RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8 TỈNH PHÚ THỌ

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN CỦA TÁC GIẢ.........................................................................................i
LỜI CẢM ƠN.................................................................................................................................ii
MỤC LỤC.......................................................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT.......................................................................................v
MỞ ĐẦU...........................................................................................................................................1
Chương 1...........................................................................................................................................6
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN......................................................................................6
1.1. Kĩ năng giải toán...................................................................................................................6
1.1.1. Quan niệm về kĩ năng.....................................................................................................6
1.1.2. Một số vấn đề về kĩ năng giải toán...........................................................................7
1.2. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh..................................................................8
1.2.1. Các giai đoạn rèn luyện kĩ năng cho học sinh......................................................8
1.2.2. Các cấp độ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh......................................13
1.3. Nội dung phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8...............................................14
1.3.1. Yêu cầu cần đạt về phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình
Đại số 8 trung học cơ sở...........................................................................................................14
1.3.2. Phân phối các tiết trong chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử trong
chương trình Đại số 8 trung học cơ sở...............................................................................15
1.3.3. Nội dung chi tiết..............................................................................................................15
1.4. Khảo sát thực trạng dạy và học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử
ở lớp 8 tại hai trường trung học cơ sở tỉnh Phú Thọ....................................................16
1.5. Kết luận chương 1..............................................................................................................18
Chương 2.........................................................................................................................................19
BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH
NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8 TỈNH PHÚ THỌ.............................................19
2.1. Biện pháp 1. Rèn luyện cho học sinh một số kĩ năng cơ bản phân tích đa
thức thành nhân tử thông qua dạng câu hỏi điền khuyết............................................19


2.1.1. Cơ sở của biện pháp.....................................................................................................19

2.1.2. Ví dụ minh hoạ cho biện pháp..................................................................................20
2.2. Biện pháp 2. Rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh thông qua bài tập phân hoá trong các phiếu học tập..........................................22
2.2.1. Cơ sở của biện pháp.......................................................................................................22
2.2.2. Ví dụ minh họa cho biện pháp..................................................................................24
2.3. Biện pháp 3. Rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh thông qua sửa chữa một số sai lầm thường gặp ở học sinh............................39
2.3.1. Cơ sở của biện pháp.......................................................................................................39
2.3.2. Ví dụ minh họa cho biện pháp..................................................................................41
2.4. Kết luận chương 2..............................................................................................................47
Chương 3.........................................................................................................................................48
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.................................................................................................48
3.1. Mục đích, tổ chức, nội dung thực nghiệm sư phạm............................................48
3.1.1. Mục đích thực nghiệm..................................................................................................48
3.1.2. Tổ chức thực nghiệm.....................................................................................................48
3.1.3. Nội dung thực nghiệm..................................................................................................48
3.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm...................................................................68
3.2.1. Đánh giá định lượng......................................................................................................68
3.2.1.1. Đề bài kiểm tra.............................................................................................................68
3.2.1.2. Đáp án..............................................................................................................................69
3.2.2. Đánh giá định tính..........................................................................................................72
3.3. Kết luận chương 3..............................................................................................................73
KẾT LUẬN....................................................................................................................................74
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................................75
PHỤ LỤC........................................................................................................................................77


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐHGD

Đại học giáo dục

ĐHQG

Đại học quốc gia

ĐHSP

Đại học sư phạm

HHKG

Hình học không gian

NXB

Nhà xuất bản

tr.

trang

TNSP

Thực nghiệm sư phạm

SGK

Sách giáo khoa

SBT

Sách bài tập

SGV

Sách giáo viên

PHT

Phiếu học tập

THCS

Trung học cơ sở

HS

Học sinh

GV

Giáo viên


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Sự phát triển của xã hội và đổi mới của đất nước đang đòi hỏi ngành
Giáo dục phải không ngừng nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Luật
Giáo dục Việt Nam sửa đổi năm 2009, chương I, điều 4, đã ghi:“Phương
pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư
duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học; bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học
sinh”. “Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học, phát
triển năng lực trí tuệ cho học sinh” là mục tiêu cơ bản trong dạy học môn
Toán ở nhà trường phổ thông hiện nay. [Quốc hội, chương I, điều 4]
Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là dạng toán có vị trí quan
trọng trong chương trình môn Toán phổ thông. Chỉ có kĩ năng phân tích đa
thức thành nhân tử tốt thì các dạng toán sau này sẽ gặp trong chương trình
như dạng toán giải phương trình, hệ phương trình học sinh mới có thể làm tốt
được. Bởi vậy ngay từ lớp 8 giáo viên đã cần chú ý rèn luyện kĩ năng này cho
học sinh. Tuy nhiên, trong thực tế dạy học tại các trường phổ thông hiện nay
cho thấy còn một bộ phận không nhỏ các giáo viên chưa chú ý rèn luyện cho
học sinh kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
Phú Thọ là một tỉnh miền trung du, còn gặp không ít những khó khăn
trong việc phát triển kinh tế, xã hội. Đây là vùng không có tài nguyên, khoáng
sản gì đặc biệt, không có rừng, biển, sân bay... nên kinh tế chưa được phát
triển bằng một số vùng miền khác trong cả nước. Từ đó, đa số các em học
sinh cũng có sức học trung bình. Chúng ta cũng cần biết đặc điểm này đề có
chiến lược, sách lược giáo dục phù hợp.


