Chuyên đề: Giải bài toán số phức dưới góc độ Hình học

Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

PHẦN I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Số phức là một nội dung quan trọng được đưa vào cuối chương trình Giải tích
12 với mục đích kết thúc việc giới thiệu hệ thống các tập hợp số cho học sinh: số tự
nhiên, số nguyên, số thập phân, số hữu tỉ, số thực, số phức. Những năm gần đây, đề thi
Đại học – Cao đẳng thường có những bài toán số phức với đủ các mức độ nhận biết –
thông hiểu – vận dụng và vận dụng cao. Do đó, việc dạy học giải bài toán này cũng là
một trong những nội dung ôn thi THPT Quốc Gia của các trường THPT. Tuy nhiên, do
thời lượng dạy học nội dung này không nhiều nên đa phần giáo viên chưa quan tâm
đến việc phát triển nhiều phương pháp giải toán cho học sinh. Trong các phương pháp
giải toán số phức, nếu tiếp cận bài toán dưới góc độ hình học ta có thể tìm được những
lời giải hay và hiệu quả cho bài toán đó.
Vì những lí do trên, tác giả chọn đề tài chuyên đề hội thảo là “Giải bài toán số
phức dưới góc độ Hình học”.
1.2. Mục tiêu của chuyên đề
Chuyên đề được đưa nhằm giúp học sinh có được phương pháp cơ bản sử dụng
kiến thức hình học để giải quyết lớp bài toán về số phức. Cụ thể như sau:
a) Về kiến thức:
- Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan.
- Các phép toán về số phức: cộng, trừ, nhân, chia; các phép toán về liên hợp của một
số phức và modun của số phức.
- Tri thức phương pháp giải bài toán tìm điểm biểu diễn của một số phức, tìm tập hợp
điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước và bài toán tìm GTLN –NN
của biểu thức số phức nhờ công cụ hình học.
b) Về kĩ năng:
Rèn luyện kĩ năng giải toán số phức gồm:
- Giải bài toán điểm biểu diễn của một số phức.

- Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước .
- Giải bài toán min – max biểu thức số phức nhờ công cụ hình học.
c) Về tư duy, thái độ:
- Phát triển tư duy logic, tư duy sáng tạo.
- Tính cẩn thận, chính xác và tính thẩm mĩ.
Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

1


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

1.3. Đối tượng và thời lượng
1.3.1. Đối tượng: Học sinh lớp 12 hoặc học sinh học xong chương trình Toán 12 ôn
thi THPTQG.
1.3.2. Thời lượng: Nội dung chuyên đề dự kiến được dạy học trong 6 tiết.

PHẦN II. GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC DƯỚI GÓC ĐỘ HÌNH HỌC
2.1. Lý thuyết
2.1.1. Kiến thức cơ bản:
a) Định nghĩa số phức:
+ Dạng đại số:

z = a + bi , ( a, b

Các kết quả: Cho số phức z = a + bi , (a, b

R, i2 = - 1).

R), ta có:

+ Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i.
+ Môđun của số phức : | z|
+ Số phức liên hợp : z

a2

b2 .

a bi .

+ Điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) là : M(a ; b).
+ Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương
ứng bằng nhau.
b) Các phép toán đối với số phức
Phép cộng, trừ và nhân các số phức được thực hiện tương tự như cộng, trừ và nhân
các số thực với chú ý i2 = - 1.
 Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
z
z

z'
z'

( a a ') (b b ')i
.
( a a ') (b b ')i

 Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
zz '

aa ' bb ' (ab ' a ' b)i .

 Phép chia hai số phức
Phép chia số phức z1 cho số phức z2 được thực hiện theo quy tắc sau :
Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

2


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh
z1

z1 .z2

z2

z2 .z2

z1 .z2
| z2 |2

Chú ý : Tất cả các tính chất mà đúng với phép toán trên các số thực thì cũng
đúng trên các số phức.
 Liên hợp của số phức

z1

z2

z2 , z1 .z2

z1

z1 .z2 ,

z1
z2

z1
z2

.

c) Phương trình bậc hai với hệ số thực.
* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có

=b2 – 4ac.

+ Nếu

> 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt x1,2

+ Nếu

= 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =

+ Nếu

< 0, PT có 2 nghiệm phức x1,2

b
2a

b
.
2a

b

i | |
.
2a

* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0.
Khi b chẵn có b’ = b/2 ;

2

' =b’ – ac.

b'

+ Nếu

' > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt x1,2

+ Nếu

' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 =

b'
.
a

+ Nếu

' < 0, PT có 2 nghiệm phức x1,2

b ' i | '|
.
a

'
a

.

2.1.2. Các phép toán về modun của số phức.
Cho các số phức z , z ' và M , N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z , z ' . Ta có:
1) z

z.

2) zz

z .

3) z.z '

2

z . z' .

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

3


Trường THPT Bình Xuyên

4)

z

z
z'

5) z

z'

,z'

Th.S Đào Thùy Linh

0.

OM .

6) z z '

MN .

7) z z '

2OI , với I là trung điểm của đoạn thẳng MN.

2.2. Giải bài toán số phức dưới góc độ hình học
2.2.1. Bài toán về điểm biểu diễn số phức
Cách giải: Số phức z

a

) có điểm biểu diễn trong mặt phẳng

bi ,(a, b

phức là M(a; b).
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức
A. z

2

i.

C. z

2 i.

B. z

y
M

1 2i .

D. z 1 2i .
Lời giải

Điểm M( 2;1) biểu diễn số phức z

1

2

2

O

x

i . Chọn A.

