Vecto trong không gian

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Trang 1

Quan hệ vuông góc – HH 11


Website chuyờn thi ti liu file word

Quan h vuụng gúc HH 11

VẫCT TRONG KHễNG GIAN
A Lí THUYT V PHNG PHP
1. nh ngha v cỏc phộp toỏn
nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian c xõy dng hon ton tng
t nh trong mt phng.
Lu ý:
uuur uuur uuur
+ Qui tc ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú: AB + BC = AC
uuu
r uuur uuur
+ Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú: AB + AD = AC
uuur uuur uuur uuuur
+ Qui tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD. A B C D , ta cú: AB + AD + AA ' = AC '
+ Hờ thc trung im on
trung
uur thng:
uur r ChouuIu
rl u
uur im
uur ca on thng AB, O tu ý.

Ta cú:
IA + IB = 0; OA + OB = 2OI
+ H thc trng tõm tamuuu
giỏc:
r uuu
rChouuG
ur l rtrng utõm
uu
r ca
uuu
r tam
uuugiỏc
r ABC,
uuur O tu ý. Ta cú:
GA + GB + GC = 0;
OA + OB + OC = 3OG
+ H thc trng tõm t din:
ca t
ABCD,
tu
Ta
uuu
r uCho
uu
r G
uuul
r trng
uuur tõm
uuu
rdin

uuu
r uuur Ouu
ur ý. u
uurcú:
r
GA + GB + GC + GD = 0;
OA + OB + OC + OD = 4OG
r
r
r
r r
r
+ iu kin hai vect cựng phng: a vaứ b cuứng phửụng (a 0) !k R : b = ka
+ im M chia on thng AB theo t s k (k 1), O tu ý. Ta cú:
uuu
r uuu
r
uuur
uuur
uuuu
r OA kOB
MA = k MB; OM =
1 k
2. S ng phng ca ba vect
Ba vect c gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi mt mt phng.
r
r r r
r
iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect a , b , c , trong ú a vaứ b khụng cựng
r

r r r
r
r
phng. Khi ú: a , b , c ng phng ! m, n R: c = ma + nb
r
r r r
Cho ba vect a , b , c khụng ng phng, x tu ý.
r
r
r
r
Khi ú:
! m, n, p R: x = ma + nb + pc
3. Tớch vụ hng ca hai vect
Gúc gia hai vect trong khụng gian:
uuu
r r uuur r
r r ã
ã
AB = u , AC = v (u , v ) = BAC
(00 BAC
1800 )
Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian:
rr r r
r r
r r r
u .v = u . v .cos(u , v )
+ Cho u , v 0 . Khi ú:
rr
r r

r r
+ Vi u = 0 hoaởc v = 0 . Qui c: u .v = 0
r r
rr
+ u v u .v = 0
4. Cỏc dng toỏn thng gp:
a) Chng minh ng thc vec t.
b) Chng minh ba vec t ng phng v bn im ng phng, phõn tớch mt vect theo ba
vect khụng ng phng.
+ chng minh ba vect ng phng, ta cú th chng minh bng mt trong cỏc cỏch:
- Chng minh cỏc giỏ ca ba vect cựng song song vi mt mt phng.
r
r r r
r
- Da vo iu kin ba vect ng phng: Nu cú m, n R: cr = ma
+ nb thỡ a, b, c ng
phng
r
r r r
+ phõn tớch mt vect x theo ba vect a, b,c khụng ng phng, ta tỡm cỏc s m, n, p sao cho:
r
r
r
r
x = ma + nb + pc
Trang 2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian

d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.

Quan hệ vuông góc – HH 11

r2 r 2
r
r2
+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở a = a ⇒ a = a .

Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau:
r r r
- Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a,b, c so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa
chúng có thểuutính
uur được.
r r r
- Phân tích MN = ma+ nb+ pc
uuuur
uuuur 2
r r r 2
- Khi đó MN = MN = MN = ma+ nb+ pc

(

)

r2
r2
r2
r r
r r

r r
= m2 a + n2 b + p2 c + 2mn cos a,b + 2npcos b, c + 2mpcos c, a

( )

( )

( )

e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Sử dụng các kết quả
uuur
uuur uuur
• A , B,C , D là bốn điểm đồng phẳng ⇔ DA = mDB + nDC
• A , B,C , D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có
uuur
uuur
uuur uuur
OD = xOA + yOB + zOC trong đó x + y + z = 1.

B – BÀI TẬP

uuu
r r uuu
r r uuur r
Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , M là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a , CB = b , AA′ = c .
Khẳng định nào sau đây đúng?
uuuu
r r r 1r
uuuu

r r r 1r
uuuu
r r r 1r
A. AM = b + c − a .
B. AM = a − c + b .
C. AM = a + c − b .
D.
2
2
2
uuuu
r r r 1r
AM = b − a + c .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta phân tích như sau:
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r uuu
r 1 uuur
AM = AB + BM = CB − CA + BB′
2
r r 1 uuur r r 1 r
= b − a + AA′ = b − a + c .
2
2
Câu 2: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A , B , C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và

đủ để A , B , C , D tạo thành hình bình hành là
uuu
r uuu
r uuur uuur r
A. OA + OB + OC + OD = 0 .
B. OA + OC = OB + OD .
1
1
1
1
C. OA + OB = OC + OD .
D. OA + OC = OB + OD .
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:
uuur uuu
r uuur
BD = BA + BC .
Với mọi điểm O bất kì khác A , B , C , D , ta có:
uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuu
r uuur uuur uuu
r
BD = BA + BC ⇔ OD − OB = OA − OB + OC − OB
uuu

r uuur uuur uuur
⇔ OA + OC = OB + OD .
uur r uur r uuu
r r
Câu 3: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ;
uuu
r r
SD = d . Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 3



– Website chuyên
đề thi tài liệu file wordr r
Quan hệ vuông góc
– HH 11
r r r r
r r r r
r
r
r r r r r
A. a + c = d + b .
B. a + b = c + d .
C. a + d = b + c .
D. a + b + c + d = 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
r
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Ta phân tích như sau:

d
uur uuu
r
uuu
r
r
r
r a
 SA + SC = 2 SO
c
b
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
(do tính chất của đường trung tuyến)

 SB + SD = 2SO
uur uuu
r uur uuu
r
r r r r
⇒ SA + SC = SB + SD ⇔ a + c = d + b .

Câu 4: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB = b ,
uuur r uuur r
AC = c , AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
A. MP = c + d − b .
B. MP = d + b − c .
2
2
uuur 1 r r r
uuur 1 r r r
C. MP = c + b − d .
D. MP = c + d + b .
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
r
Ta phân tích:
r
b
uuur 1 uuuu
r uuuu
r
d
MP = MC + MD (tính chất đường trung tuyến)
r
2
c
r uuur uuuu

r 1 r r uuuu
r
1 uuur uuuu
= AC − AM + AD − AM = c + d − 2 AM
2
2
u
u
u
r
r
r
r
1 r
1 r
= c + d − AB = c + d − b .
2
2

(
(

)
)

(

(
(

(
(

)
)

)

)

)

(

(

)

)

uuuu
r r
Câu 5: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC ′ = u ,
r r
uuur r uuuu
r r uuuu
CA ' = v , BD′ = x , DB′ = y . Khẳng định nào sau đây đúng?
uur 1 r r r r
uur
1 r r r r

