Chuyên đề đạo hàm bằng định nghĩa

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

TOÁN 11
1D5-1

ĐT:0946798489

ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
TRUY CẬP ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU
HƠN

PHẦN A. CÂU HỎI
Câu 1.

(THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Phát biểu nào trong các phát biểu
sau là đúng?
A. Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm trái tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
B. Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm phải tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
C. Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm  x0 .
D. Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Câu 2.

1
y
. Tính tỉ số
theo x0 và x (trong đó x là số gia của đối số tại x0 và y
x
x
là số gia tương ứng của hàm số) được kết quả là
y

1
y
1
y
1
y
1


A.
.
B.
.
C.
. D.
.


x
x0  x
x x0  x
x x0  x0  x 
x
x0  x0  x 
Cho hàm số y 

Câu 3.

Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm tại x0 là f ( x0 ) . Khẳng định nào sau đây là sai?
f ( x  x0 )  f ( x0 )

f ( x0   x)  f ( x0 )
A. f ( x0 )  lim
.
B. f ( x0 )  lim
.

x

0
x  x0
x
x  x0
f ( x)  f ( x0 )
f (h  x0 )  f ( x0 )
C. f ( x0 )  lim
.
D. f ( x0 )  lim
.
h 0
x  x0
h
x  x0

Câu 4.

Số gia y của hàm số f ( x)  x 4 tại x0  1 ứng với số gia của biến số x  1 là
A. 2 .
B. 1 .
C. 1 .
D. 0 .

Câu 5.

A. y 
Câu 6.

1
theo x tại x0  2 .
x
x
1
B. y 
.
C. y 
.
2
2  2  x 
 x 

Tính số gia y của hàm số y 
4  x
.
2  2  x 

D. y  

x
.
2  2  x 

(THPT Yên Lạc 2-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  xác định trên 
f  x   f  3
 2 . Kết quả đúng là
x 3
x3
A. f   2   3 .
B. f   x   2 .
C. f   x   3 .
thỏa mãn lim

Câu 7.

D. f   3  2 .

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Cho hàm số y  x3  1 gọi x là số
y
gia của đối số tại x và  y là số gia tương ứng của hàm số, tính
.
x
3
2
A. 3 x 2  3 x.x   x  . B. 3 x 2  3 x.x   x  .
2

3

C. 3 x 2  3 x.x   x  . D. 3 x 2  3 x.x   x  .
Câu 8.

(THPT Chuyên ĐHSP – Hà Nội - Lần 1 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm

f  x   f  6
thỏa mãn f   6   2. Giá trị của biểu thức lim
bằng
x 6
x6

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
1


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

A. 12.
Câu 9.

Cho hàm số f  x  
A. f   0   0 .

B. 2 .

ĐT:0946798489

C.

1
.
3

D.

1
.
2

3x
. Tính f   0  .
1 x

B. f   0  1.

1
C. f   0   .
3

 3x  1  2 x
khi x  1

x

1
Câu 10. Cho hàm số f  x   
. Tính f '  1 .
 5
khi x  1
 4
7
A. Không tồn tại.
B. 0
C.  .
50

D. f   0   3 .

D. 

9
.
64

 x 2  7 x  12
khi x  3

Câu 11. Cho hàm số y  
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
x 3
1
khi x  3

A. Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại x0  3 .
B. Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại x0  3 .
C. Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại x0  3 .
D. Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0  3 .
Câu 12.

Câu 13.

y
của hàm số f  x   3 x  1 theo x là:
x 0 x
3

3
3x
A.
.
B.
.
C.
.
3x  1
2 3x  1
2 3x  1
lim

1
.
2 3x  1

f  x  1  f 1
bằng:
x  0
x
C. 2018 .
D. 2019 .

Cho f  x   x 2018  1009 x 2  2019 x . Giá trị của lim
A. 1009 .

Câu 14.

D.

B. 1008 .

(THPT CHUYÊN QUANG TRUNG - BP - LẦN 1
 x 2  1, x  1
y  f  x  
Mệnh đề sai là
x  1.
 2 x,
A. f  1  2 .