Đã có một số công trình nghiên cứu về rèn luyện kĩ năng giải toán cho
học sinh, chẳng hạn các luận văn sau:
Nguyễn Thị Thanh Thủy (2011), Rèn luyện kĩ năng tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT, luận văn
Thạc sĩ, K4, ĐHGD ĐHQGHN.
Nguyễn Thị Nha Trang (2010), Rèn luyện kĩ năng giải PT lượng giác
cho HS lớp 11 trường THPT Dân tộc nội trú, K18, ĐHSPHN
Trần Thị Thu Hương (2010), Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình đại
số cho học sinh lớp 10 THPT, K18, ĐHSPHN.
Nguyễn Quốc Cường (2010), Rèn luyện kĩ năng giải toán Đại số tổ hợp,
Xác suất cho HS THPT, luận văn Thạc sĩ, K18 ĐHSPHN
Hoàng Thị Phương Thảo (2009), Rèn luyện kĩ năng vận dụng Phương
pháp tọa độ giải toán HHKG 12, K2 ĐHGD ĐHQGHN.
Lê Thanh Nghĩa (2009), Rèn luyện kĩ năng giải toán kết hợp Phép biến
hình và Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 THPT,
ĐHSPHN.
Nguyễn Thị Định (2009), Rèn luyện kĩ năng giải toán về "Đường thẳng
và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song trong không gian" cho HS
lớp 11 THPT, Trường ĐHGD ĐHQGHN.
Lê Thị Hà Đông (2007), Rèn luyện kĩ năng giải toán phương trình bậc 2
cho học sinh khá giỏi ở trường THCS, ĐHSP HN.
Nguyễn Tiến Trung (2006), Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán thiết
diện của các hình không gian trong chương trình Hình học 11 THPT, ĐHSP
HN.
Lý Hồng Hạnh (2006), Rèn luyện kĩ năng ứng dụng đạo hàm trong giải
toán cho học sinh lớp 12 THPT thông qua hệ thống bài tập đã phân dạng, ĐH
Thái Nguyên.


Nguyễn Văn Huấn (2006), Rèn luyện kĩ năng ứng dụng hàm số để giải
toán cho học sinh lớp 12 THPT, ĐHSP HN.
Nguyễn Thị Huyền (2005), Rèn luyện kĩ năng giải bài toán phân số cho
học sinh lớp 6 THCS khu vực miền núi Sơn La, ĐHSP HN.

Nguyễn Văn Thái Bình (2004), Rèn luyện kĩ năng giải toán về nguyên
hàm, tích phân cho học sinh kết hợp với sử dụng phần mềm Macromedia
flash, ĐHSP HN.
Tuy nhiên chưa có luận văn nào về rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức
thành nhân tử cho học sinh tỉnh Phú Thọ.
Xuất phát từ những lý do trên, đề tài được lựa chọn là: “Rèn luyện kĩ
năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 tỉnh Phú Thọ”.
+ Những câu hỏi đặt ra cần phải trả lời khi nghiên cứu:
1) Dạy học giải bài tập toán học?
2) Kĩ năng giải toán?
3) Vấn đề về dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8?
4) Thực trạng dạy và học dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử tại
một số trường THCS Phú Thọ?
5) Biện pháp rèn luyện các kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử
cho HS?
+ Giả thuyết nghiên cứu:
Nếu GV trang bị và hướng dẫn các kỹ thuật trong quá trình phân tích đa
thức thành nhân tử cho HS và HS được vận dụng tương tự trong những bài
toán khác thì HS sẽ giải toán chủ đề này tốt hơn, góp phần nâng cao chất
lượng bồi dưỡng HS THCS.
2. Mục đích nghiên cứu


Mục đích nghiên cứu là đề xuất những biện pháp rèn luyện kĩ năng phân
tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8 tỉnh Phú Thọ, giúp các em vận dụng được
các kĩ năng này trong quá trình giải toán chủ đề này ở trường THCS.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận về dạy học theo hướng rèn luyện các kĩ năng trong
quá trình phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 THCS tỉnh Phú
Thọ.