A. 2OI = ( u + v + x + y ) .
B. 2OI = − ( u + v + x + y ) .
2
2
uur 1 r r r r
uur
1 r r r r
C. 2OI = ( u + v + x + y ) .
D. 2OI = − ( u + v + x + y ) .
4
4
Hướng dẫn giải:
r
r
x
v
Chọn D.
Ta phân tích:
r uuur uuur uuuu
r
uuu
r uuur
uuur
r
r
r r uuuu
y
u
u + v = AC ′ + CA′ = AC + CC ′ + CA + AA′ = 2 AA′ .
r uuuu

r uuur uuuur
uuur uuur
uuur
uuur
r r uuuu
x + y = BD′ + DB′ = BD + DD′ + DB + BB′ = 2BB′ = 2 AA′ .
uuur
uuur
uur
r r r r
⇒ u + v + x + y = 4 AA′ = −4 A′A = −4.2OI .
uur
1 r r r r
⇒ 2OI = − ( u + v + x + y ) .
4
Câu 6: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB′A′ và
BCC ′B′ . Khẳng định nào sau đây sai?
uur 1 uuur 1 uuuur
A. IK = AC = A′C ′ .
2
2
B. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng.
uuur uur
uuur
C. BD + 2 IK = 2 BC .
uuur uur uuuur
D. Ba vectơ BD ; IK ; B′C ′ không đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:

(

(

) (
) (

)

)

Trang 4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Quan hệ vuông góc – HH 11
Chọn D.
A đúng do tính chất đường trung bình trong ∆B′AC và tính
chất của hình bình hành ACC ′A′ .
B đúng do IK // AC nên bốn điểm I , K , C , A đồng
phẳng.
C
đúng
do
tích:
uuu
r uu
r việc
uuur ta uphân
uur u
uur uuur uuur uuur uuur
BD + 2 IK = BC + CD + AC = BC + CD + AD + DC

uuur uuur
uuur
= BC + BC = 2 BC .
uuur uur uuuur
D sai do giá của ba vectơ BD ; IK ; B′C ′ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng ( ABCD ) . Do đó,
theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
Câu
7: Cho
tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi
uuu
r uuu
r uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0 ”. Khẳng định nào sau đây sai?
A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I , J lần lượt là trung điểm AB và CD ).
B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD .
C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC .
D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD .
Từ
uuu
rgiảuuthiết,
ur uuta
ur biến
uuurđổirnhư sau:
uur uuu
r r
uur uuu
r r

GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ 2GI + 2GJ = 0 ⇔ GI + GJ = 0
⇒ G là trung điểm đoạn IJ .
Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được
phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương
án D sai.
r r uuur
uuur
r uuu
Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD . Đặt x = AB ; y = AC ; zr = AD . Khẳng
định nào sau đây đúng?
uuur 1 r r r
uuur
1 r r r
A. AG = ( x + y + z ) .
B. AG = − ( x + y + z ) .
3
3
uuur 2 r r r
uuur
2 r r r
C. AG = ( x + y + z ) .
D. AG = − ( x + y + z ) .
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi M là trung điểm CD .
Ta phân tích:
uuur uuu
r uuur uuu

r 2 uuuu
r uuu
r 2 uuuu
r uuu
r
r
AG = AB + BG = AB + BM = AB + AM − AB
r
x
z
3
3
r
uuu
r 2  1 uuur uuur uuu
r  1 uuu
r uuur uuur 1 r r r
y
= AB +  AC + AD − AB  = AB + AC + AD = ( x + y + z ) .
3 2
3
 3

(

(

)

(

)

)

uuu
r r uuur r
Câu 9: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O . Đặt AB = a ; BC = b . M là điểm xác định bởi
uuuu
r 1 r r
OM = a − b . Khẳng định nào sau đây đúng?
2

(

)

Trang 5


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Quan hệ vuông góc – HH 11
A. M là tâm hình bình hành ABB′A′ .
B. M là tâm hình bình hành BCC ′B′ .
C. M là trung điểm BB′ .
D. M là trung điểm CC ′ .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta phân tích:
uuuu

r 1 r r 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
OM = a − b = AB − BC = AB − AD = DB .
2
2
2
2
′
⇒ M là trung điểm của BB .
r

(

)

(

)

(

)

a

r r r

r

r r u
r

r
b

r

r r

r

r

Câu 10: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x = 2a − b; y = −4a + 2b; z = −3b − 2c .

Chọn khẳng địnhu
rđúng?
r
r u
r
A. Hai vectơ y; z cùng phương.
B. Hai vectơ x; y cùng phương.
r r
r u
r r
C. Hai vectơ x; z cùng phương.
D. Ba vectơ x; y; z đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
u
r

r
r u
r
+ Nhận thấy: y = −2 x nên hai vectơ x; y cùng phương.
Câu 11: Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O . Trong các khẳng định
sau, khẳng định nào sai?
uuu
r uuur uuur uuur r
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì OA + OB + OC + OD = 0 .
uuu
r uuur uuur uuur r
B. Nếu ABCD là hình thang thì OA + OB + 2OC + 2OD = 0
uuu
r uuur uuur uuur r
C. Nếu OA + OB + OC + OD = 0 thì ABCD là hình bình hành.
uuu
r uuur uuur uuur r
D. Nếu OA + OB + 2OC + 2OD = 0 thì ABCD là hình thang.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 12: Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định đúng?
uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r uuur uuuur
A. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng.
B. CD1 , AD, A1 B1 đồng phẳng.
uuuu
r uuur uuur

uuur uuur uuur
C. CD1 , AD, A1C đồng phẳng.
D. AB, AD, C1 A đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
D
Chọn C.
C
+ M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AA1 , DD1 , CD .

Ta có CD1 / /( MNPQ ); AD / / ( MNPQ ) ; A1C / /(MNPQ )
uuuu
r uuur uuuu
r
⇒ CD1 , AD, A1C đồng phẳng.

A

B

D1

A1

r r r

r

C1
B1

r

r u
r r r r r

r

r

Câu 13: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x = 2a + b; y = a − b − c; z = −3b − 2c .

Chọn khẳng địnhr đúng?
u
r r
A. Ba vectơ x; y; z đồng phẳng.

r r
B. Hai vectơ x; a cùng phương.

Trang 6



– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Quan hệ vuông góc – HH 11
r r
r u
r r
C. Hai vectơ x; b cùng phương.
D. Ba vectơ x; y; z đôi một cùng phương.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
u
r 1 r r
r u
r r
Ta có: y = x + z nên ba vectơ x; y; z đồng phẳng.
2
Câu 14: Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
uuu
r uuuur uuuur
uuuu
r
AB + B1C1 + DD1 = k AC1
A. k = 4 .
B. k = 1 .
C. k = 0 .
D. k = 2 .
Hướng dẫn giải:
D
Chọn B.
C

(

)

uuu
r uuuur uuuur uuu
r uuur uuuu

r uuuu
r
+ Ta có: AB + B1C1 + DD1 = AB + BC + CC1 = AC1 . Nên
k = 1.

A

B

D1

C1

A1

B1

uuuu
r r

Câu 15: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D ′ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC ′ = u ,

r u
r
uuur r uuuu
r r uuuu
CA′ = v , BD′ = x , DB′ = y . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
uur
r
uur

r
1 r r r u
1 r r r u
A. 2OI = − (u + v + x + y ) .
B. 2OI = − (u + v + x + y ) .
4
2
uur 1 r r r u
r
uur 1 r r r u
r
C. 2OI = (u + v + x + y ) .
D. 2OI = (u + v + x + y ) .
2
4
Hướng dẫn giải:
D
Chọn A.
+ Gọi J , K lần lượt là trung điểm của AB, CD .
+Ta có:
J
A

K

C

B

O

D’

A’

uur uuu
r uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
r
1 r r r u
2OI = OJ + OK = OA + OB + OC + OD = − (u + v + x + y )
2
4

(

)

Trang 7

C’

B’


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

uuur

Quan hệ vuông góc – HH 11

r uuur r uuur

r uuur ur

Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A1 B1C1 . Đặt AA1 = a, AB = b, AC = c, BC = d , trong các đẳng

thức sau,
r đẳng
r r thức
ur nào
r đúng? r r r ur
A. a + b + c + d = 0 .
B. a + b + c = d .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

r r ur r
C. b − c + d = 0 .

r r r
D. a = b + c .

A

C

uuur uuur uuu
r r r ur r r
+ Dễ thấy: AB + BC + CA = 0 ⇒ b + d − c = 0 .