Câu 2: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z a bi

( a, b
, ab 0 ), M là điểm biểu diễn cho số phức z . Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A. M đối xứng với M qua Oy .
B. M đối xứng với M qua Ox .
C. M đối xứng với M qua đường thẳng y

x.

D. M đối xứng với M qua O .
Lời giải
Ta có M là điểm biễu diễn cho số phức z
xứng với M qua Ox . Đáp án B
Câu 3:

M (a; b) nên M đối

a bi

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức cho số phức z. Biết
OM = 5. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng
A. z

5.

B. z

C. zz

5.

D. z

2

y

5.

M

5.

Lời giải
z

OM

O

x

5 nên chọn đáp án A.

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

4


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

Mức độ 2: Thông hiểu
Câu 4:

Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức z
A.

1; 4 .

B. 1; 4 .

(2 3i)(4 i)
.
3 2i

C. 1; 4 .

D.

1; 4

Lời giải
(2 3i)(4 i)
3 2i

5 14i
3 2i

(5 14i)(3 2i)
13 52i
1 4i .
13
13
Do đó điểm biểu diễn cho số phức z có tọa độ ( 1; 4) . Đáp án A.

Ta có z

Câu 5:

Gọi

A,

B

z1

1 2i ; z 2

A.

5

lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
5 i . Tính độ dài đoạn thẳng AB.

26 .

B. 5 .

Ta có: A(1; 2) , B(5; 1)

AB

C. 25 .

D.

37 .

Lời giải
5 . Đáp án B.

Câu 6: Cho bốn điểm M , N , P , Q là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự
biểu diễn các số
ba điểm còn lại?

i, 2

i , 5 , 1 4i . Hỏi điểm nào là trọng tâm của tam giác tạo bởi

A. M .

B. N .

C. P .

D. Q .

Lời giải
Tọa độ các điểm: M(0; 1) , N(2;1) , P(5; 0) , Q(1; 4) .
0

Dễ thấy

5 1
2
3
nên N là trọng tâm của tam giác MPQ . Chọn B.
1 0 4
1
3

Câu 7: Cho M, M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z
z'

0 và

1 i
z . Hỏi tam giác OMM’ là tam giác gì?
2

A. Tam giác đều.

B. Tam giác tù có góc nhỏ hơn 600.

C. Tam giác nhọn.

D. Tam giác vuông cân.

Phân tích: Ở bài toán này, nếu đặt z = a + bi (a, b
diễn cho số phức z. Do z '

R) thi điểm M(a;b) biểu

1 i
z nên ta tính được tọa độ M’ biểu diễn cho z’. Tuy
2

nhiên, tính toán đại số như vậy rất dài nên ta có các cách sau giải bài toán này:
Lời giải
Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

5


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

Cách 1: Ta có
;

1 i
z
2

OM '

2
z ; MM '
2

OM

z

Do z

0 nên tam giác OMM’ vuông cân tại M’.

1 i
z
2

z' z

2
z ..
2

Cách 2: Làm thủ thuật trắc nghiệm.
Thử chọn z

1

z'

1 i
2

1 1
M(1; 0), M '( ; ).
2 2

Dễ có OMM’ vuông cân tại M’. Chọn D
Mức độ 3: Vận dụng
Câu 8: Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z1
z3

2 , z2

4i ,

4i trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tính diện tích tam giác ABC.

2

A. 8 .

B. 2 .

C. 6 .

D. 4 .

Phân tích: Trong bài toán này, việc gắn hình học vào bài toán số phức là bắt
buộc khi cần tính yếu tố diện tích của một tam giác thông qua nhận dạng tam giác đó.

Lời giải
Ta có A(2; 0) , B(0; 4) , C(2; 4) suy ra AC

(0; 4) ; BC

Do đó tam giác ABC là tam giác vuông tại C . Suy ra S

(2; 0)

AC.BC

1
CA.CB
2

ABC

0.

1
.4.2
2

4.

Đáp án D.
Với ý tưởng tương tự, tăng cường thêm mức độ, ta có bài toán sau:
Câu 9: Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
z1

1 i , z2

A. S

1 2i , z3

3i . Gọi S là diện tích tứ giác ABCD . Tính S .

2 i , z4

17
.
2

B. S

19
.
2

C. S

23
.
2

D. S

21
.

2

Lời giải
Ta có z1
z4

AC

3i

(3; 2)

trình AC : 2 x 1

1 i

A( 1;1) , z2

1 2i

B(1; 2) , z3

2 i

C(2; 1) ,

D(0; 3) .

AC
3 y 1

13 , n
0

(2; 3) là véc tơ pháp tuyến của AC , phương

2x

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

3y 1

0.

6


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

y
B

2
A

1
1

1 O

x

2

1

C

3 D

Khoảng cách từ B đến AC là:
2

d( B; AC )

3.2 1

7

13

S

13

ABC

1

d( B; AC ).AC
2

1
7
. 13.
2
13

7
.
2

1
.d( D; AC ).AC
2

1 10
.
. 13
2 13

5.

Khoảng cách từ D đến AC là:
d( D; AC )

Vậy S

S

0 9 1

10

13
S

ABC

S

13
7
2

ADC

ADC

17
. Đáp án A.
2

5

Mức độ 4: Vận dụng cao
Câu 10: Cho số phức z , biết rằng các điểm biểu diễn hình học của các số phức
z ; iz và z

i z tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18 . Mô đun của số

phức z bằng
A. 2 3 .

B. 3 2 .

C. 6 .

D. 9 .

Phân tích: Việc dùng công cụ hình học ở bài toán này thể hiện ở ràng buộc
diện tích cho trước. HS phải biết đưa ràng buộc đó về biểu thức tính mô đun của z.
Lời giải
Gọi z

a

bi , a, b

.

