hệ phương
trình. Vì vậy chúng tôi đã soạn ra cuốn tài liệu ”Một số chủ đề về
phương trình vô tỷ toán THCS”.
Nội dung chính của cuốn tài liệu gông 3 chương
+ Chương I. Một số phương pháp giải phương trình vô
tỷ.
+ Chương II. Một số bài toán về phương trình vô tỷ.
Trong chương I, chúng tôi trình bày theo các chủ đề tương ứng
các dạng phương trình điển hình và được viết theo từng phần.
1. Nội dung phương pháp chung: Trình bày phương pháp chung để
giải một số dạng phương trình điển hình
2. Một số bài tập mẫu: Trình bày một số bài toán từ mức dễ đến khó
với các bước phân tích tìm lời giải cũng như trình bày lời giải một
cách chính xác khoa học.
3. Các bài tập tự luyện: Trình bày hệ thống các bài tập tự giải cho
mỗi chủ đề với hy vong giúp bạn đọc củng cố lại vấn đề đã tiếp cận.

Với cách viết đặt bạn đọc vào vị trí người giải, lối suy nghĩ
phân tích bài toán một cách tự nhiên nhưng vẫn đảm bảo tính khoa

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

học, hy vọng cuốn tài liệu sẽ thức sự có ích cho bạn đọc trên con
được chinh phục các bài toán về phương trình vô tỷ.
Mặc dù chúng tôi đã thực sự cố gắng và dành nhiều tâm huyết
để hoàn thiện cuốn sách với hiệu quả cao nhất, song sự sai sót là
điều khó tránh khỏi. Chúng tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến
của bạn đọc để chúng tôi hoàn thiện cuốn sách tốt hơn.
Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các đồng nghiệp đã
cung cấp một số tài liệu cũng như các lời giải hay để cuốn sách
thêm phần phong phú.
Xin chân thành cảm ơn.
Nhóm tác giả

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

Mục Lục
Lời nói đầu
Phương pháp 1. Phương pháp nâng lũy thừa
1. Cơ sở phương pháp
2. Ví dụ minh họa
Phương pháp 2. Phương pháp phân tích thành phương trình tích
1. Cơ sở phương pháp
2. Một số kĩ năng phân tích thành phương trình tích
Kĩ năng 1: Sử dụng hằng đẳng thức
Kĩ năng 2: Sử dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử
Kĩ năng 3: Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp 3. Phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp
1. Cơ sở phương pháp
2. Một số kĩ năng sử dụng đại lượng liên hợp
Kĩ năng 1: Nhân thêm lượng liên hợp
Kĩ năng 2: Tách biểu thức thành tích các biểu thức liên hợp
Kĩ năng 3: Một số kĩ thuật sử lý sau khi nhân liên hợp
Phương pháp 4. Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô tỷ
1. Cơ sở phương pháp
2. Một số kĩ năng đặt ẩn phụ
Kĩ năng 1: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình một ẩn
Kĩ năng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích
Kĩ năng 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Kĩ năng 4: Đặt ẩn phụ đưa phương trình về hệ phương trình
Kĩ năng 5: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình giải được
Phương pháp 5. Phương pháp đánh giá giải phương trình vô tỷ
1. Cơ sở phương pháp
2. Một số kĩ năng đánh giá trong giải phương trình vô tỷ
Kĩ năng 1: Làm chặt miền nghiệm để giải phương trình vô tỷ

Kĩ năng 2: Sử dụng hằng đẳng thức đưa phương trình về tổng các lũy
thừa bậc chẵn
Kĩ năng 3: Kĩ năng sử dụng bất đẳng thức cổ điển

Trang
1
4
4
7
26
26
26
26
37
53
63
63
64
64
74
80
95
95
95
95
109
126
130
161
167