B

A1

C1

B1
Câu 17: Cho hình hộp ABCD.EFGH . Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình

hành BCGF . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
uuur uuur uuur
uuur uur uuur
A. BD, AK , GF đồng phẳng.
B. BD, IK , GF đồng phẳng.
uuur uuur uuur
uuur uur uuur
C. BD, EK , GF đồng phẳng.
D. BD, IK , GC đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

 IK //( ABCD )
uur uuur uuur

+ GF //( ABCD ) ⇒ IK , GF , BD đồng phẳng.
 BD ⊂ (ABCD)

+ Các bộ véctơ ở câu A, C , D không thể có giá cùng song
song với một mặt phẳng.

D

C

A

B
K
I
H

E
Câu 18: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

r r r
A. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cắt nhau từng đôi một thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Trang 8

G

F


– Website
chuyên đề thi tài liệu file word
Quan hệ vuông góc – HH 11
r r r
r
B. Nếu trong ba vectơ a, b, c có một vectơ 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.

r r r
C. Nếu giá của ba vectơ a, b, c cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.
r r r
D. Nếu trong ba vectơ a, b, c có hai vectơ cùng phương thì ba vectơ đó đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
+ Nắm vững khái niệm ba véctơ đồng phẳng.
Câu 19: Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
uuuu
r uuur
uuur
uuuu
r uuur uuuu
r r
A. AC1 + A1C = 2 AC .
B. AC1 + CA1 + 2C1C = 0 .
uuuu
r uuur uuur
uuur uuur uuuu
r
C. AC1 + A1C = AA1 .
D. CA1 + AC = CC1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
D
C
+ Gọi O là tâm của hình hộp ABCD. A1B1C1D1 .
+ Vận dụng công thức trung điểm để kiểm tra.
A

B

O
D1

C1

A1

B1

Câu 20: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

uuu
r uuur uuur uuur ur
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + BC + CD + DA = O .
uuur uuur
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB = CD .
uur uuu
r uur uuu
r
C. Cho hình chóp S . ABCD . Nếu có SB + SD = SA + SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
uuu
r uuur uuur
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + AC = AD .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

uur uuu
r uur uuu

r
uur uuur uur uuur uur uur uuur
SB + SD = SA + SC ⇔ SA + AB + SA + AD = SA + SA + AC .
uuur uuur uuur
⇔ AB + AD = AC . ⇔ ABCD là hình bình hành

B

A

D

C

uuur uuur

Câu 21: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Ta có AB.EG bằng?

A. a 2 2 .

C. a 2 3 .

B. a 2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

D.

(

B

A

uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuuruuuu
r
AB.EG = AB. EF + EH = AB.EF + AB.EH
uuur2 uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuur
= AB + AB. AD ( EH = AD ) = a 2 (Vì AB ⊥ AD )

)

Trang 9

a2 2
.
2

C

D

F

E

H

G


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 22: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C , D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ

để A, B, C , D tạo thành hình bình hành là:
uuu
r 1 uuu
r uuur 1 uuur
uuu
r 1 uuur uuu
r 1 uuur
A. OA + OB = OC + OD .
B. OA + OC = OB + OD .
2
uuu
r u
uur uuur uuu2r
uuu
r 2uuu
r uuur uuu2r r
C. OA + OC = OB + OD .
D. OA + OB + OC + OD = 0 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
uuu
r uuur uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r uuur
A
OA + OC = OB + OD ⇔ OA + OA + AC = OA + AB + OA + BC
uuur uuur uuur
⇔ AC = AB + BC

B

D

C

Câu 23: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’ A’ và

BCC ′B′ . Khẳng định nào sau đây sai ?

uur 1 uuur 1 uuuur
A. Bốn điểm I , K , C , A đồng phẳng
B. IK = AC = A′C ′
2
2
uuur uur uuuur

uuur uur
uuur
C. Ba vectơ BD; IK ; B′C ′ không đồng phẳng.
D. BD + 2 IK = 2 BC
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
uur uuur
A. Đúng vì IK , AC cùng thuộc ( B′AC )
uur uuu
r uuuur 1 r r 1 r r
1 r r
1 uuur 1 uuuur
B. Đúng vì IK = IB′ + B ' K = a + b + −a + c = b + c = AC = A′C ′.
2
2
2
2
2
uur uuu
r uuuur 1 r r 1 r r
1 r r
C. Sai vì IK = IB′ + B ' K = a + b + −a + c = b + c .
2
2
2
uuur uur
r r r r
r
uuuur
⇒ BD + 2 IK = −b + c + b + c = 2c = 2B′C ′ ⇒ ba véctơ đồng phẳng.

uuur uur
r r r r
r
uuuur
uuur
D. Đúng vì theo câu C ⇒ BD + 2 IK = −b + c + b + c = 2c = 2 B′C ′ = 2 BC .
Câu 24: Cho tứ diện ABCD . Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy M , N sao cho AM = 3MD ,
BN = 3NC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC . Trong các khẳng định sau, khẳng định
nào sai?
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r uuur uuur
A. Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng.
B. Các vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng.
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuuu
r
C. Các vectơ AB, DC , PQ đồng phẳng.
D. Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng.
Chọn A.

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

)

)

uuuu
r uuur uuur uuur
uuuu
r uuur uuur uuur
 MN = MA + AC + CN
 MN = MA + AC + CN
r uuuu
r uuur uuur ⇒  uuuuur uuuuu
r uuur uuur
A. Sai vì  uuuu
 MN = MD + DB + BN
3MN = 3MD + 3DB + 3BN

uuuu
r uuur uuur 1 uuur
uuur uuur uuuu
r
⇒ 4 MN = AC − 3BD + BC ⇒ BD, AC , MN không đồng phẳng.
2

Trang 10


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Quan hệ vuông góc – HH 11
uuuu
r uuur uuur uuur
uuuu
r uuur uuur uuuu
r 1 uuur uuur
 MN = MP + PQ + QN
r uuuu
r uuur uuur ⇒ 2 MN = PQ + DC ⇒ MN = PQ + DC
B. Đúng vì  uuuu
2
 MN = MD + DC + CN
uuuu
r uuur uuur
⇒ MN , DC , PQ : đồng phẳng.
uuur 1 uuu
r uuur
uuur
C. Đúng. Bằng cách biểu diễn PQ tương tự như trên ta có PQ = AB + DC .

2
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur
D. Đúng. Biểu diễn giống đáp án A ta có MN = AB + DC .
4
4
Câu 25: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a . Hãy chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau
đây:
uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur r
a2
A. AD + CB + BC + DA = 0
B. AB.BC = − .
2 uuu
uuur uuur uuur uuur
r uuur
C. AC. AD = AC.CD.
D. AB ⊥ CD hay AB.CD = 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

(

)

(

)

Vì ABCD là tứ diện đều nên các tam giác ABC , BCD, CDA, ABD là các tam giác đều.
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r r
A. Đúng vì AD + CB + BC + DA = DA + AD + BC + CB = 0 .
uuu
r uuur
uuu
r uuur
−a 2
A
B. Đúng vì AB.BC = − BA.BC = −a.a.cos 600 =
.
2
C. Sai vì
uuur uuur
uuu
r uuur
a 2 uuur uuur
a2
AC. AD = a.a.cos 600 = ; AC.CD = −CA.CD = −a.a.cos 600 = − .
2
uuur uuur 2uuu
r uuur
D. Đúng vì AB ⊥ CD ⇒ AB.CD = 0.
C

B

D

uuu
r

r uuur

r uuur

r

Câu 26: Cho tứ diện ABCD . Đặt AB = a, AC = b, AD = c, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD .

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
uuur r r r
A. AG = a + b + c .

uuur 1
B. AG =
3
uuur 1
D. AG =
4

uuur 1 r r r
C. AG = a + b + c .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

(

)

r r r
a+b+c .

(
)
r r r
( a + b + c) .