B. f không có đạo hàm tại x0  1.

C. f   0   2.

D. f   2   4.

- 2018) Cho hàm số

 3  x2

Câu 15. (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ SỐ 1 - 2018) Cho hàm số f  x    2
1
 x
nào dưới đây là sai?
A. Hàm số f  x  liên tục tại x  1 .

khi x  1
. Khẳng định
khi x  1

B. Hàm số f  x  có đạo hàm tại x  1 .
C. Hàm số f  x  liên tục tại x  1 và hàm số f  x  cũng có đạo hàm tại x  1 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
2


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

D. Hàm số f  x  không có đạo hàm tại x  1 .
ax 2  bx khi x  1
Câu 16. (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Cho hàm số f ( x)  
2 x  1 khi x  1
. Để hàm số đã cho có đạo hàm tại x  1 thì 2a  b bằng:
A. 2 .
B. 5 .
C. 2 .
D. 5 .

Câu 17. (CHUYÊN BẮC NINH - LẦN 2 - 2018) Cho hàm số f  x   x  1 . Khẳng định nào sau đây là
khẳng định sai?
A. f 1  0 .
B. f  x  có đạo hàm tại x  1 .
C. f  x  liên tục tại x  1 .

D. f  x  đạt giá trị nhỏ nhất tại x  1 .

ax 2  bx  1, x  0

Câu 18. (ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN - LẦN 1 - 2018) Cho hàm số f  x   
. Khi
ax  b  1, x  0
hàm số f  x  có đạo hàm tại x0  0 . Hãy tính T  a  2b .

A. T  4 .
Câu 19.

B. T  0 .

C. T  6 .

D. T  4 .

( x 2  2012) 7 1  2 x  2012 a
a
 , với là phân số tối
x 0
x
b
b
giản, a là số nguyên âm. Tổng a  b bằng
A. 4017 .
B. 4018 .
C. 4015 .
D. 4016 .
(THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) lim

3  4  x


4
Câu 20. (THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc-năm 2017-2018) Cho hàm số f  x   
1
 4
Khi đó f   0  là kết quả nào sau đây?

A.
Câu 21.

1
.
4

1
.
16

C.

1
.
32

.
khi x  0

D. Không tồn tại.

(THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Hàm số nào sau đây không có đạo
hàm trên  ?

A. y  x  1 .

Câu 22.

B.

khi x  0

B. y  x 2  4 x  5 .

C. y  sin x .

D. y  2  cos x .

(THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x0  2 .
2 f  x   xf  2 
.
x2
x2
A. 0 .
B. f   2  .
Tìm lim

C. 2 f   2   f  2  .

D. f  2   2 f   2  .

 x  12 khi x  0
Câu 23. (THPT Đô Lương 4-Nghệ An năm 2017-2018) Cho hàm số f  x   
có đạo

2
khi x  0
 x
hàm tại điểm x0  0 là?
A. f   0   0 .
Câu 24.

B. f   0   1 .

C. f   0   2 .

D. Không tồn tại.

(THPT Chuyên Hùng Vương-Bình Phước-lần 2-năm 2017-2018) Cho hàm số f  x  liên tục
trên đoạn  a; b  và có đạo hàm trên khoảng  a; b  . Trong các khẳng định

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
3


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

f b   f  a 
.
ba
 II  : Nếu f  a   f  b  thì luôn tồn tại c   a; b  sao cho f   c   0 .

 I  : Tồn tại một số c   a; b 

 III  : Nếu f  x 

sao cho f   c  

có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  a; b  thì giữa hai nghiệm đó luôn tồn tại

một nghiệm của f   x  .
Số khẳng định đúng trong ba khẳng định trên là
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
Câu 25.