167
167
167
175
179

BÀI TẬP RÈN LUYỆN CÁC PHƯƠNG PHÁP
1. Bài tập rèn luyện phương pháp nâng lên lũy thừa
Hướng giải bài tập phương pháp nâng lên lũy thừa
2. Bài tập rèn luyện phương pháp phân tích thành phương trình
tích
Hướng dẫn giải bài tập phương pháp phân tích thành phương
trình tích
3. Bài tập rèn luyện phương pháp phân sử dụng đại lượng liên hợp
Hướng dẫn giải bài tập phương pháp sử dụng đại lượng liên hợp
4. Bài tập rèn luyện phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình vô
tỷ
Hướng dẫn giải bài tập phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình
vô tỷ
Tác giả: Nguyễn Công Lợi

191
193
207
210
234
237
266
271

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
5. Bài tập rèn luyện phương pháp đánh giá giải phương trình vô tỷ
Hướng dẫn giải bài tập phương pháp đánh giá giải phương trình
vô tỷ

311
314

Phương pháp 1
PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LŨY THỪA
Trong bài toán phương trình vô tỷ thì phép nâng lên lũy thừa là một
biến đổi tự nhiên và có vẻ đẹp riêng. Có lúc phương pháp này được sử dụng
trực tiếp hoặc gián tiếp nhưng mục đích chính vẫn là đi tìm nghiệm của phương
trình vô tỷ. Những bài toán sử dụng phương pháp nâng lên lũy thừa là những
phương trình thuộc dạng cơ bản hoặc phương trình chứa các hằng đẳng thức.
Điều quan trọng của phép nâng lên lũy thừa đó là ta thu được phương trình
tương đương hay phương trình hệ quả. Để có thể biến đổi chính các phương
trình ta cần kiểm tra dấu của hai vế phương trình xem có cùng dấu hay không,

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

khi đó ta sẽ quyết định được phương trình thu được là phương trình tương
đương hay phương trình hệ quả.
I. Một số dạng phương trình cơ bản.
Dạng 1.

Dạng 2.

Dạng 3.

Dạng 4.

Dạng 5.

Phương pháp chung
+ Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình bằng việc giải hệ

+ Bước 2. Bình phương hai vế của phương trình và đưa phương trình về dạng
.

+ Bước 3. Giải phương trình cơ bản

và kiểm tra sự thỏa mãn của

nghiệm tìm được với điều kiện xác định của phương trình để kết luận.
Dạng 6.

Phương pháp chung
Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

1
Website:tailieumontoan.com
+ Bước 1. Lũy thừa bậc ba hai vế của phương trình thì được

+ Bước 2. Biến đổi phương trình và chú ý đến

ta được

+ Bước 3. Tiếp tục lũy thừa bậc ba hai về thì được phương trình

Dạng 7.

. Trong đó xẩy ra một trong các trường

hợp sau:
+

+

+

Phương pháp chung
+ Nếu có

thì sử dụng phép biến đổi tương đương

+ Nếu có

thì sử dụng phép biến đổi hệ quả

+ Nếu có

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

thì sử dụng phép biến đổi tương đương

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

II. Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình

.

Phân tích và lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là

Phương trình được cho ở trên có dạng cơ bản là

.

, do đó ta sử dụng

phép nâng lên lũy thừa. Chú ý rằng với điều kiện xác định tìm được ta biến đổi
phương trình như sau

Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được tập nghiệm

Nhận xét.
Lời giải trên ta sử dụng phép biến đổi tương đương phương trình sau khi đã
tìm điều kiện xác định cho phương trình.
Có thể thực hiện biến đổi tương đương phương trình mà không cần đặt điều
kiện xác định bằng cách

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

.


1
Website:tailieumontoan.com
+

Thực

tế

thì

ta

không

cần

phải

viết

cùng

lúc

hai

điều

kiện

cùng một lúc như trong phép biến đổi trên, mà chỉ

cần viết một trong hai điều kiện là được, chẳng hạn như

Chú ý rằng việc chọn điều kiện nào trong phép biến đổi phụ thuộc vào
sự thuận tiện cho qua trình kiểm tra lại và lời giải cho bài toán ngắn gọn hơn.
Ví dụ 2. Giải phương trình

.

