ĐA CD18 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN của TAM GIÁC 215 219
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (966.31 KB, 9 trang )
Phát triển tư duy Hình học 7
HƯỚNG DẪN GIẢI
Chuyên đề 18. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM
GIÁC.
18.1. (h.18.6)
Xét
có BE và CF là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G.
Giả sử
, ta phải chứng minh
.
Ta vẽ thêm đường trung tuyến AD,theo tính chất ba đường trung
tuyến ta có AD đi qua G.
Xét
và
có:
AD chung và
Nên
Xét
(định lý hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau).
và
có:
GD chung và
nên
(chứng minh trên)
, suy ra
, do đó
18.2. (h.18.7)
Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông
và
ta tính được
Vi N là trung điểm của HC nên
Do đó
.
Vậy AH là trung tuyến của
Mặt khác
.
nên
suy ra O là trọng tâm của
,
.
Ta có NM là một đường trung tuyến của
do đó NM
phải đi qua trọng tâm O. Vậy ba điểm N, M, O thẳng
hàng.
18.3. (h. 18.8)
a) Xét
có
nên BO là đường trung
tuyến.
Điểm D nằm trên đường trung tuyến BO mà
(vì
của
) nên D là trọng tâm
.
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 1
Phát triển tư duy Hình học 7
Chứng minh tương tự ta được E là trọng tâm của
b) Vì D là trọng tâm của
nên đường thẳng AD là một đường trung tuyến
Vì AD cắt BF tại N nên FN = BN =
(1)
Chứng minh tương tự ta được
Ta có
=
Suy ra
(2)
(c.g.c)
(3) và
.
Từ (1), (2), (3) suy ra
.
, suy ra
Ta có
.
và
(kề bù)
Suy ra
, do đó ba điểm
thẳng hàng (5)
Từ (4) và (5) suy ra O là trung điểm của MN do đó AO là đường trung tuyến của
.
và
tâm G.
có chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AO nên có cùng trọng
18.4 (h.18.9)
Theo tính chất đoạn chắn song song ta có
suy ra
Chứng minh tương tự ta được:
Xét
ba đường thẳng
là ba
đường trung tuyến nên chúng đồng quy tại
một điểm G.
Gọi M là giao điểm của
điểm của
với BC ; N là giao
với AC ; P là giao điểm của
với
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 2
Phát triển tư duy Hình học 7
Ta có
(c.g.c) suy ra
Vậy AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của
Chứng minh tương tự ta được BN, CP là đường trung tuyến ứng với cạnh AC,
ABcủa
.
Ba đường trung tuyến AM, BN, CP của
gặp nhau tại một điểm. Mặt khác ba
đường thẳng AM, BN, CP cũng là ba đường thẳng
G của
cũng là trọng tâm của
. Do đó trọng tâm
.
18.5 (h.18.10)
•
Tìm cách giải
Giả sử đã vẽ được
sao cho G là trọng tâm
của nó. Tia OG cắt AB tại trung điểm M. Trên tiaOG
lấy điểm K sao cho OK = 3OG. Ta chứng minh được
•
;
.
Suy ra KA // Oy; KB //Ox. Do đó xác định được A và
B.
Trình bày lời giải
. Vẽ tiaOG, trên đó lấy điểm K sao cho OK = 3OG.
. Từ K vẽ KA // Oy (A Ox) ;KB //Ox (B Oy)
. Vẽ đoạn thẳng AB cắt OK tại M. Khi đó G là trọng
tâm của
. Thực vậy, ta có AK = OB (tính chất đoạn chắn song song).
, suy ra MA = MB (1) và MK = MO.
Vì OK = 3OG nênOM =
hay OG =
. (2)
Từ (1) và (2) suy ra G là trọng tâm của
18.6(h.18.11)
Vẽ các đường trung tuyến AD, BM cắt nhau tại G.
Ta có
. Suy ra DB = DC =
12cm;
Áp dụng định lý Py-ta-go vào ABD vuông tại D ta
được
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 3
Phát triển tư duy Hình học 7
Vì G là trọng tâm của ABC nên GD =
= 5cm.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào GBD vuông tại D ta được
Suy ra BM =
18.7(h.18.12)
Vì G là trọng tâm của
ABC nên BE =
;
CF=
• Xét
ABE vuông tại A ta có:
. (1)
• Xét
ACF vuông tại A ta có:
(2)
Từ (1) và (2), suy ra
, mặt khác
.