D. 1 .

khi 0  x  x0
 a x
(THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho hàm số f  x    2
. Biết rằng ta
 x  12 khi x  x0
luôn tìm được một số dương x0 và một số thực a để hàm số f có đạo hàm liên tục trên khoảng

 0;   . Tính giá trị





A. S  2 3  2 2 .

S  x0  a .





B. S  2 1  4 2 .





C. S  2 3  4 2 .





D. S  2 3  2 2 .

Câu 26. (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số
2
khi x  2
 x  ax  b
y 3
. Biết hàm số có đạo hàm tại điểm x  2 . Giá trị của a 2  b 2 bằng
2
 x  x  8 x  10 khi x  2
A. 20 .
B. 17 .

C. 18 .
D. 25 .
PHẦN B. LỜI GIẢI
Câu 1.

Chọn D
Ta có định lí sau:
Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Câu 2.

Chọn D
1
1
x
.
y 
 
x0  x x0
x0  x0  x 
y
1
.

x
x0  x0  x 
Chọn A
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Chọn C
y  f ( x0  )  f ( x0 )  (1  1) 4  14  1 .

Chọn D
1
1
x
Ta có y 
.


2  x x
x  2  x 
Chọn D
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm ta có
f  x   f  3
lim
 2  f   3 .
x 3
x3
Chọn B
Ta có :

Suy ra
Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

3

y  f  x  x   f  x    x  x   1   x3  1  3x 2 .x  3 x. 2 x  3 x  x  3x 2  3x.x   2 x 
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
4


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

y
2
 3 x 2  3 x.x   2 x  3 x 2  3 x.x   x  .
x
Chọn B
Hàm số y  f  x  có tập xác định là D và x0  D . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)


Câu 8.

f  x   f  x0 
thì giới hạn gọi là đạo hàm của hàm số tại x0
x  x0
x  x0
f  x   f  6
Vậy kết quả của biểu thức lim
 f   6   2.
x 6
x6
lim

Câu 9.

Chọn D
Ta có: f   0   lim

f  x   f  0
x

x 0

Mà lim
x 0

3
.
x 0 1  x

 lim

3
3
3
3
3
3
 lim
 3; lim
 lim
 3  lim

 lim
3
x 0 1  x
x 0 1  x
x 0 1  x
x 0 1  x
1  x x 0 1  x

 f   0   lim
x 0

3
 3.
1 x

Kết luận: f   0   3.
Câu 10.

Chọn D
Ta có:
lim f  x   lim
x 1

x 1

3x  1  2 x
3x  1  4 x2
 lim
 lim
x 1

x 1
 x  1  3 x  1  2 x x 1





4 x  1



3x  1  2 x





5
 f  1
4

 Hàm số liên tục lại x  1 .

3x  1  2 x 5

f  x   f  1
x

1
4  lim 4 3 x  1  3 x  5

f '  1  lim
 lim
2
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
4  x  1
 lim
x 1

Câu 11.

16  3 x  1   3 x  5 
2



2

4  x  1 4 3 x  1  3 x  5



 lim
x 1

9



4 4 3x  1  3x  5





9
64

Chọn D
TXĐ: D   .
 x 2  7 x  12
khi x  3

y  f  x  
x3
1
khi x  3


x 2  7 x  12
 lim  x  4   1  f  3  .
lim f  x   lim
x 3
x 3
x 3
x3
f  x   f  3

x 2  7 x  12  0
Đạo hàm của hàm số tại x0  3 lim
 lim
 1  f (3)
x 3
x 3
x3
x 3
Suy ra: Hàm số liên tục và có đạo hàm tại x0  3 .
Câu 12. Chọn B

3  x  x   1  3x  1
y
3
3
 lim

.
 lim
x  0
x 0
x 0 x
x
3  x  x   1  3 x  1 2 3 x  1

Ta có: lim
Câu 13.

Chọn

D.