- Khảo sát thực trạng dạy và học phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh tại một số trường THCS Phú Thọ
- Đề xuất biện pháp rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử
cho học sinh lớp 8 THCS tỉnh Phú Thọ.
- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của những
biện pháp rèn luyện kĩ năng trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử
cho HS THCS tỉnh Phú Thọ.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Những biện pháp rèn luyện cho học sinh các kĩ
năng phân tích đa thức thành nhân tử.
- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy nội dung phân tích đa thức thành
nhân tử cho học sinh, chương trình, sách giáo khoa, sách tham khảo, sách giáo
viên Đại số 8.
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8
THCS trong chương trình giáo dục phổ thông mới.
5. Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Lí luận về phương pháp rèn luyện kĩ
năng giải toán cho HS trong dạy học dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử.


- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát thực trạng rèn luyện kĩ
năng giải toán cho HS trong dạy học dạng toán phân tích đa thức thành nhân
tử tại một số trường THCS Phú Thọ
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm sư phạm
để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện kĩ năng phân
tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 THCS tỉnh Phú Thọ.
6. Bố cục luận văn
Luận văn có bố cục như sau:
Mở đầu
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Biện pháp rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử
cho HS lớp 8 tỉnh Phú Thọ
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
Kết luận


Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng giải toán
1.1.1. Quan niệm về kĩ năng
Có những định nghĩa khác nhau về kĩ năng:
“Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong
một lĩnh vực nào đó vào thực tế”. [16]
“Kĩ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành động nào đó theo
một mục đích trong những điều kiện nhất định”. “Nếu tạm thời tách tri thức
và kĩ năng để xem xét riêng từng cái thì tri thức thuộc phạm vi nhận thức,
thuộc khả năng biết, còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả
năng biết làm”. [23]
“Kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được
ở mỗi người để đạt được mục đích. Kĩ năng còn có thể được đặc trưng như một
thói quen nhất định, kĩ năng là khả năng làm việc có phương pháp”. [12]
Có thể chia kĩ năng theo các cấp độ khác nhau:
- Kĩ năng ghi nhớ và tái hiện thông tin (kĩ năng biết).
- Kĩ năng giao tiếp sử dụng các thông tin đã có (kĩ năng thông hiểu).
- Kĩ năng áp dụng các thông tin vào tình huống mới mà không cần sự gợi
ý (kĩ năng vận dụng).
- Kĩ năng chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn
nhau giữa chúng (kĩ năng phân tích).
- Kĩ năng cải tổ các thông tin từ các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo
nên mẫu mới (kĩ năng tổng hợp).

- Kĩ năng phán đoán về giá trị của một tư tưởng, phương pháp, tài liệu
nào đó (kĩ năng đánh giá).


Trong luận văn này chúng tôi quan niệm: Kĩ năng là khả năng thực hiện
có hiệu quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện
nhất định.
Đặc điểm của kĩ năng
- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết
quả - hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó.
- Tri thức là cơ sở để rèn luyện kĩ năng, khi kiến thức phản ánh đầy đủ
các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn
tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động.
- Kĩ năng không tách rời hoạt động mà kĩ năng đi liền với hoạt động
tương ứng.
- Kĩ năng và tri thức thống nhất trong hoạt động. Tri thức là cần thiết để
tiến hành các thao tác, độ thành thạo của các thao tác là kĩ năng, các thao tác
này được thực hiện dưới sự kiểm tra của tri thức. Con đường đi từ chỗ có tri
thức đến chỗ có kĩ năng tương ứng là con đường luyện tập trong hoạt động
bằng cách thực hiện các hoạt động tương ứng với kĩ năng, nội dung của luyện
tập này là rất phong phú.
Như vậy, kĩ năng phải rèn luyện trong quá trình giải toán, kĩ năng giải
toán phải gắn với phương pháp toán học.
1.1.2. Một số vấn đề về kĩ năng giải toán
Từ quan niệm về kĩ năng như đã trình bày ở trên, có thể quan niệm: Kĩ
năng giải bài tập toán (kĩ năng giải toán) là khả năng sử dụng những tri thức
toán học đã học để giải các bài tập toán học.
Có thể chia kĩ năng giải toán thành hai loại, tương ứng với hai loại bài
tập toán học:

- Kĩ năng giải bài tập toán học cơ bản,


- Kĩ năng giải bài tập toán học tổng hợp.
Có thể chia kĩ năng theo ba mức độ khác nhau:
- Biết làm: Nắm được quy trình giải một bài tập toán học cơ bản nào đó
tương tự như mẫu, nhưng chưa nhanh.
- Làm thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như
bài mẫu nhưng có biến đổi.
- Làm một cách mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được những cách
giải ngắn gọn, độc đáo khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức, kĩ
năng đã học không chỉ với những bài toán cơ bản mà cả với những bài tập
toán học mới.
Ví dụ 1.1: Các mức độ về kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân
tử được thể hiện như sau:
Phân tích được:
3x(x – y) + 4y(x – y) = (x – y)(3x + 4y) (biết làm).
6x(x – y) + 4y(y – x) = 2(x – y)(3x – 2y) (làm thành thạo).
6x(x – y) + 4y(y2 – x2) = 2(x – y)(3x – 2y2 – 2xy) (làm linh hoạt).
Kĩ năng giải bài tập toán học bao hàm một hệ thống các kĩ năng:
- Kĩ năng giải bài tập vận dụng lý thuyết.
- Kĩ năng tính toán.
- Kĩ năng thực hành các phép biến đổi.
Các kĩ năng này nằm trong một thể thống nhất, trong cùng một hệ thống.
Các kĩ năng đều có mối liên hệ chặt chẽ, hỗ trợ lẫn nhau; kĩ năng này là cơ sở
hình thành kĩ năng kia và ngược lại; việc hình thành kĩ năng sau lại củng cố
rèn luyện kĩ năng trước đó.
1.2. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
1.2.1. Các giai đoạn rèn luyện kĩ năng cho học sinh

Có thể chia việc hình thành kĩ năng giải bài tập toán học thành các giai
đoạn như sau:
Giai đoạn 1: Hiểu đúng, vận dụng đúng, chính xác lý thuyết để giải
những bài tập toán học cơ bản. Từ đó sẽ hình thành ở học sinh các thao tác cơ
bản, như: Biết sử dụng ngôn ngữ toán học (công thức, kí hiệu, hình vẽ), vận
dụng đúng khái niệm, định lí, công thức, quy tắc.
Giai đoạn 2: Vận dụng thành thạo, linh hoạt những kiến thức, kĩ năng để
giải các bài toán tương tự những bài đã học.
Giai đoạn 3: Có kĩ năng giải bài tập tổng hợp, phức tạp, đa dạng.
Bài tập minh họa cho các giai đoạn hình thành kĩ năng phân tích đa
thức thành nhân tử cho học sinh.
* Giai đoạn 1:
Bài 1: Phân tích đa thức 2x2 – 4x thành nhân tử.
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 2, 4 trong các hạng tử trên?
(Học sinh trả lời là 2 vì ƯCLN(2,4) = 2).
- Tìm nhân tử chung của các biến x2 và x ? (Học sinh trả lời là x).
Khi đó nhân tử chung của đa thức là bao nhiêu? (Học sinh trả lời là 2x).
Giải:
2x2 – 4x = 2x.x – 2x.2 = 2x.(x – 2).
Bài 2 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
x2 – 4x + 4
Hướng dẫn
x2 – 4x + 4
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 với A = x, B= 2)
Giải:
x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

* Giai đoạn 2:
Bài 3: Phân tích đa thức 3(x – y) – 5x(y – x) thành nhân tử.
Giáo viên gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 3 và 5 ? (Học sinh trả lời là: 1 vì
ƯCLN(3;5)= 1).
- Tìm nhân tử chung của (x – y) và y(y – x) ? (Học sinh trả lời là:
không có).
- Sau đó giáo viên hướng dẫn thực hiện đổi dấu tích 3( x – y) hoặc tích
–5x(y – x) để có nhân tử chung (x – y) hoặc (y – x)?
Cách 1: Nếu đổi dấu tích –5x(y – x)= 5x(x – y) thì nhân tử chung của
đa thức là (x – y).
Cách 2: Nếu đổi dấu tích 3(x – y)= –3(y – x) thì nhân tử chung của đa
thức là (y – x) hoặc –(y – x).
Giải:
Cách 1: 3(x – y) – 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x(x – y)
= (x – y).3 + (x – y).5x
= (x – y)(3 + 5x)
Cách 2: 3(x – y) – 5x(y – x) = – 3(y – x) – 5x(y – x)
= (y – x). (–3) – (y – x).5x
= (y – x)( –3 – 5x)
= – (y – x)( 3 + 5x) = (x – y)(3 + 5x)
Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x2 – 2

b.

1 – x3

Hướng dẫn

a. x2 – 2
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) với A = x, B = 2 )


Giải:
x2 – 2 = x2 –

 2

2

= (x – 2 )(x + 2 )

b. 1 – x3
Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào?
(Học sinh trả lời có dạng: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) với A=1, B=x).
Giải:
1 – x3 = (1 – x)(1 + x. 1 + x2) = (1 – x)(1 + x + x2).
* Giai đoạn 3:
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
3a – 3b + a2 – 2ab + b2
= (3a – 3b) + (a2 – 2ab + b2)

(nhóm các hạng tử)

= 3(a – b) + (a – b)2 (đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức)
= (a – b) (3 + a – b) (đặt nhân tử chung)
Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
M = 5a2 + 3(a + b)2 – 5b2

Gợi ý
Ta thấy M không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có
nhân tử chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kĩ ta thấy hai hạng tử
5a2 – 5b2 có nhân tử chung. Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm hạng tử đầu tiên:
M = (5a2 – 5b2) + 3(a + b)2.
Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất đề làm xuất hiện hằng đẳng
thức
M = 5(a2 – b2) + 3 (a + b)2
Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả
hai nhóm là (a + b):
M = 5(a + b) (a – b) + 3 (a + b)2 .