Gọi M là trung điểm BC .
uuur uuu
r uuur r 2 uuuu
r r 2 1 uuur uuur
AG = AB + BG = a + BM = a + . BC + BD
3
3 2
r 1 uuur uuu
r uuur uuu
r r 1
r r r 1 r r r
= a + AC − AB + AD − AB = a + −2a + b + c = a + b + c .
3
3
3

(

(

)

)

(

)

Trang 11

(

)


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 27: Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Gọi M là trung điểm AD . Chọn đẳng thức đúng.

uuuur uuuu
r uuuur 1 uuuur
B. C1M = C1C + C1 D1 + C1B1 .
2
uuur uuuur uuuur
uuuu
r

D. BB1 + B1 A1 + B1C1 = 2 B1 D .

uuuur uuur uuuur uuuur
A. B1M = B1 B + B1 A1 + B1C1 .

uuuur uuuu
r 1 uuuur 1 uuuur
C. C1 M = C1C + C1D1 + C1B1 .
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

uuuur uuur uuuu
r uuur 1 uuu
r uuur uuur 1 uuuur uuuur
A. Sai vì B1M = B1 B + BM = BB1 + BA + BD = BB1 + B1 A1 + B1D1
2
2
uuur 1 uuuur uuuur uuuur uuur uuuur 1 uuuur
= BB1 + B1 A1 + B1 A1 + B1C1 = BB1 + B1 A1 + B1C1.
2
2
B. Đúng vì
uuuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r 1 uuu
r uuur uuuu
r 1 uuuur uuuur

C1M = C1C + CM = C1C + CA + CD = C1C + C1 A1 + C1D1
2
2
uuuu
r 1 uuuur uuuur uuuur uuuu
r uuuur 1 uuuur
= C1C + C1 B1 + C1 D1 + C1 D1 = C1C + C1 D1 + C1B1.
2
2
C. Sai. theo u
câu
B
suy
ra
uur uuuur uuuur uuur uuur uuuu
r
D. Đúng vì BB1 + B1 A1 + B1C1 = BA1 + BC = BD1 .

(

(

)

(

)

)

(

)

(

(

)

B

A
M

)

C

D

A1

B1

D1

C1

uuu

r uuu
r uuur uuur r
Câu 28: Cho tứ diện ABCD và điểm G thỏa mãn GA + GB + GC + GD = 0 ( G là trọng tâm của tứ
diện). Gọi GO là giao điểm của GA và mp ( BCD) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
uuu
r
uuuur
uuu
r
uuuur
uuu
r
uuuur
uuu
r
uuuur
A. GA = −2G0G .
B. GA = 4G0G .
C. GA = 3G0G .
D. GA = 2G0G .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Theo đề: GO là giao điểm của GA và mp ( BCD ) ⇒ G0 là trọng
tâm tam giác BCD .
uuuu
r uuuu
r uuuur r
⇒ G0 A + G0 B + G0C = 0
uuu
r uuu

r uuur uuur r
Ta có: GA + GB + GC + GD = 0

uuu
r
uuur uuur uuur
uuuur uuuu
r uuuu
r uuuur
uuuur
uuuur
⇒ GA = − GB + GC + GD = − 3GG0 + G0 A + G0 B + G0C = −3GG0 = 3G0G

(

)

(

)

Trang 12


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 29: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC . Trong các khẳng định sau,

khẳng định nào sai?
uuu
r uuur uuuu
r
A. Các vectơ AB, DC , MN đồng phẳng.
uuur uuuu
r uuuu
r
C. Các vectơ AN , CM , MN đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
uuuu
r 1 uuu
r uuur
A. Đúng vì MN = AB + DC .
2

(

uuu
r uuur uuuu
r
B. Các vectơ AB, AC , MN không đồng phẳng.
uuur uuur uuuu
r
D. Các vectơ BD, AC , MN đồng phẳng.

)

uuuu

r
uuuu
r
B. Đúng vì từ N ta dựng véctơ bằng véctơ MN thì MN không nằm trong mặt phẳng ( ABC ) .
uuur
C. Sai. Tương tự đáp án B thì AN không nằm trong mặt phẳng ( CMN ) .
uuuu
r 1 uuur uuur
D. Đúng vì MN = AC + BD .
2

(

)

Câu 30: Cho tứ diện ABCD . Người ta định nghĩa “ G

là trọng tâm tứ diện ABCD khi
uuu
r uuur uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0 ”. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I , J lần lượt là trung điểm AB và CD )
B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD
C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC
D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải:
A
Chọn D.
uuu
r uuu

r
uuur uuur
r
uur
uuu
r r
Ta có: GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ 2GI + 2GJ = 0

(

) (

)

I

G là trung điểm IJ nên đáp án A đúng
Tương tự cho đáp án B và C cũng đúng.

G
B

D

J
C

Câu 31: Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 . Gọi O là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức

đúng?

Trang 13


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
uuur 1 uuu
r uuur uuur
uuur 1
A. AO = AB + AD + AA1
B. AO =
3
2
uuur 1 uuu
r uuur uuur
uuur 2
C. AO = AB + AD + AA1
D. AO =
4
3
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
uuuu
r uuur uuur uuur
Theo quy tắc hình hộp: AC = AB + AD + AA

(
(

)
)

1

Quan hệ vuông góc – HH 11
uuu
r uuur uuur
AB + AD + AA1

(
)
uuu
r uuur uuur
AB
( + AD + AA ) .
1

1

uuur 1 uuuu
r
uuur 1 uuu
r uuur uuur
Mà AO = AC1 nên AO = AB + AD + AA1 .
2
2
Câu 32: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
uuur uuur
uuu
r
uuu

r
A. Từ AB = 3 AC ta suy ra BA = −3CA
uuu
r
1 uuur
B. Nếu AB = − BC thì B là trung điểm đoạn AC .
uuur
u2uur uuur
C. Vì AB = −2 AC + 5 AD nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng
uuur
uuur
uuu
r
uuur
D. Từ AB = −3 AC ta suy ra CB = 2 AC .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

(

)

A

uuur
uuur uuur
Ta có: AB = −2 AC + 5 AD
uuu
r uuur uuur
Suy ra: AB, AC , AD hay bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng.

M

G
B

D

N
C

Câu 33: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD và G là trung điểm của

MN . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
uuu
r uuur uuur uuur
A. MA + MB + MC + MD = 4MG
B. GA + GB + GC = GD
uuu
r uuur uuur uuur r
uuuu
r uuur r
C. GA + GB + GC + GD = 0
D. GM + GN = 0 .
Hướng dẫn giải:

Chọn B.
M , N , G lần lượt là trung điểm của AB, CD, MN theo quy tắc trung điểm :

uuu
r uuur
uuuur uuur uuur
uuur uuuur uuur r
GA + GB = 2GM ; GC + GD = 2GN ; GM + GN = 0
uuu
r uuur uuur uuur r
uuu
r uuur uuur
uuur
Suy ra: GA + GB + GC + GD = 0 hay GA + GB + GC = −GD .
Câu 34: Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D′ có cạnh bằng a . Hãy tìm mệnh đề sai trong những
mệnh đềuusau
u
r đây:
uuuur uuur uuuur r
uuuur uuuu
r
A. 2 AB + B ′C ′ + CD + D ′A′ = 0
B. AD ′. AB ′ = a 2
uuuu
r
uuuu
r uuuu
r
C. AB ′.CD ′ = 0
D. AC ′ = a 3 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.uuur uuuur uuur uuuur r
Ta có : 2 AB + B ′C ′ + CD + D ′A′ = 0

D'

A'

Trang 14

C'

B'

D

A

C
B


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Quan hệ vuông góc – HH 11

uuu
r uuur uuur
uuuur uuuur
r

uuur r r r
uuur r
⇔ AB + AB + CD + B ′C ′ + D ′A′ = 0 ⇔ AB + 0 + 0 = 0 ⇔ AB = 0 (vô lí)

(

) (

)

Câu 35: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ với tâm O . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau

đây: uuur uuur uuuu
r uuuur uuuur uuuu
r
uuur uuur uuur uuuur
A. AB + BC + CC ′ = AD ′ + D ′O + OC ′
B. AB + AA′ = AD + DD ′
uuur uuuu
r uuur uuuu
r r
uuuu
r uuu
r uuur uuur
C. AB + BC ′ + CD + D ′A = 0
D. AC ′ = AB + AD + AA′ .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
uuur uuur uuur uuuur
uuur uuur