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
5


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

f  x  1  f 1
 f ' 1 .
x  0
x
Mà f '  x   2018x 2017  2018x  2019  f ' 1  2019 .
Theo định nghĩa đạo hàm ta có lim

f  x  1  f 1
 2019 .
x  0
x
f  x   f 1
2x  2
lim
 lim
 2;
x 1
x 1
x 1
x 1

Câu 14. Ta có
f  x   f 1
x2  1  2
lim
 lim
 lim  x  1  2.
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1


Vậy f  1   f  1   f  1  2. Suy ra hàm số có đạo hàm tại x0  1. Vậy B sai.
Vậy giá trị của lim

Câu 15.

1
3  x2
 1 và lim f  x   lim  1 . Do đó, hàm số f  x  liên tục tại x  1 .
x 1
x 1 x
x 1
x 1
2
2
f  x   f 1
1 x
1 x

lim
 lim
 lim
 1 và
x 1
x 1 2  x  1
x 1 2
x 1
lim f  x   lim

lim

f  x   f 1

x 1

Câu 16.

lim

x 1

x 1

 lim
x 1

1 x
1
 lim

 1 . Do đó, hàm số f  x  có đạo hàm tại x  1 .
x  x  1 x 1 x

f  x   f 1
2x 11
 2;
 lim
x 1
x 1
x 1





a x 2  1  b  x  1
 x  1  a  x  1  b 
f  x   f 1
ax 2  bx  a  b
 lim
 lim
lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1

x 1
 lim  a  x  1  b   2a  b
x 1

Theo yêu cầu bài toán: lim
x 1

Câu 17.

f  x   f 1
f  x   f 1
 2a  b  2 .
 lim
x 1
x 1
x 1

Ta có f 1  0 .

f  x   f 1
f  x   f 1
1 x  0
x 1  0
 lim
 1 và lim
 lim
 1.
x 1
x 1
x 1

x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
Do đó hàm số không có đại hàm tại x  1 .
Câu 18. Ta có f  0   1 .
lim

lim f  x   lim  ax 2  bx  1  1 .
x 0

x 0

lim f  x   lim  ax  b  1  b  1 .

x 0

x 0

Để hàm số có đạo hàm tại x0  0 thì hàm số phải liên tục tại x0  0 nên
f  0   lim f  x   lim f  x  . Suy ra b  1  1  b  2 .
x0

x 0

2

ax  2 x  1, x  0
Khi đó f  x   

.
ax

1,
x

0

Xét:
f  x   f  0
ax 2  2 x  1  1
+) lim
 lim
 lim  ax  2   2 .
x 0
x 0
x 0
x
x
f  x   f 0
ax  1  1
 lim
+) lim
 lim  a   a .
x 0
x 0
x 0
x
x
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />

6


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Hàm số có đạo hàm tại x0  0 thì a  2 .
Vậy với a  2 , b  2 thì hàm số có đạo hàm tại x0  0 khi đó T  6 .
Câu 19. * Ta có:
7
( x 2  2012) 7 1  2 x  2012
( 7 1  2 x  1)
1  2x 1
lim
 lim x 7 1  2 x  2012.lim
 2012.lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x
7
* Xét hàm số y  f  x   1  2 x ta có f  0   1 . Theo định nghĩa đạo hàm ta có:



f  x   f  0



7

1  2x 1
x0
x
7
1  2x 1
2
2
2


lim

f  x  

f
0




6
x 0
x
7
7

7 7 1 2x
f   0   lim
x 0

 lim
x 0





a  4024
( x 2  2012) 7 1  2 x  2012
4024

 a  b  4017 .

x 0
x
7
b  7
Câu 20. Chọn B
Với x  0 xét:
3 4 x 1

f  x   f  0
4
4  lim 2  4  x  lim 4   4  x 
lim
 lim

x 0
x 0
x 0
x 0
4x
x
x0
4x 2  4  x

 lim



 lim
x 0

Câu 21.