M đã có nhân tử chung là: (a + b). Ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
M = (a + b)[5(a – b) + 3(a + b)]
M = (a + b)(8a – 2b)
Như vậy M đã được phân tích thành tích của hai nhân tử ( a + b) và
(8a – 2b)
Giải:
M

= (5a2 – 5b2) + 3(a + b)2.
= 5(a2 – b2) + 3(a + b)2
= 5(a + b) (a – b) + 3(a + b)2 .
= (a + b)[5(a – b) + 3(a + b)]
= (a + b)(8a – 2b)

Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
M = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – 3xyz2 + 3xy.
Gợi ý

Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
M = 3xy (x2 – 2x – y2 – 2yz – z2 + 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?
+ Nhóm hạng tử: M = 3xyx2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2
+ Dùng hằng đẳng thức : M = 3xy (x – 1)2 – (y + z)2 xem xét hai hạng
tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào?
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
M = 3xy (x + y + z – 1) (x – y – z – 1)
Vậy M đã được phân tích đa thức thành nhân tử.
Giải:
M = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – 3xyz2 + 3xy.


M = 3xy (x2 – 2x – y2 – 2yz – z2 + 1)
M = 3xyx2 – 2x + 1 ) – (y2 + 2yz + z2
M = 3xy ( x – 1)2 – ( y + z)2
M = 3xy (x + y + z – 1) (x – y – z – 1)
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh
hoạt phối hợp sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã
học để các bước phân tích được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không
thể phân tích được nữa).
1.2.2. Các cấp độ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
Để rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán học cho học sinh ta cần xác định
từng kĩ năng cụ thể trong mỗi dạng bài tập và mức độ yêu cầu tương ứng. Một
kĩ năng có thể gồm nhiều kĩ năng riêng lẻ. Việc hình thành từng kĩ năng riêng
lẻ có thể chia thành các bước như sau:
Bước 1: Giải bài tập mẫu để học sinh nắm được các thao tác cơ bản (có
thể giáo viên trình bày hoặc gợi ý để học sinh làm).

Bước 2: Luyện tập giải một số bài tập toán học tương tự bài tập mẫu,
nhằm giúp học sinh thành thạo các thao tác cơ bản. Việc luyện tập này có thể
tiến hành ngay ở một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bài hoặc bài tập ở
nhà.
Bước 3: Luyện tập một số bài tập tổng hợp, nhằm rèn luyện cho học sinh
vận dụng phối hợp, linh hoạt các thao tác giải toán. Các bài tập dạng này
thường được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp học sinh
hình thành và phát triển các kĩ năng ngày một tốt hơn.
Ví dụ 1.2: Để hình thành kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho
học sinh, ta có thể cho học sinh lần lượt giải các bài toán sau, dựa theo 3 bước
ở trên:
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:


2x2y +4xy2
3x(x – y) + 4y(x – y)
Với các bài toán này học sinh chỉ cần giải bài toán theo mẫu.
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
6a(a – b) + 4a(b – a)
Với các bài toán này học sinh cần biết làm tương tự bài mẫu và phải
thông hiểu: vai trò của a, b cũng giống như vai trò của x, y trong bài mẫu.
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x2(x – y) + 3(y2 – x2) – 2x(x – 2) (x + y)
Lời giải
x2(x – y) + 3(y2 – x2) – 2x(x – 2) (x + y)
= x2(x – y) + (y2 – x2) + 2(y2 – x2) – 2x(x – 2)(x + y) (biết tách số hạng)
= (x – y)( x2 – x – y) + 2(x + y)(y – x – x2 + 2x) (biết nhóm thừa số chung)
= (x – y)( x2 – x – y) + 2(x + y)(y + x – x2) (biết rút gọn)
= ( x2 – x – y) (x – y – 2x – 2y) (biết nhóm thừa số chung tiếp)
= ( x2 – x – y) (–x –3y).