Phân tích và lời giải
Phương trình trong vì dụ có dạng cơ bản nên ta sử dụng phép biến đổi
nâng lên lũy thừa. Chú ý rằng trong hai điều kiện

kiện

thì điều

đơn giản hơn. Lại nhẩm một số giá trị đặc biệt ta được

là một

nghiệm. Do đo ta trình bày lời giải cho phương trình như sau

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

Ví dụ 3. Giải phương trình

.

.

Phân tích và lời giải

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
Phương trình trên có dạng cơ bản nên ta hướng đến sử dụng phép biến
đổi nâng lên lũy thừa. Khi nâng lên lũy thừa ta được phương trình có bậc 3, tuy
nhiên nhận thấy

là một nghiệm của phương trình nên ta dễ dàng phân

tích được phương trình bậc 3. Ta trình bày lời giải như sau.

Nhận xét.
Trong hai điều kiện

thì việc chọn điều kiện

trong phép nâng lên lũy thừa là hoàn toàn hợp lí.
Một số sai lầm thường gặp khi biến đổi phương trình của ví dụ trên.
+ Vội vàng phát hiện nhân tử và biến đổi phương trình mà chưa đặt điều kiện

Để thực hiện tách được

thì cần có điều kiện

.

Muốn vậy ta ta tìm điều kiện xác định của phương trình trước

.

+ Tìm được điều kiện

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

nhưng lại vội vàng khai căn

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
Ta biết rằng với biểu thức dạng

thì khi khai căn phải lấy dấu giá

trị tuyệt đối cho biểu thức đưa ra ngoài dấu căn

Với điều kiện

.

ta chưa xác định được

mang dấu gì nên khi

khai căn ta cần lấy dấu giá trị tuyệt đối

.

Ví dụ 4. Giải phương trình

Phân tích và lời giải
Phương trình cho trong ví dụ là phương trình dạng

nên ta sử

dụng biến đổi nâng lên lũy thừa để giải. Ta thấy vế trái của luôn không âm, do
đó nếu vế phải của phương trình âm thì phương trình vô nghiệm. Do đó ta chỉ
có thể biến đổi nâng lên lũy thừa phương trình khi có điều kiện

. Khi đó

hai vế đều không âm và bình phương ta thu được phương trình tương đương.

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là

.

Nhận xét.

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
Trong qua trình nâng lên lũy thừa ta chỉ cần đặt điều kiện

mà không cần phải có thêm điều kiện

, bởi vì khi nâng lên lũy thừa

thì đã đảm bảo cho điều kiện

.

Nếu trong qua trình biến đổi ta không đặt điều kiện

và

là được

thì khi tìm

ta cần thử lại vào phương trình ban đầu để xác định nghiệm.

Ví dụ 5. Giải phương trình

.

Phân tích và lời giải
Việc đầu tiên khi giải phương trình trên là tìm điều kiện xác định của
phương trình. Vì chưa biết chắc chắn vế phải âm hay dương nên trước khi biến
đổi nâng lên lũy thừa ta cần có thêm điều kiện

một tí ta nhận thấy khi chuyển vế đại lượng

. Tuy nhiên để ý

sang vế trái thì hai vế của

phương trình đều dương và đến đây ta có thể nâng lên lũy thừa hai vế mà
không cần đến điều kiện

. Từ đó ta có lời giải như sau

Điều kiện xác định của phương trình là

. Phương trình đã cho

tương đương với

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là

.

Nhận xét.
Khi gặp phương trình dạng

thì ta nên chuyển vế một hạng tử

sao cho hai vế của phương trình đều không âm, từ đó ta thực hiện nâng lên lũy
thừa mà không cần phải bổ sung thêm điều kiện của ẩn.
Ngoài biến đổi nâng lên lũy thừa như trên ta có thể giải phương trình trên
theo phương pháp đánh giá như sau
Điều kiện xác định của phương trình là

+ Xét

.

, khi đó ta có

+ Xét

, khi đó ta có

+ Xét

, khi đó ta được

Kết hợp với điều kiện xác định của phương trình ta được

.

.

.

là nghiệm.