Ta có : AB + AA′ = AD + DD ′ ⇔ AB = AD (vô lí)
r ruu
r
Câu 36: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
r r r r u
r
r r r r
r r r
A. Các vectơ x = a + b + 2c; y = 2a − 3b − 6c; z = −a + 3b + 6c đồng phẳng.
r r
r r u
r
r r r r
r r r
B. Các vectơ x = a − 2b + 4c; y = 3a − 3b + 2c; z = 2a − 3b − 3c đồng phẳng.
r r r ru
r
r r r r
r r r
C. Các vectơ x = a + b + c; y = 2a − 3b + c; z = −a + 3b + 3c đồng phẳng.
r r r r u
r
r r r r
r r r
D. Các vectơ x = a + b − c; y = 2a − b + 3c; z = −a − b + 2c đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B. r u
r r
r
u

r
r
Các vectơ x, y, z đồng phẳng ⇔ ∃m, n : x = m y + nz
r
u
r
r
Mà : x = m y + nz
3m + 2n = 1
r
r
r
r r
r
r r r

⇔ a − 2b + 4c = m 3a − 3b + 2c + n 2a − 3b − 3c ⇔  −3m − 3n = −2 (hệ vô nghiệm)
 2m − 3n = 4

r
u
r
r
Vậy không tồn tại hai số m, n : x = m y + nz
Câu 37: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn:
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur r
GS + GA + GB + GC + GD = 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
uuu

r
uuur
A. G, S , O không thẳng hàng.
B. GS = 4OG
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
C. GS = 5OG
D. GS = 3OG .
Hướng dẫn giải:
S
Chọn
uuu
r uB.
uu
r uuur uuur uuur r
GS + GA + GB + GC + GD = 0
uuu
r
uuur uuu
r uuur uuur uuur r
⇔ GS + 4GO + OA + OB + OC + OD = 0
uuu
r
uuur r
uuu
r
uuur

⇔ GS + 4GO = 0 ⇔ GS = 4OG

(

(

) (

)

)

C

B
O
A
D

uuur

r uuur

ur uuur

r

Câu 38: Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B ′C ′ có AA′ = a, AB = b, AC = c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ

r r r

uuuu
r
BC ′ qua các vectơ a, b, c .

Trang 15



đề
uuuu
r r r r – Website chuyên
uuuu
r
r thi
r tài
r liệu file word
uuuu
r
r r Quan
r hệ vuông
uuuu
rgócr– HH
r r11
A. BC ′ = a + b − c
B. BC ′ = −a + b − c
C. BC ′ = −a − b + c
D. BC ′ = a − b + c .
Hướng dẫn giải:
C
A

Chọn D.
uuuu
r uuu
r uuuu
r
uuur uuur uuur
r r r r r r
B
Ta có: BC ′ = BA + AC ′ = − AB + AC + AA′ = −b + c + a = a − b + c .
'

'

'

C

A

B

Câu 39: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây là sai?

uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
B. OG = OA + OB + OC + OD
4
uuur 1 uuu
r uuur uuur

AB + AC + AD .
D. AG =
4

uuu
r
ur uuur uuur r
A. GA + GB + GC + GD = 0

(
(

)

uuur 2 uuu
r uuur uuur
AB + AC + AD
C. AG =
3
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
G là trọng tâm tứ diện ABCD
uuu
r
ur uuur uuur r
uuu
r uuur uuur uuur r
uuur 1 uuu
r uuur uuur
⇔ GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ 4GA + AB + AC + AD = 0 ⇔ AG = AB + AC + AD .

4
Câu 40: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tìm giá trị của k
uuuu
r
uuur uuur
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN = k AC + BD

(

)

)

(

(

)

)

1
1
A. k = .
B. k = .
C. k = 3.
D. k = 2.
2
3
Hướng dẫn giải:

Chọn A.
uuuu
r 1 uuuu
r uuuu
r
1 uuur uuur uuur uuur
MN = MC + MD (quy tắc trung điểm) = MA + AC + MB + BD
2
2
uuuu
r 1 uuur uuur
uuur uuur r
Mà MA + MB = 0 (vì M là trung điểm AB ) ⇒ MN = AC + BD .
2
r r r
r r r
Câu 41: Cho ba vectơ a, b, c . Điều kiện nào sau đây khẳng định a, b, c đồng phẳng?
r
r
r r
A. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p = 0 và ma + nb + pc = 0 .
r
r
r r
B. Tồn tại ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ≠ 0 và ma + nb + pc = 0 .
r
r
r r
C. Tồn tại ba số thực m, n, p sao cho ma + nb + pc = 0 .
r r r

D. Giá của a, b, c đồng qui.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Theo giả thuyết m + n + p ≠ 0 ⇒ tồn tại ít nhất một số khác 0 .
r
r
r r
r
nr pr
Giả sử m ≠ 0 . Từ ma + nb + pc = 0 ⇒ a = − b − c .
m
m
r r r
a, b, c đồng phẳng (theo định lý về sự đồng phẳng của ba véctơ).
uuur r uuur ur uuur r
Câu 42: Cho lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có AA′ = a, AB = b, AC = c . Hãy phân tích (biểu thị) vectơ
r r r
uuuu
r
B′C qua các vectơ a, b, c .
uuuu
r r r r
uuuu
r
r r r
uuuu
r r r r
uuuu
r
r r r

A. B′C = a + b − c.
B. B′C = − a + b + c.
C. B′C = a + b + c.
D. B′C = − a − b + c.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

(

)

(

)

(

Trang 16

)


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
u
uuu
r uuur uuuur
B′C = B′B + B′C ′ (qt hình bình hành)
uuur uuur
r uuur uuur
r r r

= − AA′ + BC = − a + AC − AB = − a − b + c.

Quan hệ vuông góc – HH 11

Câu 43: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?

uuu
r
1 uuur
A. Nếu AB = − BC thì B là trung điểm của đoạn AC .
uuur
u2uur
uuu
r uuur
B. Từ AB = −3 AC ta suy ra CB = AC.
uuu
r
uuur uuur
C. Vì AB = −2 AC + 5 AD nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
uuur uuur
uuu
r
uuu
r
D. Từ AB = 3 AC ta suy ra BA = −3CA.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
uuu
r
1 uuur

A.
Sai vì AB = − BC ⇒ A là trung điểm BC .
2

uuur uuur
uuu
r
uuur
B. Sai vì AB − 3 AC ⇒ CB = −4 AC .
C. Đúng theo
sự
uuur định
uuurlý vềuu
u
r đồng
uuu
rphẳng của 3 véctơ.
D. Sai vì AB = 3 AC ⇒ BA = 3CA (nhân 2 vế cho −1 ).
Câu 44: Hãy chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
r r r
A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương.
r r r
r
B. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ 0 .
r r r r
r
r
C. véctơ x = a + b+ c luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ a và b .
uuur uuuu
r uuur

D. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ ba véctơ AB′, C ′A′, DA′ đồng phẳng
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.
B. Đúng vì theo định nghĩa đồng phẳng.
C. Sai
uuur uuur uuur r r
 DA′ = AA′ − AD = a − c
uuur uuur uuu
r
 uuur r r
⇒ AB′ = DA′ − CA ⇒ 3
D. Đúng vì  AB′ = a + b
r uuu
r
r r
 uuuu
′
′
C
A
=
CA
=
−
b
−c

uuur uuuu
r uuur

vectơ AB′, C ′A′, DA′ đồng phẳng.
Câu 45: Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng? Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a .
uuur uuur
Ta có AB.EG bằng:

Trang 17


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
A. a 2 .