Như vậy, bài này đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, phối hợp
được nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1.3. Nội dung phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8
1.3.1. Yêu cầu cần đạt về phân tích đa thức thành nhân tử trong chương
trình Đại số 8 trung học cơ sở
a) Theo chương trình môn Toán hiện hành, yêu cầu cần đạt về phân
tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Đại số 8 trung học cơ sở là
“Vận dụng cơ bản các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hẳng đẳng thức,
phương pháp nhóm hạng tử, phối hợp các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử ở trên”. [4]


b) Theo chương trình môn Toán tháng 12 năm 2018, yêu cầu cần đạt về
phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Đại số 8 trung học cơ sở
là “Vận dụng được các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử ở
dạng: vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức; vận dụng hằng đẳng thức thông qua
nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung”. [5]
1.3.2. Phân phối các tiết trong chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử
trong chương trình Đại số 8 trung học cơ sở
Chương trình môn Toán không quy định cụ thể các tiết học, theo phân
phối chương trình Toán 8 hiện hành, nội dung “Phân tích đa thức thành nhân
tử” trình bày ở Chương 1 – SGK Toán 8, tập 1, sau nội dung “Những hằng
đẳng thức đáng nhớ”, gồm 6 tiết (§), trong đó có 4 tiết lí thuyết, 2 tiết luyện
tập. Cụ thể các tiết như sau:
§1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
§2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
§3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử.
§4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp cách phối hợp
nhiều phương pháp.

Hai tiết bài tập phân phối đều vào các tiết lí thuyết ở trên.
Trên cơ sở cấu trúc bài học, có thể thấy rằng mỗi bài dạy về phân tích đa
thức thành nhân tử tương ứng với một phương pháp phân tích cụ thể.
1.3.3. Nội dung chi tiết
+ Nội dung kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử bao gồm:
- Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó
thành một tích của những đa thức.
- Phương pháp đặt nhân tử chung: Nếu tất cả các hạng tử của một đa
thức đều có một nhân tử chung:
AB + AC – AD = A(B + C – D).


- Biết vận dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều ngược lại để
phân tích đa thức thành nhân tử.
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 – 2AB + B2 = (A – B)2
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3
A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Thừa nhận:
+) An – Bn = (A – B)(An – 1 + An – 2 B + An – 3 B2 +…+ ABn – 2 + Bn – 1), với
mọi số tự nhiên n lớn hơn 0.
+) An + Bn = (A + B)(An – 1 – An – 2 B + An – 3 B2 – …– ABn – 2 + Bn – 1), với
mọi số tự nhiên n lẻ.
Suy ra
An – Bn M(A – B) với điều kiện A ≠ B, với mọi số tự nhiên n lớn hơn 0.
An + Bn M(A + B) với điều kiện A ≠ – B, với mọi số tự nhiên n lẻ.
- Phương pháp nhóm: Nhóm các số hạng một cách thích hợp để có thể

dùng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đối với mỗi
nhóm. Sau đó tiếp tục đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Ngoài ra nếu điều kiện cho phép giáo viên có thể giới thiệu một số kĩ
thuật và phương pháp trong phân tích đa thức thành nhân tử như: Kĩ thuật
tách hạng tử, kĩ thuật thêm bớt một hạng tử, phương pháp đồng nhất thức….
1.4. Khảo sát thực trạng dạy và học nội dung phân tích đa thức thành
nhân tử ở lớp 8 tại hai trường trung học cơ sở tỉnh Phú Thọ
Việc khảo sát tình hình dạy và học nội dung phân tích đa thức thành
nhân tử được tiến hành tại hai trường THCS Nông Trang và THCS Gia Cẩm


thuộc địa bàn thành phố Việt Trì, tỉnh Phú Thọ, thông qua phiếu khảo sát 18
giáo viên và 200 học sinh lớp 8 của hai trường.
Nội dung phiếu khảo sát giáo viên xin xem phụ lục 1.
Kết quả khảo sát giáo viên và học sinh được thống kê ở bảng sau:
a) Khảo sát 18 giáo viên

Số
TT
1
2
3
4
5

Các câu hỏi
Phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung
quan trọng?
Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử trong
SGK, SBT không khó đối với học sinh?

Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử trong
các tài liệu tham khảo không dễ đối với học sinh?
Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử ôn luyện
được nhiều kiến thức và kĩ năng cho học sinh?
Tài liệu tham khảo cho việc dạy, học nội dung phân
tích đa thức thành nhân tử khá phong phú, đáp ứng
được nhu cầu của giáo viên và học sinh?