Ta có: iz

ai b , z

iz

a

bi b

a b

ai

a

b i

Ta gọi A(a, b) , B( b, a) , C(a b, a b) nên AB( b a, a b) , AC( b, a) .
Vậy S

1
AB, AC
2

1
2

a2

b2

1 2
(a
2

b2 )

18

a2

b2

6 . Đáp án C.

Câu 11: Trong mặt phẳng phức, cho M, M’ theo thứ tự là các điểm biểu diễn số
phức z

0 và z’. Biết rằng tam giác OMM’ vuông cân tại M’ (O là gốc tọa độ). Hỏi

phần ảo k của

z'
thỏa mãn tính chất nào sau đây?
z

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

7


Trường THPT Bình Xuyên

A. k

2.

C. 0

k

Th.S Đào Thùy Linh

1.

B. 0

k

1.

D. k

1 hoăc k

2

Phân tích: Câu hỏi của bài toán này khiến HS không thực hiện được các cách
giải trong câu 10 nên mức độ tăng cao hơn nhiều. Tuy nhiên, dấu hiệu sử dụng công cụ
hình học ở đây thể hiện ở chỗ

z'
z

OM '
OM

2.

Lời giải:
Giả sử z '

nên nếu tam giác OMM’ là tam giác vuông cân tại M’ thì:

z

OM

2OM '

OM

2 MM '

Đặt

x

z
z

2 z' z

1 x

1
2

y2
2

2
21

z

1

z

1
2

.

, ta có:

yi x , y

x2

2 z'

y2

x
1

2

y

1
x
2 và
1
y
2

1
2
1
2

1 i
. Chọn C.
2

2.2.2. Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải cơ bản:
- Đặt z

x

yi x , y

. Khi đó điểm M(x;y) biểu diễn cho số phức z.

- Biến đổi đại số các điều kiện ở từng bài, thu được ràng buộc giữa x và y.
- Dựa vào kiến thức hình giải tích trong mặt phẳng để kết luận về tập hợp điểm M.
Các loại quỹ tích cơ bản:
a) Loại 1: Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng
Cách giải 1: Sử dụng phương pháp giải cơ bản trên.
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuần ảo là?
A. Tia.

B. Parabol.

C. Đường thẳng.

D. Đường tròn.

Phân tích: Dựa vào định nghĩa số thuần ảo, tức là số phức có phần thực bằng 0
nên HS dễ dàng chọn đáp án C.
Mức độ 2: Thông hiểu.
Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

8


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

Câu 2: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z z

2i là?

A. Trục hoành.

B. Đường thẳng x = 1.

C. Đường thẳng x = 2.

D. Đường thẳng y = 1.

Phân tích: Trong bài toán này, HS sử dụng cách giải cơ bản ở mức độ đơn giản
để chỉ ra tính chất của điểm biểu diễn cho số phức z.
Lời giải
Đặt z

x

 z = x – yi, do đó z z

yi x , y

2i

y

1 . Đáp án D.

Tăng cường các bước tính toán, ta có mức độ 3 của bài toán này như sau:
Mức độ 3: Vận dụng.
Câu 3: Tìm quỹ tích các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả
mãn điều kiện z

z

3

4.

A. Đường tròn tâm I(-3;0), bán kính bằng 2.

B. Đường thẳng x

C. Hai đường thẳng.

D. Elip.

1
.
2

Lời giải
Xét hệ thức: |z + z +3|=4 (1)
Đặt z

x

 z = x – yi, do đó

yi x , y

(1)  |(x+yi)+(x-yi)+3|=4  |2x+3|=4 

x

1
2
7
2

x

hai đường thẳng song song với trục tung: x =
Câu 4:

. Vậy tập hợp tất cả các điểm M là

1
và x =
2

7
. Đáp án C.
2

Cho số phức z thỏa mãn (1 z)2 là số thực. Tập hợp các điểm M biểu diễn
số phức z là?
A. Hai đường thẳng.

C. Đoạn thẳng.

B. Parabol.

D. Đường tròn.

Hướng dẫn giải
Gọi z
(1 z)2

x

yi x , y

(1 x

yi)2

. Khi đó, ta có
( x 1)2

y2

Do (1 z)2 là số thực nên 2( x 1)y

2( x 1)yi .

0

y 0
.
x 1 0

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là hai đường thẳng x 1 0 và
y

0 . Đáp án A.

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

9


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 5:

Cho S là tập các số thực m để phương trình z2

2z 1 m

0 có nghiệm

phức mà điểm biểu diễn của nghiệm đó nằm trên đường tròn tâm O(0;0), bán
kính bằng 2 đơn vị. Tính tổng tất cả các phần tử của S.
A.

3.

B. 6 .

C. 10.

D. 7.

Phân tích: Bài toán này trở nên khó hơn khi HS phải biết phân chia trường
hợp của tham số để tìm ra phần thực, phần ảo của z .
Lời giải
Ta có:

m, P

1 m.

Trường hợp 1 :

0

0.

m

Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực: z

1

+ Với z

1

m . Suy ra: 1

m

2

m

1 (nhận).

+ Với z

1

m . Suy ra: 1

m

2

m

9 (nhận).

Trường hợp 2 :

0

m

m hoặc z

1

m.

0.

Vì đây là phương trình hệ số thực có

0 nên phương trình có hai nghiệm

phức là liên hợp của nhau. Do đó:
z

2

z.z

4

P

4

1 m

4

m

3 (nhận).