1



4 2 4 x





1



4 2 40







1
1
 f   0  .
16
16

Chọn A
x 1
 x  1,
1,
Ta có: y  x  1 , do đó: y  
khi đó: y  
x 1
1  x,
1,
f  x   f 1
x 1
Tại x  1 : y 1   lim
 lim
 1.

x 1
x 1 x  1
x 1
f  x   f 1
1 x
y 1   lim
 lim
 1 .
x 1
x 1 x  1
x 1
Do y 1   y  1  nên hàm số không có đạo hàm tại 1.

x 1
x 1

Các hàm số còn lại xác định trên  và có đạo hàm trên  .
Câu 22. Chọn C
f  x   f  2
 f   2 .
x2
2 f  x   xf  2 
2 f  x   2 f  2   2 f  2   xf  2 
Ta có I  lim
 I  lim
x2
x2
x2
x2
2  f  x   f  2

f  2  x  2 
 I  2 f   2  f  2 .
 I  lim
 lim
x 2
x2
x2
x2
Câu 23. Chọn D
2
Ta có: f  0   1 ; lim f  x   lim  x  1  1 ; lim f  x   lim   x 2   0 .
Do hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x0  2 suy ra lim
x2

x 0

x 0

x 0

x 0

Ta thấy f  0   lim f  x   lim f  x  nên hàm số không liên tục tại x0  0 .
x0

x 0

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x0  0 .
Câu 24. Chọn C
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />

7


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

 I  đúng (theo định lý Lagrange).
 II  đúng vì với f  a   f  b  ,
f b   f  a 
0.
ba
 III  đúng vì với  ,    a; b  sao cho f    f     0 .

theo  I  suy ra tồn tại c   a; b  sao cho f   c  

Ta có f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và có đạo hàm trên khoảng  a; b  nên f  x  liên tục trên
đoạn  ;   và có đạo hàm trên khoảng  ;   .
Theo  II  suy ra luôn tồn tại một số c   ;   sao cho f   c   0 .
Câu 25. Chọn B
a
+ Khi 0  x  x0 : f  x   a x  f   x  
. Ta có f   x  xác định trên  0; x0  nên liên tục
2 x
trên khoảng  0; x0  .
+ Khi x  x0 : f  x   x 2  12  f   x   2 x . Ta có f   x  xác định trên  x0 ;   nên liên tục
trên khoảng  x0 ;   .
+ Tại x  x0 :

lim

f  x   f  x0 
x  x0

x  x0

 lim

a x  a x0
x  x0

x  x0

a
 lim



x  x0

x  x0
x  x0

  lim

x  x0

a
a


.
x  x0 2 x0

x 2  12   x02  12 
f  x   f  x0 
x 2  x02
lim
 lim
 lim
 lim  x  x0   2x0 .
x  x0
x  x0
x  x0 x  x
x  x0
x  x0
x  x0
0
Hàm số f có đạo hàm trên khoảng  0;   khi và chỉ khi
lim

x  x0

f  x   f  x0 
f  x   f  x0 
a
 lim

 2 x0 .
x  x0
x  x0

x  x0
2 x0

 a
a

Khi đó f   x0  
 2 x0 và f   x    2 x
2 x0
2 x

tục trên khoảng  0;   .
Ta có

a
 2 x0  a  4 x0 x0
2 x0

khi 0  x  x0

nên hàm số f có đạo hàm liên

khi x  x0

1

Mặt khác: Hàm số f liên tục tại x0 nên x02  12  a x0

 2

Từ 1 và  2  suy ra x0  2 và a  8 2





Vậy S  a  x0  2 1  4 2 .
Câu 26.

Chọn A
2
 x  ax  b
Ta có y   3
2
 x  x  8 x  10

khi x  2
khi x  2

khi x  2
2 x  a
 y   2
3x  2 x  8 khi x  2
Hàm số có đạo hàm tại điểm x  2  4  a  0  a  4 .
Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
8


CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

ĐT:0946798489

Mặt khác hàm số có đạo hàm tại điểm x  2 thì hàm số liên tục tại điểm x  2 .
Suy ra lim f  x   lim f  x   f  2 
x 2

x 2

 4  2a  b  2  b  2 .
Vậy a 2  b2  20 .

Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: />
9