(3)
Suy ra
Ta viết (3) thành
(*)
Mà theo (1) thì
(**)
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 4
Phát triển tư duy Hình học 7
So sánh (*) và (**) ta được
= 6084 – 2196 = 3888
Từ đó ta tính được
Vậy chu vi
ABC là: 78 + 72 + 30 = 180 (cm)
18.8 (h18.13)
Đặt
tại
. Áp dụng định lí Py-ta-go cho
ta có:
Áp dụng định lí Py-ta-go cho
Gọi
vuông
là trọng tâm của tam giác
Xét
mà
vuông tại
ta có:
, ta có:
có
nên
Do đó theo định lí Py-ta-go đảo ta được
vuông tại
. Suy ra
18.9 (h18.14)
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 5
Phát triển tư duy Hình học 7
Xét
có các đường trung tuyến
Xét
ta có
cắt nhau tại
(1)
Tương tự, ta có
(2)
(3)
Cộng từng vế các bất đẳng thức (1); (2); (3) ta được:
Suy ra
.
* Nhận xét :Trong bài 17.7 ta đã chứng minh được
lớn hơn chu vi
tam giác. Như vậy kết quả bài này mạnh hơn kết quả ở bài 17.7.
18.10. (h 18.15)
Xét
Vì
có
và
là hai đường trung tuyến và
là trọng tâm nên
.
.
Do đó,
Ta có :
(c.g.c)
dẫn tới
.
Gọi
là giao điểm của đường thẳng
Do
là trọng tâm nên
với
là đường trung tuyến.
Suy ra
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 6
Phát triển tư duy Hình học 7
Ta có :
(c.c.c),
do đó
.
Hình 18.15
18.11 (H 18.16)
Xét
có
là đường trung tuyến.
Mặt khác
Nên
và
là trọng tâm của
Suy ra đường thẳng
ứng với cạnh
.
chứa đường trung tuyến
Do đó
Ta có
(c.c.c)
Do đó,
(vì
.
)
Hình 18. 16
18.12 (h 18.17)
*Chứng minh mệnh đề nếu
thì
cân tại
.
Ta chứng minh bằng phản chứng
Giả sử
(1)
Vẽ tia
cắt
Khi đó
là đường trung tuyến nên
Xét
và
tại
.
có :
chung ;
Nên
(định lí 2 tam giác có hai cặp
cạnh bằng nhau)
Xét
và
Hình 18.17
có
chung,
và
=
(c.g.c)
(2)
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 7
Phát triển tư duy Hình học 7
Từ (1) và (2) suy ra:
(trái giả thiết)
Vậy điều giả sử
Nếu
là sai (*)
ta cũng đi đến mâu thuẫn
Từ (*) và (**) suy ra
do đó
Chứng minh mệnh đề nếu
Gọi
là giao điểm của
là sai (**)
cân tại
cân tại
với
thì
.
là giao điểm của
với
.
Khi đó,
(c.g.c)
, do đó
Suy ra
dẫn tới
.
18.13. (H 18.8)
*Chứng minh mệnh đề nếu
thì
Ta chứng minh bằng phản chứng:
Giả sử
thiết.
, khi đó
Giả sử
, trái giả
, tức là
Xét
có
Xét
có
và
.
Hình 18.18
.
Do đó,
Suy ra
Vậy nếu
, trái giả thiết.
thì
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Page. 8
Phát triển tư duy Hình học 7
thì
*Chứng minh mệnh đề nếu
Ta có
tức là
Xét
có
.
và
.
. Xét
có :
. Do đó,
Suy ra
.
18.14 (H 18.19)
Gọi
là giao điểm của
Ta có:
do đó
với
.
là đường trung tuyến của
.
Xét
có
Suy ra
(xem bài 17.13)
Do đó
Trên tia
(gt)
(1)
lấy điểm
sao cho
.
(c.g.c). Suy ra
Xét
có
Do đó:
(2)
Từ (1) và (2), suy ra
18.19
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”
Hình
Page. 9