Vậy m { 3;1; 9}. Chọn D.
Cách 2: Sử dụng phương pháp khác
Dấu hiệu nhận biết: điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất z z1

z

z2

hoặc những tính chất đưa được về nó.
Cách giải:
-

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A, B, C... lần lượt biểu diễn cho

các số phức liên quan z1 , z2 , z3 ...
-

Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C...

-

Kết luận về tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất z z1

z

z2 là đường trung

trực của AB .
Mức độ 1: Nhận biết.
Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

10


Trường THPT Bình Xuyên

Câu 1:

Th.S Đào Thùy Linh

Cho số phức z thỏa mãn z i

z 2 . Tập hợp các điểm M biểu diễn số

phức z là?
A. Hai đường thẳng.

B. Parabol.

C. Một đường thẳng.

D. Đường tròn.
Hướng dẫn giải

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A(0;1), B(2; 0) biểu diễn cho
các số phức z1

i , z2

2 . Ta có: z i

z 2

AM

BM .

Suy ra tập hợp M là đường trung trực của AB. Chọn C.
Mức độ 2: Thông hiểu.
Câu 2:

Cho số phức z thỏa mãn: z 1

z 2

3i . Tập hợp các điểm biểu diễn số

phức z là
A. Đường tròn tâm I(1; 2) , bán kính R 1 .
B. Đường thẳng có phương trình 2x 6 y 12

0.

C. Đường thẳng có phương trình x 3y 6

0.

D. Đường thẳng có phương trình x 5y 6

0.

Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A, B biểu diễn cho các số phức
z1 1, z2 2 3i . Ta có:
z 1

z 2

3i

AM

BM . Suy ra tập hợp M là đường trung trực của AB.

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình
x 3y 6 0 . Đáp án C.
Mức độ 3: Vận dụng.
Câu 3:

Trên mặt phẳng phức tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
z 2 i
z 3i là đường thẳng có phương trình:
A. y
C. y

x 1.

B. y

x 1.

x 1.

D. y

x 1.

Phân tích: Dấu hiệu nhận biết trong bài này được tăng cường hơn thêm 1
bước đưa về dạng z z1

z

z2 từ ràng buộc z

2

i

z

3i .

Lời giải
Cách 1:
Từ z x yi , x, y
Do đó x yi 2 i

x

z

x

yi

3i

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

yi.
(x

2) ( y

1)i

x (y

3)i

11


Trường THPT Bình Xuyên

(x

2)2

Th.S Đào Thùy Linh

1)2

(y

x2

(y

3)2

i

z

4x

2y

5

6y

9

x 1.

y

Cách 2:
z

2

i

z

3i

z

2

3i

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A( 2; 1), B(0; 3) biểu diễn
cho các số phức z1

3i . Ta có:

2 i , z2

Suy ra tập hợp M là đường trung trực của AB có phương trình y

x 1.

Chọn đáp án D
Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 4:

z 1
z i

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

z 3i
z i

1?

A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 4 .
Phân tích: Để giải được bài toán này, nếu biến đổi đại số thông thường, học
sinh sẽ khó đưa được từng ràng buộc về để tìm số lượng số phức z. Do đó, HS cần biết
các phép toán về mô đun của số phức để đưa các dữ kiện đó về dạng z z1

z2 .

z

Lời giải
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A(1; 0), B(0;1), C(0; 3), D(0; 1)
biểu diễn cho các số phức z1

Gọi số phức z
Ta có

z 1
z i

1, z2

bi với a, b

a

1

i , z3

i . Ta có:

3i , z4

.

z i nên M di động trên đường trung trực của AB

z 1

có phương trình x – y =0.
z 3i
z i

1

z 3i

z

i nên M di động trên đường trung trực của CD có

phương trình y =1. Dễ thấy hai đường trung trực trên cắt nhau.
Vậy có 1 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Ý tưởng tương tự, ta có bài toán sau:
Câu 5:

Cho số phức z

a

a b.
A. P 7 .

thỏa mãn

bi , a , b

z 1
z

1 và

i

z 3i
z i

1 . Tính

P

B. P

1.

C. P

1.

D. P

2.

Lời giải
Ta có:

z 1

z 3i
z i

1

z

i

1
z 3i

z 1
z

z i
i

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

a 1 bi

a (b 3)i

a (b 1)i
a (b 1)i

2a 2b
b

0 (1).

1 (2).

12

Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

a
b

Từ (1) và (2) ta có

1
. Vậy P
1

2 . Chọn D.

b) Loại 2: Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn
Dấu hiệu nhận biết: điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất
z

z'

R, R

0 hoặc những tính chất đưa được về nó.

Cách giải
-

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A, B, C... biểu diễn cho các số

phức liên quan zA , zB , zC ...
-

Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C...

-

Kết luận về tập hợp điểm M thỏa mãn z z '

R, R

0 là đường tròn tâm I,

bán kính R, I là điểm biểu diễn cho số phức z’.
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1:

Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z 3 4i
A. Một đường tròn.

5 là:

B. Một đường thẳng.

C. Một đường parabol.

D. Một đường Elip.
Lời giải

Chọn A
Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn tâm I(3; 4) , bán kính R

5.

Mức độ 2: Thông hiểu.
Câu 2:

Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i

5 và M( x; y) là điểm biểu diễn số phức

z . Quỹ tích M là đường tròn có phương trình nào sau đây?

A. ( x 1)2

(y

2)2

25 .

B. ( x 1)2

( y 2)2

25 .

C. ( x 1)2

(y

2)2

5.

D. ( x 1)2

( y 2)2

5.