Ví dụ 7. Giải phương trình

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

1
Website:tailieumontoan.com
Phân tích và lời giải
Phương trình trong ví dụ có dạng cơ bản

nên ta sử dụng

phép nâng lên lũy thừa, Sau phép nâng lên lũy thừa ta được một phương trình
bậc hai. Chú ý đặt điều kiện cho ẩn để phép nâng lũy thừa thực hiện được. Ta
có lời giải như sau.
Điều kiện xác định của phương trình là

. Phương trình đã cho tương

đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được

là nghiệm duy nhất của phương

trình.
Nhận xét. Phương trình được viết lại thành

thực hiện phép đặt ẩn phụ

, đến đây ta

và đưa phương trình về dạng bậc hai

.

Ví dụ 8. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là

. Phương trình đã cho tương đương

với

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

Phương trình đã cho có nghiệm

.

Ví dụ 9. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện kiện xác định của phương trình là

. Phương trình đã cho

tương đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm

.

Ví dụ 10. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện xác định của

. Phương trình đã cho tương đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được nghiệm duy nhất

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

.

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
Ví dụ 11. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là

. Phương trình đã cho tương đương

với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được

là nghiệm duy nhất của phương

trình đã cho.
Ví dụ 12. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là

. Phương trình đã cho tương tương

với

Kết hợp điều kiện xác định ta thu được tập nghiệm

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
Nhận xét. Để ý đến biểu thức

dạng

ta viết phương trình về

. Phương trình đã cho tương đương với

+ Dễ thấy phương trình

vô nghiệm do điều kiện

.

+ Với

.

Kết hợp điều kiện xác định ta thu được tập nghiệm

Ví dụ 13. Giải phương trình

.

.

Phân tích và lời giải
Phương trình đã cho có dạng cơ bản và biểu thức trong căn là các đa
thức bậc nhất. Do đó ta sử dụng phép nâng lên lũy thừa để giải phương trình.
Sau hai lần nâng lên lũy thừa ta thu được một phương trình bậc hai.
Điều kiện xác định của phương trình là

. Phương trình đã cho tương

đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được nghiệm duy nhất là

.

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
Ví dụ 14. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là

. Phương trình đã cho tương đương

với

Kết hợp với điều kiện xác đinh ta được tập nghiệm

.

Nhận xét. Ta cũng có thể thực hiện phép nâng lên lũy thừa theo cách khác
Phương trình đã cho tương đương với

Kết hợp điều kiện

ta thu được tập nghiệm

.

Ví dụ 15. Giải phương trình

Phân tích và lời giải
Phương trình có dạng cơ bản

nên ta sẽ sử dụng

biến đổi nâng lên lũy thừa, tuy nhiên trước khi biến đổi ta cần đặt điều kiện cho
phương trình và chuyển vế hạng tử

sang vế phải sao cho phương trình

thu được có hai vế không âm.
Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
Điều kiện xác định của phương trình là

. Phương trình đã cho tương

đương với

Kết hợp với điều kiện xác định ta được

là nghiệm duy nhất của phương

trình.
Nhận xét.
Ở phương trình trên ta chuyển

qua vế phải rồi mới bình phương. Mục

đích của việc làm này là tạo ra hai vế của phương trình luôn cùng dấu để sau
khi bình phương ta thu được phương trình tương đương.
Sai lầm thường gặp khi bình phương hai vế phương trình đã cho là biến đổi

phương trình thành

mà chưa xác định được

mang dấu gì. Ta khắc phục sai lầm đó bằng cách sau

Ngoài ra ta có thể biến đổi

Tuy nhiên sau khi giải được các nghiệm ta cần thử lại vào phương trình
ban đầu để tìm tập nghiệm.
Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

1
Website:tailieumontoan.com
Ví dụ 16. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là

. Phương trình đã cho tương đương

với

Kết hợp điều kiện

suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là

.
Ví dụ 17. Giải phương trình

Phân tích và lời giải
Phương trình đã cho có dạng

. Do đó ta có

thể sử dụng phép nâng lên lũy thừa để giải phương trình. Để ý rằng
nên sau pháp bình phương hai vế ta thu được phương

trình

. Sử dụng tiếp một lần nữa phép nâng lên

lũy thừa thì thu được phương trình bậc hai.
Điều kiện xác định của phương trình là

. Phương trình đã cho tương đương

với

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

Cả hai giá trị bị loại do

. Kết luận phương trình vô nghiệm.