B. a 2

C. a 3.

Quan hệ vuông góc – HH 11
a 2
D.
.
2

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
AB.EG = EF + EH AE + EF + FB
uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuu

r
= EF . AE + EF 2 + EF .FB + EH . AE + EH .EF + EH .FB
uuur uuu
r
= 0 + a 2 + 0 + 0 + 0 + EH .EA = a 2 + 0 = a 2

(

)(

)

Câu 46: Cho hình chóp S . ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . Trong các khẳng định sau,

khẳng địnhunào
ur sai?
uur uuu
r uuu
r
uuu
r
A. Nếu SA + SB + 2SC + 2SD = 6SO thì ABCD là hình thang.
uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA + SB + SC + SD = 4 SO .
uur uur uuu
r uuu

r
uuu
r
C. Nếu ABCD là hình thang thì SA + SB + 2 SC + 2 SD = 6SO .
uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
D. Nếu SA + SB + SC + SD = 4SO thì ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

uur uur uuu
r uuu
r
uuu
r
A. Đúng vì SA + SB + 2 SC + 2SD = 6SO
uuu
r uuur uuur uuur r
⇔ OA + OB + 2OC + 2OD = 0 .
uuu
r
uuur
uuur
Vì O, A, C và O, B, D thẳng hàng nên đặt OA = kOC ; OB = mOD
uuur
uuur r
⇒ ( k + 1) OC + ( m + 1) OD = 0 .

uuur uuur
Mà OC , OD không cùng phương nên k = −2 và m = −2 ⇒
OA OB
=
= 2 ⇒ AB / / CD.
OC OD
B. Đúng. Hs tự biến đổi bằng cách chêm điểm O vào vế trái.
C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD, BC thì sẽ sai.
D. Đúng. Tương tự đáp án A với k = −1, m = −1 ⇒ O là trung điểm 2 đường chéo.
Câu 47: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai?
uuu
r uuur uuur
uuur
uuur uuur
A. Từ hệ thức AB = 2 AC − 8 AD ta suy ra ba véctơ AB, AC , AD đồng phẳng.
uuuur uuur r
B. Vì NM + NP = 0 nên N là trung điểm của đoạn MP.
uur 1 uuu
r uuu
r
C. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điẻm O bất kì ta có OI = OA + OB.
2
uuu
r uuur uuur uuur r
A
,
B
,
C
,

D
D. Vì AB + BC + CD + DA = 0 nên bốn điểm
cùng thuộc một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A Đúng theo định nghĩa về sự đồng phẳng của 3 véctơ.
B. Đúng uuu
r uuur uur uu
r uur uur
C. Đúng vì OA + OB = OI + IA + OI + IB
uu
r uur r
uuu
r uuur
uur
Mà IA + IB = 0 (vì I là trung điểm AB ) ⇒ OA + OB = 2OI .

(

Trang 18

)


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Quan hệ vuông góc – HH 11
D. Sai vì không đúng theo định nghĩa sự đồng phẳng.
uuur r uuur r
Câu 48: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tâm O . Đặt AB = a ; BC = b . M là điểm xác định bởi
uuuu

r 1 r r
OM = a − b . Khẳng định nào sau đây đúng?
2
A. M là trung điểm BB′.
B. M là tâm hình bình hành BCC ′B′.
C. M là tâm hình bình hành ABB′A′.
D. M là trung điểm CC ′.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
uuuu
r uuu
r uuur
r uuuu
r
1 uuuu
A. M là trung điểm BB′ ⇒ 2OM = OB + OB′ = − B′D + BD′ (quy tắc trung điểm).
2
u
u
u
r
r
r
u
u
u
r
r
r
r

r r r
1
1
= − B′B + b − a + BB′ + b − a (quy tắc hình hộp) = − −2a + 2b = a − b .
2
2
Câu 49: Cho hai điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB . Mệnh đề
nào sau đây là đúng?
uuuu
r uuu
r uuu
r
A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OA + OB .
uuuu
r uuur
uuu
r
B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OB = k BA .
uuuu
r
uuu
r
uuu
r
C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = kOA + ( 1 − k ) OB .
uuuu
r uuur
uuu
r uuu
r

D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OB = k OB − OA .

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
uuu
r uuur
uur
uuuu
r
uur

A. Sai vì OA + OB = 2OI ( I là trung điểm AB ) ⇒ OM = 2OI ⇒ O, M , I thẳng hàng.
uuuu
r uuur
uuur
uuu
r
B. Sai vì OM = OB ⇒ M ≡ B và OB = k BA ⇒ O, B, A thẳng hàng: vô lý
uuuu
r
uuu
r
uuur
uuuu
r uuur
uuu
r uuu
r
uuuu
r
uuu
r
C. OM = kOA + ( 1 − k ) OB ⇔ OM − OB = k OA − OB ⇔ BM = k BA ⇒ B, A, M thẳng hàng.
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r

uuu
r
D. Sai vì OB − OA = AB ⇒ OB = k OB − OA = k AB ⇒ O, B, A thẳng hàng: vô lý.

(

(

)

)

Câu 50: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là

trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào
uur
uuu
r uuu
r uuur uuur
đẳng thức vectơ: PI = k PA + PB + PC + PD .

(

A. k = 4 .

)

B. k =

1

.
2

C. k =

1
.
4

D. k = 2 .

Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
uuu
r uuur
uuuu
r uuu
r uuur
uuur
Ta có PA + PC = 2 PM , PB + PD = 2 PN
uuu
r uuu
ruuuuu
r uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r uuur
uur

uur
1
nên PA + PB + PC + PD = 2 PM + 2PN = 2( PM + PN ) = 2.2.PI = 4 PI . Vậy k =
4
Câu 51: Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn đẳng thức sai?
uuur uuu
r uuuur uuuur
uuur uuuur uuuur uuur
A. BC + BA = B1C1 + B1 A1 .
B. AD + D1C1 + D1 A1 = DC .
uuur uuu
r uuur uuuu
r
uuu
r uuuur uuuu
r uuur
C. BC + BA + BB1 = BD1 .
D. BA + DD1 + BD1 = BC .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

uuu
r uuuur uuuu
r uuu
r uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuur
Ta có : BA + DD1 + BD1 = BA + BB1 + BD1 = BA1 + BD1 ≠ BC
nên D sai.

Trang 19



chuyên
tài
Quan hệ vuông góc – HH 11
uuur uuuur
uuu
r – Website
uuuur
uuur uđề
uu
r thiuu
uurliệuuufile
uur word
Do BC = B1C1 và BA = B1 A1 nên BC + BA = B1C1 + B1 A1 . A đúng
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur
Do AD + D1C1 + D1 A1 = AD + D1 B1 = A1 D1 + D1 B1 = A1 B1 = DC nên
uuur uuuur uuuur uuur
AD + D1C1 + D1 A1 = DC nên B đúng.
uuur uuu
r uuur uuur uuuur uuuu
r
Do BC + BA + BB1 = BD + DD1 = BD1 nên C đúng.
Câu 52: Cho tứ diện ABCD . Gọi P, Q là trung điểm của AB và CD . Chọn khẳng định đúng?
uuur 1 uuur uuur
uuur 1 uuur uuur
A. PQ = BC + AD .
B. PQ = BC + AD .

4
2
uuur 1 uuur uuur
uuur uuur uuur
C. PQ = BC − AD .
D. PQ = BC + AD .
2
Hướng dẫn giải: :
Chọn B.uuur uuu
r uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur
Ta có : PQ = PB + BC + CQ và PQ = PA + AD + DQ
uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur 1 uuur uuur
nên 2PQ = PA + PB + BC + AD + CQ + DQ = BC + AD . Vậy PQ = BC + AD
2
Câu 53: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . M là điểm trên AC sao cho AC = 3MC . Lấy N trên đoạn
C ′D sao cho xC ′D = C ′N . Với giá trị nào của x thì MN //D′ .
2
1
1
1
A. x = .
B. x = .
C. x = .

D. x = .
3
3
4
2
Hướng dẫn giải: :
Chọn A.

(
(

(

)
)

)

(

(

)

)

(

)

Câu 54: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:

uuur uuuur uuuur
uuur
BD − D′D − B′D′ = k BB′
A. k = 2 .
Hướng dẫn giải: :
Chọn C.