Ta có z 1 2i

5

Lời giải
x 1 ( y 2)i 5 nên ( x 1)2

Vậy điểm M thuộc đường tròn ( x 1)2

( y 2)2

( y 2)2

25 .

25 . Đáp án B.

Mức độ 3: Vận dụng.
Câu 3:

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z 2 i

4 là

đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là:
A. I( 2; 1) ; R 4 . B. I( 2; 1) ; R 2 .
Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

13


Trường THPT Bình Xuyên

C. I(2; 1) ; R

Th.S Đào Thùy Linh

4.

D. I(2; 1) ; R

2.

Phân tích: Bài toán này có dấu hiệu đưa về ràng buộc z z '

R, R

0

Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z 2 i

4

thông qua biến đổi mô đun của số phức.
Lời giải
Chọn A
Gọi số phức z

x

iy x, y

Ta có:
z

2 i

4

(x

2) ( y 1)i

4 nên ( x

2)2

là đường tròn có tâm I( 2; 1) và có bán kính R
Câu 4:

(y

1)2

16

4.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số phức z thỏa mãn z 1 2i
hợp các điểm biểu diễn cho số phức w

3 . Tập

z(1 i) là đường tròn

A. Tâm I(3; 1) , R

3 2.

B. Tâm I( 3;1) , R

3.

C. Tâm I( 3;1) , R

3 2.

D. Tâm I(3; 1) , R

3.

Phân tích: Để giải bài toán này cần đưa về ràng buộc w w '

R, R

0

thông qua biến đổi mô đun của số phức.
Lời giải
Ta có z 1 2i
Giả sử w
( x 3)2

Câu 5:

x

3

z(1 i) ( 1 2i)(1 i)

yi ( x, y

(y

1)2

)

x 3 (y
I(3; 1) , R

18

w 3

31 i

1)i

3 2

18

3 2 . Chọn A.

z

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

3 2.

i

3 là đường nào?

z i

A. Một đường thẳng.

B. Một đường parabol.

C. Một đường tròn.

D. Một đường elip.
Lời giải

Chọn C
Gọi z x yi , x , y
z
z i

x2

3

z

y2

9 x2

.

3z i

x

( y 1)2

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

yi

3x

yi i

8 x2

8y2

18 y

9

x2

y2

3 x2

0

x2

y2

9
y
4

( y 1)2
9
8

0

14


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn.
Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 6: Có bao nhiêu số phức
sau: z 10 2i

z

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện

2 14i và z 1 10i

z

B. Không.

A. Hai.

5?

C. Một.

D. Vô số.

Phân tích: Nếu như ở câu 5, sử dụng hình học và đại số có vai trò tương
đương thì ở câu 6 này việc sử dụng công cụ hình học mang lại hiệu quả cao hơn. Dấu
hiệu sự dụng hình học thể hiện rõ ở 2 dữ kiện đã cho của bài toán.
Hướng dẫn giải
Cách 1: biến đổi đại số.
Từ giả thiết z 10 2i
24a

100
b 100
3

0

b

(b

2)2

(a

2)2

(b 14)2

4
b 4
3

a

0

(a 1)2

5

(a 10)2

2 14i

32b 96

Ta có: z 1 10i
25 2
b
9

z

(b 10)2

25

4
( b 5)2
3

b2

20b 100

25

4 .Vậy có một số phức thỏa mãn. Chọn C.

6,a

Cách 2: sử dụng hình học giải tích
z 10

thẳng

2i

: 3x 4 y

12

0 là trung trực của A(10; 2), B( 2;14) .

5 nên điểm M biểu diễn số phức z di động trên đường tròn ( I ; R)

z 1 10i

với I(1;10), R

2 14i nên điểm M biểu diễn số phức z di động trên đường

z

5.

Do d( I ; )

5 nên đường thẳng ( ) tiếp xúc với đường tròn ( I ; R) I ; R .

Vậy có một số phức thỏa mãn.
Câu 7:

Gọi ( H ) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa 1

z 1

2 trong

mặt phẳng phức. Tính diện tích hình ( H ) .
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn B
Đặt z
Do đó 1

x

yi , z 1
z 1

2

x 1

1

yi

( x 1)2

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

( x 1)2

y2 .

y2

1 ( x 1)2

2

y2

4.
15


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình
phẳng nằm trong đường tròn tâm I(1; 0) bán kính
R
r

2 và nằm ngoài đường tròn I (1; 0) bán kính
1.

Diện tích hình phẳng S
Câu 8:

.22

.12

3 .

Cho z1 , z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 3i
đồng thời z1 z2

8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w

z1

5,

z2

trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây?
A. x

5
2

2

y

C. ( x 10)2

3

2

2

( y 6)2

9
.
4

B. ( x 10)2

16 .

D. x

5
2

( y 6)2

2

y

3
2

36 .

2

9.

Phân tích: Trong bài toán này, dấu hiệu sử dụng hình học thể hiện rõ ở các
ràng buộc z 5 3i

5 , z1

8 và w

z2

z1

z2 trong đó điểm biểu diễn cho

w
là
2

trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm biểu diễn cho z1 , z2 .
Lời giải
Gọi A , B , M là các điểm biểu diễn của z1 , z2 , w . Khi đó A , B thuộc
đường tròn C : ( x 5)2
kính R
IT

25 và AB

( y 3)2

z1

z2

8 . C có tâm I (5; 3) và bán

5 , gọi T là trung điểm của AB khi đó T là trung điểm của OM và

IA2

TA2

3.