Số GV
chọn

Tỉ lệ
(%)

18

100%

15

83%

18

100%

16

89%

18

100%

b) Khảo sát 200 học sinh

Số
Số HS Tỉ lệ
Các câu hỏi
TT
chọn (%)
1 Em thích học dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử?
126
63%
Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử trong SGK,
2
85
43%
SBT không khó đối với em?
Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử trong các tài
3
185
93%
liệu tham khảo không dễ đối với em?
Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử ôn luyện
4
200 100%
được nhiều kiến thức và kĩ năng?
Tài liệu tham khảo cho việc dạy, học nội dung phân tích
5

178
89%
đa thức thành nhân tử khá phong phú?
Một số kết luận rút ra từ kết quả khảo sát:
Tất cả (100%) các thầy cô giáo được hỏi đều cho rằng: Phân tích đa thức
thành nhân tử là một nội dung quan trọng; Dạng toán phân tích đa thức thành


nhân tử trong các tài liệu tham khảo không dễ đối với học sinh; tài liệu tham
khảo cho việc dạy, học nội dung phân tích đa thức thành nhân tử khá phong
phú, đáp ứng được nhu cầu của giáo viên và học sinh. Điều đó cũng có nghĩa
là, trong các tài liệu tham khảo có không ít những bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử thuộc loại khó đối với học sinh.
Hầu hết (83%) các thầy cô giáo cũng cho rằng dạng toán phân tích đa
thức thành nhân tử trong SGK, SBT không khó đối với học sinh; 89% thầy cô
cho rằng dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử ôn luyện được nhiều kiến
thức và kĩ năng cho học sinh.
Đối với học sinh:
Trên dưới một nửa số học sinh (63% và 43%) thích học dạng toán phân
tích đa thức thành nhân tử và cho rằng dạng toán này trong SGK, SBT
không khó.
Tất cả (100%) các em thống nhất ý kiến rằng dạng toán phân tích đa thức
thành nhân tử ôn luyện được nhiều kiến thức và kĩ năng, dạng toán này có
nhiều tài liệu tham khảo với nhiều bài khó hơn các bài trong SGK, SBT.
1.5. Kết luận chương 1
Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức để thực hiện có hiệu quả một hành
động nào đó, kĩ năng thuộc phạm vi hành động.
Trong dạy học môn Toán việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
có vai trò quan trọng. Qua giải toán học sinh vừa được củng cố những tri thức
đã học, vừa tạo ra khả năng vận dụng tri thức đó vào thực tiễn và vào việc học

các bộ môn tự nhiên khác.
Tuy nhiên việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh trong dạy toán
phổ thông vẫn chưa được chú trọng đúng mức.


Chương 2
BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH
NHÂN TỬ CHO HỌC SINH LỚP 8 TỈNH PHÚ THỌ

Để phù hợp với tình hình học sinh như đã khảo sát ở chương 1, chúng tôi
định hướng thiết kế các biện pháp như sau:
Định hướng 1. Thiết kế mỗi phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử theo những hoạt động phù hợp, vừa đảm bảo phân hóa, vừa tăng dần về
mức độ từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó.
Định hướng 2. Tập trung vào các dạng toán cơ bản như trong SGK, SBT
và trong điều kiện có thể, tuỳ theo học lực của học sinh, có thể rèn luyện thêm
một số dạng toán nâng cao. Những yêu cầu nâng cao có thể giao cho học sinh
khá và giỏi suy nghĩ ở nhà và chỉ giành một ít thời lượng để giải đáp, giới
thiệu trên lớp.
Định hướng 3. Trong quá trình dạy học và thực hiện mỗi biện pháp cần
chú ý sử dụng những phương pháp dạy học tích cực một cách thích hợp, như:
Phương pháp dạy học hợp tác, phương pháp sử dụng công nghệ thông tin,
phương pháp sử dụng phiếu học tập.
2.1. Biện pháp 1. Rèn luyện cho học sinh một số kĩ năng cơ bản phân tích
đa thức thành nhân tử thông qua dạng câu hỏi điền khuyết.
2.1.1. Cơ sở của biện pháp
a) Một số kĩ năng cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử cần rèn luyện
cho học sinh là:
- Nhận ra nhân tử chung;
- Nhận ra bình phương, lập phương của một số;

- Nhận ra hằng đẳng thức.
b) Dạng câu hỏi điền khuyết:
Khi thiết kế câu điền khuyết giáo viên cần lưu ý một số vấn đề sau:


- Phần nội dung: Bao gồm những câu có chỗ để trống (…..) để học sinh
điền từ thích hợp.
- Phần cung cấp thông tin (nếu cần): Gồm những từ hoặc cụm từ cho
trước, số từ (cụm từ) phải nhiều hơn số chỗ trống cần điền để tăng sự cân
nhắc của học sinh khi lựa chọn.
- Yêu cầu đối với học sinh: Học sinh phải tự tìm từ hoặc cụm từ thích
hợp để điền vào chỗ trống và mỗi chỗ trống chỉ có một từ (cụm từ) được chọn
là điền đúng.
- Bảo đảm mỗi chỗ trống chỉ điền được một từ hoặc cụm từ, không được
chừa hai chỗ trống gần nhau.
- Tránh cụm từ cần điền quá dài hoặc không liên hệ với câu hỏi.
2.1.2. Ví dụ minh hoạ cho biện pháp
Ví dụ 2.1. (nhận ra nhân tử chung)
Hoàn thiện các bước phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 5x + 20y = 5x +.........= 5.(……+…….)
b) 4x3 – 14x2 = …….. – ……..= 2.(….. – ……)
c) 5y10 + 15y6 = ….y6 + 5.3….= 5….(……+……)
d) A = 5x2(x – 2y) – 15x(x – 2y)
= 5.x….(….. – 2y) – ….3(x – 2y)
= (….. – …..).(…. – ….)
= ...(….. – ….).(….. – ……)
e) B = 10x( x – y) – 8y(y – x)
= 5.2.x(…. – ….) – 4. 2y(…. –….)
= (….. – …..) + (….. – …..)
= (….. – ….)(…. +…..)

= 2 (….. – ….)(…. +…..)
Kết quả:
a) 5x + 20y = 5x + 5.4y = 5 (x + 4y)
b) 4x3 – 14x2 = 2.2x3 – 2.7x2 = 2 (2x3 – 7x2)
c) 5y10 + 15y6 = 5.y4.y6 + 5.3y6 = 5y6 (y4 + 3)
d) A = 5x2 (x – 2y) – 15x (x – 2y)


= 5.x.x (x – 2y) – 5.x.3 (x – 2y)
= (x – 2y) (5x.x – 5x.3)
= 5x (x – 2y) (x – 3)
e) B

= 10x (x – y) – 8y (y – x)
= 5.2x (x – y) – 4.2y (y – x)
= 5.2x (x – y) + 4.2y (x – y)
= (x – y) (5.2x + 4.2y)
= 2 (x – y) (5x + 4y)

Ví dụ 2.2. (nhận ra bình phương, lập phương của một số)
Hãy điền vào chỗ khuyết trong các bài sau.

4x2 = (.….)2
9y2 = (…..)2
27x3 = (…..)3
8y3 = (…..)3
16x2 = (…..)2

25y2 = (…..)2
125x3 = (…..)3

64y3 = (…..)3
81x2 = (…..)2
121y2 = (…..)2

Kết quả:

4x2 = (2x)2
25y2 = (5y)2
9y2 = (3y)2
125x3 = (5x)3
27x3 = (3x)3
64y3 = (4y)3
8y3 = (2y)3
81x2 = (9x)2
16x2 = (4x)2
121y2 = (11y) 2
Ví dụ 2.3. (nhận ra hằng đẳng thức):
Hãy điền vào chỗ khuyết trong các bài sau:
16x2 – 25y2 = (…..)2 – (…..)2
27x3 + 8y3 = (…..)3 + (…..)3
4x2 – 9y2 = (….+….)(… – …)
125x3 – 64y3 = (…..)3 – (…..)3
81x2 – 121y2 = (…..)2 – (…..)2
x2 +……….+ 81 = (…..+…..)2
. ………….8x + 16 = (…..+…..)2
y2 – 20y + ………= (…..–…..)2
m3 – 125 = m3 – …= (…– ….)(…+…+…).
1 + x3 = …+ (…)3 = (…+…) (…–…+…)

Kết quả:
16x2 – 25y2 = (4x)2 – (5y)2
27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3
4x2 – 9y2 = (2x + 3y) (2x – 3y)
125x3 – 64y3 = (5x)3 – (4y)3
81x2 – 121y2 = (9x)2 – (11y)2
x2 + 18x + 81 = (x + 9)2
x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
y2 – 20y + 100 = (y – 10)2
m3 – 125 = m3 – 53 = (m – 5)(m2 + 5m + 25)
1 + x3 = 13 + (x)3 = (1 + x) (1 – x + x2)
2.2. Biện pháp 2. Rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho
học sinh thông qua bài tập phân hoá trong các phiếu học tập.
2.2.1. Cơ sở của biện pháp
a) Bài tập phân hoá
Theo Nguyễn Bá Kim (2017), giáo viên có thể phân hoá bài tập dựa trên
các căn cứ sau:
- Dựa vào mức độ vận dụng từ đơn giản đến phức tạp;
- Dựa vào tính chất hoạt động đơn lẻ hay kết hợp;
- Dựa vào mức độ từ dễ đến khó của bài toán;
- Dựa vào số lượng hoạt động ít đến nhiều. [9]
b) Phiếu học tập
Theo Nguyễn Văn Thái Bình (2014): “Phiếu học tập là những tờ giấy
rời, in sẵn những công tác độc lập hay làm theo nhóm nhỏ, được phát cho
học sinh để học sinh hoàn thành trong một thời gian ngắn của tiết học. Trong
mỗi PHT có ghi rõ một vài nhiệm vụ nhận thức nhằm hướng tới hình thành