Nhận xét. Cũng từ

ta nghĩ đến đặt ẩn phụ

Khi đó từ cách đặt và phương trình đã cho ta có hệ

Tư đó ta được

.

hay ta có phương trình

.

Ví dụ 18. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là

Phương trình đã cho tương đương với

. Giả sử hai

vế của phương trình cùng dấu. Khi đó

Đối chiếu điều kiện và thử lại ta thấy

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

thỏa mãn phương trình đã cho.

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là nghiệm

.

Nhận xét. Dễ thấy rằng hai phương trình sau không tương đương với nhau.

và

Do

đó

ta

có

thể

giả

sử

hai

vế

của

phương

trình

cùng dấu để phép có biến đổi tương đương.

Ngoài ta ta có thể biến đổi hệ quả là

Trong cả hai cách trên sau khi giải ra nghiệm ta cần phải thử lại vào
phương trình đã cho rồi kết luận tập nghiệm.
Ví dụ 19. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là

. Giả sử hai vế của phương trình

đã cho cùng dấu.
Khi đó phương trình tương đương với

Đối chiếu điều kiện và thử lại ta thấy

Vậy phương trình dã cho có tập nghiệm

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

thỏa mãn phương trình đã cho.

.

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
Ví dụ 20. Giải phương trình

.

Phân tích và lời giải
Dễ thấy điều kiện xác định của phương trình là

Để ý ta thấy

.

. Do đó ta viết phương trình lại

thành

Bình phương hai vế của phương trình ta được

Thử lại vào phương trình đã cho ta thấy

thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là

.

Ví dụ 21. Giải phương trình

.

Phân tích và lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

.

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com
Nhận thấy

và

. Do đó khi chuyển vế hai hạng tử

sang vế kia thì ta được phương trình có hai vế cùng dương. Lúc này

bình phương hai vế ta được

Kết hợp với điều kiện xác định ta được tập nghiệm

Ví dụ 22. Giải phương trình

.

.

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là

. Từ phương trình ta được

Thay các giá trị tìm được vào phương trình ta thấy không thỏa mãn. Vậy
phương trình vô nghiệm.
Nhận xét. Có thể sử dụng phương pháp phân tích nhâ tử để giải quyết nhanh
gọn phương trình.
Với điều kiện

ta có

và

. Do đó phương trình đã cho tương

đương với

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

Từ đây ta suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 23. Giải phương trình

Phân tích và lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là

. Để giải phương trình

này thì rõ ràng ta phải loại bỏ căn thức. Điều đầu tiên là ta nghĩ đến bình
phương hai vế. Vì hai vế của phương trình đã cho luôn không âm nên bình
phương hai vế ta thu được phương trình tương đương.

Kết hợp với điều kiện xác đinh ta có tập nghiệm

Nhận xét. Qua lời giải trên, ta thấy được

nhờ vào đẳng thức

thì

biểu diễn được qua

. Như vậy

nếu ta đặt

và khi đó phương trình đã cho trở thành phương

trình bậc hai với ẩn là t
Tác giả: Nguyễn Công Lợi

TÀI LIỆU TOÁN HỌC


1
Website:tailieumontoan.com

Vậy ta có

Việc thay thế biểu thức

bằng một ẩn mới là

(ẩn phụ) là một

suy nghĩ hoàn toàn tự nhiên. Để chọn được cách đặt ẩn phụ thích hợp thì ta
phải tìm được mối liên hệ giữa các đối tượng tham gia trong phương trình,
trong trường hợp này đó là đẳng thức..
Ví dụ 24. Giải phương trình

Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là

Nhận thấy khi

.

thì

không có nghiệm. Do đó ta xét phương trình khi

nên phương trình trên

.

Khi đó phương trình tương đương với hệ

Đặt

.

, khi đó ta được

Xét phương trình

Tác giả: Nguyễn Công Lợi

.

ta được

TÀI LIỆU TOÁN HỌC