Gọi J là điểm đối xứng của O qua I suy ra
J(10; 6) và IT là đường trung bình của tam

giác OJM , do đó JM

2IT

6.

Vậy M thuộc đường tròn tâm J bán kính bằng 6 và
có phương trình ( x 10)2

( y 6)2

36 .

c) Loại 3: Một số quỹ tích khác
Câu 1:

Cho số phức z thỏa mãn 2|z-i|=|z- z +2i|. Tập hợp điểm biểu diễn cho z là
đường nào?

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

16


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

A. Một đường thẳng.

B. Một đường parabol.

C. Một đường tròn.

D. Một đường elip.
Lời giải

Đặt z

x

yi , x , y

 z = x – yi. Khi đó: (3)  |x+(y-1)i| = |(x+y)i|

 x2+(y-1)2 = (x+y)2 x2 – 4y = 0  y =

x2
.
4

x2
Vậy tập hợp các điểm M là parabol y =
. Chọn B.
4

Câu 2:

Cho số phức z thỏa mãn z 2

z

2

5 . Tập hợp điểm biểu diễn cho z là

đường nào?
A. Một đường thẳng.

B. Một đường parabol.

C. Một đường tròn.

D. Một đường elip.
Lời giải

Chọn D
Gọi M( x; y) , F1 ( 2; 0) , F1 (2; 0) biểu diễn cho số phức z , 2 , 2 .
Ta có: MF1

MF2

5.

Vậy M chạy trên Elip có trục lớn 2a

5 , trục nhỏ 2b

2

25
4

4

3.

2.2.3. Giải bài toán min – max trên tập số phức.
Dấu hiệu nhận biết: điểm biểu diễn số phức thỏa mãn tính chất z z1
z

z'

R, R

z

z2 ,

0 hoặc những tính chất đưa được về các tính chất đó.

Cách giải
- Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A, B, C... lần lượt biểu diễn cho
các số phức liên quan z1 , z2 , z3 ...
-

Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C...

- Kết luận về giá trị min – max nhờ sử dụng các kết quả sau:
1) Nếu điểm M di động trên đường thẳng
thì z z1 min d A;
2) Nếu điểm M di động trên đường tròn
z

z1 max

IA

I; R

thì

z

.
z1 min

IA R

và

R.

Mức độ 1: Nhận biết.
Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

17


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

Câu 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên trục hoành. Tìm giá trị nhỏ nhất của

z  (1  i) .
A.1.

B.2.

C.

2.

D. 0.

Lời giải
Gọi M , A là điểm biểu diễn số phức z , z1 1 i . Khi đó:

A(1;1), z  (1  i)  MA nên z  (1  i) min  d ( A; Ox)  1 . Chọn A.
Mức độ 2: Thông hiểu.
Câu 2:

Trong các số phức z thỏa mãn z 2 4i
nhất là:
A. z
1 i.

B. z

2i .

2

z 2i . Số phức z có môđun nhỏ

C. z

2

2i .

2

4i , z2

D. z

3

2i .

Lời giải
Cách 1:
Gọi M, A, B là điểm biểu diễn số phức z , z1
Ta có: z 2 4i
AB có phương trình

z 2i

: x y 4

Khi đó z min

OMmin

2i .

MB . Tập hợp M là đường trung trực của

MA

0.
2 2 và khi đó OM vuông góc với

d(O; )

Do đó tọa độ M 2; 2 . Vậy z

.

2i .

2

Cách 2: pp đại số.
Đặt z

a

). Khi đó z 2 4i

bi ( a , b

(a 2) (b 4)i

a (b 2)i

(a 2)2

z 2i

(b 4)2

a2

(b 2)2

b

4 a.

Khi đó:
a2

z

b2

Đẳng thức xảy ra
Câu 3:

a2

(4 a)2

a
b

2a 2

2
. Vậy z
2

8a 16
2

2(a 2)2

2 2.

2i . Chọn C.

Xét các số phức z thỏa điều kiện z 3 2i
z

8

5 . Giá trị lớn nhất của

1 i là?

A. 5 .

B. 15 .

C. 10 .

D. 20 .

Lời giải
Chọn A
Gọi M , I(3; 2), A( 1;1) là điểm biểu diễn số phức z , z1
Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

3 2i , z2

1 i.

18


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

Ta có z 3 2i

5

kính R 5 .
Khi đó z 1 i

5 . Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I, bán

MI

MA nên z

1 i max

IA

10 . Chọn C.

R

Mức độ 3: Vận dụng.
Câu 4:

Cho số phức z thỏa mãn 2z 3 4i

10 . Gọi M và m lần lượt là giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Khi đó M m bằng:
A. 5 .
B. 15 .
C. 10 .
D. 20 .
Phân tích: Mức độ biến đổi ở bài toán này tăng cường hơn khi đưa dữ kiện
cho là 2z 3 4i

10 về z

z'

R, R

0 .

Lời giải
Chọn C
Ta có: 2z 3 4i

thỏa đề là đường tròn tâm I
m IO R
M IO R

Khi đó:

3
2

z

10

2i

5 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức

3
; 2 , bán kính R
2

M m

2R

5.

10 .

Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 5:

Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1

5

5, z2

1 3i

z2

3 6i . Giá trị

nhỏ nhất của z1 z2 là:
A.

5
.
2

B.

7
.
2

C.

1
.
2

D.

3
.
2

Phân tích: Các giả thiết trong bài toán này yêu cầu HS có cái nhìn toàn diện
hơn khi sử dụng công cụ hình học nhờ các dấu hiệu z z1 z z2 ,
z

z'

R, R

0 và tính z1

z2 .