B. k = 4 .

C. k = 1 .

uuur uuuur uuuur uuur
Ta có BD + DD′ + D′B′ = BB′ nên k = 1

Trang 20

D. k = 0 .


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Câu 55: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

Quan hệ vuông góc – HH 11

uur 1 uuu
r uuu
r
A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: OI = OA + OB .

2
uuu
r uuur uuur uuu
r r
B. Vì AB + BC + CD + DA = 0 nên bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng.
uuuu
r uuur r
C. Vì NM + NP = 0 nên N là trung điểm đoạn NP .
uuu
r uuur uuur
uuu
r
uuur uuur
D. Từ hệ thức AB = 2 AC − 8 AD ta suy ra ba vectơ AB, AC , AD đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: :
Chọn
uuu
rB. uuur uuur uuu
r r
Do AB + BC + CD + DA = 0 đúng với mọi điểm A, B, C , D nên câu B sai.
Câu 56: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
r r r
A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng
B. Ba tia Ox,Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.
r r r
r
r
C. Cho hai véctơ không cùng phương a và b . Khi đó ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có
r
r

r
, sao cho c = ma + nb , ngoài ra cặp số mn
, là duy nhất.
cặp số mn
r
r
r r
r r r
D. Nếu có ma + nb + pc = 0 và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba véctơ a, b, c đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: :
Chọn A. r r r
Ba véctơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá song song hoặc thuộc một mặt phẳng.
Câu A sai
Câu 57: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD . Gọi I là trung
điểm đoạn MN
và P làuur1 điểm
bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng
uu
r
uur uur r
thức vectơ: IA + (2k − 1) IB + k IC + ID = 0
A. k = 2 .
B. k = 4 .
C. k = 1 .
D. k = 0 .
Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
uu
r uur uur uur r
Ta chứng minh được IA + IB + IC + ID = 0 nên k = 1

r r r
Câu 58: Cho ba vectơ a, b, c . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
r r r
r
r
r r
A. Nếu a, b, c không đồng phẳng thì từ ma + nb + pc = 0 ta suy ra m = n = p = 0 .
r
r
r r
r r r
B. Nếu có ma + nb + pc = 0 , trong đó m 2 + n 2 + p 2 > 0 thì a, b, c đồng phẳng.
r
r
r r
r r r
C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m + n + p ≠ 0 ta có ma + nb + pc = 0 thì a, b, c đồng phẳng.
r r r
r r r
D. Nếu giá của a, b, c đồng qui thì a, b, c đồng phẳng.
Hướng dẫn giải: :
Chọn D.
Câu D sai. Ví dụ phản chứng 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng qui tại 1 đỉnh nhưng chúng không
đồng phẳng.
uur r uuu
r r uuur r
Câu 59: Cho hình lăng trụ ABCA′B′C ′ , M là trung điểm của BB’ . Đặt CA = a , CB = b , AA ' = c .
Khẳng định nào sau đây đúng?
uuuu
r r r 1r

uuuu
r r r 1r
uuuu
r r r 1r
A. AM = a + c − b
B. AM = b + c − a .
C. AM = b − a + c .
D.
2
2
2
uuuu
r r r 1r
AM = a − c + b .
2
Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r uuu
r 1 uuur r r 1 r
Ta có AM = AB + BM = CB − CA + BB ′ = b − a + c
2
2

Trang 21

(

)


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

uuur

Quan hệ vuông góc – HH 11

r uuu
r r uuur

r uuur

ur

Câu 60: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA′B′C ′ . Đặt AA′ = a, AB = b, AC = c, BC = d . Trong các biểu

thức véctơ
r rsaur đây, biểu thức nàorđúng.
r r ur r
r r ur
r r r ur
A. a = b + c .
B. a + b + c + d = 0 .
C. b − c + d = 0 .
D. a + b + c = d .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

r r ur uuur uuur uuur uuu
r uuur r
Ta có: b − c + d = AB − AC + BC = CB + BC = 0 .
Câu 61: Cho tứ diện ABCD và I là trọng tâm tam giác ABC . Đẳng thức đúng là.
uur uur uur uuu
r
uur uur uur uuu
r
A. 6SI = SA + SB + SC .
B. SI = SA + SB + SC .
uu
r
uur uur uuu
r
uu
r 1 uur 1 uur 1 uuu
r
C. SI = 3 SA − SB + SC .
D. SI = SA + SB + SC .
3
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
uur uur uuu
r
uu
r
uu
r 1 uur 1 uur 1 uuu

r
Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên SA + SB + SC = 3SI ⇔ SI = SA + SB + SC .
3
3
3
Câu 62: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng.
A. Ba véctơ đồng
nằm trong một mặt phẳng.
r r rphẳng là ba véctơ cùng
r
r
r
B. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng thì có c = ma + nb với m, n là các số duy nhất.
ur
r
r
r
ur
C. Ba véctơ không đồng phẳng khi có d = ma + nb + pc với d là véctơ bất kì.
D. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu A sai vì ba véctơ đồng phẳng là ba
r rvéctơ có giá cùng song song với cùng một mặt phẳng.
Câu B sai vì thiếu điều kiện 2 véctơ a, b không cùng phương.
ur
r
r
r
r r r

ur
Câu C sai vì d = ma + nb + pc với d là véctơ bất kì không phải là điều kiện để 3 véctơ a, b, c đồng
phẳng.
Câu 63: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ:
uuur uuur
uuur uuuur r
AC + BA′ + k DB + C ' D = 0 .

(

)

(

)

A. k = 0 .
B. k = 1 .
C. k = 4 .
D. k = 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
uuur uuur
uuur uuuur uuur uuur uuuu
r uuur uuuur uuur uuur r
Với k = 1 ta có: AC + BA ' + 1. DB + C ' D = AC + BA ' + C 'B = AC + C 'A' = AC + CA = 0 .

(

)

Câu 64: Cho hình chóp S . ABC Lấy các điểm A′, B′, C ′ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho

SA = a.SA′, SB = b.SB′, SC = c.SC ′ , trong đó a, b, c là các số thay đổi. Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để
mặt phẳng ( A′B′C ′ ) đi qua trọng tâm của tam giác ABC .

Trang 22


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Quan hệ vuông góc – HH 11
A. a + b + c = 3 .
B. a + b + c = 4 .
C. a + b + c = 2 .
D. a + b + c = 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Nếu a = b = c = 1 thì SA = SA′, SB = SB ′, SC = SC ′ nên ( ABC ) ≡ ( A′B′C ′ ) .

Suy ra ( A′B′C ′ ) đi qua trọng tâm của tam giác ABC => a + b + c = 3 là đáp án đúng.
uur r uur r uuu
r r uuu
r ur
Câu 65: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a, SB = b, SC = c , SD = d .
Khẳngrđịnh
r nào
ur sau
r đây đúng. r r ur r r
r ur r r
r r r ur

A. a + c = d + b .
B. a + c + d + b = 0 .
C. a + d = b + c .
D. a + b = c + d .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
r r uur uuu
r
uuu
r
a + c = SA + SC = 2SO
r r ur r
r
uuu
r => a + c = d + b
Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Ta có:  r ur uur uuu
b + d = SB + SD = 2 SO
Câu 66: Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây sai.
uuur 2 uuu
r uuur uuur
uuur 1 uuu
r uuur uuur
A. AG = AB + AC + AD .
B. AG = AB + AC + AD .
3
4
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
uuu

r uuur uuur uuur r
C. OG = OA + OB + OC + OD .
D. GA + GB + GC + GD = 0 .
4
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
Theo giả thuyết trên thì với O là một điểm bất kỳ ta luôn có: OG = OA + OB + OC + OD .
4
Ta thay điểm O bởi điểm A thì ta có:
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
uuur 1 uuu
r uuur uuur
AG = AA + AB + AC + AD ⇔ AG = AB + AC + AD
4
4
uuur 2 uuu
r uuur uuur
Do vậy AG = AB + AC + AD là sai.
3
Câu 67: Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 với tâm O . Chọn đẳng thức sai.
uuur uuur uuur uuuur
uuuu
r uuur uuur uuur
A. AB + AA1 = AD + DD1 .
B. AC1 = AB + AD + AA1 .