Lời giải
Chọn A
Giả sử z1

a1

b1i a1 , b1

, z2

a2

.

b2 i a2 , b2

Ta có
z1

5

5 nên tập hợp các điểm A biểu diễn cho số phức z1 là đường

tròn C có tâm là điểm I( 5; 0) và bán kính R
z2

1 3i

là đường thẳng

z2

5.

3 6i nên tập hợp các điểm B biểu diễn cho số phức z2

: 8x

6 y 35

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

0.
19


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

Khi đó, ta có z1 z2
Suy ra z1 z2 min

AB .
8.

d( I ; ) R

ABmin

Vậy giá trị nhỏ nhất của z1 z2 là

5

6.0 35

82

62

5

5
.
2

5
.
2

Tăng cường biến đổi các ràng buộc, ta có các bài toán sau:
Câu 6:

Cho số phức z thỏa mãn z 2i
của biểu thức P

z 4i và z 3 3i

1 . Giá trị lớn nhất

2 là:

z

A. 13 1 .

B. 10 1 .

C. 13 .

D. 10 .

Lời giải
Chọn C
Gọi M x; y là điểm biểu diễn số phức z ta có:
z 2i

x2

z 4i

( y 2)2

3 ; z 3 3i

y

x2
1

( y 4)2 .

điểm M nằm

trên đường tròn tâm I(3; 3) và bán kính

bằng 1. Biểu thức P

z 2

AM trong

đó A(2; 0) , theo hình vẽ thì giá trị lớn
nhất của P
M

Câu 7:

z 2 đạt được khi

(4; 3) nên max P

AM

13 .

Cho số phức z thỏa mãn z 1 i

1 , số phức w thỏa mãn w 2 3i

2.

Tìm giá trị nhỏ nhất của z w .
A. 13 3 .

B. 17

3.

C. 17

D. 13

3.

3.

Lời giải
Chọn B
Gọi M( x; y) biểu diễn số phức z
tâm I1 (1;1) , bán kính R1

iy thì M thuộc đường tròn (C1 ) có

1.

N( x ; y ) biểu diễn số phức w
I 2 (2; 3) , bán kính R2

x

x

iy thì N thuộc đường tròn (C2 ) có tâm

2 . Giá trị nhỏ nhất của z

w chính là giá trị nhỏ

nhất của đoạn MN .
Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

20


Trường THPT Bình Xuyên

Ta có I1I 2

1; 4

MNmin

Câu 8:

Th.S Đào Thùy Linh

I1 I 2

R1

I1 I 2

17

R2

17

R1

3

Cho số phức z và w thỏa mãn z w

nhất của biểu thức T

4i và z w

3

176 .

C. max T

9 . Tìm giá trị lớn

w.

z

A. max T

(C1 ) và (C2 ) ở ngoài nhau.

R2

B. max T

4.

14 .

D. max T

Phân tích: Nếu xử lý được dữ kiện z w

106 .

4i thành trung điểm của đoạn

3

thẳng nối 2 điểm biểu diễn của z , w là điểm cố định thì cách giải hiệu quả hơn nhiều.
Lời giải
Cách 1:
Số phức z và w có các điểm biểu diễn là A, B và I là trung điểm AB.
Ta có: z w

Khi đó T

3

z

4i

w

I

3
; 2 và z w
2

9

OA OB

2(OA2

yi , x , y

. Do z w

AB

OB2 )

9.

AB2
)
4

4(OI 2

106 . Chọn D.

Cách 2:
Đặt z

x

Mặt khác z w
z w

2 x2

(2 y 4)2

6x 8 y

4 x2

4y2

28 (1) . Suy ra T

12x 16 y
z

" xảy ra khi

Từ (1) và (2) ta có T 2

2.(28

x2

y2

2(2x2

(3 x)2

25)

106

x2

w

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có T 2
Dấu "

(3 x) (4

y)i .

9 nên

(2x 3)2

2y2

4i nên w

3

T

25
y2

2y2

(4

9
(3 x)2

6x 8 y

(4

y)2 .

25) (2) .

y)2 .

106 . Vậy MaxT

106 .

Câu 9: Xét số phức z thỏa mãn z  2  2i  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  z  1  i  z  5  2i bằng:

A. 1  10 .

B. 4 .

C. 17

D. 5 .

Lời giải
Chọn C
Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

21


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

Gọi M ( x; y) là điểm biểu diễn số phức z .
Do z  2  2i  2 nên tập hợp điểm M là đường
tròn (C ) : ( x  2)2  ( y  2)2  4 .
Các điểm A(1;1) , B(5; 2) là điểm biểu diễn các
số phức 1  i và 5  2i . Khi đó, P  MA  MB .
Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn (C ) còn điểm B nằm ngoài đường
tròn (C ) , mà MA  MB  AB  17 . Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của

đoạn AB với (C ) .
Ta có, phương trình đường thẳng AB : x  4 y  3  0 .
Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn (C ) là nghiệm của hệ
với 1  y  5 :
( x  2)2  ( y  2) 2  4
(4 y  5) 2  ( y  2) 2  4

.


x  4 y  3  0
x  4 y  3

22  59
N
y 
17
2
2
2

Ta có (4 y  5)  ( y  2)  4  17 y  44 y  25  0 
.

22  59
 L
y 
17


Vậy min P  17 khi z 

37  4 59 22  59

i .
17
17

2.3. Bài tập tự luyện
Dạng 1: Bài toán về điểm biểu diễn số phức
Câu 1:

Câu 2:

Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z 2  6z  13  0 .
Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức w  i  1 z1 .
A. M  5; 1 .

B. M  5;1 .

C. M  1; 5 .

D. M 1;5 .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , Gọi A , B , C lần lượt là các điểm biểu diễn số
phức 1  2i , 4  4i , 3i . Số phức biểu diễn trọng tâm tam giác ABC là
A. 1  3i .
B. 1  3i .
C. 3  9i .
D. 3  9i .

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

22


Trường THPT Bình Xuyên

Câu 3:

Th.S Đào Thùy Linh

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M , N , P lần lượt là các điểm biểu diễn
các số phức z1  1  i , z2  8  i , z3  1  3i . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác MNP cân.

B. Tam giác MNP đều.

C. Tam giác MNP vuông.

D. Tam giác MNP vuông cân.

Câu 4: Cho số phức z . Gọi A , B lần lượt là các điểm trong mặt phẳng  Oxy  biểu
diễn các số phức z và 1  i  z . Tính z biết diện tích tam giác OAB bằng 8 .
A. z  2 2 .

C. z  2 .

B. z  4 2 .

D. z  4 .

Câu 5: Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
z

(1 i)(2 i) ?

A. P .

B. M .

C. N .

D. Q .

HD: Chọn D
Dạng 2: Tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước
Câu 1:

Cho các số phức z thỏa mãn z  i  z  1  2i . Tập hợp các điểm biểu diễn
các số phức w  z  2i trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Phương
trình đường thẳng đó là:
A. x  4 y  3  0 .

B. x  3 y  4  0 .

C.  x  3 y  4  0 .

D. x  3 y  4  0 .

Câu 2: Cho số phức z thoả mãn z 3 4i

5 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt

phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I
và bán kính R của đường tròn đó.
5.
A. I(3; 4) , R
C. I(3; 4) , R 5 .
HD: Chọn D

Đặt z

x

yi , x , y

B. I( 3; 4) , R
D. I( 3; 4) , R
. Khi đó z 3 4i

5.
5.

5

(x

3)2

( y 4)2

Vậy tập điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I( 3; 4) , bán kính R
Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

25 .

5.

23


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

Câu 3: Xét các số phức z thỏa điều kiện z 3 2i

5 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,

tập hợp các điểm biểu diễn số phức w z 1 i là?
A. Đường tròn tâm I(4; 3) , bán kính R 5 .
B. Đường tròn tâm I( 4; 3) , bán kính R
C. Đường tròn tâm I(3; 2) , bán kính R
D. Đường tròn tâm I( 2;1) , bán kính R
Câu 4: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z
A. 0 .

z

5.
5.

5.

1?

z

B. 1 .

C. 4 .

D. 3 .

Câu 5: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
sau: z  10  2i  z  2  14i và z  1  10i  4 ?
B. Không.

A. Hai.

C. Một.

D. Vô số.

Dạng 3: Bài toán min – max trên tập số phức
Câu 1: Cho w là số phức thay đổi thỏa mãn w

Câu 2:

2 . Giá trị nhỏ nhất của w 3 4i

bằng bao nhiêu?
A. 3.
B. 2.
C. 4.
Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 1 i

D. 5.
iz1 . Tìm giá trị lớn

2 và z2

nhất m của biểu thức z1 z2
A. m

2 2

2.

B. m

Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn
A.

2 10
.
5

z

z

2

2i
3 i

1.

B. 2 10 .

z1

A.
C.

6

z3

2
2

2

.

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z
A

1 z

z2

z3

3 2i bằng:

D.

10
.
5

1

. Tính giá trị của biểu

z2 .z3
z2

2.

6

2
2

z1 .

3.

2

6

z3

D. m

C. 10 .

Câu 4: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z12

z2

2 2.

1 . Giá trị nhỏ nhất của z

z1

thức T

C. m

B.
D.

6

2

6

2
2

3.
2

.

1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

31 z .

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

24


Trường THPT Bình Xuyên

Th.S Đào Thùy Linh

A. 2 .

B.

2.

C. S

Câu 6: Cho số phức z thoả mãn z 3 4i
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
w

M

3
.
2

D. S

5
.
4

5 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn
z

2

2

2

z i . Tính môđun của số phức

mi .

A. w

1258 .

B. w

1258 .

C. w

2 314 .

D. w

2 309 .

Hướng dẫn – đáp số:
Câu 2:
Gọi z1

Chọn A
x yi , ( x , y

), khi đó theo giả thiết của đề bài ta có z2

Khi đó z1 1 i
Vì vậy tồn tại t

để x

2

Do đó z1 z2

( x 1)2

2

12

2( x2

12 8 2 sin t

2 6 4(sin t cos t)

Do đó m

x) 2

(y

8 2

2 2

xi .

4.

1 2sin t và y

y )2

(x

( y 1)2

y

1 2 cos t .
y2 ) .
12

4

8 2.

2.

Câu 5: Chọn A
Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số z, -1, 1.
Vì 1 z

MN , 1 z

Ta có: A

MN

MP

MP nên A = MN + 3MP.
2 MP

NP

2 MP và NP

2 . Dấu bằng xảy ra khi MP = 0 hay z

Suy ra A

Câu 6: Giả sử z

a

z 3 4i
P

z

2

bi ( a, b

5

2

z i

(a

Từ (1) và (2) ta có 20a2

(b 4)2
2)2

b2

(64 8P)a

Phương trình (*) có nghiệm khi
13

P

33

w

1.

).

(a 3)2
2

2.

5 (1).
a2

(b 1)2
P2

4P2

4a

22P 137

2b

3 (2).

0 (*).

184P 1716

0

1258 .

Chuyên đề hội thảo ôn thi THPTQG 2019

25