uuu
r uuuu
r uuur uuuu
r r
uuu
r uuur uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuuu
r
C. AB + BC1 + CD + D1 A = 0 .
D. AB + BC + CC1 = AD1 + D1O + OC1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
uuur uuur uuur uuur uuuur uuuu
r
uuur uuuu
r
uuur uuur uuur uuuur
Ta có AB + AA1 = AB1 , AD + DD1 = AD1 mà AB1 ≠ AD1 nên AB + AA1 = AD + DD1 sai.
uuur r uuur r
Câu 68: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD . Đặt AB = b , AC = c
uuur ur
, AD = d . Khẳng định nào sau đây đúng.
uuur 1 r ur r
uuur 1 ur r r
A. MP = (c + d + b) .
B. MP = (d + b − c ) .
2
2

uuur 1 r r ur
uuur 1 r ur r
C. MP = (c + b − d ) .
D. MP = (c + d − b) .
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
r ur r uuur uuur uuu
r
uuu
r uuuu
r
uuur
uuur 1 r ur r
Ta có c + d − b = AC + AD − AB = 2 AP − 2 AM = 2 MP ⇔ MP = (c + d − b ) .
2
Câu 69: Cho hình hộp ABCD. A1 B1C1 D1 . Chọn khẳng định đúng.
uuur uuuu
r uuuu
r
uuur uuuu
r uuur
A. BD, BD1 , BC1 đồng phẳng.
B. BA1 , BD1 , BD đồng phẳng.

(
(

)

(

)

)

(

(

)

(

(

)

)

(

)

Trang 23

)

uuur uuuu
r uuur – Website chuyên đề thi tài liệu file word
uuur uuuu
r uuuu
rQuan hệ vuông góc – HH 11
C. BA1 , BD1 , BC đồng phẳng.
D. BA1 , BD1 , BC1 đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
uuur uuuu
r uuur
Ta có 3 véctơ BA1 , BD1 , BC đồng phẳng vì chúng có giá cùng nằm trên mặt phẳng ( BCD1 A1 ) .
r uuu
r u
r uuur r uuur
Câu 70: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt x = AB; y = AC ; z = AD. Khẳng
định nào sau đây đúng?
uuur 1 r u
r r
uuur
r r
1 r u
A. AG = ( x + y + z ) .
B. AG = − ( x + y + z ) .
3
3
uuur 2 r u
r r
uuur

r r
2 r u
C. AG = ( x + y + z ) .
D. AG = − ( x + y + z ) .
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Ta có: AG = AB + BG; AG = AC + CG; AG = AD + DG
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur r u
r r
⇒ 3AG = AB + AC + AD + BG + CG + DG = AB + AC + AD = x + y + z
uuur uuur uuur r
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên BG + CG + DG = 0.
Câu 71: Cho hình chóp S . ABCD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
uur uuu
r uur uuu
r
A. Nếu ABCD là hình bình hành thì SB + SD = SA + SC .
uur uuu
r uur uuu
r
B. Nếu SB + SD = SA + SC thì ABCD là hình bình hành.
uur uuu
r uur uuu
r

C. Nếu ABCD là hình thang thì SB + 2 SD = SA + 2SC .
uur uuu
r uur uuu
r
D. Nếu SB + 2 SD = SA + 2SC thì ABCD là hình thang.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Đáp án C sai do nếu ABCD là hình thang có 2 đáy lần lượt là AD và BC thì ta có
uuu
r uur uuu
r uur
SD + 2 SB = SC + 2 SA.
Câu 72: Cho tứ diện ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k
uuuu
r
uuur uuur
thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: MN = k AD + BC

(

1
.
2

B. k =

A. k = 3.

)

1
D. k = .
3

C. k = 2.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
uuuu
r uuur uuur uuur
uuuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuur
MN = MA + AD + DN 
r uuur uuur uuur  ⇒ 2MN = AD + BC + MA + MB + DN + CN
Ta có: uuuu
MN = MB + BC + CN 
uuur uuuu
r
uuur uuur uuur
uuur
Mà M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên MA = BM = − MB; DN = NC = −CN
uuuu
r uuur uuur uuuu
r 1 uuur uuur
Do đó 2 MN = AD + BC ⇒ MN = AD + BC .
2uuu
r r uuur r uuur r
Câu 73: Cho tứ diện ABCD . Đặt AB = a, AC = b, AD = c, gọi M là trung điểm của BC. Trong các
khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
uuuur 1 r r r

uuuur 1
r r r
A. DM = a + b − 2c
B. DM = −2a + b + c
2
2
uuuur 1 r r r
uuuur 1 r
r r
C. DM = a − 2b + c .
D. DM = a + 2b − c
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

(

(
(

)

)
)

(
(

Trang 24

)

)


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Quan hệ vuông góc – HH 11
uuuur uuur uuu
r uuuu
r uuu
r uuur 1 uuur uuu
r uuur 1 uuu
r uuur
Ta có: DM = DA + AB + BM = AB − AD + BC = AB − AD + BA + AC
2
2
r 1 uuur uuur 1 r 1 r r 1 r r r
1 uuu
= AB + AC − AD = a + b − c = a + b − 2c .
2
2
2
2
2
Câu 74: Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào
uuur uuur uuur
uuur
đẳng thức vectơ: DA + DB + DC = k DG
1

1
A. k = .
B. k = 2.
C. k = 3.
D. k = .
3
2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
uuur uuur uuur uuur
Chứng minh tương tự câu 61 ta có DA + DB + DC = 3DG .
uuur
uuu
r uuur
uuu
r
Câu 75: Cho tứ diện ABCD . Gọi E, F là các điểm thỏa nãm EA = kEB, FD = kFC còn P ,Q , R là các
uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur
điểm xác định bởi PA = lPD ,QE = lQF , RB = lRC . Chứng minh ba điểm P ,Q , R thẳng hàng.Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. P, Q, R thẳng hàng
B. P, Q, R không đồng phẳng
C. P, Q, R không thẳng hàng
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:

(

(

)

)

Chọn C.

uuur uuu
r uuur uuur
Ta có PQ = PA + AE + EQ ( 1)
uuur uuur uuur uuur
PQ = PD + DF + FQ ( 2 )
uuur uuur uuur uuur
Từ ( 2 ) ta có l PQ = l PD + l DF + l FQ

( 3)

Lấy ( 1) − ( 3) theo vế ta có
uuur uuur uuur
( 1− l ) PQ = AE − l DF
uuur
1 uuur
l uuur
⇒ PQ =
AE −
DF
1− l
1− l
uuu
r

r
1 uuu
l uuur
EB −
FC
Tương tự QR =
1
−
l
1
−
l
uuu
r
uuu
r uuur
uuur
Mặt khác EA = k EB, FD = k FC nên
uuur
r kl uuur
uuu
r
1 uuur
l uuur −k uuu
PQ =
AE −
DF =
EB −
FC = −kQR
1− l

1− l
1− l
1− l
Vậy P, Q, R thẳng hàng.
Câu 76: Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ
.
uu
r uuur uuur
a) Giả sử a.IJ = AC + BD thì giá trị của a là?
1
A. 2
B. 1
C. −1
D.
2
b) Chouu
các
đẵng
thức
sau,
đẵng
thức
nào
đúng?
u
r uuu
r uuur uuur r
uuu
r uuur uuur uuur
ur

A. GA + GB + GC + GD = 0
B. GA + GB + GC + GD = 2IJ
uuu
r uuu
r uuur uuur uu
r
uuu
r uuu
r uuur uuur
uu
r
C. GA + GB + GC + GD = JI
D. GA + GB + GC + GD = −2 JI
uuur uuur uuuu
r uuuu
r
c) Xác định vị trí của M để MA + MB + MC + MD nhỏ nhất.
A. Trung điểm AB

B. Trùng với G

C. Trung điểm AC

Trang 25

D. Trung điểm CD